বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

4a⁴ - 27a2 - 81
= 4a⁴ - 36a² + 9a² - 81
= 4a² (a² - 9) + 9 ( a² - 9)
= (4a² + 9) (a² - 9)
= (a + 3) (a - 3) (4a2 + 9)

x² + 7x - 8
= x² + 8x - x - 8
= x(x + 8) - 1(x + 8)
= (x + 8)(x - 1)

ƒ(1) = a³ - 9 + (a + 1)³
= (1)³ - 9 + (2)³
= 1 - 9 + 8
= 0

(5x - 7) / (x - 1)(x - 2) = A/(x-1) + B/(x-2) হলে-
5x - 7 = A(x-2) + B(x - 1)
x = 1 বসালে পাই, A = 2; x = 2 বসালে পাই, B = 3
∴ আংশিক ভগ্নাংশ = 2/(x-1) + 3/(x-2)

x⁴ + 4
= (x²)² + 2²
= (x² + 2)² - 2.x².2
= (x² + 2)² - (2x)²
= (x² + 2x + 2)(x² - 2x +2)

প্রশ্ন: 8x² + 2x - 15 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
8x² + 2x - 15
= 8x² + 12x - 10x - 15
= 4x(2x + 3) - 5(2x + 3)
= (4x - 5)(2x + 3)

x+3    |  x⁴ + 2x³ + 3x² + 4x + 5  |   x³ - x² + 6x - 14
              x4 + 3x^{3
            (-) ___________}
                     - x³ + 3x² 
                     - x³  - 3x^{2
               (+)_____________}
                               6x² + 4x
                               6x² + 18x
                           ^{(-)________________}
                                      - 14x + 5
                                      - 14x - 42
                                   ^{(+)____________
                                                            47
∴ ভাগশেষ 47}

প্রশ্ন: 1 - x² + 2xy - y² এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
1 - x² + 2xy - y²
= 1 - (x² - 2xy + y²)
= 1 - (x - y)²
= (1 + x - y)(1 - x + y)

প্রশ্ন: x³ - 27 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
x³ - 27
= (x³) - (3³)
= (x - 3)(x² + 3x + 3²)
= (x - 3)(x² + 3x + 9)

প্রশ্ন: x² - 5x + 6 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - 5x + 6
= x² - 3x - 2x + 6
= x(x - 3) - 2(x - 3)
= (x - 3)(x - 2)

প্রশ্ন: x⁴ - 64 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x⁴ - 64
= (x²)² - (8)²
= (x² + 8) (x² - 8)
= (x² + 8) {(x)² - (2√2)²}
= (x² + 8) (x + 2√2) (x - 2√2)

4y² - a² + 6a - 9
= 4y² - (a² - 6a + 9)
= 4y² - (a² - 2.a.3 + 3²)
= (2y)² - (a - 3)²
= (2y + a - 3)(2y - a + 3)

মনে করি,
f(x) = x⁴ - 5x³ + 7x² - a

যেহেতু, (x-2) একটি উৎপাদক, তাই,
f(2) = 0
⇒ 2⁴ - 5(2)³ + 7(2)² - a = 0
⇒ 16 - 40 + 28 - a = 0
∴ a = 4

x²-y²+2y-1
= x²-(y²-2y+1)
= (x)²-(y-1)²
= (x+y-1)(x-y+1)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3s³ + 2s² - 21s - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(s) = 3s³ + 2s² - 21s - 20
∴ ‍f(- 1) = 3.(- 1)³ + 2.(- 1)² - 21.(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 23 - 23
= 0

∴ ‍(s + 1), f(s) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: x² + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে P এর মান কত হবে?

সমাধান: 
x² + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে f(5) = 0 হবে। 
∴ x² + 7x + P = 0
বা, (5)² + 7.5 + P = 0
বা, 25 + 35 + P = 0
বা, 60 + P = 0
∴ P = - 60

∴ P এর মান = - 60  । 

প্রশ্ন: (x² + 4x + b) রাশিটি (x + 3) দ্বারা বিভাজ্য হলে b এর মান কত?

সমাধান:
x + 3 = 0
⇒ x = - 3
x² + 4x + b = 0
⇒(- 3)² + 4(- 3) + b = 0
⇒ 9 - 12 + b = 0
⇒ b = 3

প্রশ্ন: x² + 10x - 144 এর একটি উৎপাদক x - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² + 10x - 144 
= x² + 18x - 8x - 144
= x(x + 18) - 8(x + 18)
= (x + 18)(x - 8)

সুতরাং, অপর উৎপাদকটি হলো (x + 18)।

প্রশ্ন: x⁴ - 5x³ + 7x² - p  বহুপদীর একটি উৎপাদক (x - 2) হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x⁴ - 5x³ + 7x² - p

যেহেতু (x - 2), f(x) একটি উৎপাদক।
∴ x - 2 = 0
⇒ x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন f(x) = x⁴ - 5x³ + 7x² - p
∴ f(2) = 2⁴ - 5.2³ + 7.2² - p
= 4 - p

শর্তমতে,
f(2) = 0
⇒ 4 - p = 0
∴ p = 4

3x² + x - 10
= 3x² + 6x - 5x - 10
= 3x(x + 2) - 5(x + 2)
=(x + 2)(3x - 5)

x/a + a = x/b + b
⇒ x/a - x/b = b - a
⇒ x(1/a - 1/b) = b - a
⇒ x = (b - a) / (1/a - 1/b)
⇒ x = (b - a) / {(b - a)/ab}
⇒ x = (b - a).ab / (b - a)
∴ x = ab

a = 3 হলে, a³ - 4a² + 3a = 0 হবে।
∴ a = 3

প্রশ্ন: a³ - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?

সমাধান: 
a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a -20
= a²(a + 1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 20)
= (a + 1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a + 1) {a (a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a + 1) (a - 5) (a + 4)

(a - m)y² - (n - a)xy + (m -n)x²
ধরি, a - m = p; m - n = q
∴ -( n - a) = p + q
∴ প্রদত্ত রাশি, py² + (p + q)xy + qx²
= (x + y)(py + qx)
= (x + y)( ay - my + mx- nx) [ p, q এর মান বসিয়ে]

x⁶ - 1
= (x³)² - 1
= (x³ + 1)(x³ - 1)
= (x + 1)(x² - x + 1)(x + 1)(x² + x + 1)

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: (x² - 5x + 6) এবং (x² - 7x + 12) এর সাধারণ উৎপাদক কত?

সমাধান:
১ম ক্ষেত্র,
(x² - 5x + 6)
= x² - 3x - 2x + 6
= x(x - 3) - 2(x - 3)
= (x - 3)(x - 2)

২য় ক্ষেত্র,
(x² - 7x + 12)
= x² - 3x - 4x + 12
= x(x - 3) - 4(x - 3)
= (x - 3)(x - 4)

সাধারণ উৎপাদক = (x - 3)

x² - y² - 2xz + z²
= x² - 2xz + z² - y²
= (x - z)² - y²
= (x + y - z)(x - y - z)

x = 3 হলে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়
∴ সমাধান x = 3

প্রশ্ন: - 4a² + 23a + 6 এর একটি উৎপাদক (6 - a) হলে অপরটি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = - 4a² + 23a + 6
= - 4a² + 24a - a + 6
= - 4a(a - 6) - 1(a - 6)
= (- 4a - 1)(a - 6)
= (4a + 1) × {- (a - 6)}
= (4a + 1)(6 - a)

∴ অপর উৎপাদকটি হলো 4a + 1

প্রশ্ন: 3p³ + 2p² - 21p - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে:

সমাধান: 
ধরি,
f(p) = 3p³ + 2p² - 21p - 20
∴ f(- 1) = 3(- 1)³ + 2(- 1)² - 21(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0
যেহেতু f(- 1) = 0 হয়,

সুতরাং,  p - (- 1) বা p + 1 হচ্ছে প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

ধরি, f(x) = 2x⁴ - 3x³ - 3x - 2
∴ f(2) = 2(2)⁴ - 3(2)³ - 3(2) - 2 = 0
∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে (x-2) হলো, f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: x⁴ - 2x + 1 কে x - 3 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে, 
যদি কোনো বহুপদী p(x) কে (x - a) দিয়ে ভাগ করা হয়, তাহলে ভাগশেষ = p(a) 
এখানে (x - 3) দিয়ে ভাগ করা হচ্ছে তাই, a = 3 

এখানে,
p(x) = x⁴ - 2x + 1
⇒ p(3) = 3⁴ - 2 × 3 + 1  ; [ভাগশেষ = p(3)] 
⇒ p(3) = 81 - 6 + 1
∴ p(3) = 76

সুতরাং, ভাগশেষ 76