চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ১৭ / ১৮ · ১,৬০১–১,৭০০ / ১,৭৫৪

১,৬০১.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 3 : 4 এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল 384 বর্গ সে.মি. হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

ক
12 সে.মি. ও 24 সে.মি.
খ
16 সে.মি. ও 30 সে.মি.
গ
24 সে.মি. ও 32 সে.মি.
ঘ
15 সে.মি. ও 20 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 3 : 4 এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল 384 বর্গ সে.মি. হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 3a এবং 4a

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 3a × 4a = 384
⇒ 12a²/2 = 384
⇒ 6a² = 384
⇒ a² = 64
∴ a = 8

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে = (3 × 8) = 24 সে.মি. এবং (4 × 8) = 32 সে.মি.

১,৬০২.

সামান্তরিকের ভূমি 36 মি এবং উচ্চতা 4 মি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
122 বর্গমিটার
খ
288 বর্গমিটার
গ
72 বর্গমিটার
ঘ
144 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ভূমি 36 মি এবং উচ্চতা 4 মি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
= 36 × 4
= 144 বর্গমিটার

১,৬০৩.

ABCD একটি আয়তক্ষেত্র। ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল 25 বর্গমিটার হলে, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
20 বর্গমিটার
খ
25 বর্গমিটার
গ
40 বর্গমিটার
ঘ
50 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD একটি আয়তক্ষেত্র। ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল 25 বর্গমিটার হলে, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ BCD এর ক্ষেত্রফল = 25 বর্গমিটার

আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল + ত্রিভুজ BCD এর ক্ষেত্রফল
= 25 + 25
= 50 বর্গমিটার

১,৬০৪.

কোনো ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 18 মিটার, 24 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 210 বর্গমিটার হলে, সমান্তরাল বাহু দুইটির মধ্যে দূরত্ব কত?

ক
6 মিটার
খ
10 মিটার
গ
12 মিটার
ঘ
16 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 18 মিটার, 24 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 210 বর্গমিটার হলে, সমান্তরাল বাহু দুইটির মধ্যে দূরত্ব কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (a + b) × h
⇒ 210 = (1/2) × (18 + 24) × h
⇒ 210 = (1/2) × 42 × h
⇒ 210 × 2 = 42 × h
⇒ h = (210 × 2)/42
∴ h = 10 মিটার

১,৬০৫.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ২০% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

ক
৪% বৃদ্ধি
খ
৬% হ্রাস
গ
৫% বৃদ্ধি
ঘ
৮% হ্রাস

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ২০% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
প্রস্থ = ১০০ একক
অতএব, ক্ষেত্রফল = (১০০ × ১০০) বর্গ একক = ১০০০০ বর্গ একক

আবার,
৩০% বৃদ্ধিতে নতুন দৈর্ঘ্য = ১০০ + (১০০ এর ৩০%)
= ১০০ + ৩০ = ১৩০ একক
২০% হ্রাসে নতুন প্রস্থ = ১০০ - (১০০ এর ২০%)
= ১০০ - ২০ = ৮০ একক

নতুন ক্ষেত্রফল = (১৩০ × ৮০) বর্গ একক = ১০৪০০ বর্গ একক

ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন = (১০৪০০ - ১০০০০) বর্গ একক = ৪০০ বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফলের শতকরা পরিবর্তন = (৪০০ ÷ ১০০০০) × ১০০%
= ৪% বৃদ্ধি

১,৬০৬.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ m হয়, তবে উহার কর্ণের দৈর্ঘ্য কত ?

ক
2√5m
খ
√3m
গ
√5m
ঘ
5√5m

ব্যাখ্যা

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ m
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 2m

আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{m² + (2m)²}
= √{m² + 4m²}
= √(5m²)
=√5m

১,৬০৭.

একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 200 বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ 40 সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

ক
8 সে.মি.
খ
5 সে.মি.
গ
10 সে.মি.
ঘ
7 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 200 বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ 40 সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
সামান্তরিকক্ষেত্রের একটি কর্ণ d = 40 সে. মি.
এবং এর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = h সে.মি.
∴ সামান্তরিকক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = dh বর্গ সে.মি

প্রশ্নমতে,
dh = 200
⇒ h = 200/40
∴ h = 5
অতএব, নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.

১,৬০৮.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৫ এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল ৪৯০ বর্গসে.মি. হলে, বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
৩৫ সে.মি.
খ
২৫ সে.মি.
গ
৪৫ সে.মি.
ঘ
২৪ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৫ এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল ৪৯০ বর্গসে.মি. হলে, বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ক এবং ৫ক

প্রশ্নমতে,
(১/২) × ৪ক × ৫ক = ৪৯০
⇒ ১০ক২ = ৪৯০
⇒ ক২ = ৪৯০/১০
⇒ ক২ = ৪৯
∴ ক = ৭

তাহলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে,
৪ × ৭ = ২৮ সে.মি. এবং ৫ × ৭ = ৩৫ সে.মি.

∴ বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য ৩৫ সে.মি.।

১,৬০৯.

একটি রম্বসের কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 16 সে.মি. & 12 সে.মি. হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 112 cm²
খ
খ) 69 cm²
গ
গ) 96 cm²
ঘ
ঘ) 86 cm²

ব্যাখ্যা

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2)× রম্বসের কর্ণ দুইটির গুনফল = (1/2)×16×12 = 96 cm².

১,৬১০.

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭৮ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৬ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?

ক
১২.৫ মিটার
খ
১৭ মিটার
গ
১৪.৫ মিটার
ঘ
১৩ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭৮ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৬ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৭৮ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৬ মিটার
সামান্তরিকের ভূমি =?

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
⇒ ৭৮ = ভূমি × ৬
⇒ ভূমি = ৭৮/৬
∴ ভূমি = ১৩ মিটার

∴ সামান্তরিকের ভূমি = ১৩ মিটার।

১,৬১১.

ABCD চতুর্ভুজে AB||CD, AC = BD এবং কোণ A = 90° হলে, সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

ক
ক) সামান্তরিক
খ
খ) রম্বস
গ
গ) ট্রাপিজিয়াম
ঘ
ঘ) আয়তক্ষেত্র

ব্যাখ্যা

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং প্রতিটা কোণ এক সমকোণ, তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
এখানে AB||CD, AC = BD এবং কোণ A = 90°
অর্থাৎ, ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।

১,৬১২.

আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ৮ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
৩২ মিটার
খ
৩৬ মিটার
গ
৩৮ মিটার
ঘ
৪০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ৮ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = (x + ৮) মিটার

শর্তমতে,
২(x + ৮ + x) = ১৩৬
বা, ২x + ৮ = ৬৮
বা, ২x = ৬৮ - ৮
বা, ২x = ৬০
বা, x = ৬০/২
∴ x = ৩০
অতএব, প্রস্থ = ৩০ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = (৩০ + ৮) মিটার
= ৩৮ মিটার।

∴ ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৩৮ মিটার।

১,৬১৩.

একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?

ক
৪০ মিটার
খ
২০ মিটার
গ
৮০ মিটার
ঘ
৬০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২৫ + ১৫) মিটার
= ৮০ মিটার

১,৬১৪.

একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গসেমি। এর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ সেমি ও ৫ সেমি। সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
ক) ৬ সেমি
খ
খ) ৮ সেমি
গ
গ) ১০ সেমি
ঘ
ঘ) ১২ সেমি

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল/ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল
= ২ × ৪৮/(৭+৫)
= ৮ সেমি

১,৬১৫.

১৫ মিটার দৈর্ঘ্য এবং ৮ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তাকার মসজিদের মেঝে ৪ মিটার লম্বা এবং ১.৫ মিটার চওড়া কতটি মাদুর দিয়ে ঢাকা যাবে?

ক
ক) ১৫ টি
খ
খ) ২০ টি
গ
গ) ২৫ টি
ঘ
ঘ) ৩০ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৫ মিটার দৈর্ঘ্য এবং ৮ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তাকার মসজিদের মেঝে ৪ মিটার লম্বা এবং ১.৫ মিটার চওড়া কতটি মাদুর দিয়ে ঢাকা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মসজিদের দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার
মসজিদের প্রস্থ = ৮ মিটার
∴ মসজিদের ক্ষেত্রফল = (১৫ × ৮) = ১২০ বর্গমিটার

আবার,
মাদুরের দৈর্ঘ্য = ৪ মিটার
মাদুরের প্রস্থ = ১.৫ মিটার
∴ মাদুরের ক্ষেত্রফল = (৪ × ১.৫) = ৬ বর্গমিটার

∴ মাদুরের সংখ্যা = (১২০/৬) = ২০ টি

১,৬১৬.

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -

ক
সামান্তরিক
খ
বর্গ
গ
আয়তক্ষেত্র
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -

সমাধান:
সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
বর্গ: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমানএবং কোণগুলো সমকোণ তাকে বর্গ বলে।
আয়তক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

১,৬১৭.

একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১০ সেমি এবং ৮ সেমি হলে এর পরিসীমা কত?

ক
২৪ সেমি
খ
৩০ সেমি
গ
৩৬ সেমি
ঘ
৪২ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১০ সেমি এবং ৮ সেমি হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান হয়।

দেওয়া আছে,
একটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০ সেমি
অপর সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮ সেমি

সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ × (সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি)
= ২ × (১০ + ৮) সেমি
= ২ × ১৮ সেমি
= ৩৬ সেমি

∴ সামান্তরিকটির পরিসীমা ৩৬ সেমি।

১,৬১৮.

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত সে.মি?

ক
৯০০ সে.মি.
খ
৮০০ সে.মি.
গ
৭০০ সে.মি.
ঘ
৬৮০ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত সে.মি?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৪ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
⇒ সামান্তরিকের ভূমি = ক্ষেত্রফল/উচ্চতা
= ৩৬/৪
= ৯ মিটার
= (৯ × ১০০) সে.মি.
= ৯০০ সে.মি.

১,৬১৯.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে. মি. ও ৯ সে. মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
ক) ১৮ সে. মি.
খ
খ) ১২ সে. মি.
গ
গ) ৩৬ সে. মি.
ঘ
ঘ) ২৪ সে. মি.

ব্যাখ্যা

রম্বসের ক্ষেত্রফল= ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ৮ × ৯ = ৩৬বর্গ সে.মি.
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ ক^২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ ক = ৬ সে.মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ক = ৪ × ৬ = ২৪ সে.মি.

১,৬২০.

যদি কোন বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য p হয়, তাহলে বর্গের পরিসীমা কত?

ক
√2p
খ
2p
গ
2√2p
ঘ
4√2p

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি কোন বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য p হয়, তাহলে বর্গের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 একক
বর্গের পরিসীমা হবে 4a একক

এখানে,
a√2 = p
∴ a = p/√2

∴ বর্গের পরিসীমা 4a = 4 × (p/√2) = (√2 × √2 × √2 × √2) × (p/√2)
= 2√2p

১,৬২১.

একটি সামান্তরিকের বিপরীত দুটি কোণের সমষ্টি ৬০° হলে অপর একটি কোণের মান কত?

ক
১২০°
খ
১৬৫°
গ
১৫০°
ঘ
১৪০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের বিপরীত দুটি কোণের সমষ্টি ৬০° হলে অপর একটি কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিক বিপরীত ২টি কোণের সমষ্টি = ৬০°

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ৪ কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

তাহলে,
যদি বিপরীত দুটি কোণের সমষ্টি ৬০° হয়,
প্রতিটি কোণ = ৬০°÷ ২ = ৩০°

অপর বিপরীত দুটি কোণও সমান হবে।
এবং তাদের সমষ্টি = ৩৬০° - ৬০° = ৩০০°
অতএব, অপর প্রতিটি কোণ = ৩০০°÷ ২ = ১৫০°
∴ অপর একটি কোণ = ১৫০°

১,৬২২.

রম্বসের দুইটি কর্ণ একটি অন্যটির দ্বিগুণ। রম্বসটির ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গমিটার হলে কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

ক
ক) ১০ মিটার
খ
খ) ১৫ মিটার
গ
গ) ৫ মিটার
ঘ
ঘ) ৩০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রম্বসের দুইটি কর্ণ একটি অন্যটির দ্বিগুণ। রম্বসটির ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গমিটার হলে কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:

ধরি,
রম্বসের একটি কর্ণ d মিটার
∴ অপর কর্ণটি ২d মিটার

প্রশ্নমতে,
(১/২) × ২d × d = ২৫
বা, d^২ = ২৫
বা, d = ৫

রম্বসের একটি কর্ণ ৫ মিটার
∴ অপর কর্ণটি ১০ মিটার

কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি ১০ + ৫ মিটার = ১৫ মিটার

১,৬২৩.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
6 বর্গ একক
খ
18 বর্গ একক
গ
36 বর্গ একক
ঘ
48 বর্গ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2a
প্রশ্নমতে,
√2a = 6√2
⇒ a = 6

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
= 6²
= 36 বর্গ একক

১,৬২৪.

আয়তক্ষেত্রের কয়টি কোণ সমকোণ?

ক
ক) ২
খ
খ) ৩
গ
গ) ৪
ঘ
ঘ) ১

ব্যাখ্যা

আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান এবং সবগুলো কোণ সমকোণ। অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রের চারটি কোণই সমকোণ।

১,৬২৫.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ৩০% হ্রাস করলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

ক
৯% হ্রাস
খ
৯% বৃদ্ধি
গ
৬% হ্রাস
ঘ
কোন পরিবর্তন হবে না

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ৩০% হ্রাস করলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
এবং প্রস্থ = ১০০ একক
∴ ক্ষেত্রফল = ১০০ × ১০০ = ১০০০০ বর্গ একক

আবার,
৩০% বৃদ্ধিতে দৈর্ঘ্য = ১৩০ একক
এবং ৩০% হ্রাসে প্রস্থ = ৭০ একক
∴ ক্ষেত্রফল = (১৩০ × ৭০) বর্গ একক
= ৯১০০ বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফল হ্রাস = (১০০০০ - ৯১০০) বর্গ একক = ৯০০ বর্গ একক
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার = {(৯০০ × ১০০)/১০০০০}% = ৯%

১,৬২৬.

একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার ৩/৪ অংশ এবং ক্ষেত্রফল ৩৬৩ বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটির ভূমি কত?

ক
ক) 18.5 মিটার
খ
খ) 17.5 মিটার
গ
গ) 16.5 মিটার
ঘ
ঘ) 15.5 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার ৩/৪ অংশ এবং ক্ষেত্রফল ৩৬৩ বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটির ভূমি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সামান্তরিকের উচ্চতা = x মিটার
সামান্তরিকের ভূমি = 3x/4 মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
প্রশ্নমতে,
(3x/4)× x = 363
বা,3x² = 363 × 4
বা, x² = (363 × 4)/3
বা, x² = 484
∴ x = 22

সামান্তরিকের ভূমি = (3 × 22)/4 = 16.5 মিটার

১,৬২৭.

ABCD রম্বসে ∠DBC = 30° হলে x = ?

ক
ক) 30°
খ
খ) 45°
গ
গ) 60°
ঘ
ঘ) 75°

ব্যাখ্যা

∠DBC = 30°
∠BOC = 90° ∴ ∠BCA = 60°
∴ ∠BAC = ∠ACD = ∠BCA = 60°

১,৬২৮.

একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে. মি. ও ১০ সে. মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০ ডিগ্রি হলে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নিচের কোনটি হবে?

ক
ক) ৩০ বর্গ সে. মি.
খ
খ) ৬০ বর্গ সে. মি.
গ
গ) ১২০ বর্গ সে. মি.
ঘ
ঘ) ৮০ বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = ১২ সে. মি. ও b = ১০ সে. মি
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = ৩০

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = a × b × sinθ
= ১২ × ১০ × sin৩০°
=১২ × ১০ × (১/২)
= ৬০

১,৬২৯.

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফল-

ক
ক) 360°
খ
খ) 270°
গ
গ) 90°
ঘ
ঘ) 180°

ব্যাখ্যা

বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্যঃ
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

১,৬৩০.

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 338 বর্গ সে.মি. যদি উচ্চতা ভূমির দ্বিগুণ হয়, তবে সামান্তরিকের উচ্চতা কত?

ক
ক) 13 সে.মি.
খ
খ) 15 সে.মি.
গ
গ) 26 সে.মি.
ঘ
ঘ) 30 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 338 বর্গ সে.মি. যদি উচ্চতা ভূমির দ্বিগুণ হয়, তবে সামান্তরিকের উচ্চতা কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ভূমি x সে.মি.
সামান্তরিকের উচ্চতা 2x সে.মি.

প্রশ্নমতে
2x × x = 338
2x²= 338
x² = 169
x² = 13²
x = 13

সামান্তরিকের উচ্চতা = 2 × 13= 26 সে.মি.

১,৬৩১.

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যেখানে, D = 105°, A = 2B তাহলে C = ?

ক
ক) 30°
খ
খ) 45°
গ
গ) 60°
ঘ
ঘ) 75°

ব্যাখ্যা

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হলে,
D + B = 180°
B = 180° - 105°
= 75°
A = 2B
= 2 × 75°
= 150°
∴ C = 180° - 150°
= 30°

১,৬৩২.

নিচের কোনটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না?

ক
ক) বর্গ
খ
খ) আয়ত
গ
গ) রম্বস
ঘ
ঘ) ট্রাপিজিয়াম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না?

সমাধান:
⇒ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যে কোন দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
⇒ বর্গ, আয়ত, ট্রাপিজিয়াম - এই তিন চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি সর্বদা দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
⇒ কিন্তু রম্বসের দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি কখনো দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয় না।

সুতরাং, রম্বস বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না।

১,৬৩৩.

সামান্তরিকের ভূমি a মিটার এবং উচ্চতা h মিটার হলে, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ah/2 ব.মি.
খ
খ) ah ব.মি.
গ
গ) a²h ব.মি.
ঘ
ঘ) a²h² ব.মি.

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = a মিটার
উচ্চতা = h মিটার
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা = ah ব.মি.

১,৬৩৪.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৯ মিটার
খ
৮ মিটার
গ
৭ মিটার
ঘ
৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৩ক একক।
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৪ক একক।

বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার
তাহলে, এর পরিসীমা = ৪ × ৬ = ২৪ মিটার

তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = ২৪ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২৪/৩ = ৮ মিটার।

১,৬৩৫.

একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৪ সেন্টিমিটার এবং ২০ সেন্টিমিটার। এই রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

ক
১২০ বর্গ সেন্টিমিটার
খ
১৪০ বর্গ সেন্টিমিটার
গ
১৮০ বর্গ সেন্টিমিটার
ঘ
২৮০ বর্গ সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৪ সেন্টিমিটার এবং ২০ সেন্টিমিটার। এই রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের একটি কর্ণ = ১৪ সেন্টিমিটার
এবং অপর কর্ণটি = ২০ সেন্টিমিটার

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = {(১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল} বর্গ একক
= {(১/২) × ১৪ × ২০} বর্গ সেন্টিমিটার
= ১৪০ বর্গ সেন্টিমিটার।

১,৬৩৬.

চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হবে?

ক
ক) ১০০°
খ
খ) ১১৫°
গ
গ) ১৩৫°
ঘ
ঘ) ১৪০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হবে?

সমাধান:
চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩

ধরি,
চতুর্ভুজের চারটি কোণ x°, ২x°, ২x°, ৩x°

আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০°

শর্তমতে,
x° + ২x° + ২x° + ৩x° = ৩৬০°
বা, ৮x° = ৩৬০°
বা, x° = ৪৫°

∴ বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = ৩ × ৪৫° = ১৩৫°

১,৬৩৭.

একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

ক
৩০ মিটার
খ
৩৬ মিটার
গ
৪০ মিটার
ঘ
৪৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১৮ মিটার ও ৯ মিটার

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১৮ × ৯
= ৮১ বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৮১ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৮১ মিটার
= ৯ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪ × ৯ মিটার
= ৩৬ মিটার

১,৬৩৮.

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ২৫ সে.মি. হলে, বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৬২৫ বর্গ সে.মি.
খ
৩১৮.২৫ বর্গ সে.মি.
গ
৩১২.৫ বর্গ সে.মি.
ঘ
৪১৫.৫ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ২৫ সে.মি. হলে, বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
a√2 = 25
বা, a = 25/√2

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (25/√2)² = 625/2 = 312.5 বর্গ সে.মি.

১,৬৩৯.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দু’টি ৯ সেঃমিঃ ও ৭ সেঃমিঃ এবং ক্ষেত্রফল ৫৬ বর্গ সেঃমিঃ হলে উচ্চতা কত সেঃমিঃ?

ক
ক) ১৪
খ
খ) ১০
গ
গ) ১২
ঘ
ঘ) ৭

ব্যাখ্যা

ক্ষেত্রফল = ১/২ × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × উচ্চতা
বা, ৫৬ = ১/২ × (৯+৭) × উচ্চতা
বা, উচ্চতা = ৫৬ × ২/১৬ = ৭।

১,৬৪০.

বর্গক্ষেত্রের একবাহু 4 মিটার হলে, কর্ণ কত মিটার

ক
ক) 4√2
খ
খ) 16
গ
গ) 32
ঘ
ঘ) 32√2

ব্যাখ্যা

বর্গক্ষেত্রের একবাহু a = 4 মিটার
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2a = 4√2

১,৬৪১.

নিচের কোন তথ্যের ভিত্তিতে চতুর্ভুজ অঙ্কন সম্ভব নয় ?

ক
চারটি বাহু ও একটি কোণ।
খ
চারটি বাহু ও একটি কর্ণ।
গ
চতুর্ভুজের চারটি বাহু ।
ঘ
তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন তথ্যের ভিত্তিতে চতুর্ভুজ অঙ্কন সম্ভব নয় ?

সমাধান:
আমরা দেখেছি যে,
ত্রিভুজের তিনটি উপাত্ত দেওয়া থাকলে অনেক ক্ষেত্রেই ত্রিভুজটি নির্দিষ্টভাবে আঁকা সম্ভব।
কিন্তু চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না।
নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।
নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ।
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ।
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ।
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ।
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

১,৬৪২.

রম্বসের ক্ষেত্রে কোনটি ভুল?

ক
প্রত্যেকটি বাহুই সমান
খ
কর্ণদ্বয় অসমান
গ
কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে
ঘ
বিপরীত কোণগুলো পরস্পর অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রম্বসের ক্ষেত্রে কোনটি ভুল?

সমাধান:
• রম্বসের বৈশিষ্ট্য:
- রম্বসের প্রত্যেকটি বাহুই সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় অসমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০°।

১,৬৪৩.

সামান্তরিকের সর্বনিম্ন কয়টি কোণ সমকোণ হলে, তা একটি আয়ত হয়?

ক
ক) ২টি
খ
খ) ৪টি
গ
গ) ১টি
ঘ
ঘ) ৩টি

ব্যাখ্যা

- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।
- সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, তা আয়ত।

১,৬৪৪.

একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গমিটার যেখানে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটি অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব ৬ মিটার। তাহলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৯ মিটার
খ
খ) ১০ মিটার
গ
গ) ১১ মিটার
ঘ
ঘ) ১২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গমিটার যেখানে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটি অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব ৬ মিটার। তাহলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
এখেন,
h = ৬ মিটার (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব)

ধরি,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম বাহু = a
এবং বৃহত্তম বাহু a + ৪

প্রশ্নমতে,
(১/২) × h × (a + a + ৪) = ৬০
⇒ (১/২) × ৬ (২a + ৪) = ৬০
⇒ ৩(২a + ৪) = ৬০
⇒ ২a + ৪ = ২০
⇒ ২a = ১৬
⇒ a = ১৬/২
∴ a = ৮

∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮ + ৪ = ১২ মিটার

১,৬৪৫.

একটি রেখাংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ রেখাংশের এক- চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের কতগুণ?

ক
৮ গুণ
খ
১/১৬ গুণ
গ
১৬ গুণ
ঘ
১/৪ গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রেখাংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ রেখাংশের এক- চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের কতগুণ?

সমাধান:
মনে করি, রেখাংশের দৈর্ঘ্য = ক একক
∴ ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গ একক

আবার,
∴ এক- চতুর্থাংশের দৈর্ঘ্য = ক/৪
∴ ক্ষেত্রফল = (ক/৪) = ক^২/১৬

∴ বড় বর্গক্ষেত্র ছোটটির = ক^২/(ক^২/১৬) = ১৬ গুণ

১,৬৪৬.

5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত ?

ক
ক) 2√5 সে.মি.
খ
খ) √10 সে.মি.
গ
গ) 5√2 সে.মি.
ঘ
ঘ) 3√5 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত ?

সমাধান:
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a = 5
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a = √2 × 5 = 5√2সে.মি.

১,৬৪৭.

একটি সামন্তরিকের উচ্চতা ভূমির তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার। ক্ষেত্রটির উচ্চতা কত?

ক
২৪ মিটার
খ
৩০ মিটার
গ
৩৬ মিটার
ঘ
৩৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের উচ্চতা ভূমির তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার। ক্ষেত্রটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
সামন্তরিকের ভূমি = ক মিটার
সামন্তরিকের উচ্চতা = ৩ক মিটার

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ক × ৩ক) বর্গমিটার
= ৩ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
৩ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৪৩২/৩
⇒ ক^২ = ১৪৪
∴ ক = ১২

∴ উচ্চতা = (৩ × ১২) = ৩৬ মিটার

১,৬৪৮.

ট্রাপিজিয়ামের অন্তঃস্থ কোণ গুলোর সমষ্টি কত?

ক
180°
খ
270°
গ
360°
ঘ
540°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
যে কোন চতুর্ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি 360°।
ট্রাপিজিয়াম একটি চতুর্ভুজ। তাই এর অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি হবে 360°।

১,৬৪৯.

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তিনগুণ। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 40 সে.মি. এবং প্রস্থ বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 3/2 অংশ হলে, বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 15 সে. মি.
খ
খ) 20 সে. মি.
গ
গ) 25 সে. মি.
ঘ
ঘ) 35 সে. মি.

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে. মি.
বর্গের ক্ষেত্রফল = x × x সে. মি.
= x²

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 40 সে.মি
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 3x/2 সে.মি

প্রশ্নমতে,
(3x/2) × 40 = 3x²
60x = 3x²
x = 20

বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য =20 সে. মি.

১,৬৫০.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি. ও ১০ সে.মি। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
২৫ সে.মি.
খ
৩০ সে.মি.
গ
৩৬ সে.মি.
ঘ
৪০ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি. ও ১০ সে.মি। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি. ও ১০ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ২০ × ১০
= ১০০ বর্গ সে.মি.

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক^২
⇒ ক^২ = ১০০
⇒ ক = √১০০
∴ ক = ১০ সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × ক
= ৪ × ১০
= ৪০ সে.মি.

১,৬৫১.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গমিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
৯০ মিটার
খ
১৬০ মিটার
গ
১২০ মিটার
ঘ
১৮০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গমিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬০০ মিটার
= ৪০ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৪০ × ৪) মিটার
= ১৬০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১৬০ মিটার।

১,৬৫২.

28 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
28 সে.মি.
খ
44 সে.মি.
গ
56 সে.মি.
ঘ
112 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 28 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 28 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিসীমা (পরিধি) = 2πr
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য

প্রশ্নমতে,
2πr = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = 2πr/4
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = πr/2
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = {(22/7) × 28}/2
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = 88/2
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = 44 সে.মি.

১,৬৫৩.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৩ : ৪ এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গসে.মি. হলে, ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
৮ সে.মি.
খ
১২ সে.মি.
গ
১০ সে.মি.
ঘ
১৪ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৩ : ৪ এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গসে.মি. হলে, ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৩ক এবং ৪ক

প্রশ্নমতে,
(১/২) × ৩ক × ৪ক = ৯৬
⇒ ১২ক^২/২ = ৯৬
⇒ ৬ক^২ = ৯৬
⇒ ক^২ = ১৬
∴ ক = ৪

তাহলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে ৩ × ৪ = ১২ সে.মি. এবং ৪ × ৪ = ১৬ সে.মি.
∴ ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি.।

১,৬৫৪.

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি পেলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) ২১%
খ
খ) ৪১%
গ
গ) ৪৪%
ঘ
ঘ) ৫৬%

ব্যাখ্যা

বর্গক্ষেত্রের বাহু ক একক হলে, নতুন বাহু = ক + ক এর ২০% = ৬ক/৫ অতএব, ক্ষেত্রফল ৩৬ক^২/২৫
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ৩৬ক^২/২৫ - ক^২ = ১১ক^২/২৫
ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি = (১১ক^২/২৫)/ক^২ = ১১/২৫ = (১১ × ১০০/২৫)% = ৪৪%

১,৬৫৫.

যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

ক
20%
খ
25%
গ
21%
ঘ
16%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফ শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 100 একক
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (100)² বর্গএকক
= 10000 বর্গএকক

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করা হলে,
∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (100 + 100 এর 10%) একক
= (100 + 100 এর 10/100) একক
= (100 + 10) একক
= 110 একক

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (110)² = 12100 বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (12100 - 10000) বর্গ একক = 2100 বর্গ একক

এখন,
10000 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = 2100 বর্গ একক
∴ 1 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = 2100/10000 বর্গ একক
∴ 100 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = {(2100 × 100)/10000} বর্গ একক
= 21 বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = 21%

১,৬৫৬.

একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ১৬ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

ক
৪৮ মিটার
খ
৬৪ মিটার
গ
৪২ মিটার
ঘ
৩২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ১৬ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ১৬
= ৬৪ বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬৪ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৬৪ = ৮ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪ × ৮ মিটার
= ৩২ মিটার

১,৬৫৭.

একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15মি. এবং প্রস্থ 10 মিটার হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
25√5 বর্গ মিটার
খ
50√5 বর্গ মিটার
গ
30√5 বর্গ মিটার
ঘ
45√5 বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
আয়ত ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a মিটার
আয়ত ক্ষেত্রের প্রস্থ b = 10 মিটার

প্রশ্নমতে,
√(a² + b²) = 15
a² + b² = 225
a² + 10² = 225
a² = 225 - 100
a² = 125
a = √125
a = √(25 × 5)
a = 5√5

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 10 × 5√5
= 50√5 বর্গ মিটার

১,৬৫৮.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ। এর প্রস্থ ১৮ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
৫৭৬ বর্গমিটার
খ
৫৯৬ বর্গমিটার
গ
৪৮৬ বর্গমিটার
ঘ
৪৯৬ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ। এর প্রস্থ ১৮ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, প্রস্থ = ১৮ মিটার
তাহলে, দৈর্ঘ্য = ১৮ × (৩/২) মিটার
= ২৭ মিটার

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = ২৭ × ১৮ বর্গমিটার
= ৪৮৬ বর্গমিটার

১,৬৫৯.

একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. ও ক্ষেত্রফল ৬৬ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক
১১ সে.মি.
খ
২২ সে.মি.
গ
১৫ সে.মি.
ঘ
৯ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. ও ক্ষেত্রফল ৬৬ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
⇒ ৬৬ = (১/২) × a × ১২
⇒ ৬a = ৬৬
∴ a = ১১

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১১ সে.মি.

১,৬৬০.

ABCD বর্গ অনুযায়ী (AC × AD)/(AB × DC) এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) √2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD বর্গ অনুযায়ী (AC × AD)/(AB × DC) এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক
∴ AB = AC = DC = BD = a একক

বর্গটির কর্ণের দৈর্ঘ্য a√2 একক
∴ AD = BC = a√2 একক

এখন,
(AC × AD)/(AB × DC)
= (a × a√2)/(a × a)
= √2

১,৬৬১.

চতুর্ভূজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণ সমদ্বিখন্ডিত করলে সেই চতুর্ভূজকে কী বলে?

ক
আয়তক্ষেত্র
খ
সামান্তরিক
গ
রম্বস
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভূজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণ সমদ্বিখন্ডিত করলে সেই চতুর্ভূজকে কী বলে?

সমাধান:
রম্বস: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমান, কিন্তু কোন কোণই সমকোন নয়, তাকে রম্বস বলে। রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

আয়তক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।

১,৬৬২.

D, E, F যথাক্রমে ABC সমবাহু ত্রিভুজের তিন বাহু BC, AC, AB এর মধ্যবিন্দু হলে BDEF অবশ্যই একটি -

ক
ক) আয়তক্ষেত্র
খ
খ) বর্গক্ষেত্র
গ
গ) ট্রপিজিয়াম
ঘ
ঘ) সামান্তরিক

ব্যাখ্যা

চিত্রে,
EF||BC এবং
EF = 1/2BC = BD
আবার,
DE||AB এবং
DE = 1/2AB = BF
∴ BDEF চতুর্ভুজে বিপরীত বাহুগুলো সমান এবং সমান্তরাল
∴ ইহা একটি সামান্তরিক।

১,৬৬৩.

ABCD চতুর্ভুজের AB।। CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজটি নিচের কোনটি?

ক
ক) রম্বস
খ
খ) ট্রাপিজিয়াম
গ
গ) আয়তক্ষেত্র
ঘ
ঘ) সামান্তরিক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD চতুর্ভুজের AB।। CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজটি নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজে AB || CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

১,৬৬৪.

একটি রম্বসের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?

ক
ক) বিপরীত বাহু সমান
খ
খ) বিপরীত বাহু সমান্তরাল
গ
গ) বিপরীত কোণ সমান
ঘ
ঘ) উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?

সমাধান:
রম্বস
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- রম্বসের বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°

১,৬৬৫.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসেমি হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

ক
12, 18
খ
8, 12
গ
6, 9
ঘ
10, 15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসেমি হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = 2 : 3
ধরি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 2a এবং 3a

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 2a × 3a = 75
⇒ 6a²/2 = 75
⇒ 3a²= 75
⇒ a² = 75/3
⇒ a²= 25
∴ a = 5

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য (2 × 5) = 10 সেমি এবং (3 × 5) = 15 সেমি।

১,৬৬৬.

রম্বসের কর্ণ দুটি ৭ সে.মি ও ৪ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ২৮ বর্গ সে.মি.
খ
খ) ১১ সে.মি.
গ
গ) ১৪ বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) ১৪ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রম্বসের কর্ণ দুটি ৭ সে.মি ও ৪ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ (৭ × ৪) বর্গ সে.মি.
= ২৮/২ বর্গ সে.মি.
= ১৪ বর্গ সে.মি.

১,৬৬৭.

একটি চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২৯০° হলে চতুর্থ কোণটি কত?

ক
৬০°
খ
৬২°
গ
৭০°
ঘ
৭৮°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২৯০° হলে চতুর্থ কোণটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ২৯০°

আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

∴ চতুর্থ কোণটি= (৩৬০ - ২৯০)°
= ৭০°

১,৬৬৮.

ABCD সামান্তরিকের ∠BCD = 130° হলে, ∠ABC = কত?

ক
ক) 40°
খ
খ) 50°
গ
গ) 90°
ঘ
ঘ) 120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের ∠BCD = 130° হলে, ∠ABC = কত?

সমাধান:

সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান এবং যেহেতু চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি 360°।
দেওয়া আছে,
ABCD সামান্তরিকের ∠BCD = 130°
∠BAD + ∠BCD = 130° + 130° = 260°
∠ABC + ∠ADC = (360° - 260°) = 100°
2∠ABC = 100° [যেহেতু ∠ABC = ∠ADC]
∴ ∠ABC = 50°

তাহলে, ∠ABC = 50°

১,৬৬৯.

সামান্তরিকের যেকোনো বাহু সংলগ্ন কোণ দুইটির সমষ্টি কত?

ক
এক সমকোণ
খ
দুই সমকোণ
গ
তিন সমকোণ
ঘ
চার সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামান্তরিকের যেকোনো বাহু সংলগ্ন কোণ দুইটির সমষ্টি কত?

- যে চতুর্ভূজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে সামান্তরিক বলে।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান। তেমনিভাবে, সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলোও পরস্পর সমান।
- সামান্তরিকের যেকোনো বাহু সংলগ্ন কোণ দুইটির সমষ্টি ১৮০°।
- সামান্তরিকের কোণগুলো সমকোণ হলে তখন এটি আয়তক্ষেত্র হয়ে যায়।
- সামান্তরিকের বাহুগুলো সমান হলে তখন এটি রম্বস আকার ধারণ করে।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।

১,৬৭০.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ সে.মি. ও ৩০ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ২৭০ বর্গসে.মি. হলে, বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
১২ সে.মি.
খ
১৪ সে.মি.
গ
১৫ সে.মি.
ঘ
১১ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ সে.মি. ও ৩০ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ২৭০ বর্গসে.মি. হলে, বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
২৭০ = (১/২) × (১৫ + ৩০) × উচ্চতা
⇒ ২৭০ = (১/২) × ৪৫ × উচ্চতা
⇒ ৪৫ × উচ্চতা = ৫৪০
∴ উচ্চতা = ১২ সে.মি.

১,৬৭১.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫% বাড়ানো হলে এবং প্রস্থ ১০% কমানো হলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

ক
১২.৫% বৃদ্ধি পায়
খ
১০.৫% বৃদ্ধি পায়
গ
২০% বৃদ্ধি পায়
ঘ
১৫.৫% বৃদ্ধি পায়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫% বাড়ানো হলে এবং প্রস্থ ১০% কমানো হলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = খ
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = কখ

দৈর্ঘ্য ২৫% বৃদ্ধিতে
নতুন দৈর্ঘ্য = ক + ক এর ২৫%
= ক + ক এর ২৫/১০০
= ক + ক/৪
= ৫ক/৪

প্রস্থ ১০% হ্রাসে
নতুন প্রস্থ = ক - ক এর ১০%
= ক - ক এর ১০/১০০
= ক - ক/১০
= ৯ক/১০

নতুন ক্ষেত্রফল = (৫ক/৪) × (৯ক/১০)
= ৪৫কখ/৪০
= ৯কখ/৮

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = ৯কখ/৮ - কখ
= (৯কখ- ৮কখ)/৮
= কখ/৮
∴ শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = {(কখ/৮)/ কখ} × ১০০%
= ১২.৫%

১,৬৭২.

একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ৮ সেন্টিমিটার ও ১০ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

ক
৩২ বর্গ সেন্টিমিটার
খ
৩৬ বর্গ সেন্টিমিটার
গ
৪০ বর্গ সেন্টিমিটার
ঘ
২৮ বর্গ সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ৮ সেন্টিমিটার ও ১০ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের একটি কর্ণ = ৮ সেন্টিমিটার
অপর কর্ণটি = ১০ সেন্টিমিটার

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ১০
= ৪০ বর্গ সেন্টিমিটার।

১,৬৭৩.

কতটি স্বতন্ত্র উপাত্ত জানা থাকলে নিদিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়?

ক
ক) 2 টি
খ
খ) 3 টি
গ
গ) 4 টি
ঘ
ঘ) 5 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কতটি স্বতন্ত্র উপাত্ত জানা থাকলে নিদিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

১,৬৭৪.

একটি চতুর্ভুজের কোণগুলোর অনুপাত 3:4:8:9 হলে বৃহত্তম কোণটি কত ডিগ্রি?

ক
ক) 45°
খ
খ) 135°
গ
গ) 120°
ঘ
ঘ) 145°

ব্যাখ্যা

মনেকরি, কোণগুলো 3x, 4x, 8x, 9x ডিগ্রি
∴ 3x + 4x + 8x + 9x = 360°
বা, 24x = 360°
∴ x = 15°
বৃহত্তম কোণ = 9x = 135°

১,৬৭৫.

ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

ক
রম্বস
খ
সামান্তরিক
গ
ট্রাপিজিয়াম
ঘ
আয়তক্ষেত্র

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

সমাধান :
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজে AB || CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

১,৬৭৬.

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১৬০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

ক
২০ মিটার
খ
৩০ মিটার
গ
৩৫ মিটার
ঘ
৪০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১৬০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ক মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৩ক/৫ মিটার

প্রশ্নমতে,
২(ক + ৩ক/৫) = ১৬০
বা, ২{(৫ক + ৩ক)/৫} = ১৬০
বা, ৮ক/৫ = ৮০
বা, ৮ক = ৫ × ৮০
বা, ক = (৫ × ৮০)/৮
∴ ক = ৫০

∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (৩ × ৫০)/৫ মিটার
= ৩০ মিটার

১,৬৭৭.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 400 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ কি.মি.?

ক
1000 বর্গ কি.মি.
খ
100 বর্গ কি.মি.
গ
0.01 বর্গ কি.মি.
ঘ
10000 বর্গ কি.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 400 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ কি.মি.?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ পরিসীমা = 4a

প্রশ্নমতে,
4a = 400
∴ a = 100

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
= (100)²
= 10000 বর্গমিটার
= 10000/(1000 × 1000) বর্গ কি.মি.
= 0.01 বর্গ কি.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 0.01 বর্গ কি.মি. ।

১,৬৭৮.

নিচের কোনটি সামান্তরিক নয়?

ক
বর্গক্ষেত্র
খ
আয়তক্ষেত্র
গ
ট্রাপিজিয়াম
ঘ
রম্বস

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সামান্তরিক নয়?

সমাধান:
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।

সামন্তরিকের সংজ্ঞা অনুসারে,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে সামন্তরিক বলে তাই ট্রাপিজিয়াম সামান্তরিক নয়।

১,৬৭৯.

‍একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গমিঃ। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন?

ক
ক) ৬.৯২ মিঃ
খ
খ) ৬ মিঃ
গ
গ) ৭ মিঃ
ঘ
ঘ) ৫.৯২ মিঃ

ব্যাখ্যা

ঘনকের সম্পূর্ন পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ৬a² এবং কর্নের দৈর্ঘ্য = (√৩)a
প্রশ্নানুসারে,
৬a² = ৯৬
a = ৪
কর্নের দৈর্ঘ্য = ((√৩) x ৪ = 6.92 মিঃ

১,৬৮০.

একটি সরলরেখার উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার ২০ শতাংশের উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

ক
২০ গুণ
খ
১০ গুণ
গ
২৫ গুণ
ঘ
৩০ গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার ২০ শতাংশের উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = ক
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = ক^২
সরলরেখাটির ২০ শতাংশ = ২০ক/১০০ = ক/৫
সরলরেখাটির ২০ শতাংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (ক/৫)^২
= ক^২/২৫

∴ একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের = ক^২ ÷ (ক^২/২৫) গুণ
= ক^২ × (২৫/ক^২)
= ২৫ গুণ

১,৬৮১.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ১.৫ গুণ। দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার হলে, বাগানটির পরিসীমা কত?

ক
১৪০ মিটার
খ
১৪৮ মিটার
গ
১৫৪ মিটার
ঘ
১৬০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ১.৫ গুণ। দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার হলে, বাগানটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
বাগানটির বিস্তার বা প্রস্থ = ক মিটার
∴ বাগানটির দৈর্ঘ্য = (ক × ১.৫) = ১.৫ক মিটার

প্রশ্নমতে,
১.৫ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮/১.৫
⇒ ক = (৪৮ × ১০)/১৫
∴ ক = ৩২

∴ বাগানটির বিস্তার বা প্রস্থ = ৩২ মিটার

∴ বাগানটির পরিসীমা = ২(৪৮ + ৩২) মিটার
= (২ × ৮০) মিটার
= ১৬০ মিটার

১,৬৮২.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৫০% বৃদ্ধি করে, প্রস্থ কত শতাংশ কমালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

ক
ক) ২০%
খ
খ) ৩৩.৩৩%
গ
গ) ৫০%
ঘ
ঘ) ৬৬.৬৭%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৫০% বৃদ্ধি করে, প্রস্থ কত শতাংশ কমালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান-
মনে করি,
দৈর্ঘ্য = ১০ মি. এবং প্রস্থ = ১০ মি.
ক্ষেত্রফল = ১০ × ১০ = ১০০ বর্গ মি.

নতুন দৈর্ঘ্য = ১০ এর ১৫০% = ১৫ মি.
ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকলে, প্রস্থ হবে = ১০০/১৫ মি.

প্রস্থ কমবে = ১০ - (১০০/১৫) মি.
= (১৫০ - ১০০)/১৫ মি
= ৫০/১৫ মি.

প্রস্থ শতকরা কমবে = {৫০/(১৫ × ১০)} × ১০০ = ৩৩.৩৩%

১,৬৮৩.

চতুর্ভূজের চার কোণের যোগফল কত?

ক
ক) ৩৬০°
খ
খ) ১৮০°
গ
গ) ৯০°
ঘ
ঘ) ৪৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভূজের চার কোণের যোগফল কত?

সমাধান:
চতুর্ভূজের চার কোণের যোগফল
= চার সমকোণ
= ৪ × ৯০°
= ৩৬০°

১,৬৮৪.

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১২০ মিটার। প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ২/৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
৪৪ মিটার
খ
৩৬ মিটার
গ
৩০ মিটার
ঘ
৪০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১২০ মিটার। প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ২/৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
তাহলে, প্রস্থ = ৩ক × (২/৩) = ২ক মিটার

প্রশ্নমতে,
২(৩ক + ২ক) = ১২০
⇒ ১০ক = ১২০
∴ ক = ১২০ / ১০ = ১২ মিটার

অতএব, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৩ × ১২ = ৩৬ মিটার

১,৬৮৫.

একটি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৭ সে.মি, ১টি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৩০ সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৬ সে.মি.
খ
৮ সে.মি.
গ
২৪ সে.মি.
ঘ
১২ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৭ সে.মি, ১টি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৩০ সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের প্রতিটি বাহু = ১৭ সে.মি.
একটি কর্ণ = ৩০ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ একে অপরকে সমকোণে দ্বিখণ্ডিত করে এবং প্রতিটি বাহু হলো ত্রিভুজের অতিভুজ।
∴ একটি কর্ণকে দ্বিখণ্ডিত করে দুটি অংশ = ৩০/২ = ১৫ সে.মি.

ধরি, অপর কর্ণের দ্বিখণ্ডিত অংশ = ক সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
বাহু^২ = (কর্ণের অর্ধেক)^২ + (অপর কর্ণের অর্ধেক)^২
⇒ ১৭^২ = ১৫^২ + ক^২
⇒ ২৮৯ = ২২৫ + ক^২
⇒ ক^২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ ক^২ = ৬৪ = ৮^২
∴ ক = ৮ সে.মি.

∴ অপর কর্ণের পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ২ × ক = ২ × ৮ = ১৬ সে.মি.

১,৬৮৬.

একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের চারপাশে ৪ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
৮৬৪ বর্গমিটার
খ
৯০০ বর্গমিটার
গ
৯৬৪ বর্গমিটার
ঘ
১০০০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের চারপাশে ৪ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৪০ মিটার
∴ শুধু মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬০ × ৪০ = ২৪০০ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তার চওড়া = ৪ মিটার (চারপাশে)
রাস্তা সহ দৈর্ঘ্য = ৬০ + ৪ + ৪ = ৬৮ মিটার
এবং প্রস্থ = ৪০ + ৪ + ৪ = ৪৮ মিটার
∴ বাইরের অংশের ক্ষেত্রফল = ৬৮ × ৪৮ = ৩২৬৪ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৩২৬৪ - ২৪০০) বর্গমিটার
= ৮৬৪ বর্গমিটার

সুতরাং, রাস্তার ক্ষেত্রফল ৮৬৪ বর্গমিটার।

১,৬৮৭.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪২ সে.মি. এবং এর পরিসীমা ১ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৮৬ বর্গ সে.মি.
খ
২৫৬ বর্গ সে.মি.
গ
২৮৯ বর্গ সে.মি.
ঘ
৩৩৬ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪২ সে.মি. এবং এর পরিসীমা ১ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক সেন্টিমিটার
আমরা জানি, ১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার

প্রশ্নমতে,
২(ক + ৪২) = ১০০
⇒ ক + ৪২ = ৫০
⇒ ক = ৫০ - ৪২
∴ ক = ৮

আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ৪২ × ৮ = ৩৩৬ বর্গ সে.মি.

১,৬৮৮.

একটি সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ ২১ সে.মি. এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৫৮ বর্গ সে.মি.
খ
১১৬ বর্গ সে.মি.
গ
১৬৮ বর্গ সে.মি.
ঘ
১৭৪ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ ২১ সে.মি. এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= ২১ × ৮
= ১৬৮ বর্গ সে.মি.

১,৬৮৯.

ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে E ও F. EBCF চতুর্ভুজটি একটি-

ক
আয়তক্ষেত্র
খ
বর্গক্ষেত্র
গ
রম্বস
ঘ
ট্রাপিজিয়াম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে E ও F. EBCF চতুর্ভুজটি একটি-

সমাধান:

ত্রিভুজের যে কোনাে দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযােজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
ΔABC একটি ত্রিভুজ। E ও F যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
BC ।। EF
EBCF চতুর্ভুজটি একটি ট্রাপিজিয়াম
ট্রাপিজিয়াম: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

১,৬৯০.

একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 18 বর্গসে.মি. এবং একটি কর্ণ 4 সে.মি. অপর কর্ণের পরিমাণ কত?

ক
12 সে.মি.
খ
6 সে.মি.
গ
9 সে.মি.
ঘ
8 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 18 বর্গসে.মি. এবং একটি কর্ণ 4 সে.মি. অপর কর্ণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
⇒ 18 = (1/2) × 4 × অপর কর্ণ
⇒ 2 × অপর কর্ণ = 18
⇒ অপর কর্ণ = 18/2
∴ অপর কর্ণের পরিমাণ = 9 সে.মি.

১,৬৯১.

সামন্তরিকের ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গমিটার হলে, এর ভূমির মান কত?

ক
ক) ৮ মিটার
খ
খ) ১০ মিটার
গ
গ) ১২ মিটার
ঘ
ঘ) ১৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামন্তরিকের ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গমিটার হলে, এর ভূমির মান কত?

সমাধান:
ধরি, সামন্তরিকের উচ্চতা ক মিটার
ভূমি = ২ক মিটার

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= ক × ২ক বর্গমিটার
= ২ক^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
২ক^২ = ১২৮
⇒ ক^২ = ৬৪
∴ ক = ৮ মিটার

সামন্তরিকের উচ্চতা ৮ মিটার
ভূমি = ২ক
= ২ × ৮ মিটার
= ১৬ মিটার

১,৬৯২.

চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হবে-

ক
১২৫°
খ
১৩৫°
গ
১৩০°
ঘ
১৪০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হবে-

সমাধান:
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
চার কোণের অনুপাত = ১ : ২ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮

∴ বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৩/৮)°
= ১৩৫°

১,৬৯৩.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুণ। বিস্তার ১৬ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

ক
ক) ৪৮ মিটার
খ
খ) ৬৪ মিটার
গ
গ) ৯৬ মিটার
ঘ
ঘ) ১২৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুণ। বিস্তার ১৬ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বিস্তার =১৬ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ১৬ × ৩ = ৪৮ মিটার।

∴ পরিসীমা = ২(৪৮+১৬) মিটার
= ২ × ৬৪ মিটার
= ১২৮ মিটার

১,৬৯৪.

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১২০ মিটার এবং দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ক
৭২০ বর্গমিটার
খ
৮০০ বর্গমিটার
গ
৬৮০ বর্গমিটার
ঘ
৮৪০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১২০ মিটার এবং দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১২০ মিটার

ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার।
তাহলে দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার।

∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(২ক + ক) = ৬ক মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
⇒ ৬ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/৬
∴ ক = ২০

সুতরাং, প্রস্থ = ২০ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২ × ২০ = ৪০ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ৪০ × ২০ = ৮০০ বর্গমিটার।

অতএব, ক্ষেত্রফল ৮০০ বর্গমিটার।

১,৬৯৫.

একটি রম্বসের একটি কর্ণ ১০ মিঃ এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গ মিঃ হলে, অপর কর্ণ এবং পরিসীমা নির্ণয় করুন।

ক
ক) ২৪ মিঃ এবং ৫২ মিঃ
খ
খ) ২০ মিঃ এবং ৫০ মিঃ
গ
গ) ২৪ মিঃ এবং ১০ মিঃ
ঘ
ঘ) ১৫ মিঃ এবং ৫০ মিঃ

ব্যাখ্যা

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ (দুই কর্নের গুনফল) = ১২০
১/২ x ১০ x AC = ১২০
AC = ২৪ মিঃ
রম্বসের কর্নদ্বয় পরষ্পরকে সমকোনে সমদ্বিখন্ডিত করে।
AO = OC = 12 এবং BO = OD = 5
AOD সমকোনী ত্রিভুজে,
AD² = AO² + OD²
AD = 13
রম্বসের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৩ মিঃ
রম্বসের পরিসীমা = ৪ x ১৩ = ৫২ মিঃ

১,৬৯৬.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি. এবং প্রস্থ ১২ সে.মি. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ৩০ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

ক
৮ সে.মি.
খ
৯.৬ সে.মি.
গ
১২ সে.মি.
ঘ
৭.৪ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি. এবং প্রস্থ ১২ সে.মি. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ৩০ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ২৪ × ১২ = ২৮৮ বর্গ সে.মি.
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক সে.মি. হলে,
ক্ষেত্রফল = ৩০ক বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ২৮৮
⇒ ক = ২৮৮/৩০
∴ ক = ৯.৬ সে.মি.
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ ৯.৬ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

১,৬৯৭.

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার। সংশ্লিষ্ট উচ্চতা তার ভূমির ১/৩ অংশ হলে উচ্চতা কত?

ক
৮ মিটার
খ
১৬ মিটার
গ
১২ মিটার
ঘ
২৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার। সংশ্লিষ্ট উচ্চতা তার ভূমির ১/৩ অংশ হলে উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ভূমি = b মিটার
উচ্চতা, h = b/৩ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
১৯২ = b × (b/৩)
⇒ b^২/৩ = ১৯২
⇒ b^২ = ১৯২ × ৩
⇒ b^২ = ৫৭৬
⇒ b = √৫৭৬
∴ b = ২৪ মিটার

∴ উচ্চতা, h = ২৪/৩ = ৮ মিটার

১,৬৯৮.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 4cm এবং 6cm হয় তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 6
খ
খ) 8
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 24

ব্যাখ্যা

রম্বসের ক্ষেত্রফল =(1/2) × দুই কর্ণের গুনফল
= (1/2) × 4 × 6
= 12 বর্গসে.মি.

১,৬৯৯.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
৩০ মিটার
খ
৬০ মিটার
গ
৯০ মিটার
ঘ
১২০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৯০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯০০ মিটার
= ৩০ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৩০ × ৪) মিটার
= ১২০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২০ মিটার।

১,৭০০.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪০ টাকা খরচ হলে মোট কত টাকা লাগবে?

ক
ক) ১২৮০ টাকা
খ
খ) ৯৬০ টাকা
গ
গ) ৪৮০ টাকা
ঘ
ঘ) ৬৪০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪০ টাকা খরচ হলে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৪ মিটার
আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (৮ + ৪) মিটার
= ২ × ১২ মিটার
= ২৪ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় ৪০ টাকা
২৪ মিটারে খরচ হয় (২৪ × ৪০) টাকা = ৯৬০ টাকা