চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 18 সে.মি. এবং 24 সে.মি. হলে, রম্বসের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান: 

এখানে, রম্বসের কর্ণ দুটি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে (৯০° কোণে)।
প্রথম কর্ণের অর্ধেক = 18/2 = 9
এবং দ্বিতীয় কর্ণের অর্ধেক = 24/2 = 12 
এই অর্ধেক অংশ দুটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্ব গঠন করে এবং রম্বসের বাহুটি হয় ত্রিভুজের অতিভুজ।

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই, 
অতিভুজ² = ভূমি² + লম্ব²
অতিভুজ = √(ভূমি² + লম্ব²)
= √(9² + 12²)
= √(81 + 144)
= √(225)
∴ অতিভুজ = 15

সুতরাং, রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 15 সে.মি.।

ধরি,
দৈর্ঘ্য = ৪x, প্রস্থ = ৩x
∴ পরিসীমা = ২(৪x+৩x) = ১৪x

এবং কর্ণ = √{(৪x)^২ + (৩x)^২}
= √(২৫x^২)
= ৫x

∴ পরিসীমাঃকর্ণ = ১৪x:৫x = ১৪ঃ৫

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৮০ মিটার এবং এর দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৩গুণ হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মি.
তাহলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩x মি.
পরিসীমা = ২( ৩x + x) মি.

সুতরাং,
২(৩x + x) = ৮০
বা, ২ × ৪x = ৮০
বা, ৮x = ৮০
বা, x = ১০

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ১০ মি.
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০ মি.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩০ × ১০ বর্গমিটার 
= ৩০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র =  (ভূমি × উচ্চতা)। 

অন্যদিকে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু^২  । 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ  । 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল । 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে.মি.। ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 6 সে.মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য, d = a√2
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = 6√2 সে.মি.

ঐ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 6√2 সে.মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)²
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (6√2)² বর্গ সে.মি.
= (36 × 2) বর্গ সে.মি.
= 72 বর্গ সে.মি.

অতএব, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো 72 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাত 5 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 1500 হলে, দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = 5x একক
প্রস্থ = 3x একক
ক্ষেত্রফল = 1500 বর্গএকক

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ 5x × 3x = 1500 
⇒ 15x² = 1500
⇒ x² = 100
⇒ x = 10 একক

দৈর্ঘ্য:
5x = 5 × 10 = 50 একক
 
∴ দৈর্ঘ্য = 50 একক

প্রশ্ন: রম্বসের কর্ণদ্বয় রম্বসটিকে কি ধরনের ত্রিভুজে বিভক্ত করে?

সমাধান:
রম্বসের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি হলো:
- রম্বসের চারটি বাহু পরস্পর সমান।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় রম্বসটিকে চারটি সমবাহু ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয় রম্বসটিকে সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে,
∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°
∴ ∠A + ∠C = 180°
∴ ∠C = 180° - ∠A
বা, ∠C = 180° - 105°
বা, ∠C = 75°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.। ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 সে.মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য, d = a√2
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5√2 সে.মি.

ঐ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 5√2 সে.মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)²
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (5√2)² বর্গ সে.মি.
= (25 × 2) বর্গ সে.মি.
= 50 বর্গ সে.মি.

অতএব, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো 50 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ১২ একক প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৯২ একক হলে দৈর্ঘ্য কতটুকু কমালে আয়তক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত হবে?

সমাধান: 
প্রস্থ = ১২ একক
ক্ষেত্রফল = ১৯২ বর্গএকক
তাহলে দৈর্ঘ্য = ১৯২ / ১২ = ১৬ একক

বর্গক্ষেত্রে পরিণত করতে দৈর্ঘ্য = ১২ একক
কমাতে হবে = ১৬ - ১২ = ৪ একক

∴ দৈর্ঘ্য কমাতে হবে = ৪ একক

আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= 75 × 6
= 450
শর্তমতে,
a² = 450 (যেহেতু সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল)
বা, a = √450
বা, a = 15√2
সুতরাং বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a
= √2 × 15√2
= 15 × 2
= 30

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল ৭৬ বর্গ মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৭৬ বর্গ মি.
= ৩৮ বর্গ মি.

ধরি,
আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x
আয়তকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = y
∴ ক্ষেত্রফল = xy বর্গএকক

10% হ্রাসে নতুন দৈর্ঘ্য = x -  x এর 10%
                                       = (100x - 10x)/100
                                       = 90x / 100
10% হ্রাসে নতুন প্রস্থ = y - y এর  10%
                               = (100y - 10y) / 100
                               = 90y / 100
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (90x /100) ×  (90y/100)বর্গএকক
                           = 81xy / 100 বর্গএকক

ক্ষেত্রফল হ্রাস  = xy - 81xy/100 বর্গএকক
                       = 19xy/100
∴ ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার = {19xy/100)/xy} ×100%
                                   = 19 %

উত্তর = 19% হ্রাস পেয়েছে।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। ক্ষেত্রফল ২০০ বর্গমিটার হলে তার পরিসীমা কত?

সমাধান:
প্রস্থ = x মিটার, দৈর্ঘ্য = 2x মিটার
ক্ষেত্রফল = 2x × x = 2x²
2x² = 200
⇒ x² = 100
⇒ x = 10 মিটার

দৈর্ঘ্য = 2 × 10 = 20 মিটার
পরিসীমা = 2 × (20 + 10) = 2 × 30 = 60 মিটার

∴ পরিসীমা: 60 মিটার

৯ এর বর্গ = ৯^২ = ৮১
৯ এর বর্গমূল = √৯ = ৩
সুতরাং বর্গ তার বর্গমূলের চেয়ে (৮১-৩) = ৭৮ বেশি। তাই সঠিক উত্তর হবে ৯।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে 5 মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা 50 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = x মিটার ∴ দৈর্ঘ্য = x + 5 মিটার

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

প্রশ্নমতে,
2{(x + 5) + x} = 50
⇒ 2(2x + 5) = 50
⇒ 4x + 10 = 50
⇒ 4x = 40
⇒ x = 10

∴ প্রস্থ = 10 মিটার, দৈর্ঘ্য = 10 + 5 = 15 মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= 15 × 10
= 150 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ মিটার কম। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (২ক - ৬) মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

প্রশ্নমতে,
২{(২ক - ৬) + ক} = ৪৮
বা, ২(৩ক - ৬) = ৪৮
বা, ৬ক - ১২ = ৪৮
বা, ৬ক = ৪৮ + ১২
বা, ৬ক = ৬০
বা, ক = ৬০/৬
∴ ক = ১০

∴ প্রস্থ = ১০ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২(১০) - ৬ = ২০ - ৬ = ১৪ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ১৪ × ১০
∴ ক্ষেত্রফল = ১৪০ বর্গমিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো ১৪০ বর্গমিটার।

মধ্যবর্তী দূরত্ব h হলে,
৭০ = ১/২ × h × (৯+১১)
বা, ৭০ = h/২ × ২০
∴ h = ৭

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার 
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার 
∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার 
= ৭৬৮ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২ × ২)} মিটার = ২৮ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২ × ২)} মিটার = ২০ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৮ × ২০) বর্গমিটার 
= ৫৬০ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫৬০) বর্গমিটার
= ২০৮ বর্গমিটার।

ধরি, দৈর্ঘ্য ১০০ ও প্রস্থ ১০০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = ১০০০০
দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ১২০
ও প্রস্থ ২০% হ্রাস হলে নতুন প্রস্থ = ৮০
নতুন ক্ষেত্রফল = ৯৬০০
ক্ষেত্রফল হ্রাস = ১০০০০ – ৯৬০০ = ৪০০
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস= (৪০০ x ১০০)/১০০০০ = ৪

শর্টকাট নিয়মঃ
ক + খ + কখ/১০০
= ২০-২০+ [২০ X (-২০)]/১০০
= -৪

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 একক হলে, পরিসীমা কত?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = 8√2 একক

যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক হয়
তাহলে কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 একক

প্রশ্নমতে,
a√2 = 8√2
∴ a = 8 একক

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= 4 × 8
= 32 একক

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার, তাহলে, প্রস্থ = ক মিটার
∴ ৩ক × ক = ৯৭২ 
বা, ক^২ = ৯৭২/৩ = ৩২৪
বা, ক = ১৮ মিটার
সুতরাং, পরিসীমা = ২(৫৪ + ১৮) = ১৪৪ মিটার
তাহলে বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ১৪৪/৪ = ৩৬ মিটার

প্রশ্ন: ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৪ সে.মি এবং এর ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গ সে.মি হলে সমান্তরাল বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

তাহলে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = (২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল)/সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (২ × ৪০)/৪
= ৮০/৪
= ২০

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণের চেয়ে 5 মিটার বেশি। পরিসীমা 160 মিটার। দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
ধরি, 
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = 2x + 5 মিটার

আমরা জানি, 
পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
⇒ 2 × (2x + 5 + x) = 160
⇒ 2 × (3x + 5) = 160
⇒ 6x + 10 = 160 
⇒ 6x = 160 - 10 = 150 
⇒ x = 150/6
∴ x = 25

∴ প্রস্থ = 5 মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = 2x + 5 = 2 × 25 + 5 = 50 + 5 = 55 মিটার

অতএব, পুকুরটির দৈর্ঘ্য 55 মিটার। 

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 মিটার ও 8 মিটার এবং তাদের উচ্চতা 5 মিটার। ঐ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল) × উচ্চতা
= (1/2) × (12 + 8) × 5
= (1/2) × 20 × 5
= 50 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ও পরিসীমার অনুপাত ১ : ৫ হলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত কত? 
 
সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = খ 
এবং পরিসীমা = ৫খ 

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
৫খ = ২(ক + খ)  ; [দৈর্ঘ্য = ক] 
⇒ ৫খ = ২ক + ২খ
⇒ ২ক = ৫খ - ২খ 
⇒ ২ক = ৩খ
⇒ ক/খ = ৩/২ 
⇒ ক : খ = ৩ : ২ 
∴ দৈর্ঘ্য : প্রস্থ = ৩ : ২ 

 অতএব, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ২। 

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকতে কয়টি অনন্য নিরপেক্ষ উপাত্তের প্রয়োজন?

সমাধান:
নিম্নোক্ত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজটি আঁকা যায়।
(ক) চারটি বাহু ও একটি কোণ
(খ) চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
(গ) তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
(ঘ) তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
(ঙ) দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

উৎস: গণিত, অষ্টম শ্রেণি

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক হলে কর্ণ x√2.
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x = 4 বর্গ একক
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x² = 4² = 16

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের AB = 12 সে.মি. এবং D বিন্দু থেকে AB এর লম্বদূরত্ব 6 সে.মি.। সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ভূমি, AB = 12 সে.মি.
D বিন্দু থেকে AB এর লম্বদূরত্ব, DE = 6 সে.মি.
∴ সামান্তরিকের লম্ব, DE = 6 সে.মি. 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা 
= (12 × 6) বর্গ সে.মি.
= 72 বর্গ সে.মি. । 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৩ এবং ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ সে. মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের পার্থক্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৩ 

মনে করি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ক ও ৩ক
প্রশ্নমতে,
(১/২) × ৪ক × ৩ক = ২১৬
বা, (১/২) × ১২ক^২= ২১৬
বা, ৬ক^২= ২১৬
বা, ক^২= ২১৬/৬
বা, ক^২ = ৩৬
বা, ক = √৩৬
∴ ক = ৬

রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে (৪ × ৬) বা ২৪ সে. মি. এবং (৩ × ৬) বা ১৮ সে. মি.

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের পার্থক্য = (২৪ - ১৮) = ৬ সে. মি.

∠a + ∠b = 180°
∠d = ∠g [পরস্পর একান্তর কোণ] 
∠b = ∠e [পরস্পর অনুরূপ কোণ] 
∠b + ∠c = 180° [চিত্র অনুসারে সম্ভব নয়]