চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির চতুর্দিকে প্রাচীর নির্মাণ করতে প্রতি মিটার 200 টাকা হিসেবে 50000 টাকা খরচ হয়। যদি জমির প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের অনুপাত 12 : 13 হয়, তবে জমিটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আয়তাকার জমির পরিসীমা = 50000/200 = 250 মিটার
মনে করি,
প্রস্থ ও দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12x ক এবং 13x
শর্তমতে,
2(12x + 13x) = 250
⇒ 50x = 250
⇒ x = 250/50
⇒ x = 5

অতএব,
দৈর্ঘ্য = 12 × 5 = 60 মিটার 
প্রস্থ = 13 × 5 = 65 মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = 60 × 65 = 3900 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো- (ভূমি × উচ্চতা)। 

উল্লেখ্য যে, 
- একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর মধ্যবিন্দু পরস্পর যুক্ত করলে সামান্তরিক পাওয়া যাবে। 
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল। 
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান। 
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে। 
- সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, তা আয়ত। 

ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = 2x মিটার
প্রশ্নমতে,
x.2x = 72
⇒ x² = 36
⇒ x = 6
অর্থাৎ, প্রস্থ 6 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 12 মিটার।
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = 2(6+12) মিটার
= ৩৬ মিটার।

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩০ + (২ × ২) = ৩৪ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = ২০ + (২ × ২) = ২৪ মিটার
∴রাস্তাসহ বাগানের পরিসীমা = ২ × (৩৪ + ২৪) = ১১৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা 32 মিটার। যদি বর্গের বাহু দ্বিগুণ করা হয়, নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
বর্গের পরিসীমা, P = 4a [যেখানে a হল বাহু]
∴ 4a = 32
⇒ a = 8 মিটার

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল, A = a²
= 8² = 64 বর্গমিটার

বাহু দ্বিগুণ করলে, a' = 2 × 8 = 16 মিটার

∴ নতুন ক্ষেত্রফল, A' = (a')²
= 16² = 256 বর্গমিটার

ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি = (A' - A)/A × 100
= {(256 - 64)/64} × 100
= (192/64) × 100
= 300%

∴ ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি = 300%

চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি ৩৬০°
∴চতুর্থ কোণের মান = ৩৬০° - ২৮০° = ৮০°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ ১০ মিটার, এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার। যদি দ্বিতীয় কর্ণটি ২০% বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত: d₁= ১০ মিটার, ক্ষেত্রফল A = ১২০ বর্গমিটার।

রম্বসের ক্ষেত্রফল A সূত্র:
A = ১/২ × d₁ × d₂
⇒ ১২০ = ১/২ ​× ১০ × d₂​
⇒ ৫d₂​ = ১২০
⇒ d_{2 ​}= ২৪

দ্বিতীয় কর্ণটি ২০% বৃদ্ধি করলে:
d₂′ = ২৪ × ১.২
= ২৮.৮ মিটার

নতুন ক্ষেত্রফল A′:
A′ = ১/২ × ১০ × ২৮.৮ = ২৮৮/২ = ১৪৪ বর্গমিটার
 
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১৪৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪৯০০ বর্গমিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৯০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৪৯০০ মিটার
= ৭০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য 
= (৭০ × ৪) মিটার 
= ২৮০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২৮০ মিটার।

সামন্তরিকের সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
∴ একটি ১১০° হলে অপরটি = ১৮০° - ১১০°
= ৭০°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থে ১০ মিটার যোগ করলে ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। আবার দৈর্ঘ্যে ১৫ মিটার যোগ করলে ক্ষেত্রফল ৪৫০ বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। মূল আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের মূল দৈর্ঘ্য l মিটার এবং মূল প্রস্থ w মিটার।
∴ মূল ক্ষেত্রফল = (l × w) বর্গ মিটার 

দেওয়া আছে,
প্রস্থে ১০ মিটার যোগ করলে (নতুন প্রস্থ = w + ১০) ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার বাড়ে।
⇒ l × (w + ১০) = Iw + ৩০০
⇒ Iw + ১০l = Iw + ৩০০
⇒ ১০l = ৩০০
∴  l = ৩০ মিটার

আবার, 
দৈর্ঘ্যে ১৫ মিটার যোগ করলে (নতুন দৈর্ঘ্য = l + ১৫) ক্ষেত্রফল ৪৫০ বর্গমিটার বাড়ে।
⇒ (l + ১৫) × w = lw + ৪৫০
⇒ ১৫w + lw = lw + ৪৫০
⇒ ১৫w = ৪৫০
∴ w = ৩০ মিটার
∴ মূল ক্ষেত্রফল = l × w = ৩০ × ৩০ = ৯০০ বর্গমিটার

সুতরাং, মূল আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো ৯০০ বর্গমিটার।

ধরি, দৈর্ঘ্য ১০০ ও প্রস্থ ১০০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = ১০০০০
দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ১২০
ও প্রস্থ ১০% হ্রাস হলে নতুন প্রস্থ = ৯০
নতুন ক্ষেত্রফল = ১০৮০০
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ১০৮০০ – ১০০০০ = ৮০০
∴ শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (৮০০ × ১০০)/১০০০০ = ৮

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 24 সে.মি. এবং প্রস্থ 15 সে.মি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে 30 সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
 আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = 24 × 15 = 360 বর্গ সে.মি.
এখন, 
নতুন দৈর্ঘ্য =30 সে.মি.
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x সে.মি. হলে, ক্ষেত্রফল = 30x বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
30x = 360
⇒ x = 360/30
∴ x = 12 সে.মি.

অতএব, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 12 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

প্রশ্ন: রম্বসের ক্ষেত্রে নিচের কোন বাক্যটি সত্য?

সমাধান:
রম্বস:
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- রম্বসের বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°
- রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল।

প্রশ্ন: 40 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:


ABCD বর্গের পরিসীমা = 40 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = পরিসীমা/4 = (40/4)
= 10 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত, তাই বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হবে বৃত্তটির ব্যাস।।
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ = বাহু × √2
= 10√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (10√2)/2 = 5√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = πr²
= π(5√2)² বর্গ মিটার
= (π × 25 × 2) বর্গ মিটার
= 50π বর্গ মিটার

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ ∠AOB = ∠BOC = 90°

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার কার্পেটের ক্ষেত্রফল ১৬৯ বর্গ সে.মি. এখন কার্পেটিকে একটি যথাযথ আয়তাকার কক্ষে ব্যবহার করার জন্য এটির একপ্রান্ত ২ সে.মি. কেটে ফেলতে হলো। আয়তাকার কক্ষটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
বর্গাকার কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ১৬৯ বর্গ সে.মি.
∴ বর্গাকার কার্পেটের বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬৯ = ১৩ সে.মি.

আবার, 
২ সে.মি. কমে আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = {১৩ - ২} = ১১ সে.মি.

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
অতএব আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =(১৩ × ১১) = ১৪৩ বর্গ সে.মি. ।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গফুট। যদি উচ্চতা ২ ফুট এবং সমান্তরাল বাহুদুইটি একটি অপরটির থেকে ১ ফুট বেশি হলে বড় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বড় বাহুর দৈর্ঘ্য = ক ফুট 
∴ ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য = (ক - ১) ফুট 

দেওয়া আছে,
উচ্চতা = ২ ফুট 
ক্ষেত্রফল = ২৫ বর্গফুট 

প্রশ্নমতে,
(১/২) × উচ্চতা × {ক + (ক - ১)} = ২৫
⇒ (১/২) × ২ × (২ক - ১) = ২৫
⇒ ২ক - ১ = ২৫
⇒ ২ক = ২৫ + ১
⇒ ২ক = ২৬
⇒ ক = ২৬/২
⇒ ক = ১৩

অর্থাৎ বড় বাহুটির দৈর্ঘ্য = ১৩ ফুট

∴  রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য= (2 × 5) = 10 সে.মি.  এবং (3 × 5) = 15 সে.মি. 

অর্থাৎ রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য = 10 সে.মি. 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল ১২৬ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

 সমাধান:
ধরি, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ১২৬ = (১/২) × ক × ১৮
বা, ৯ক = ১২৬
∴ ক = ১২৬/৯
∴ ক = ১৪

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১৪ সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ক একক = ৭.৫ ফুট
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক একক = ৭.৫ / √২ ফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৭.৫ / √২)^২ = ২৮.১২৫ বর্গফুট

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬২৫ বর্গফুট। তার এক বাহু থেকে ৩ গজ কমিয়ে দিলে যে নতুন বর্গক্ষেত্র তৈরি হবে, তার ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

সমাধান:
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬২৫ বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = √৬২৫ = ২৫ ফুট

১ গজ = ৩ ফুট
∴ ৩ গজ = ৯ ফুট

∴ নতুন বাহু = ২৫ - ৯ = ১৬ ফুট
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১৬^২ = ২৫৬ বর্গফুট

একটি বর্গক্ষেত্রের কৌণিক দৈর্ঘ্য √১০ হলে সেই বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √১০/√২ [যেহেতু, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২a] 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√১০/√২)² = ১০/২ = ৫

Let, Length = x, Breadth = Y
Area = XY
after increasing, The area= 1.25×1.2×XY= 1.5 XY
percentage of increasing= 0.5×100= 50%
Shortcut: 25 + 20 + (25X20)/100 = 50%

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০ সে. মি. এবং প্রন্থ ১২ সে. মি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ২৫ সে. মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ২০ সে. মি.
প্রস্থ = ১২ সে. মি.
∴ প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = ২০ × ১২ = ২৪০ বর্গ সে. মি.

আবার, 
ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত রাখতে হলে নতুন অবস্থায়ও ক্ষেত্রফল ২৪০ বর্গ সে. মি. হতে হবে।
নতুন দৈর্ঘ্য = ২৫ সে. মি.
ধরি নতুন প্রস্থ = ক সে. মি.

সুতরাং, 
২৫ x ক = ২৪০
⇒ ক = ২৪০/২৫ 
∴ ক = ৯.৬ সে. মি.

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত রাখতে হলে নতুন প্রস্থ হবে ৯.৬ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। প্রতি বর্গমিটার ৭.৫০ টাকা দরে ঘরের মেঝে কার্পেট দিয়ে মুড়তে ১,১০২.৫০ টাকা খরচ হয়। ঘরটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার, দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ৩ক × ক
= ৩ক^২ বর্গমিটার

প্রতি বর্গমিটারে খরচ = ৭.৫০ টাকা হলে, মোট খরচ হবে
৩ক^২ × ৭.৫০ = ১,১০২.৫০
⇒ ২২.৫ক^২ = ১,১০২.৫০
⇒ ক^২ = ১,১০২.৫০/২২.৫
⇒ ক^২ = ৪৯
⇒ ক = ৭

∴ প্রস্থ = ৭ মিটার
দৈর্ঘ্য = ৩ × ৭ = ২১ মিটার

ABCD রম্বসে ∠C = ∠A = 120°
∠B = ∠D = 60°
∴ ∠ABD = (1/2) ∠B = 30°

সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রে ভূমি BC = √(10²-6²)
= √(100 - 36)
= √64
= 8
∴ ABCD এর পরিসীমা = 2(6+8) = 28

কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য a, b হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab
বা, (1/2)ab = 80
বা, ab = 160
বা, a = 160/b [b = 16]
বা, a = 160/16
বা, a = 10 সে.মি

আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার হয়
তবে, x২ = ১০০০০
∴ x = ১০০ মিটার
∴ পরিসীমা = ৪x = ৪০০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 5 সে.মি. হলে, এর পরিসীমার অর্ধেক কত সে.মি.?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 5 সে.মি.। 

সুতরাং, চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য হলো যথাক্রমে, 
7 সে.মি., 5 সে.মি., 7 সে.মি. এবং 5 সে.মি।

∴ পরিসীমা = 7 + 5 + 7 + 5 = 24 সে.মি.
∴ পরিসীমার অর্ধেক = 24/2 = 12 সে.মি.

অতএব, পরিসীমার অর্ধেক 12 সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ √41 cm এবং তার ক্ষেত্রফল 20 cm² । ঐ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x সেমি এবং প্রস্থ = y সেমি।
∴ আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √(x² + y²) সেমি
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = xy বর্গসেমি

প্রশ্নমতে,
√(x² + y²) = √41
∴ x² + y² = 41 .......... (i) [উভয়পক্ষ বর্গ করে]
এবং xy = 20 .......... (ii)

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
= 41 + 2 × 20
= 41 + 40 = 81
⇒ (x + y)² = 81
∴ x + y = √81 = 9

অতএব আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(x + y) = 2 × 9 = 18 cm

দেওয়া আছে,
d₁:d₂ = 1:3
A₁:A₂ = (π/4)d²₁ : (π/4)d²₂ = d²₁:d²₂ = 1²:3² = 1:9

সামন্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান
∴ ∠ABC = ∠ADC

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৪০০ মিটার
= ২০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য 
= (২০ × ৪) মিটার 
= ৮০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৮০ মিটার।

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a,
প্রস্থ = b
∴ পরিসীমা 2(a + b) = 34
বা, a + b = 17 ...... (1)
আবার,
a² + b² = 13²
বা, (a + b)² - 2ab = 169
বা, 17² - 169 = 2ab
বা, 2ab = 289 - 169
বা, ab = 120/2
∴ ab = 60

আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(১০ + ৬)
= ২ × ১৬
= ৩২ মিটার

কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 'ক' হলে,
এর কর্ণের দৈর্ঘ্য, √২ক একক
ক্ষেত্রফল, ক^২ বর্গ একক।
শর্তমতে, √২ক = ৫√২
বা, ক = ৫√২/√২
বা, ক = ৫√২/√২
বা, ক = ৫
সুতরাং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ক^২
= ৫^২
= ২৫

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমির পরিমাণ ২০ সে.মি. এবং উচ্চতা ৯ সে.মি.। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা 
= ২০ × ৯ 
= ১৮০ 
​
∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ১৮০​ বর্গ সে.মি.।