ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

AB⊥BC
∴ ∠B = 90°
আবার, AB = BC
বা, ∠B = C = 45°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমার দৈর্ঘ্য ৩৬ সে.মি. হলে শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব কত?

সমাধান: 

দেওয়া আছে,
মধ্যমা, AE = ৩৬ সে.মি.
ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে ২: ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।
∴ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব = মধ্যমার ২/৩ অংশ

∴ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব, AD = (২/৩) × ৩৬ সে.মি.
= ২৪ সে.মি.

EF || BC বিধায় ∠AFE, ∠ACB অনুরূপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান-

সমাধান:
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহু সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান ৬০°

উল্লেখ্য,
- একটি ত্রিভুজের ৩ কোণের সমষ্টি = ১৮০°
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুই বাহু ও দুইটি কোণ পরস্পর সমান।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজে দুটি বাহু যথাক্রমে 8 মিটার ও 15 মিটার, এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণের বিপরীতে উৎপন্ন ক্ষেত্রফল 60 বর্গমিটার। অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজে দুটি বাহু যথাক্রমে 8 মিটার ও 15 মিটার
এবং ক্ষেত্রফল 60 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × b × sinθ 
⇒ 60 = (1/2) × 8 × 15 × sinθ
⇒ 60 = 4 × 15 × sinθ
⇒ sinθ = 60/60
⇒ sinθ = 1 = sin90° 
∴ θ = 90°

সুতরাং, অন্তর্ভুক্ত কোণের পরিমাণ 90°। 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ সে.মি. এবং ১২ সে.মি. হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
(অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২

এখানে,
ভূমি = ১২ সে.মি.
লম্ব = ৫ সে.মি.

∴ (অতিভুজ)^২ = (১২)^২ + (৫)^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১৪৪ + ২৫
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১৬৯
⇒ অতিভুজ = √১৬৯
⇒ অতিভুজ = ১৩ সে.মি.

∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১৩ সে.মি.।

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের তিন কোণ অনুপাত 2 : 3 : 4 হয়, তাহলে বৃহত্তম কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনকোণের যোগফল সবসময় 180° হয়।

ধরি,
কোণগুলো: 2x, 3x, 4x

প্রশ্নমতে,
2x + 3x + 4x = 180°
⇒ 9x = 180°
⇒ x = 20°

বৃহত্তম কোণ = 4x = 4 × 20° = 80°

∴ ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ হবে 80°

প্রশ্ন: দুটি ত্রিভুজের মধ্যে কোন উপাদানগুলো সমান হওয়া সত্ত্বেও ত্রিভুজ দুটি সর্বসম নাও হতে পারে?

সমাধান:
দুটি ত্রিভুজের সর্বসম হওয়ার শর্ত হলো তিনটি কোন ও তিনটি বাহু সমান হওয়া। 

ক) দুই বাহু ও অন্তর্ভূক্ত কোণ: যদি দুটি ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজ দুটি অবশ্যই সর্বসম হবে।
খ) তিনটি কোণ: দুটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ সমান হলে তারা সদৃশকোণী হয়, কিন্তু তাদের বাহুগুলো একই দৈর্ঘ্যের না হলে সর্বসম হবে না। 
গ) দুই কোণ ও এক বাহু: যদি দুটি ত্রিভুজের দুটি কোণ এবং একটি বাহু সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজ দুটি অবশ্যই সর্বসম হবে।
ঘ) তিন বাহু: যদি দুটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজ দুটি অবশ্যই সর্বসম হবে।
তাই সঠিক উত্তর হবে তিন কোণ।

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।
অপশন (গ) ৪, ৫, ৯
∴ ৪ + ৫ = ৯ = তৃতীয় বাহু
∴ যেহেতু দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় নয়, সুতরাং ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

অন্য অপশনসমূহ যাচাই:
ক) ৫ + ৬ = ১১ > ৭ → ত্রিভুজ সম্ভব
খ) ৩ + ৭ = ১০ > ৮ → ত্রিভুজ সম্ভব
ঘ) ৭ + ৫ = ১২ > ১১ → ত্রিভুজ সম্ভব

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩। বৃহত্তম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি, কোণ তিনটি x, 2x এবং 3x।
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∴ x + 2x + 3x = ১৮০°
বা, ৬x = ১৮০°
∴ x = ৩০°

∴ বৃহত্তম কোণটি = 3x
= ৩ × ৩০°
= ৯০°

ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ = (১৮০ × (৭/১৮))° = ৭০°

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 13 একক এবং ভূমি 10 একক হলে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
সমান বাহু, a = 13 একক
ভূমি, b = 10 একক

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
∴ ক্ষেত্রফল = (10/4) × √{4 × (13)² - (10)²}
= (10/4) × √(4 × 169 - 100)
= (10/4) × √(676 - 100)
= (10/4) × √576
= (10/4) × 24
= 10 × 6
= 60 বর্গ একক।

অতএব, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 60 বর্গ একক।

আমরা জানি,
ত্রিভুজের দুই বাহু দেওয়া থাকলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2×বাহুদ্বয়ের গুনফল×sinθ = 1/2(11×12×sin60) = 57.157 বর্গমি.

মনে করি,
একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90-ক)
শর্তমতে,
ক - (90 - ক) = 4
বা, ক - 90 + ক = 4
বা, 2ক = 94
বা, ক = 47
সুতরাং অপর কোণটি = 90 - ক = 90-47 = 43°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৫° ও ৬৫° হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজের দুই কোণের পরিমান ২৫° ও ৬৫° হলে,
কোণ দুইটির যোগফল = ২৫° + ৬৫° = ৯০° 
অতএব, অপর কোণ = ১৮০° - ৯০° = ৯০°
একটি ত্রিভুজের এক কোণ সমকোণ হলে তা সমকোণী 

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ। 

ধরি,
ভূমি = a, লম্ব = b এবং
অতিভূজ c = ১৩

∴ পরিসীমা a + b + c = ৩০
বা, a + b = ৩০ - c = ৩০ - ১৩ = ১৭
বা, (a + b)² = ১৭^২
বা, a² + b²+ 2ab = ২৮৯
বা, c² + 2ab = ২৮৯ [পিথাগোরাসের সূত্রানূসারে]
বা, ১৩^২ + ২ab = ২৮৯
বা, ২ab = ২৮৯ - ১৬৯ = ১২০
বা, ab = ৬০
বা, (১/২)ab = ৩০
∴ ১/২ × ভুমি × উচ্চতা = ৩০ বর্গ সে. মি.

ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য x সেমি
তাহলে, লম্বের দৈর্ঘ্য x-2 সেমি
এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য x+2 সেমি
এখন,
x² + (x-2)² = (x+2)²
⇒ x² + x² - 4x +4 = x² + 4x + 4
⇒ x² = 8x
⇒ x = 8
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য 8+2 = 10 সেমি।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২০ মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির ৩/৪ অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির ভূমি, b = ক মিটার
∴ ত্রিভুজটির সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = (৩/৪)ক মিটার

প্রশ্নমতে,
ক + (৩/৪)ক + (৩/৪)ক = ২০
⇒ (৪ক + ৩ক + ৩ক)/৪ = ২০
⇒ ১০ক/৪ = ২০
⇒ ১০ক = ২০ × ৪
⇒ ১০ক = ৮০ 
⇒ ক = ৮০/১০
⇒ ক = ৮

∴ ত্রিভুজটির ভূমি b = ৮ মিটার
এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = (৩/৪) × ৮ = ৬ মিটার

এখন, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (b/৪) × √(৪a^২ - b^২)
= (৮/৪) × √{৪(৬)^২ - (৮)^২}
= ২ × √(৪ × ৩৬ - ৬৪)
= ২ × √(১৪৪  - ৬৪)
= ২ × √৮০
= ২ × √(১৬ × ৫) 
= ২ × ৪√৫ 
= ৮√৫  বর্গমিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৮√৫ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ কোণ ৮০° হলে অপর কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল = ১৮০°

ধরি, অপর দুইটি সমান কোণ = ক 

প্রশ্নমতে, 
৮০° + ক + ক = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০° - ৮০° 
⇒ ক = ১০০°/২ = ৫০°
∴ ক = ৫০°

∴ অপর দুইটি কোণ = ৫০° প্রতিটি

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৫ মিটার এবং উচ্চতা ৮ মিটার হলে, এর অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা কত মিটার বেশি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৫ মিটার
এবং,  উচ্চতা ৮ মিটার

আমরাজানি,
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + উচ্চতা^২
⇒ অতিভুজ^২ = ১৫^২ + ৮^২
⇒ অতিভুজ^২= ২২৫ + ৬৪
⇒ অতিভুজ^২= ২৮৯
⇒ অতিভুজ= √২৮৯
∴ অতিভুজ = ১৭ মিটার
 
∴ অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা বেশি = (১৭ - ১৫) = ২ মিটার

অতএব, অতিভুজ ভূমির চেয়ে ২ মিটার বেশি। 

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সংলগ্ন কোণ দু’টি সর্বদা সূক্ষকোণ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/6, x/6 এবং 8x/6 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = দুই সমকোণ = 180°
বা, x/6 + x/6 + 8x/6 = 180°
বা, (x + x + 8x)/6 = 180°
বা, 10x/6 = 180°
বা, 5x/3 = 180°
বা, 5x = 180° × 3
বা, x = (180° × 3)/5
∴ x = 108° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 8x/6
= {(8 × 108)/6}°
= 144°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা 27 সে.মি. হলে, শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব কত?

সমাধান:
​
​
দেওয়া আছে,
মধ্যমা, AE = 27
ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

∴ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব, AD = (2/3) × 27 = 18 সে.মি.

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)^২ বর্গমি.
= √৩/৪ (১৬)^২ বর্গমি.
= ৬৪√৩ বর্গমি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ২৪০ বর্গমিটার এবং মাঠটির উচ্চতা ৩০ মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল = ২৪০ বর্গমিটার
উচ্চতা = ৩০ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ২৪০ = (১/২) × ভূমি × ৩০ 
⇒ ভূমি × ৩০ = ২৪০ × ২ 
⇒ ভূমি = (২৪০ × ২)/৩০ 
⇒ ভূমি =  ১৬ মিটার

∴ মাঠটির ভূমির দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির 3/4 অংশ হলে, ত্রিভুজটির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ভূমির দৈর্ঘ্য = 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য = 4x × (3/4) = 3x মিটার 

এখন, 
(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
⇒ (3x)² + (4x)² = (25)²
⇒ 9x² + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 625/25
⇒ x² = 25
∴ x = 5

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = (4 × 5) মিটার = 20 মিটার
এবং
লম্বের দৈর্ঘ্য = 3x মিটার = (3 × 5) মিটার = 15 মিটার 

∴ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 20 : 15 
= 4 : 3  ।

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা অসম্ভব? 

সমাধান: 
সমকোণী ত্রিভুজে, a² + b² = c²

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² , সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² , সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
2² + 3² = 4 + 9 = 13 ≠ 25, সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা অসম্ভব।
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² , সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ মিটার, ৯ মিটার এবং ১৩ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু'টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

এখানে, বৃহত্তম বাহু = ১৩ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৭ মিটার
সুতরাং, এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ৯ মিটার এর অর্ধেক।

∴ দূরত্ব = ৯/২ = ৪.৫ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3/4 a²

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৫ হলে, ত্রিভুজটি হবে -

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের একটি কোণ যদি অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৫ 

এখানে,
২ + ৩ = ৫
অর্থাৎ, দুইটি কোণের সমষ্টি তৃতীয় কোণের সমান।

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

ধরি, ভূমি = a cm, উচ্চতা = b cm
∴ পরিসীমা = a + b + 13 = 30
আবার পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
a² + b² = 13² = 169
বা, (a+b)² - 2ab = 169
বা, 17² - 169 = 2ab
বা, 2ab = 289 - 169 = 120
বা, 1/2 ab = 30
∴ 1(/2) × ভূমি × উচ্চতা = 30

মনেকরি,
অপর বাহুদ্বয় 3a, 4a
∴ (3a)² + (4a)² = 25²
বা, 25a² = 25²
বা, a² = 25
∴ a = 5
∴ অপর বাহুদ্বয় = 15, 20
∴ অনুপাত = 15:20:25
= 3 : 4 : 5

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) × ভূমি × 14 
= 7 × ভূমি 
 
প্রশ্নমতে, 
7 × ভূমি = 126
বা, ভূমি = 126/7 
∴ ভূমি = 18 গজ 

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 18 গজ । 

প্রশ্ন: ABC এবং DEF ত্রিভুজে, ∠C = ∠F, AC = DF এবং BC = EF। যদি AB = 4x - 2 এবং DE = 3x - 1 হয়, তাহলে x এর মান কত? 

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
ΔABC এবং ΔDEF এ, ∠C = ∠F, AC = DF এবং BC = EF।

যেহেতু দুটি ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান, তাই বাহু-কোণ-বাহু (SAS) সর্বসমতার শর্ত অনুযায়ী,  △ABC এবং  △DEF সর্বসম।অর্থাৎ, △ABC≅△DEF

∴ AB = DE
⇒ (4x - 2) = (3x - 1)
∴ x = 1