ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: যদি কোনো ত্রিভুজে দুই বাহুর যোগ তৃতীয় বাহুর সমান হয়, তবে সেই ত্রিভুজটি কী হবে? 

সমাধান:
ত্রিভুজ অসমতা উপপাদ্য (Triangle Inequality Theorem) অনুযায়ী, ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর যোগফল সর্বদা তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।

• যদি দুই বাহুর যোগ তৃতীয় বাহুর সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে এবং এটি কোনো ত্রিভুজ গঠন করতে পারবে না।

উদাহরণ:
- বাহুসমূহ a, b, c এবং a + b = c।
- ত্রিভুজ গঠনের জন্য a + b > c হতে হবে।
- a + b = c হলে এটি এক সরলরেখা তৈরি করে, ত্রিভুজ নয়।

∴ ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়।

 প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24 মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 24/3 = 8  মিটার

তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (বাহুর দৈর্ঘ্য )² = (√3/4) × 8²= (√3/4) × 64= 16√3 বর্গ মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = 16√3/2 = 8√3 বর্গ মিটার

মনে করি,
অতিভূজ = 6a মিঃ
∴ সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 6a × 5/6 = 5a মিঃ
∴ পরিসীমা, 6a + 5a + 5a = 32
বা, 16a = 32
∴ a = 2

∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = 5 × 2 = 10

∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 10 × 10 = 50 বর্গমিঃ

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6√3 সেমি হলে, এর পরিসীমা কত সেমি?

সমাধান:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = a

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = (√3/2) × a

প্রশ্নমতে,
(√3/2) × a = 6√3
⇒ (1/2) × a = 6
∴ a = 12

আবার,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a

∴ পরিসীমা = 3 × a = 3 × 12 = 36 সেমি

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20m, 21m, 29m হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে  a = 20m, b = 21m, c = 29m
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c​)/2 
= (20 + 21 + 29​)/2
= 70/​2
= 35

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)}
= √{35 × 15  × 14  × 6}
= √44100
= 210

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/6, x/6 এবং 4x/6 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° 
বা, x/6 + x/6 + 4x/6 = 180° 
বা, (x + x + 4x)/6 = 180° 
বা, 6x/6 = 180° 
∴ x = 180° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 4x/6 
= {(4 × 180)/6}° 
= 120° 

একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করতে হলে নিম্নোক্ত তথ্যগুলোর অন্তত যে কোন একটি জানা থাকতে হবেঃ
১. দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ
২. দুই কোণ ও এক বাহুর দৈর্ঘ্য
৩. দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটির বিপরীত কোণ
৪. তিন বাহুর দৈর্ঘ্য

∴ PR² = PQ² + QR² ⇒ 32² = 25² + QR²
∴ QR = √399
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2)×QR×PQ = (1/2)×√399×25 = 12.5√399 cm²

ধরি, লম্বের দৈর্ঘ্য = x
তাহলে, ভূমির দৈর্ঘ্য = x - 1
অতিভুজের দৈর্ঘ্য = x + 1
আমরা জানি, অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ (x + 1)² = (x - 1)² + x²
⇒ x² + 2x + 1 = x² - 2x + 1 + x²
⇒ x² - 4x = 0
⇒ x(x - 4) = 0
⇒ x = 4 [যেহেতু, ত্রিভুজের লম্ব কখনো শূন্য হতে পারে না]
তাহলে, ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 4 + 1 = 5 মিটার 

প্রশ্ন: নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর ।
এখানে একমাত্র 7 + 5 > 12 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।

ত্রিভুজ সংক্রান্ত আরো কিছু তথ্য: 
- কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ²= লম্ব²+ভূমি²
12² + 5² = 13²
তাই সঠিক উত্তর অপশন (ঘ)।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4){√4(a)² - (b)²} 

দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার 
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার 

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4){√4(a)² - (b)²}
= (8/4){√4(5)² - (8)²}
= 2 × {√(100 - 64)}
= 2√36
= 2 × 6
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC-তে ভরকেন্দ্র G, এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গ একক। BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিন ভাগে ভাগ করে। 
∴ BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/৩) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
= (১/৩) × ১২০ 
= ৪০ বর্গ একক। 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে y/6, y/6 এবং 8y/6 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = দুই সমকোণ = 180°
বা, y/6 + y/6 + 8y/6 = 180°
বা, (y + y + 8y)/6 = 180°
বা, 10y/6 = 180°
বা, 5y/3 = 180°
বা, 5y = 180° × 3
বা, y = (180° × 3)/5
∴ y = 108° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 8y/6
= {(8 × 108)/6}°
= 144°

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠B এবং ∠C এর অন্তর্দ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হলে ∠BOC = ? 

সমাধান:

ΔABC এ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ (1/2)∠A + (1/2)∠B + (1/2)∠C = 90°
⇒ (1/2)∠B + (1/2)∠C =  90° - (1/2)∠A

ত্রিভুজ BOC এ, 
∠BOC + (1/2)∠B + (1/2)∠C  = 180°
⇒ ∠BOC + 90° - (1/2)∠A = 180°
⇒ ∠BOC = 180° - 90° + (1/2)∠A
⇒ ∠BOC = 90° + (1/2)∠A

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = ২ মিটার 

আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, 
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে = (√৩/৪)× a^২ বর্গ একক

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২ বর্গ মিটার
= (√৩/৪) × (২)^২ 
= (√৩/৪) × ৪ 
= √৩ 

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩ বর্গ মিটার।

- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর উপর অঙ্কিত রেখাকে ঐ ত্রিভুজের মধ্যমা বলে।
- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে এর ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্যকে ঐ ত্রিভুজের উচ্চতা বলে
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: ΔABC এ ∠A = 70°, ∠B = 20° হলে ত্রিভুজটি কী ধরনের?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ΔABC এর ∠A = 70°, ∠B = 20°

∴ অপর কোণটি, ∠C = 180° - (70° + 20°)
= 180° - 90°
= 90°

এখানে, ∠C কোণ 90° হওয়ায়,
তাই, ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ সে.মি. বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৮১০ বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান: 
ধরি, ত্রিভুজের উচ্চতা = h সে.মি.
তাহলে ভূমি = ২h + ৬ সে.মি.

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
 ⇒ (১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ৮১০
 ⇒ (১/২) × (২h + ৬) × h = ৮১০
 ⇒ (২h + ৬) × h = ১৬২০
 ⇒ ২h^২ + ৬h = ১৬২০
 ⇒ ২h^২ + ৬h - ১৬২০ = ০
 ⇒ h^২ + ৩h - ৮১০ = ০
 ⇒ h^২ + ৩০h - ২৭h - ৮১০ = ০
 ⇒ h(h + ৩০) - ২৭(h + ৩০) = ০ 
 ⇒ (h + ৩০)(h - ২৭) = ০ 
হয়, 
h - ২৭ = ০ 
∴ h = ২৭ 
অথবা, 
h + ৩০ = ০
∴ h = - ৩০ ; [ইহা গ্রহণযোগ্য নয় কারণ উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না]

সুতরাং, ত্রিভুজের উচ্চতা ২৭ সে.মি.। 

এখানে, x/2 + x + 3x/2 = 180°
বা, x + 2x + 3x = 180° × 2
বা, 6x = 360°
∴ x = 60°
∴ 60° এর সম্পূরক কোণ = 180° - 60° = 120°

ত্রিভূজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান।
ফলে প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60° যা সুক্ষকোণ।
সুতরাং ত্রিভূজটি সুক্ষকোণী।

দুটি সমান কোনের বাহু দু'টি সমান হবে ফলে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × লম্ব

সুতরাং
ক্ষেত্রফল = (½) × 20 × 21 বর্গমিটার
= (½)× 420 বর্গমিটার
= 210 বর্গমিটার

y=3x+2……..(i)
y= -3x+2…….(ii)
এবং y= -2……(iii)
এখানে, (i) ও (ii) নং সমীকরণের ঢাল যথাক্রমে 3 ও -3, যাদের পরমমান সমান। সুতরাং এই রেখা দুটি সমান। কিন্তু (iii) নং রেখাটি (i) ও (ii) নং হতে ভিন্ন।
তাই সমীকরণগুলো দ্বারা গঠিত চিত্রটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।