লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

মোট প্রশ্ন২,০০৯এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ১৯ / ২০ · ১,৮০১–১,৯০০ / ২,০০৯

১,৮০১.
একটি সমবাহু ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?
  1. ক
    ১৫ সে.মি.
  2. খ
    ২৪ সে.মি.
  3. গ
    ২৭ সে.মি.
  4. ঘ
    ১২ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)২
বা, বাহু২ = (৪ × ১৬√৩)/√৩ 
বা, বাহু = √৬৪
∴ বাহু = ৮ সে.মি.
 
সুতরাং, ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৮ + ৮ + ৮ = ২৪ সে.মি.
১,৮০২.
ত্রিভুজ ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বাড়ানো হল। ∠A = 60° এবং ∠B = 90° হলে, ∠ACD এর মান কত? 
  1. ক
    100°
  2. খ
    150°
  3. গ
    120°
  4. ঘ
    110°
ব্যাখ্যা


ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
  ∠ACD =∠ BAC + ∠ABC = 60° +90° = 150°
১,৮০৩.
একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ একক ও ১১ একক। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য একটি পূর্ণ সংখ্যা হয়, তাহলে ত্রিভুজটির সম্ভাব্য সর্বনিম্ন পরিসীমা কত?
  1. ক
    ২৩ একক
  2. খ
    ১৮ একক
  3. গ
    ২০ একক
  4. ঘ
    ২২ একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ একক ও ১১ একক। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য একটি পূর্ণ সংখ্যা হয়, তাহলে ত্রিভুজটির সম্ভাব্য সর্বনিম্ন পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
যেহেতু, ৩য় বাহুটি একটি পূর্ণসংখ্যা।

ধরি,
তৃতীয় বাহুর সংখ্যাটি ৩ বা ৪ বা ৫ অথবা ৬
এখন,
৩ + ৭ = ১০ < ১১ [গ্রহণযোগ্য নয়]
৪ + ৭ = ১১ = ১১ [গ্রহণযোগ্য নয়]
৫ + ৭ = ১২ > ১১ [যা অপর ২ বাহুর সমষ্টি থেকে বৃহত্তর]

∴ ৩য় বাহু = ৫ একক

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা = (৭ + ১১ + ৫) = ২৩ একক
১,৮০৪.
কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তটির কেন্দ্রকে বলে - 
  1. ক
    ক) অন্তঃকেন্দ্র
  2. খ
    খ) পরিকেন্দ্র
  3. গ
    গ) লম্ব কেন্দ্র
  4. ঘ
    ঘ) ভরকেন্দ্র
ব্যাখ্যা
কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তকে বলা হয় পরিবৃত্ত এবং কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র।
১,৮০৫.
বিষমবাহু △ABC এর বাহুগুলির মান এমনভাবে নির্ধারিত যে, AD মধ্যমা দ্বারা গঠিত △ABD এর ক্ষেত্রফল x বর্গমিটার। △ABC এর ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    x2 বর্গমিটার
  2. খ
    2x বর্গমিটার
  3. গ
    (x/2)2 বর্গমিটার
  4. ঘ
    (√x/3)3 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বিষমবাহু △ABC এর বাহুগুলির মান এমনভাবে নির্ধারিত যে, AD মধ্যমা দ্বারা গঠিত △ABD এর ক্ষেত্রফল x বর্গমিটার। △ABC এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
যেকোনো ত্রিভূজের মধ্যমা ঐ ত্রিভূজকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
তাই মধ্যমা AD, ΔABD ও ΔACD এ সমান ভাগে ভাগ করে।
যেহেতু ΔABD এর ক্ষেত্রফল x বর্গমিটার সেহেতু ΔACD এর ক্ষেত্রফল হবে x বর্গমিটার
সুতরাং, ΔABC এর ক্ষেত্রফল= ΔABD এর ক্ষেত্রফল + Δ ABD এর ক্ষেত্রফল
= x + x
= 2x বর্গমিটার
১,৮০৬.
১৮ মিটার উচ্চতা ও ১২ মিটার ভূমি বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    ৯৬ বর্গমিটার
  2. খ
    ১০৮ বর্গমিটার
  3. গ
    ১২০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ১৩৪ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৮ মিটার উচ্চতা ও ১২ মিটার ভূমি বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা = ১৮ মিটার
ভূমি = ১২ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১২ × ১৮
= ৬ × ১৮
= ১০৮ বর্গমিটার

১,৮০৭.
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2√3 বর্গ মিটার হলে, এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 2√2 মি.
  2. খ
    খ) 2√3 মি.
  3. গ
    গ) 2 মি.
  4. ঘ
    ঘ) 3√2 মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2√3 বর্গ মিটার হলে, এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি.

প্রশ্নমতে,
(√3/4)a2 = 2√3
বা, a2 = 2√3 × (4/√3)
বা, ‍a2 = 8
বা, a = √8
∴ a = 2√2 মি.

∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 2√2 মি.
১,৮০৮.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কী কোণ? 
  1. ক
    সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    সন্নিহিত কোণ
  3. গ
    সরলকোণ
  4. ঘ
    পূরককোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কী কোণ? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০° 
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ = ৯০°
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° - ৯০° = ৯০°

∴ প্রতিটি কোণ ভিন্ন ভিন্ন ভাবে অবশ্যই ৯০° এর চেয়ে ছোট হবে।
অর্থাৎ এগুলো সূক্ষ্মকোণ হবে। 
১,৮০৯.
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহু ২ মিটার হলে, তার ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    ক) ২ বর্গমিটার
  2. খ
    খ) √৩ বর্গমিটার
  3. গ
    গ) ৪√৩ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) √৩/৪ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহু ২ মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে,
ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a2 বর্গমিটার
= (√3/4) × 22 বর্গমিটার
= (√3/4) × 4 বর্গমিটার
= √3 বর্গমিটার

১,৮১০.
বাহুভেদে ত্রিভুজ কত প্রকার?
  1. ক
    ক) ৩
  2. খ
    খ) ৪
  3. গ
    গ) ৫
  4. ঘ
    ঘ) বহু প্রকার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বাহুভেদে ত্রিভুজ কত প্রকার?

- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
- ত্রিভুজের বাহুগুলাে দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। 
- যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।

বাহুভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার:
- সমবাহু,
- সমদ্বিবাহু ও
- বিষমবাহু।।

আবার
কোণভেদেও ত্রিভুজ তিন প্রকার:
- সূক্ষ্মকোণী,
- স্থূলকোণী ও
- সমকোণী।
১,৮১১.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয় ২১ একক এবং ২৮ একক হলে, এর অতিভুজ কত একক হবে?
  1. ক
    ৩০ একক
  2. খ
    ৩২ একক
  3. গ
    ৩৫ একক
  4. ঘ
    ৩৭ একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয় ২১ একক এবং ২৮ একক হলে, এর অতিভুজ কত একক হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের, অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভূমি২
⇒ অতিভুজ২ = ২১২ + ২৮২
⇒ অতিভুজ২ = ৪৪১ + ৭৮৪
⇒ অতিভুজ২ = ১২২৫
∴ অতিভুজ = ৩৫ একক
১,৮১২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 8° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
  1. ক
    ক) 39°
  2. খ
    খ) 40°
  3. গ
    গ) 41°
  4. ঘ
    ঘ) 42°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 8° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ = x
অপর কোণ = x + 8°

∴ শর্তানুসারে,
x + x + 8° + 90° = 180°
বা, 2x = 180° - 98°
বা, x = 82°/2
∴ x = 41°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ 41°
১,৮১৩.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 36 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 13/10 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    81 বর্গমিটার
  2. খ
    72 বর্গমিটার
  3. গ
    36 বর্গমিটার
  4. ঘ
    60 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 36 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 13/10 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির ভূমি, b = x মিটার।
∴সমান সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য হবে, a = (13x/10) মিটার।

প্রশ্নমতে,
x + (13x/10) + (13x/10) = 36
⇒ (10x + 13x + 13x)/10 = 36
⇒ 36x/10 = 36
⇒ 36x = 360
∴ x = 10

সুতরাং, ত্রিভুজটির ভূমি, b = 10 মিটার।
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = (13 × 10)/10
​ = 13 মিটার।

এখন, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a2 - b2)
= (10/4) × √{4(13)2 - (102)}
= (5/2) × √{(4 × 169) - 100}
= (5/2) × √(676 - 100)
= (5/2) × √576
= (5/2) × 24
= 60 বর্গমিটার।

১,৮১৪.
ΔABC এ ∠A = 40°, ∠B = 70°, হলে ΔABC কী ধরনের ত্রিভুজ?
  1. ক
    সমকোণী
  2. খ
    স্থূলকোণী
  3. গ
    সমদ্বিবাহু
  4. ঘ
    সমবাহু
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এ ∠A = 40°, ∠B = 70°, হলে ΔABC কী ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ΔABC এর ∠A = 40°, ∠B = 70°

∴ অপর কোণটি = 180° - (40° + 70°)
= 180° - 110°
= 70°

এখানে, সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলো সমান।
তাই, ΔABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
১,৮১৫.
চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ || MR, PQ = PR হলে, ∠NRP এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    90°
  2. খ
    55°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    35°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ || MR, PQ = PR হলে, ∠NRP এর মান নিচের কোনটি?


সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে,
PQ = PR

সুতরাং, PQR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

∠PQR = ∠PRQ = 55°
∠LRN = 90° হলে ∠NRQ = 90°

সুতরাং, ∠NRP = ∠NRQ - ∠PRQ = 90° - 55° = 35°
১,৮১৬.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য ৪ ডিগ্রী হলে বৃহত্তম কোণটি কত ডিগ্রী হবে?
  1. ক
    ৪১°
  2. খ
    ৪৩°
  3. গ
    ৪৫°
  4. ঘ
    ৪৭°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য ৪ ডিগ্রী হলে বৃহত্তম কোণটি কত ডিগ্রী হবে?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক
বৃহত্তম কোণ = ক + ৪°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ৪° = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৪°
⇒ ক = ৮৬°/২
⇒ ক = ৪৩°

∴ বৃহত্তম কোণ = ৪৩° + ৪° = ৪৭°
১,৮১৭.
ত্রিভুজের যেকোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে- 
  1. ক
    সূক্ষ্মকোণী
  2. খ
     স্থূলকোণী
  3. গ
    সমবাহু
  4. ঘ
    সমকোণী
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের যে কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
বড় কোণ = x
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x

শর্তমতে,
x + x = 180°
বা, 2x = 180°
বা, x = 180°/2
∴ x = 90°
অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী।

১,৮১৮.
একটি সমবাহু ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ৬ সেমি
  2. খ
    খ) ৮ সেমি
  3. গ
    গ) ১০ সেমি
  4. ঘ
    ঘ) ১২ সেমি
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)২
বা, বাহু২ = (৪ × ১৬√৩)/√৩ = ৬৪
∴ বাহু = ৮ সেমি
১,৮১৯.
কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?
  1. ক
    ৪, ৭ এবং ৯
  2. খ
    ২, ৫ এবং ৬
  3. গ
    ৫, ৭ এবং ১৩
  4. ঘ
    ৩, ৫ এবং ৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।

এখানে,
প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৪ + ৭ = ১১ > ৯ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
৫ + ৭ = ১২ < ১৩ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
৩ + ৫ = ৮ > ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
১,৮২০.
ABC ত্রিভুজে AB = 26 মি., BC = 28 মি. এবং ক্ষেত্রফল 182 বর্গমি.। তাহলে ∠B = ?
  1. ক
    60°
  2. খ
    30°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 26 মি., BC = 28 মি. এবং ক্ষেত্রফল 182 বর্গমি.। তাহলে ∠B = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
ΔABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sin ∠B
বা, 182 = (1/2) × 26 × 28 × sin ∠B
বা, 182 = 364 × sin ∠B
বা,  sin ∠B = 182/364
বা,  sin ∠B = 1/2
বা,  sin ∠B = ‍sin 30°
∴ ∠B = 30°
১,৮২১.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 10 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    28 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    25 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    36 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    49 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 10 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, b = 10 সে.মি.
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের 2টি সমান বাহু = ‍a

আমরা জানি,
a2 + a2 = (10)2
বা, 2a2 = 100
বা, a2 = 50
∴ a = √50

∴ ক্ষেত্রফল = (1/2) × √50 × √50
= (1/2) × 50
= 25 বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = 25 বর্গ সে.মি.
১,৮২২.
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 4° হলে এর ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?
  1. ক
    ক) 41°
  2. খ
    খ) 43°
  3. গ
    গ) 49°
  4. ঘ
    ঘ) 82°
ব্যাখ্যা

মনে করি একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90-ক)
শর্তমতে, ক - (90-ক) = 4
বা, ক - 90 + ক = 4
বা, 2ক = 94
বা, ক = 47
সুতরাং অপর কোণটি = 90-ক = 90-47 = 43°

১,৮২৩.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৬ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ৬৪√৩ বর্গমিটার
  2. খ
    খ) ৬৪ বর্গমিটার
  3. গ
    গ) ১৯২ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৩২√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)২ বর্গমি.
= √৩/৪ (১৬)২ বর্গমি.
= ৬৪√৩ বর্গমি.

১,৮২৪.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 16 একক এবং অপর প্রত্যেক বাহুদ্বয় 10 একক। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গএকক?
  1. ক
    24 বর্গএকক
  2. খ
    36 বর্গএকক
  3. গ
    42 বর্গএকক
  4. ঘ
    48 বর্গএকক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 16 একক এবং অপর প্রত্যেক বাহুদ্বয় 10 একক। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গএকক?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a একক এবং ভূমি bএকক হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2) বর্গএকক

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 10 একক 
ভূমির দৈর্ঘ্য 16 একক 

এখানে, a = 10 একক, b= 16 একক 
সুতরাং, ক্ষেত্রফল =
(16/4)√(4 × 102 - 162) বর্গএকক
= 4√(4 × 100 - 256) বর্গএকক
= 4√(400 - 256) বর্গএকক
= 4√144 বর্গএকক
= 4 × 12 বর্গএকক
= 48 বর্গএকক
১,৮২৫.
কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয়দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি- 
  1. ক
    ক) বিষমবাহু
  2. খ
    খ) সমবাহু
  3. গ
    গ) সমকোণী
  4. ঘ
    ঘ) সমদ্বিবাহু
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয়দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি- 

সমাধান:
- একটি ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণগুলো সমান হলে ত্রিভুজের অন্তস্থ কোণগুলোও সমান হয়।
- সুতরাং এটা নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে ত্রিভুজটির অন্তত দুটি বাহু পরস্পর সমান।
সঠিক উত্তরঃ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমবাহু হতে পারে আবার নাও হতে পারে।

১,৮২৬.
  1. ক
    ক) 60°, 36°
  2. খ
    খ) 40°, 50°
  3. গ
    গ) 30°, 70°
  4. ঘ
    ঘ) 80°, 20°
ব্যাখ্যা
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, সূক্ষ্মকোণ দুইটির যোগফল ১৮০° হতে হবে। 
তাই, 40° + 50° = 90°
১,৮২৭.
সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির মাঠের অতিভুজ ১০ সেমি এবং ভূমি ৬ সেমি হলে মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৩০ বর্গসেমি
  2. খ
    ৬৪ বর্গসেমি
  3. গ
    ২৪ বর্গসেমি
  4. ঘ
    ৪৪ বর্গসেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির মাঠের অতিভুজ ১০ সেমি এবং ভূমি ৬ সেমি হলে মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির মাঠের অতিভুজ = ১০ সেমি
এবং ভূমি = ৬ সেমি

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(ভূমি)২ + (লম্ব)২ = (অতিভুজ)২
⇒ (লম্ব)২ = (অতিভুজ)২ - (ভূমি)২
⇒ (লম্ব)২ = (১০)২ - (৬)২
⇒ (লম্ব)২ = ১০০ - ৩৬
⇒ (লম্ব)২ = ৬৪
⇒ লম্ব = √৬৪
∴ লম্ব = ৮

∴ মাঠটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × লম্ব × ভূমি
= (১/২) × ৮ × ৬
= ২৪ বর্গসেমি
১,৮২৮.
ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহি:স্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি -
  1. ক
    ক) সমকোণী
  2. খ
    খ) বিষমবাহু
  3. গ
    গ) সমদ্বিবাহু
  4. ঘ
    ঘ) সমবাহু
ব্যাখ্যা

একটি ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণগুলো সমান হলে ত্রিভুজের অন্তস্থ কোণগুলোও সমান হয়। সুতরাং এটা নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে ত্রিভুজটির অন্তত দুটি বাহু পরস্পর সমান।
সঠিক উত্তরঃ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমবাহু হতে পারে আবার নাও হতে পারে।
১,৮২৯.
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a একক এবং অপর বাহুদ্বয়ের একটি b একক হলে, ৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত একক?
  1. ক
    ক) √(a2 + b2)
  2. খ
    খ) 2√(a2 - b2)
  3. গ
    গ) √(a2 - b2)
  4. ঘ
    ঘ) √(a2 - b2)/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a একক এবং অপর বাহুদ্বয়ের একটি b একক হলে, ৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত একক?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a  একক 
অপর বাহুদ্বয়ের একটি b একক

ধরি,
৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য  = x 

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে -
b2 + x2 = a2
x2 = a2 - b2
a =√(a2 - b2)
১,৮৩০.
দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার সঠিক শর্ত নয় নিচের কোনটি?
  1. ক
    দুটি ত্রিভুজের ৩টি কোণ পরস্পর সমান হবে
  2. খ
    দুটি ত্রিভুজের ২টি কোণ পরস্পর সমান এবং সংলগ্ন ১টি বাহু সমান হবে 
  3. গ
    দুটি ত্রিভুজের ২টি বাহু পরস্পর সমান এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণটি সমান হবে  
  4. ঘ
    কোনটিই নয় 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার সঠিক শর্ত নয় নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত: 
- একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু অপর ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হয়। 
- একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণ অপর ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। 
- একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহু অপর ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। 
- দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের একটির অতিভুজ এবং এক বাহু অপরটির অতিভুজ এবং এক বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। 

১,৮৩১.
কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?
  1. ক
    ৪, ৫ এবং ৮ সে.মি.
  2. খ
    ২, ৫ এবং ৬ সে.মি.
  3. গ
    ৩, ৪ এবং ৭ সে.মি.
  4. ঘ
    ৬, ৭ এবং ১১ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।

এখানে,
প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৪ + ৫ = ৯ > ৮ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
৩ + ৪ = ৭ = ৭ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
৬ + ৭ = ১৩ > ১১ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
১,৮৩২.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল 1200 বর্গ সে.মি. হলে সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।
  1. ক
    ক) 40
  2. খ
    খ) 50
  3. গ
    গ) 60
  4. ঘ
    ঘ) 80
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল 1200 বর্গ সে.মি. হলে সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি b = 60 সে.মি.
এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = a

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b²)

প্রশ্নানুসারে, (b/4)√(4a2 - b²) = 1200
বা, (60/4)√(4a2 - 602) = 1200
বা, (15)√(4a2 - 3600) = 1200
বা, √(4a2 - 3600) = 80
বা, 4a2 - 3600 = 6400  [বর্গ করে]
বা, 4a2 = 10000 
বা, a2 = 2500
বা, a = 50

ত্রিভুজটির সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে.মি.।
১,৮৩৩.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 13 একক এবং ভূমি 24 একক হলে, ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    64 বর্গ একক
  2. খ
    37 বর্গ একক
  3. গ
    60 বর্গ একক
  4. ঘ
    48 বর্গ একক
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 13 একক এবং ভূমি 24 একক হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 24 একক
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 13 একক

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a2 - b2) বর্গ একক
= (24/4) × √{(4 × 132) - 242}
= 6 × √{(4 × 169) - 576}
= 6 × √(676 - 576)
= 6 × √100
= 6 × 10
= 60 বর্গ একক

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো 60 বর্গ একক।

১,৮৩৪.
ত্রিভুজের বহিঃকোণ ও তার বিপরীত অন্তঃকোণের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ৯০°
  2. খ
    ১২০°
  3. গ
    ৩৬০°
  4. ঘ
    ১৮০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের বহিঃকোণ ও তার বিপরীত অন্তঃকোণের সমষ্টি কত?  

সমাধান:
যেকোনো ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃকোণ উৎপন্ন হয়, সেই বহিঃকোণ এবং তার বিপরীত অন্তঃকোণ (যে অন্তঃকোণের সাথে বহিঃকোণ লাগানো) দুটি একই সরলরেখার উপর অবস্থিত।  

সুতরাং,  
বহিঃকোণ + তার বিপরীত অন্তঃকোণ = ১৮০°  

সুতরাং, ত্রিভুজের বহিঃকোণ ও তার বিপরীত অন্তঃকোণের সমষ্টি ১৮০°। 

১,৮৩৫.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ সে.মি. এবং উচ্চতা ক সে.মি. হলে, ক এর মান কত?
  1. ক
    √১ সে.মি.
  2. খ
    ২√২ সে.মি.
  3. গ
    √৩ সে.মি.
  4. ঘ
    √৫ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ সে.মি. এবং উচ্চতা ক সে.মি. হলে, ক এর মান কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × বাহু২
= (√৩/৪) × ২২
= (√৩/৪) × ৪
= √৩ বর্গ সে.মি.

আবার, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, (১/২) × ভূমি × উচ্চতা = √৩
⇒ (১/২) × ২ × ক = √৩
⇒ ১ × ক = √৩
∴ ক = √৩ সে.মি.
১,৮৩৬.
৩ সে.মি. , ৪ সে.মি. ও ৫ সে.মি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে -
  1. ক
    ক) সূক্ষ্মকোণী
  2. খ
    খ) সমকোণী
  3. গ
    গ) সরলকোণী
  4. ঘ
    ঘ) স্থূলকোণী
ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
ভূমি² + লম্ব² = অতিভুজ²
এখানে,
৩২+৪২=৫২

১,৮৩৭.
একটি ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি-
  1. ক
    ক) সমবাহু
  2. খ
    খ) সমদ্বিবাহু
  3. গ
    গ) সমকোণী
  4. ঘ
    ঘ) বিষমবাহু
ব্যাখ্যা
সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান - এটি একটি প্রতিজ্ঞা।
১,৮৩৮.
কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তটির কেন্দ্রকে বলে - 
  1. ক
    অন্তঃকেন্দ্র
  2. খ
    পরিকেন্দ্র
  3. গ
    লম্ব কেন্দ্র
  4. ঘ
    ভরকেন্দ্র
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তটির কেন্দ্রকে বলে - 

সমাধান:
কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তকে বলা হয় পরিবৃত্ত এবং কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র।
১,৮৩৯.
৪ সে.মি., ৯ সে.মি. ও ১১ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    ১২.৫ বর্গ সে. মি.
  2. খ
    ১৬ বর্গ সে. মি.
  3. গ
    ১৯.৫ বর্গ সে. মি.
  4. ঘ
    ১২√২ বর্গ সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪ সে.মি., ৯ সে.মি. ও ১১ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজটির বাহু গুলি হল a = ৪ সে.মি., b = ৯ সে.মি., এবং c = ১১ সে.মি.।
অর্ধপরিসীমা, s=(a + b + c​)/2
= (৪ + ৯ + ১১)/২
= ২৪/২
= ১২
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল , A = √{s(s − a)(s − b)(s − c)}
= √{১২ × (১২ − ৪) × (১২ − ৯) × (১২ − ১১)​}
= √(১২ × ৮ × ৩ × ১​)
= √২৮৮
= √(২ × ১৪৪)
= ১২√২ বর্গ সে.মি.
১,৮৪০.
একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার। এর উচ্চতা ১২ মি. হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ২৫ মি.
  2. খ
    খ) ২৭ মি.
  3. গ
    গ) ২৩ মি.
  4. ঘ
    ঘ) ২৪ মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার। এর উচ্চতা ১২ মি. হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা ১২ মি.

আমরা জানি 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
বা, ১৪৪ = (১/২) × ১২ × ভূমি
বা, ৬ × ভূমি = ১৪৪
 বা, ভূমি = ১৪৪/৬
 ভূমি = ২৪ মি.
১,৮৪১.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২ ডিগ্রি। সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
  1. ক
    ৪৩°
  2. খ
    ৪৪°
  3. গ
    ৪৫°
  4. ঘ
    ৪৬°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২ ডিগ্রি। সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = “ক”
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ (ক + ১)
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°

∴ ক + ক + ২ + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২ক + ৯২° = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০° - ৯২°
⇒ ২ক = ৮৮°
∴ ক = ৪৪°
১,৮৪২.
একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৩ : ৪ হলে বৃহত্তম কোণ কত? 
  1. ক
    ৮৮°
  2. খ
    ৬০°
  3. গ
    ৮০°
  4. ঘ
    ১২০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৩ : ৪ হলে বৃহত্তম কোণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৩ : ৪  
ধরি কোণগুলো যথাক্রমে ২x, ৩x এবং ৪x  

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = ১৮০°  
⇒ ২x + ৩x + ৪x = ১৮০°  
⇒ ৯x = ১৮০°  
⇒ x = ২০°  

∴ বৃহত্তম কোণ = ৪x = ৪ × ২০° = ৮০°

১,৮৪৩.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ? 
  1. ক
    স্থূলকোণী ত্রিভুজ
  2. খ
    সমবাহু ত্রিভুজ 
  3. গ
    সমকোণী ত্রিভুজ
  4. ঘ
    বিষমবাহু ত্রিভুজ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ? 

সমাধান: 
ধরি, 
কোণ তিনটি যথাক্রমে x, x এবং 2x 

প্রশ্নমতে,
x + x + 2x = 180° 
বা, 4x = 180°
∴ x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী। 
১,৮৪৪.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩ হলে, ত্রিভুজটি হবে-
  1. ক
    সমবাহু ত্রিভুজ
  2. খ
    স্থূলকোণী ত্রিভুজ
  3. গ
    সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
  4. ঘ
    সমকোণী ত্রিভুজ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩ হলে, ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের একটি কোণ যদি অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩

এখানে,
১ + ২ = ৩
অর্থাৎ, দুইটি কোণের সমষ্টি তৃতীয় কোণের সমান।

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।
১,৮৪৫.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৫৭৬ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটি দৈর্ঘ্য ৩৬ একক হলে অপরটি কত? 
  1. ক
    ক) ২৬ একক
  2. খ
    খ) ২৮ একক
  3. গ
    গ) ৩২ একক
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬ একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৫৭৬ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটি দৈর্ঘ্য ৩৬ একক হলে অপরটি কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল) 
বা, ৫৭৬ =  (১/২) × ৩৬ × নির্ণেয় বাহু 
বা, নির্ণেয় বাহু = (৫৭৬ × ২)/৩৬ 
∴ নির্ণেয় বাহু = ৩২ একক 
১,৮৪৬.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপরটির তিন-চতুর্থাংশ হলে, অপর দুটি বাহুর মধ্যে বৃহত্তর বাহু কোনটি?
  1. ক
    15 মিটার
  2. খ
    20 মিটার
  3. গ
    25 মিটার
  4. ঘ
    17 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপরটির তিন-চতুর্থাংশ হলে, অপর দুটি বাহুর মধ্যে বৃহত্তর বাহু কোনটি? 

সমাধান:


ধরি, একিটি বাহু, BC = y মিটার
অপর বাহু, AB = 3y/4 মিটার 

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AB2 + BC2 = AC2
বা, (3y/4)2 + y2 = 252
বা, (9y2/16) + y2 = 625
বা, (9y2 + 16y2)/16 = 625 
বা, 25y2 = 625 × 16
বা, y2 = (625 × 16)/25
বা, y2 = 400
∴ y = 20 মিটার

∴ একটি বাহু = 20 মিটার এবং, অপর বাহু = (3 × 20)/4 = 15 মিটার

১,৮৪৭.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪√৩ সে.মি. এবং উচ্চতা h সে.মি. হলে, h এর মান কোনটি?
  1. ক
    ২ মিটার
  2. খ
    ৪ মিটার
  3. গ
    ৬ মিটার
  4. ঘ
    ১২ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪√৩ সে.মি. এবং উচ্চতা h সে.মি. হলে, h এর মান কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)২
= (√৩/৪) × (৪√৩)২ বর্গ সে.মি.
= (√৩/৪) × ৪৮ বর্গ সে.মি.
= ১২√৩ বর্গ সে.মি.
 
আবার,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা 
= (১/২) × ৪√৩ × h বর্গ সে.মি.
= ২√৩h বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
২√৩h = ১২√৩
∴ h = ৬
১,৮৪৮.
বাংলাদেশে কোভিড-১৯ আক্রান্ত রোগীর সংখ্যা যদি দিন দিন ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২ ………. এভাবে বৃদ্ধি হতে থাকে তাহলে ঐ বৃদ্ধির হারকে কি বলা হয়?
  1. ক
    ক) আনুপাতিক হার
  2. খ
    খ) গানিতিক হার
  3. গ
    গ) জ্যামিতিক হার
  4. ঘ
    ঘ) অস্বাভাবিক হার
ব্যাখ্যা

জ্যামিতিক হার = ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২ …………
গানিতিক হার = ২, ৩, ৪, ৫, ৬ …………

১,৮৪৯.
একটি ত্রিভুজের উচ্চতা ১০ মিটার এবং ভূমি ১২ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    ৮০ বর্গমিটার
  2. খ
    ৬০ বর্গমিটার
  3. গ
    ১০০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ২৪০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের উচ্চতা ১০ মিটার এবং ভূমি ১২ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা = ১০ মিটার
ভূমি = ১২ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ১২ × ১০
= ৬ × ১০
= ৬০ বর্গমিটার

১,৮৫০.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের অন্তর ৬° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম কোণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ক) ৩২°
  2. খ
    খ) ৩৬°
  3. গ
    গ) ৪১°
  4. ঘ
    ঘ) ৪২°
ব্যাখ্যা
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + ৬°

এখন
x + x + ৬° + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২x = ১৮০° - ৯৬°
⇒ x = ৮৪°/২
∴ x = ৪২°

ক্ষুদ্রতম কোণ ৪২°
১,৮৫১.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান-
  1. ক
    ৬০°, ৫০°, ৭০°
  2. খ
    ৬০°, ৬০°, ৬০°
  3. গ
    ৮০°, ৯০°, ১০°
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান-

সমাধান: 
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান ৬০°
১,৮৫২.
কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না? 
  1. ক
    ২, ৪, ৫
  2. খ
    ২, ৪, ৭
  3. গ
    ৪, ৫, ৬
  4. ঘ
    ৩, ৪, ৬
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না? 

সমাধান: 
তিনটি বাহু দেয়া থাকলে তাদের দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করার শর্ত হলো- 
"যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে"
এখানে, 
অপশন ক) তে, ২ + ৪ = ৬ > ৫; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব, 
অপশন খ) তে, ২ + ৪ = ৬ < ৭; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়, 
অপশন গ) তে, ৪ + ৫ = ৯ > ৬; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব এবং
অপশন ঘ) তে, ৩ + ৪ = ৭ > ৬; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব। 

১,৮৫৩.
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 216 বর্গ সে.মি. এবং এর বাহুগুলোর অনুপাত 3 : 4 : 5। ত্রিভুজটির পরিসীমা কত? 
  1. ক
    48 সে.মি.
  2. খ
    72 সে.মি.
  3. গ
    96 সে.মি.
  4. ঘ
    84 সে.মি.
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 216 বর্গ সে.মি
ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 3 : 4 : 5

ত্রিভুজের  বাহুগুলো যথাক্রমে 3x , 4x ,5x 
ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা  =(3x + 4x + 5x)/2
                                     = 12x/2
                                     = 6x 
প্রশ্নমতে,
√[6x(6x - 3x)(6x - 4x)(6x - 5x)] = 216
√(6x × 3x × 2x × x) = 216
√(36x4) = 216 
√{(6x2)2} = 216
6x2 = 216
x2 = 216/6
x2 = 36
x = 6 

ত্রিভুজের পরিসীমা = 3x + 4x + 5x 
                             = 12x 
                             = 12 × 6 
                             = 72 সে.মি.
১,৮৫৪.
কোন ত্রিভুজের বাহুগুলাে নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    ক) ৬, ৫, ৪
  2. খ
    খ) ১২, ১৮, ৪
  3. গ
    গ) ৬, ৮, ১০
  4. ঘ
    ঘ) ২, ৩, ৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের বাহুগুলাে নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান: 
আমরা জানি 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভূমি২ + লম্ব২ = অতিভুজ২ 
এখানে,
       ৬২ + ৮২ = ১০২ 
   ⇒  ৩৬ + ৬৪ = ১০০ 
    ∴ ১০০ = ১০০
১,৮৫৫.
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ক) 30°
  2. খ
    খ) 60°
  3. গ
    গ) 90°
  4. ঘ
    ঘ) 180°
ব্যাখ্যা
- যে ত্রিভুজের তিন কোণ সমান, তার বাহুগুলোও সমান হয় বলে তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ৬০°।
- সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান
১,৮৫৬.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 6° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত? 
  1. ক
    42°
  2. খ
    30°
  3. গ
    40°
  4. ঘ
    48°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 6° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
বৃহত্তম কোণ = x°
ক্ষুদ্রতম কোণ = (x - 6)° 

প্রশ্নমতে,
x + (x - 6) = 90 
বা, 2x - 6 = 90 
বা, 2x = 96 
∴ x = 48 

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = (48 - 6)° 
= 42° ।
১,৮৫৭.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণের পার্থক্য 6° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?
  1. ক
    42.5°
  2. খ
    42°
  3. গ
    46°
  4. ঘ
    45°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণের পার্থক্য 6° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সূক্ষ্মকোণ = x
অপর সূক্ষ্মকোণ = x + 6

প্রশ্নমতে,
x + x + 6 = 90°
⇒ 2x + 6 = 90°
⇒ 2x = 84°
∴ x = 42°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 42°
১,৮৫৮.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 6 মিটার এবং অপর দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার করে হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    36 বর্গমিটার
  2. খ
    24 বর্গমিটার
  3. গ
    12 বর্গমিটার
  4. ঘ
    60 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 6 মিটার এবং অপর দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার করে হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) √{4(a)2 - b2}

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 6 মিটার
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √{4a2 - b2}
= (6/4) √{4(5)2 - (6)2}
= (3/2) {√(100 - 36)}
= (3/2) × √64
= (3/2) × 8
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার
১,৮৫৯.
ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর-
  1. ক
    ক) দ্বিগুন
  2. খ
    খ) সমান
  3. গ
    গ) অর্ধেক
  4. ঘ
    ঘ) কোন সম্পর্ক নেই
ব্যাখ্যা
‍ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু E, তাহলে, DE = 1/2BC
১,৮৬০.
সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কোণটি?
  1. ক
    9 : 40 : 41
  2. খ
    7 : 13 : 15
  3. গ
    4 : 5 : 6
  4. ঘ
    9 : 10 : 11
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কোণটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
∴ 412 = 402 + 92

সুতরাং, 9 : 40 : 41 বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।


সমকোণী ত্রিভুজের  বাহুগুলোর অনুপাত = 3 : 4 : 5, 6 : 8 : 10, 5 : 12 : 13, 7 : 24 : 25, 9 : 40 : 41 এই রকম হয়ে থাকে। 
১,৮৬১.
একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯১ বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১৪ গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    ক) ১২ গজ 
  2. খ
    খ) ১৩ গজ 
  3. গ
    গ) ১৫ গজ 
  4. ঘ
    ঘ) ১৭ গজ 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯১ বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১৪ গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 


ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) × ভূমি × 14
= 7 × ভূমি 

প্রশ্নমতে,
7 × ভূমি = 91
⇒ ভূমি = 91/7
∴ ভূমি = 13

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য ১৩ গজ
১,৮৬২.
একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি ৫৫মিটার এবং উচ্চতা ৩০ মিটার। প্রতি বর্গমিটারে ২.০০ টাকা হিসেবে ঘাস লাগাতে কত টাকা খরচ হবে?
  1. ক
    ১৫৫০ টাকা
  2. খ
    ১৬৫০ টাকা
  3. গ
    ১৭২০ টাকা
  4. ঘ
    ১৭৫০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি ৫৫মিটার এবং উচ্চতা ৩০ মিটার। প্রতি বর্গমিটারে ২.০০ টাকা হিসেবে ঘাস লাগাতে কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি = ৫৫মিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা = ৩০ মিটার

∴ ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ১/২ × (ভূমি × উচ্চতা) বর্গমিটার
= ১/২ × (৫৫ × ৩০) বর্গমিটার
= ৮২৫ বর্গমিটার

১ বর্গমিটারে খরচ হয় = ২ টাকা
∴ ৮২৫ বর্গমিটারে খরচ হয় = (২ × ৭৫০) টাকা
= ১৬৫০ টাকা
১,৮৬৩.
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি-
  1. ক
    সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    সূক্ষ্মকোণ বা স্থূল কোণ
  3. গ
    স্থূল কোণ
  4. ঘ
    সমকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি-

সমাধান:
- একটি ত্রিভুজে ১টি সমকোণ থাকতে পারে।
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ। 
- ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হয় দুই সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলে, অতিভূজের বিপরীত কোণ সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ বৃহত্তম বাহুই
১,৮৬৪.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২২২ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ একক হলে অপরটি কত একক?
  1. ক
    ক) ৩০
  2. খ
    খ) ৩৪
  3. গ
    গ) ৩৭
  4. ঘ
    ঘ) ৪০
ব্যাখ্যা
যেহেতু ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ তাই এর ক্ষেত্রফল হবে = ১/২ × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
অর্থাৎ, ২২২ = ১/২ × ১২ × অপর বাহু
বা, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = ২২২/৬ = ৩৭ একক
১,৮৬৫.
একটি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গফুট। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য ১৬ ফুট হলে শীর্ষ বিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ১৮ ফুট
  2. খ
    ১২ ফুট
  3. গ
    ৬ ফুট
  4. ঘ
    ২৪ ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গফুট। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য ১৬ ফুট হলে শীর্ষ বিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
লম্বের দৈর্ঘ্য = ক ফুট

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ৯৬ = (১/২) × ১৬ × ক
⇒ ৯৬ = ৮ × ক
⇒ ক = ৯৬/৮
∴ ক = ১২ ফুট

∴ শীর্ষ থেকে ভূমির উপর লম্বের দৈর্ঘ্য = ১২ ফুট
১,৮৬৬.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৯ মিটার
  2. খ
    ৮ মিটার
  3. গ
    ৭ মিটার
  4. ঘ
    ৬ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৩ক একক।
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৪ক একক।

বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার
তাহলে, এর পরিসীমা = ৪ × ৬ = ২৪ মিটার

তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = ২৪ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২৪/৩ = ৮ মিটার।
১,৮৬৭.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার এবং ভূমি 12 মিটার। সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    24 মিটার
  2. খ
    10√2 মিটার
  3. গ
    10 মিটার
  4. ঘ
    16 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার এবং ভূমি 12 মিটার। সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?


সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গমিটার
ভূমি, b =  ১২ মিটার
এবং সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য, a = ?

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a2 - b2)
⇒ (b/4) × √(4a2 - b2) = 48
⇒ (12/4) × √{4a2 - (12)2} = 48
⇒ √{4a2 - 144} = 48/3 = 16
⇒ 4a2 - 144 = 256
⇒ 4a2 = 400
⇒ a2 = 100 = 102
∴ a = 10

সুতরাং, সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 10 মিটার।
১,৮৬৮.
একটি ত্রিভুজাকৃতির জমির ভূমির পরিমাপ ৫০ মিটার এবং উচ্চতা ৩০ মিটার। জমিটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ১৫০ বর্গমিটার
  2. খ
    ৩০০ বর্গমিটার
  3. গ
    ৬০০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৭৫০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতির জমির ভূমির পরিমাপ ৫০ মিটার এবং উচ্চতা ৩০ মিটার। জমিটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমির পরিমাপ = ৫০ মিটার
উচ্চতা = ৩০ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ৫০ × ৩০
= ২৫ × ৩০
= ৭৫০ বর্গমিটার

∴ জমিটির ক্ষেত্রফল ৭৫০ বর্গমিটার।
১,৮৬৯.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 4 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 12 মিটার বেড়ে যায়। প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 1 সেমি
  2. খ
    খ) 1.46 সেমি
  3. গ
    গ) 2 সেমি
  4. ঘ
    ঘ) 2.42 সেমি
ব্যাখ্যা
প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য  a মিটার হলে, ক্ষেত্রফল = √3/4 × a2 বর্গ মিটার
বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 4 মিটার বাড়ালে, নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = (a + 4) মিটার
অতএব, ক্ষেত্রফল = √3/4 × (a + 4)2 বর্গ মিটার

√3/4 × (a + 4)2 - √3/4 × a2 = 12
⇒ √3/4{(a + 4)2 - a2} = 12
⇒ {(a + 4)2 - a2} = 12 × 4/√3 = 16√3
⇒ a2 + 8a + 16 - a2 = 16√3
⇒ 8a = 16√3 - 16
⇒ a = 16(√3 - 1)/8 
⇒ a = 2(√3 - 1) = 2 × 0.732 = 1.46 সেমি 
১,৮৭০.
দুটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৩৬ : ২৫ হলে, তাদের পরিসীমার অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ক) ১২ : ৫
  2. খ
    খ) ৬ : ৫
  3. গ
    গ) ২৫ : ১৬
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬ : ২৫
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৩৬ : ২৫ হলে, তাদের পরিসীমার অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
১ম ত্রিভুজের এক বাহু a1,
২য় ত্রিভুজের এক বাহু a2

১ম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,(√3/4)a12
২য় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,(√3/4)a22
শর্তমতে,
(√3/4)a12 : (√3/4)a22 = 36 : 25
বা, a12 : a22 = 36 : 25
বা, a1 : a2 = 6 : 5

এখন,
১ম ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a1 = 3 × 6x = 18x
২য় ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a2 = 3 × 5x = 15x
১ম ত্রিভুজের পরিসীমা : ২য় ত্রিভুজের পরিসীমা
= 18x : 15x
= 6 : 5

১,৮৭১.
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?
  1. ক
    ৩৬√৩ বর্গমিটার
  2. খ
    ৩২√৩ বর্গমিটার
  3. গ
    ২৮√৩ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ১৭√২ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬/৩ মিটার = ১২ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × (বাহু)২ বর্গমিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × (১২)২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ১৪৪ বর্গমিটার
= ৩৬√৩ বর্গমিটার

১,৮৭২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ মি. বেশি। লম্বের দৈর্ঘ্য ৪ মি. হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত মিটার?
  1. ক
    ক) ৩ মি.
  2. খ
    খ) ৪ মি.
  3. গ
    গ) ৫ মি.
  4. ঘ
    ঘ) ২ মি.
ব্যাখ্যা

ধরি,
ভূমি = x মি.
সুতরাং, অতিভুজ = x + 2 মি.
এখানে, লম্ব = 4 মি.

∴ সূত্রানুসারে,
(x + 2)2 = x2 + 42
⇒ x2 + 4x + 4 = x2 + 16
⇒ 4x = 12
⇒ x = 3
∴ অতিভুজ = 3 + 2 = 5 মি.

১,৮৭৩.
দুইটি ত্রিভুজের মধ্যে কোন উপাদানগুলো সমান হওয়া সত্ত্বেও ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম নাও হতে পারে?
  1. ক
    ক) দুইটি বাহু ও এককোণ
  2. খ
    খ) তিনটি বাহু
  3. গ
    গ) এক বাহু ও দুইটি কোণ
  4. ঘ
    ঘ) তিনটি কোণ
ব্যাখ্যা
দুইটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে সমান হলেও ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম নাও হতে পারে।
১,৮৭৪.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 15 সে.মি. ও অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অন্তর 3 সে.মি.। ঐ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    ক) 12 সে.মি. ও  9 সে.মি
  2. খ
    খ) 15 সে.মি. ও 12 সে.মি
  3. গ
    গ) 6 সে.মি. ও  3 সে.মি
  4. ঘ
    ঘ) 14 সে.মি. ও 17 সে.মি
ব্যাখ্যা
ধরি
সমকোণী ত্রিভুজের এক বাহু = x
তাহলে অপর বাহু = x + 3

∴ (x + 3)2 + x2 = 152
x2 + 2.x.3 + 32 + x2 = 225
x2 + 6x + 9 + x2 = 225 
2x2 + 6x - 216 = 0 
x2 + 3x - 108 = 0
x2 + 12x - 9x - 108 = 0
x(x + 12) - 9(x + 12) = 0
(x + 12) (x - 9) = 0
x = 9, -12
দৈর্ঘ্য ঋনাত্নক হতে পারে না
অতএব x = 9 সে.মি
তাহলে অপর বাহু = 9 + 3 = 12 সে.মি
১,৮৭৫.
কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২৪° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?
  1. ক
    ৩৩°
  2. খ
    ৪৫°
  3. গ
    ৫১°
  4. ঘ
    ৫৭°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২৪° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক
এবং বৃহত্তম কোণ = (ক + ২৪°)

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ২৪° + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০° - ১১৪°
⇒ ক = ৬৬°/২
∴ ক = ৩৩°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩৩°
১,৮৭৬.
ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8, 10, 12 মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার?
  1. ক
    6 মিটার
  2. খ
    5 মিটার
  3. গ
    4 মিটার
  4. ঘ
    3 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8, 10, 12 মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:

এখানে,
বৃহত্তম বাহু, AC = 12 মিটার
ক্ষুদ্রতম বাহু, AB = 8 মিটার

অতএব, AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির সংযোগ সরলরেখা DE হবে তৃতীয় বাহু BC এর অর্ধেক।
∴ DE = BC/2 
= 10/2
= 5 মিটার
১,৮৭৭.
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ৮০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    ক) ২২০ মিটার
  2. খ
    খ) ৯০ মিটার
  3. গ
    গ) ১৮০ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ১২০ মিটার
ব্যাখ্যা
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬০মি. ত্রিভুজটির ভূমি ৮০ মি. হলে, উচ্চতা কত? 

বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬০মি. 
 বর্গের ক্ষেত্রফল = (৬০ × ৬০) বর্গ মিটার 
                          = ৩৬০০ বর্গ মিটার 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ৩৬০০ বর্গ মিটার 
ত্রিভুজটির উচ্চতা ৮০ মি. 

আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
(১/২) × ৮০ × উচ্চতা = ৩৬০০
উচ্চতা = (৩৬০০ × ২)/৮০ 
উচ্চতা = ৯০ মিটার।
১,৮৭৮.
কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 20 সে.মি. এবং ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য কত সে.মি?
  1. ক
    25 সে.মি.
  2. খ
    15 সে.মি.
  3. গ
    36 সে.মি.
  4. ঘ
    10 সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 20 সে.মি. এবং ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য কত সে.মি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = 150 বর্গ সেমি
লম্ব = 20 সে.মি.

আমরা জানি,
(1/2) × ভূমি × উচ্চতা = ক্ষেত্রফল
⇒ (1/2) × ভূমি × 20 = 150
⇒ ভূমি = (150 × 2)/20
∴ ভূমি = 15

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 15 সে.মি.

১,৮৭৯.
কোনো ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদবন্দিুকে কি বলে?
  1. ক
    ক) ভরকেন্দ্র
  2. খ
    খ) পরিকেন্দ্র
  3. গ
    গ) বহিঃকেন্দ্র
  4. ঘ
    ঘ) অন্তঃকেন্দ্র
ব্যাখ্যা

- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

১,৮৮০.
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে?
  1. ক
    ক) যার দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ এবং একটি কোন সমকোণ
  2. খ
    খ) যার তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ
  3. গ
    গ) যার দুটি কোন সূক্ষ্মকোণ এবং একটি কোন স্থুলকোণ
  4. ঘ
    ঘ) একটি কোন স্থূলকোণ এবং একটি কোন সূক্ষ্মকোণ এবং একটি কোন সমকোণ
ব্যাখ্যা
যে ত্রিভুজের তিনটি কোন-ই সূক্ষ্মকোন তাকে সূক্ষ্মকোন বলে।
১,৮৮১.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ক্ষুদ্রতর কোনটি কত ডিগ্রী?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    75°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ক্ষুদ্রতর কোনটি কত ডিগ্রী?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3 : 4 : 5
ধরি কোণগুলো হলো 3x, 4x, 5x

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = 180°

প্রশ্নমতে, 
3x + 4x + 5x = 180
⇒ 12x = 180
⇒ x = 180/12
∴ x = 15

তাহলে কোণগুলো হল,
3x = 3 × 15 = 45°
4x = 4 × 15 = 60°
5x = 5 × 15 = 75°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 45°

১,৮৮২.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশ কত? 
  1. ক
    1200 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    300 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    400 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    500 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 60 সে. মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 50 সে. মি.

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a2 - b2)
= (60/4) × √(4 × 502 - 602)
= (15) × √(10000 - 3600)
= (15) × √6400
= 15 × 80
= 1200 বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশ = 1200/4 বর্গ সে.মি.
= 300 বর্গ সে.মি.
১,৮৮৩.
একটি ত্রিভুজাকৃটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96 বর্গগজ। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য 12 গজ হলে শীর্ষ বিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    10 গজ
  2. খ
    14 গজ
  3. গ
    16 গজ
  4. ঘ
    18 গজ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96 বর্গগজ। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য 12 গজ হলে শীর্ষ বিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
লম্বের দৈর্ঘ্য = a গজ

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ 96 = (1/2) × 12 × a
⇒ 96 = 6 × a
⇒ a = 96/6
∴ a = 16
১,৮৮৪.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার? 
  1. ক
    12 মিটার 
  2. খ
    15 মিটার
  3. গ
    16 মিটার
  4. ঘ
    18 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার? 

সমাধান: 
ধরি, 
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার  
∴ ক্ষেত্রফল = (√3/4)a2 বর্গমিটার 

প্রশ্নমতে, 
(√3/4)a2 = 9√3 
বা, a2/4 = 9
বা, a2 = 36
বা, a2 = 62
∴ a = 6

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a মিটার 
= (3 × 6) মিটার 
= 18 মিটার । 

১,৮৮৫.
ABC ত্রিভুজে C কোণের পরিমাণ ৫০° এবং AB = AC। যদি E এবং F AB এবং AC এর মধ্যবিন্দু এবং EF || BC হয়, তাহলে ∠A + ∠AEF =?
  1. ক
    ১৩৮°
  2. খ
    ১৩০°
  3. গ
    ১১৫°
  4. ঘ
    ১১০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে C কোণের পরিমাণ ৫০° এবং AB = AC। যদি E এবং F AB এবং AC এর মধ্যবিন্দু এবং EF || BC হয়, তাহলে ∠A + ∠AEF =?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
∠C = ৫০° এবং AB = AC
∴ ∠C = ∠B = ৫০°

আবার, EF || BC এবং AC ছেদক
∠B = ∠AEF [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠AEF = ৫০°

এখানে,
∠A + ∠B + ∠C = ১৮০°
⇒ ∠A + ৫০° + ৫০° = ৫০°
⇒ ∠A = ১৮০° – ১০০°
∴ ∠A = ৮০°

∴ ∠A + ∠AEF = ৮০° + ৫০° = ১৩০°
১,৮৮৬.
একটি ত্রিভুজের উচ্চতা 4 একক ও ভূমি 3 একক। অতিভুজের উপর বর্গ আঁকলে, বর্গ ও ত্রিভুজের মোট ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    5 বর্গ একক
  2. খ
    25 বর্গ একক
  3. গ
    31 বর্গ একক
  4. ঘ
    45 বর্গ একক
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের উচ্চতা 4 একক ও ভূমি 3 একক। অতিভুজের উপর বর্গ আঁকলে, বর্গ ও ত্রিভুজের মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র:
A = 1/2 ​× ভূমি × উচ্চতা
A = 0.5 × 3 × 4
A = 6 বর্গ একক 

অতিভুজ নির্ণয়:
অতিভুজ = √(42+32)​
= √(16 + 9​)
= √(25) ​
= 5 একক 

অতিভুজের ওপর বর্গ আঁকলে বর্গের বাহু = 5 একক
বর্গের ক্ষেত্রফল: 
A = 52
= 25 বর্গ একক 

মোট ক্ষেত্রফল:
25 + 6 = 31 বর্গ একক

∴ মোট ক্ষেত্রফল 31 বর্গ একক

১,৮৮৭.
কোন ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কী বলে?
  1. ক
    অন্তঃকেন্দ্র
  2. খ
    পরিকেন্দ্র
  3. গ
    বহিঃকেন্দ্র
  4. ঘ
    ভরকেন্দ্র
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কী বলে?

সমাধান:
ভরকেন্দ্র: কোন ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ভরকেন্দ্র বলে।

পরিকেন্দ্র: ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্ব-সমদ্বিখন্ডকত্রয় সমবিন্দুগামী হয়, এই বিন্দুকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।

অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের কোণের সমদ্বিখন্ডকত্রয় একটি নির্দিষ্ট বিন্দগামী হয়, এই নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।

বহিঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের একটি কোণের অন্ত-সমদ্বিখন্ডক এবং অপর দুই কোণের বহি-সমদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে বহিঃকেন্দ্র বলে।
১,৮৮৮.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 23 cm এবং পরিসীমা 50 cm হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 35 বর্গ সে. মি.
  2. খ
    খ) 40 বর্গ সে. মি.
  3. গ
    গ) 45 বর্গ সে. মি.
  4. ঘ
    ঘ) 50 বর্গ সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 23 cm এবং পরিসীমা 50 cm হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
ধরি, 
ভূমি = a
লম্ব = b
অতিভুজ = c = 23 cm
পরিসীমা = a + b + c = 50 cm 

প্রশ্নমতে,
a + b + c = 50 
⇒ a + b = 50 - c
⇒ a + b = 50 - 23 
⇒ a + b = 27 
⇒ (a + b)2 = 272
⇒ a2 + 2ab + b2 = 729
⇒ c2 + 2ab = 729  [a2 + b2 = c2, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভূমি২]
⇒ 2ab = 729 - c2
⇒ 2ab = 729 - (23)2
⇒ 2ab = 729 - 529
⇒ 2ab = 200
∴ ab = 100

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × ab 
= (1/2) × 100
= 50 

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 50 বর্গ সে. মি.
১,৮৮৯.
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে -
  1. ক
    ১০√৩ বর্গমিটার
  2. খ
    ১৫ বর্গমিটার
  3. গ
    ২০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ২৫√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে -

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a২
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a২ 
= (√৩/৪) × (১০)২ 
= (√৩/৪) × ১০ × ১০
= ২৫√৩ 

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ২৫√৩ বর্গমিটার
১,৮৯০.
কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব হবে?
  1. ক
    ক) ৩ : ৪ : ৫
  2. খ
    খ) ৪ : ৫ : ৬
  3. গ
    গ) ৪ : ৩ : ৭
  4. ঘ
    ঘ) ৬ : ৭ : ৮
ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ2= লম্ব2+ভূমি2
তাই একমাত্র ক অপশন ছাড়া অন্য কোনটা এটি সমর্থন করে না।
ক অপশনে ৫২ = ৩২ + ৪২

১,৮৯১.
কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে, একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব হবে?
  1. ক
    ৬ : ৪ : ৩
  2. খ
    ১২ : ৮ : ৪
  3. গ
    ৩ : ৪ : ৫
  4. ঘ
    ৬ : ৫ : ৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে, একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
∴ ৫২ = ৩২ + ৪২
সুতরাং, ৩ : ৪ : ৫ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।
১,৮৯২.
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?
  1. ক
    ৬টি
  2. খ
    ৪টি
  3. গ
    ২টি
  4. ঘ
    ৩টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ ৬টি ও ন্যূনতম ২টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।
১,৮৯৩.
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?
i. বৃহত্তম বাহুটি অতিভুজ
i. ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান ।
iii. সূক্ষকোণদ্বয় পরস্পরের পূরক
  1. ক
    ক) i
  2. খ
    খ) ii ও iii
  3. গ
    গ) i, ও iii
  4. ঘ
    ঘ) i, ii ও iii
ব্যাখ্যা
সমকোণী ত্রিভুজের-
i. বৃহত্তম বাহুটি অতিভুজ
i. ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান ।
iii. সূক্ষকোণদ্বয় পরস্পরের পূরক 

প্রতিটি তথ্যই সঠিক।  অপশন ঘ সঠিক উত্তর
১,৮৯৪.
∆ABC এ ∠A = 55° এবং ∠B = 75°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = ?
  1. ক
    80°
  2. খ
    90°
  3. গ
    100°
  4. ঘ
    110°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∆ABC এ ∠A = 55° এবং ∠B = 75°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
∆ABC এ ∠A = 55° এবং ∠B = 75°
∠C = 180° - 55° - 75°
= 50°

∠C এর সমদ্বিখণ্ডক CD, AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ ∠ACD= ∠BCD = 25°

এখন,
∆ACD এ ∠CAD = 55° এবং ∠ACD = 25°
∴ ∠CDA = 180° - 25° - 55° = 100°
১,৮৯৫.

উপরের চিত্রে, BC = 10 সে.মি, AC = 20 সে.মি এবং CD = 8  সে.মি হলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য প্রায় কত সে.মি?
  1. ক
    20
  2. খ
    25
  3. গ
    30
  4. ঘ
    35
ব্যাখ্যা

ABC স্থূলকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB2 = AC2 + BC2 + 2(BC × CD)
AB2 = 202 + 102 + (2 × 10 × 8)
AB2 = 400 + 100 + 160
AB2 = 660
AB = 25 (প্রায়)

১,৮৯৬.
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90° হলে, অপর দুটি কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত? 
  1. ক
    45°
  2. খ
    30°
  3. গ
    90°
  4. ঘ
    120°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90° হলে, অপর দুটি কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° 
বা, 90° + 2 কোণ = 180° 
বা, 2 কোণ = 180° - 90° 
বা, 2 কোণ = 90° 
বা, কোণ = 90°/2 
∴ কোণ = 45°
১,৮৯৭.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৮৪ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    ২১ সে.মি.
  2. খ
    ৭√৩ সে.মি.
  3. গ
    ১৪√৩ সে.মি.
  4. ঘ
    ২৮√৩ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৮৪ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
​দেওয়া আছে, 
​সমবাহু ত্রিভুজের বাহু, a = ৮৪ সে.মি. 
​
আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধ= a/২√৩
= ৮৪/২√৩ 
= ৪২/√৩ 
= (১৪ × √৩ × √৩)/√৩ 
= ১৪√৩ 

∴ ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ = ১৪√৩ সে.মি.।

১,৮৯৮.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩। বৃহত্তম কোণটি কত? 
  1. ক
    ৩০° 
  2. খ
    ৪৫°
  3. গ
    ৬০°
  4. ঘ
    ৯০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩। বৃহত্তম কোণটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
কোণ তিনটি যথাক্রমে x, ২x এবং ৩x 

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
∴ x + ২x + ৩x = ১৮০°
বা, ৬x = ১৮০°
∴ x = ৩০°

∴ বৃহত্তম কোণটি = ৩x
= ৩ × ৩০°
= ৯০° । 

১,৮৯৯.
একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মিটার ও 14 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 91 বর্গমিটার। বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত? 
  1. ক
    60°
  2. খ
    90°
  3. গ
    120°
  4. ঘ
    150°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মিটার ও 14 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 91 বর্গমিটার। বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত? 

সমাধান: 

মনে করি, 
ত্রিভুজ ABC এর AB = c = 13 মিটার, AC = b = 14 মিটার 
△ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = 91 বর্গমিটার, 
AB ও BC বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করতে হবে। 

∴ △ ক্ষেত্র ABC ক্ষেত্রফল = (1/2) × c × b × sinθ
বা, 91 বর্গমিটার = (1/2) × 13 × 14 × sinθ বর্গমিটার 
বা, 7 × 13 × sinθ = 91 
বা, sinθ = 91/(7 × 13)
বা, sinθ = 91/91
বা, sinθ = 1
বা, sinθ = sin90° 
∴ θ = 90° 

∴ নির্ণেয় অন্তর্ভুক্ত কোণ = 90°  ।
১,৯০০.
একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    28 গজ
  2. খ
    16 গজ
  3. গ
    21 গজ
  4. ঘ
    18 গজ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) × ভূমি × 14 
= 7 × ভূমি 
 
প্রশ্নমতে, 
7 × ভূমি = 126
বা, ভূমি = 126/7 
∴ ভূমি = 18 গজ 

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 18 গজ ।