লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

মোট প্রশ্ন২,০০৯এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ১৮ / ২০ · ১,৭০১–১,৮০০ / ২,০০৯

১,৭০১.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ একক এবং অপর প্রত্যেক বাহুদ্বয় ১০ একক। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
  1. ক
    ২৪ বর্গএকক
  2. খ
    ৪৮ বর্গএকক
  3. গ
    ৩৬ বর্গএকক
  4. ঘ
    ৬০ বর্গএকক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ একক এবং অপর প্রত্যেক বাহুদ্বয় ১০ একক। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a এবং ভূমি b একক হলে, 
ক্ষেত্রফল = (b/৪)√(৪a2 - b2) বর্গএকক 

দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০ একক
এবং ভূমির দৈর্ঘ্য = ১৬ একক 
এখানে, a = ১০ একক, b= ১৬ একক

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 
(১৬/৪)√(৪ × ১০২ - ১৬২) বর্গএকক
= ৪√(৪ × ১০০- ২৫৬) বর্গএকক
= ৪√(৪০০ - ২৫৬) বর্গএকক
= ৪√১৪৪ বর্গএকক
= ৪ × ১২ বর্গএকক
= ৪৮ বর্গএকক  

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৪৮ বর্গএকক ।
১,৭০২.
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২৪ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?
  1. ক
    ১২ বর্গমিটার
  2. খ
    ৮√৩ বর্গমিটার
  3. গ
    ১৬√৩ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ১৪ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২৪ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২৪ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২৪/৩ মিটার = ৮ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × ৮২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ৬৪ বর্গমিটার
= ১৬√৩ বর্গমিটার
১,৭০৩.
একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ যথাক্রমে 70° এবং 80° হলে তৃতীয় কোণটির পরিমাণ রেডিয়ানে কত হবে?
  1. ক
    ক) π/9
  2. খ
    খ) π/10
  3. গ
    গ) π/6
  4. ঘ
    ঘ) π/12
ব্যাখ্যা

 ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের মান = (180 - 150)° = 30°
90° = π/2 রেডিয়ান
∴30° = π/6 রেডিয়ান

১,৭০৪.
ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬, ৮, ও ১০ মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার? 
  1. ক
    ৮ মিটার
  2. খ
    ৬ মিটার
  3. গ
    ৫ মিটার
  4. ঘ
    ৪ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬, ৮, ও ১০ মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার? 

সমাধান:
ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
এখানে বৃহত্তম বাহু ১০ মিটার এবং ক্ষুদ্রতম বাহু ৬ মিটার। এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ৮ মিটার এর অর্ধেক অর্থাৎ ৪ মিটার।
১,৭০৫.
একটি ত্রিভূজের দু’টি বাহু যথাক্রমে 15 সে.মি এবং 17 সে.মি। তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত সেঃমিঃ হলে ত্রিভূজটি একটি সমকোণী ত্রিভূজ হবে?
  1. ক
    ক) 7 সে.মি
  2. খ
    খ) 8 সে.মি
  3. গ
    গ) 9 সে.মি
  4. ঘ
    ঘ) 11 সে.মি
ব্যাখ্যা

এখানে,
172 - 152
= 64
= 82
∴ 172 = 152 + 82
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = 8 সে.মি

১,৭০৬.
একটি ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি -
  1. ক
    বিষমবাহু
  2. খ
    সুক্ষ্মকোণী
  3. গ
    সমদ্বিবাহু
  4. ঘ
    সমকোণী
ব্যাখ্যা
সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান (উপপাদ্য)
আবার, সমবাহু ত্রিভুজ একটি সুক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।
১,৭০৭.
কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?
  1. ক
    ২৭০°
  2. খ
    ১৮০°
  3. গ
    ৯০°
  4. ঘ
    ৩৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০°।

যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণ যথাক্রমে A, B এবং C হয়, তবে,
A + B + C = ১৮০°
একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা তার অন্তঃস্থ সন্নিহিত কোণের সাথে ১৮০° কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - অন্তঃস্থ কোণ।

সকল বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = ৩ × ১৮০° - (A + B + C) 
= ৫৪০° - ১৮০° = ৩৬০° 

∴ যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি সর্বদা ৩৬০°।

১,৭০৮.
একটি ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ ৯ সেমিঃ, ঐ ত্রিভুজের নববিন্দুবৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সেমিঃ?
  1. ক
    ক) ১৮ সেমিঃ
  2. খ
    খ) ৯ সেমিঃ
  3. গ
    গ) ৪.৫ সেমিঃ
  4. ঘ
    ঘ) ১৩.৫ সেমিঃ
ব্যাখ্যা
নববিন্দুবৃত্তের ব্যাসার্ধ ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধের অর্ধেক।
ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ ৯ সেমিঃ
নববিন্দুবৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৯/২ = ৪.৫ সেমিঃ
১,৭০৯.
5x + 9y = 45 রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে কত ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ তৈরি করে?
  1. ক
    27.5 বর্গ একক
  2. খ
    32.5 বর্গ একক
  3. গ
    22.5 বর্গ একক
  4. ঘ
    35.5 বর্গ একক
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5x + 9y = 45 রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে কত ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ তৈরি করে?

সমাধান:
এখানে, 
5x + 9y = 45
⇒ (5x/45) + (9y/45) = 1
⇒ (x/9) + (y/5) = 1

∴ 5x + 9y = 45 রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে কত ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ = (1/2) x 9 x 5 = 22.5 বর্গ একক

১,৭১০.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 3 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    9 মিটার
  2. খ
    5.5 মিটার
  3. গ
    6 মিটার
  4. ঘ
    4.5 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 3 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a2

ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 3 মিটার বাড়ালে,
ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (a + 3)2

প্রশ্নমতে,
{(√3/4)(a + 3)2} - {(√3/4)a2} = 9√3
⇒ (√3/4){(a + 3)2 - a2} = 9√3
⇒ (√3/4){a2 + 6a + 9 - a2} = 9√3
⇒ (√3/4)(6a + 9) = 9√3
⇒ 6a + 9 = 9√3 × (4/√3)
⇒ 6a + 9 = 36
⇒ 6a = 27
⇒ a = 4.5

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = 4.5 মিটার

১,৭১১.
একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত যথাক্রমে 1 : 1 : √2 হলে, এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?
  1. ক
    ক) 90°
  2. খ
    খ) 99°
  3. গ
    গ) 100°
  4. ঘ
    ঘ) 120°
ব্যাখ্যা
একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত যথাক্রমে 1 : 1 : √2 হলে,
এর বৃহত্তম কোণটির মান = 90°
কারণ একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত যথাক্রমে 1 : 1 : √2 হলে, ত্রিভুজটি সমকোণী। 
সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°
----------------------------------------------------------
সংক্ষেপে,
1 : 1 : √2 অনুপাতবিশিষ্ট ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°
(5 : 12 : 13), (3 : 4 : 5), (7 : 24 : 25) প্রভৃতি অনুপাতবিশিষ্ট ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°
১,৭১২.
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজ সংলগ্ন একটি কোণ ৬৫° হলে অপর কোণটির সম্পূরক কোণ-
  1. ক
    ৫৫°
  2. খ
    ৪৫°
  3. গ
    ১৫৫°
  4. ঘ
    ১৮০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজ সংলগ্ন একটি কোণ ৬৫° হলে অপর কোণটির সম্পূরক কোণ- 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি কোণ = ৬৫°
∴ অপর কোণটি = ৯০° - ৬৫°
= ২৫°

∴ অপর কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ২৫)°
= ১৫৫°  ।
১,৭১৩.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গমিটার হলে ত্রিভুজের পরিসীমা কত?
  1. ক
    ক) ৮ সে.মি.
  2. খ
    খ) ১৬ সে.মি.
  3. গ
    গ) ২৪ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৮√৩ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গমিটার হলে ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

ধরি, 
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গসে.মি.

সুতরাং,
√3/4 × a² = 16√3
বা, a² = 4 × 16
বা, a² = 64
বা, a = 8

পরিসীমা = 3a সে.মি. = 3 × 8 = 24 সে.মি.

১,৭১৪.
৪ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।
  1. ক
    ১২√৩ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ১১√২ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    √৩/৩ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ২√৩ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৪ সে.মি. 

আমরা জানি,
বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = √৩ × বৃত্তের ব্যাসার্ধ 
= √৩ × ৪ 
= ৪√৩

এখন,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)২
= (√৩/৪) × (৪√৩)২
= (√৩/৪) × ১৬ × ৩ 
= ১২√৩ 

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১২√৩ বর্গ সে.মি.

১,৭১৫.
একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গগজ। ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির ওপর অংকতি লম্বের দৈর্ঘ্য ১২ গজ হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ১০ গজ
  2. খ
    ১২ গজ
  3. গ
    ১৪ গজ
  4. ঘ
    ৭ গজ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গগজ। ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির ওপর অংকতি লম্বের দৈর্ঘ্য ১২ গজ হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
৮৪ = (১/২) × ভূমি × ১২
বা, ৮৪ = ভূমি × ৬
∴ ভূমি = ১৪ গজ
১,৭১৬.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্ব যথাক্রমে ১২ সে.মি. ও ৫ সে.মি.। উহার অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ২২৫ বর্গসে.মি.
  2. খ
    খ) ১৪৪ বর্গসে.মি.
  3. গ
    গ) ১২১ বর্গসে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ১৬৯ বর্গসে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্ব যথাক্রমে ১২ সে.মি. ও ৫ সে.মি.। উহার অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
সমকোণী ‍ত্রিভুজের লম্ব = 5 সে.মি.
সমকোণী ‍ত্রিভুজের ভূমি =12 সে.মি.

আমরা জানি 
(অতিভুজ)2 = লম্ব2 + ভূমি2
(অতিভুজ)2 = 52 + 122
(অতিভুজ)2 = 25 + 144
(অতিভুজ)2 =169
(অতিভুজ)2 = 132
(অতিভুজ) = 13

অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 132 = 169 বর্গ সে.মি.
১,৭১৭.
১৭ মিটার, ১৫ মিটার ও ৮ মিটার বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি কী ধরণের ত্রিভুজ হবে?
  1. ক
    ক) সমদ্বিবাহু
  2. খ
    খ) স্থুলকোণী
  3. গ
    গ) সমবাহু
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
এখানে,
১৭২ = ১৫২ + ৮২
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ২ = ভূমি২ + লম্ব২
∴ ১৭ সেমি, ১৫ সেমি, ৮ সেমি বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে সমকোণী।
তাছাড়া, এটি বিষমবাহু ত্রিভুজও হয়।
সুতরাং, সঠিক উত্তর কোনটিই নয়।
১,৭১৮.
কোন সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত একটি কোণ ৫০° হলে অপরটি কত?
  1. ক
    ৩০°
  2. খ
    ৫০°
  3. গ
    ২০°
  4. ঘ
    ৪০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত একটি কোণ ৫০° হলে অপরটি কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বলে সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুই কোণের সমষ্টি= ৯০°
একটি কোণ ৫০° হলে, অপরটি= ৯০° - ৫০°= ৪০°
১,৭১৯.
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর ______?
  1. ক
    ক) সম্পূরক
  2. খ
    খ) পূরক
  3. গ
    গ) অনুরূপ
  4. ঘ
    ঘ) সন্নিহিত
ব্যাখ্যা
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক (অনুসিদ্ধান্ত ৪)
১,৭২০.
একটি বৃত্তের ব্যাস ১৪ মিটার হলে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের বাহু কত মিটার?
  1. ক
    ৭√৩ মিটার
  2. খ
    ৮√৩ মিটার
  3. গ
    ৯√৩ মিটার
  4. ঘ
    ১০√৩ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ১৪ মিটার হলে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের বাহু কত মিটার?

সমাধান:
একটি সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ  এবং বাহু এর মধ্যে সম্পর্ক:
ব্যাসার্ধ =  বাহু / √৩ 
প্রদত্ত ব্যাসার্ধ = ব্যাস/২ = ১৪/২ = ৭

তাহলে,
৭ = বাহু / √৩
বাহু = ৭√৩ মিটার 

∴সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = ৭√৩ মিটার 

১,৭২১.
একটি ত্রিভুজের ভূমি ৪ সে. মি., উচ্চতা ২ সে. মি. হলে ঐ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৪ বর্গ সে. মি.
  2. খ
    ১৬ বর্গ সে. মি.
  3. গ
    ২০ বর্গ সে. মি.
  4. ঘ
    ৮ বর্গ সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি ৪ সে. মি. উচ্চতা ২ সে. মি. হলে ঐ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজের ভূমি ৪ সে.মি.
ত্রিভুজের উচ্চতা ২ সে.মি.

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৪ × ২ বর্গ সে.মি.
= ৪ বর্গ সে.মি. 
১,৭২২.
একটি সমবাহু ত্রিভুজে বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি। উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    5√3 সেমি
  2. খ
    6√3 সেমি
  3. গ
    8 সেমি
  4. ঘ
    10√3 সেমি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজে বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি। উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার সূত্র:
h = (√3/2) × a

যেখানে, a হলো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু।
প্রদত্ত: a = 10

h = (√3/2) × 10 = 5√3

∴ সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 5√3 সেমি

১,৭২৩.
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজ সংলগ্ন কোণ দুইটি প্রত্যেকটি কী কোণ?
  1. ক
    ক) সমকোণ
  2. খ
    খ) সূক্ষ্মকোণ
  3. গ
    গ) স্থূলকোণ
  4. ঘ
    ঘ) সরলকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজ সংলগ্ন কোণ দুইটি প্রত্যেকটি কী কোণ?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ১ সমকোণ অর্থাৎ ৯০°

আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২ সমকোণ
একটি কোণ ১ সমকোণ হলে বাকী দুটি কোণের সমষ্টি হলে ১ সমকোণ।
বাকী কোণ দুটির প্রত্যেকটি ৯০° অপেক্ষা কম।
আর ৯০° কোণের কম হলে তা সূক্ষ্মকোণ।
∴ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজ সংলগ্ন কোণ দুইটি প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ
১,৭২৪.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত? 
  1. ক
    30°
  2. খ
    60°
  3. গ
    90°
  4. ঘ
    120°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° 
বা, x/3 + x/3 + 4x/3 = 180° 
বা, (x + x + 4x)/3 = 180° 
বা, 6x/3 = 180° 
বা, 2x = 180° 
∴ x = 90° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 4x/3 
= {(4 × 90)/3}° 
= 120°
১,৭২৫.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ২৪ বর্গমিটার
  2. খ
    খ) ১৬ বর্গমিটার
  3. গ
    গ) ৩০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

ধরি,
সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
প্রশ্নমতে, ক২ + ক২ = ১২২
বা, ক = ৬√২
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৬√২ × ৬√২
= ৩৬ বর্গমিটার।

১,৭২৬.
নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?
  1. ক
    ক) 5, 6, 7
  2. খ
    খ) 3, 4, 7
  3. গ
    গ) 3, 5, 8
  4. ঘ
    ঘ) 2, 4, 8
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম। এখানে একমাত্র 5+6 > 7 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।
১,৭২৭.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ সে.মি. এবং উচ্চতা x সে.মি. হলে, x এর মান কোনটি?
  1. ক
    ক) √2
  2. খ
    খ) √3
  3. গ
    গ) ২
  4. ঘ
    ঘ) ৩
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)২
                                                               =  (√৩/৪) × (২)২
                                                                            =  √৩
 
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা 
                                                   = (১/২) × ২ × x
                                                   = x
প্রশ্নমতে,
         x = √৩
১,৭২৮.
ΔABC এর ∠A = x, ∠B = 2x এর ∠C = 3x  হলে ত্রিভুজটি কী ত্রিভূজ?
  1. ক
    সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
  2. খ
    স্থুলকোণী ত্রিভুজ
  3. গ
    সমকোণী ত্রিভুজ
  4. ঘ
    সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = x, ∠B = 2x এর ∠C = 3x  হলে ত্রিভুজটি কী ত্রিভূজ?

সমাধান: 

∠A = x, ∠B = 2x এর ∠C = 3x

আমরা জানি,
∠A + ∠B +∠C = 180°
x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°
x = 30° 

∠A = 30°, ∠B = 60° এর ∠C = 90°

 ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভূজ
১,৭২৯.

ত্রিভুজ ABC এর BE = EF = CF এবং ত্রিভুজ AEC এর ক্ষেত্রফল 48 বর্গফুট হলে ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?
  1. ক
    48 বর্গফুট 
  2. খ
    60 বর্গফুট 
  3. গ
    64 বর্গফুট 
  4. ঘ
    72 বর্গফুট 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 
ত্রিভুজ ABC এর BE = EF = CF এবং ত্রিভুজ AEC এর ক্ষেত্রফল 48 বর্গফুট হলে ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
AEC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 48 
এবং ABC ত্রিভুজে BE = EF = CF 
যেহেতু ABC ত্রিভুজে EF = CF 
∴ ΔAEF = ΔAFC
এখন,
ΔAEC = 48 বর্গফুট 
বা, ΔAEF + ΔAFC = 48 বর্গফুট 
বা, 2 ΔAEF = 48 বর্গফুট 
বা, ΔAEF = 48/2 = 24 বর্গফুট 

∴ ΔAEF = ΔAFC = 24 বর্গফুট 

আবার,
যেহেতু ABC ত্রিভুজে BE = EF
∴ ΔABE = ΔAEF = 24 বর্গফুট 

এখন, ABC ত্রিভুজে ΔABE + ΔAEF + ΔAFC = 24 + 24 + 24 = 72 বর্গফুট 
১,৭৩০.
একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 5 সে.মি.। ত্রিভুজটির অপর বাহুটি নিচের কোনটি হতে পারে?
  1. ক
    2 সে.মি.
  2. খ
    3 সে.মি.
  3. গ
    12 সে.মি.
  4. ঘ
    13 সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 5 সে.মি.। ত্রিভুজটির অপর বাহুটি নিচের কোনটি হতে পারে?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো এক বাহু অপর দুই বাহুর যোগফলের চেয়ে ছোট এবং বিয়োগফলের চেয়ে বড় হবে।
এখানে অপর বাহু (x) হলে,
শর্তটি হবে,
7 - 5 < x < 7 + 5
অথবা, 2 < x < 12

এখন প্রতিটি অপশন যাচাই করি—

ক) x = 2 হলে,
x > 2 শর্ত পূরণ করে না।
অতএব, এটি হতে পারে না।

খ) x = 3 হলে,
2 < 3 < 12 — শর্ত পূরণ করে।
অতএব, এটি হতে পারে।

গ) x = 12 হলে,
x < 12 শর্ত পূরণ করে না।
অতএব, এটি হতে পারে না।

ঘ) x = 13 হলে,
x < 12 শর্ত পূরণ করে না।
অতএব, এটি হতে পারে না।

∴ সঠিক উত্তর খ) 3 সে.মি.

১,৭৩১.
একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য (ক + ৯) মিটার, (২ক + ১) মিটার এবং ২(২ক - ১) মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা ৪৩ মিটার হলে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ১১ মিটার
  2. খ
    ১৫ মিটার
  3. গ
    ৭ মিটার
  4. ঘ
    ১৪ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য (ক + ৯) মিটার, (২ক + ১) মিটার এবং ২(২ক - ১) মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা ৪৩ মিটার হলে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে, (ক + ৯) মিটার, (২ক + ১) মিটার এবং ২(২ক - ১) মিটার
এবং পরিসীমা ৪৩ মিটার। 

প্রশ্নমতে, 
(ক + ৯) + (২ক + ১)+ ২(২ক - ১) = ৪৩ 
⇒ ক + ৯ + ২ক + ১ + ৪ক - ২ = ৪৩ 
⇒ ৭ক + ৮ = ৪৩ 
⇒ ৭ক = ৪৩ - ৮
⇒ ৭ক = ৩৫ 
∴ ক = ৫ 

∴  ক্ষুদ্রতম দৈর্ঘ্য হবে = (২ক + ১) মিটার
= (২ × ৫) + ১ = ১১ মিটার

১,৭৩২.
নিচের কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?
  1. ক
    ক) ২, ৩, ৬
  2. খ
    খ) ৫, ৭, ১৩
  3. গ
    গ) ৪, ৮, ১২
  4. ঘ
    ঘ) ৯, ১২, ১৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব

২, ৩, ৪
৫, ৭, ৯
৪, ৮, ১২
৯, ১২, ১৫ 

সমাধান:
৯, ১২, ১৫
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি উহার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
১ম ক্ষেত্রে,
২ + ৩ = ৫ < ৬ সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।

২য় ক্ষেত্রে,
৫ + ৭ = ১২ < ১৩ সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।

৩য় ক্ষেত্রে,
৪ + ৮ = ১২ যা তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়। সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।

৪র্থ ক্ষেত্রে,
৯ + ১২ = ২১ > ১৫ এবং ৯ + ১৫ = ২৪ > ১২ এবং ১২ + ১৫ = ২৯ > ৯ যা ত্রিভুজ হওয়ার শর্ত মানে।
১,৭৩৩.
যদি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হয়, তবে ক্ষেত্রফল কত হবে?
  1. ক
    (√3/4)a2
  2. খ
    (√3/2)a2
  3. গ
    (3/2)a2
  4. ঘ
    (1/2)a2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হয়, তবে ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a2/4
১,৭৩৪.
ABC ও DEF দুটি ত্রিভুজ। নিচের কোন শর্তে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে?
  1. ক
    ক) যদি AB = DE, BC = EF এবং ∠ABC = ∠DEF হয়।
  2. খ
    খ) যদি AB = DE, AC = DF এবং BC = EF হয়
  3. গ
    গ) ক ও খ উভয়
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
উপপাদ্য - ৬ ও উপপাদ্য - ৭ লক্ষণীয়।
১,৭৩৫.
৯০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম বাহুর সমষ্টি কত?
  1. ক
    ৪৫ মিটার
  2. খ
    ৬০ মিটার
  3. গ
    ৬৬ মিটার
  4. ঘ
    ৭৮ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম বাহুর সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ক, ৬ক ও ৭ক
∴ পরিসীমা = (৫ক + ৬ক + ৭ক) = ১৮ক

প্রশ্নমতে,
১৮ক = ৯০
⇒ ক = ৯০/১৮
⇒ ক = ৫

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর সমষ্টি = ৫ক + ৭ক
= (৫ × ৫) + (৭ × ৫)
= ২৫ + ৩৫
= ৬০ মিটার
১,৭৩৬.
একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    36 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    48 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    56 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    72 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2)

∴ ক্ষেত্রফল = (16/4) √(4 × 102 - 162)
= 4{√(400 - 256)
= 4 √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.।
১,৭৩৭.
কোনাে ত্রিভুজের একটি কোণ অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে?
  1. ক
    ক) সমবাহু
  2. খ
    খ) সূক্ষ্মকোণী
  3. গ
    গ) সমকোণী
  4. ঘ
    ঘ) স্থূলকোণী
ব্যাখ্যা
কোনাে ত্রিভুজের একটি কোণ অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটি  সমকোণী
১,৭৩৮.
নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?
  1. ক
    ক) 3, 4, 7
  2. খ
    খ) 3, 5, 9
  3. গ
    গ) 2, 5, 8
  4. ঘ
    ঘ) 5, 6, 7
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর ।
এখানে একমাত্র 5 + 6 > 7 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।

ত্রিভুজ সংক্রান্ত আরো কিছু তথ্য: 
- কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
১,৭৩৯.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ একক হলে অপরটি কত?
  1. ক
    ১৫ একক
  2. খ
    ২৪ একক
  3. গ
    ২০ একক
  4. ঘ
    ৩০ একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ একক হলে অপরটি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমকোণ সংলগ্ন সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের গুণফল 
বা, ১৪৪ = (১/২) × ১২ × অপর বাহু 
বা,  ১২ × অপর বাহু = ২৮৮ 
বা, অপর বাহু = ২৮৮/১২ 
∴ অপর বাহু = ২৪ একক 
১,৭৪০.
একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ২০ সে.মি.
  2. খ
    ২৮ সে.মি.
  3. গ
    ৩৬ সে.মি.
  4. ঘ
    ৪২ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ক, ৬ক এবং ৭ক সে.মি।
∴ পরিসীমা = ৫ক + ৬ক + ৭ক = ১৮ক

প্রশ্নমতে,
১৮ক = ৭২
⇒ ক = ৪

∴ বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = ৭ক = ৭ × ৪
= ২৮ সে.মি.

১,৭৪১.
সমকোণী ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ সেমি, ১২ সেমি ও ১৫ সেমি হলে, উহার ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ১০৮ বর্গসেমি
  2. খ
    খ) ৫৪ বর্গসেমি
  3. গ
    গ) ২১৬ বর্গসেমি
  4. ঘ
    ঘ) ২৭ বর্গসেমি
ব্যাখ্যা
সমকোণী ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ সেমি, ১২ সেমি ও ১৫ সেমি হলে, উহার লম্ব ৯ সেমি বা ১২ সেমি এবং ভূমি ১২ সেমি বা ৯ সেমি 
অতএব, ক্ষেত্রফল = ১/২ × ১২ × ৯ = ৫৪ বর্গসেমি 
১,৭৪২.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু 8√3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?
  1. ক
    12 সে.মি.
  2. খ
    6 সে.মি.
  3. গ
    4 সে.মি.
  4. ঘ
    8 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু 8√3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির মধ্যমা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা = (√3/2) × বাহু 
= (√3/2) × 8√3
= 12 সে.মি.
১,৭৪৩.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ? 
  1. ক
    সমকোণী ত্রিভুজ 
  2. খ
    স্থূলকোণী ত্রিভুজ 
  3. গ
    বিষমবাহু ত্রিভুজ 
  4. ঘ
    সমবাহু ত্রিভুজ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ? 

সমাধান: 
ধরি, 
কোণ তিনটি যথাক্রমে x, x এবং 2x 

প্রশ্নমতে, 
x + x + 2x = 180° 
বা, 4x = 180°
∴ x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।

১,৭৪৪.
একটি সমদ্বিবাহু-সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১০ সেমি হলে প্রতিটি বাহু কত? 
  1. ক
    ৫√৩ সেমি
  2. খ
    ৫ সেমি
  3. গ
    ৫√২ সেমি
  4. ঘ
    ৭ সেমি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু-সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১০ সেমি হলে প্রতিটি বাহু কত? 

সমাধান:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ হলো এমন একটি ত্রিভুজ, যেখানে দুটি বাহু সমান এবং একটি কোণ ৯০°।
ধরি, সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = ক সেমি

পাইথাগোরাস সূত্র অনুযায়ী,
অতিভুজ২ = বাহু২ + বাহু২
⇒ ১০২ = ক২ + ক২
⇒ ১০০ = ২ক২
⇒ ৫০ = ক২
⇒ ক = √৫০
∴ ক = ৫√২ সেমি

১,৭৪৫.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং (4x)/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    60°
  3. গ
    120°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং (4x)/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
x/3 + x/3 + (4x)/3 = 180°
⇒ x + x + 4x = 3 × 180°
⇒ 6x = 3 × 180°
∴ x = 90°

∴ বৃহত্তম কোণ = (4 × 90°)/3 = 120°
১,৭৪৬.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু 16 মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    64√3
  2. খ
    192
  3. গ
    64
  4. ঘ
    32√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু 16 মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহু, a = 16 মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
= (√3/4)a2 বর্গমিটার 
= (√3/4)(16)2 বর্গমিটার 
= (√3/4) × 16 × 16 বর্গমিটার
= 64√3 বর্গমিটার 
১,৭৪৭.
PQR ত্রিভুজের PQ = PR এবং ∠P = 40° হলে ∠Q = কত?
  1. ক
    50°
  2. খ
    60°
  3. গ
    70°
  4. ঘ
    80°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PQ = PR এবং ∠P = 40° হলে ∠Q = কত?

সমাধান: 
 
ΔPQR ত্রিভুজের PQ = PR 
ΔPQR একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান।
∠P + ∠Q +∠ R = 180°
বা, 40° + ∠Q + ∠Q = 180°
বা, 2∠Q = 180° - 40°
বা, 2∠Q = 140°
∴ ∠Q = 70°
১,৭৪৮.
২৪ মিটার বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের সমপরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গ আঁকলে, সেই বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে? 
  1. ক
    ১২ মিটার
  2. খ
    ১৪ মিটার
  3. গ
    ১৮ মিটার
  4. ঘ
    ২৪ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৪ মিটার বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের সমপরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গ আঁকলে, সেই বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে? 

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহু = ২৪ মি
পরিসীমা = ৩ × ২৪ = ৭২ মি  

সমপরিসীমা বিশিষ্ট বর্গের বাহু
বর্গের পরিসীমা = ৪ × বাহু 
⇒ ৪ × বাহু = ৭২
⇒ বাহু = ৭২ / ৪
⇒ বাহু = ১৮ মিটার

∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৮ মিটার

১,৭৪৯.
ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬, ৮ ও ১০ মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু’টির দূরত্ব কত মিটার?
  1. ক
    ক) ৪
  2. খ
    খ) ৫
  3. গ
    গ) ৬
  4. ঘ
    ঘ) ৭
ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
এখানে বৃহত্তম বাহু ১০ মিটার এবং ক্ষুদ্রতম বাহু ৬ মিটার। এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ৮ মিটার এর অর্ধেক অর্থাৎ ৪ মিটার।

১,৭৫০.
কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি?
  1. ক
    ক) 360°
  2. খ
    খ) 160°
  3. গ
    গ) 260°
  4. ঘ
    ঘ) 180°
ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের তিনটি বাহু কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = (180-60)°+(180-60)°+(180-60)° = 360°।

১,৭৫১.
কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6, 8,10 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ক) 40 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    খ) 30 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    গ) 24 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 12 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের বাহু তিনটির দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা যায় 
সমকোণ সংলগ্ন বাহু 6,8

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল  = (1/2)× 6 × 8 = 24 বর্গ সে.মি.
১,৭৫২.
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?
  1. ক
    ১টি
  2. খ
    ২টি
  3. গ
    ৩টি
  4. ঘ
    ৪টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।
১,৭৫৩.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে 3 ও 4 সে.মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?
  1. ক
    6 সে.মি.
  2. খ
    8 সে.মি.
  3. গ
    5 সে.মি.
  4. ঘ
    7 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে 3 ও 4 সে.মি. হলে, তার অতিভুজের মান কত?

সমাধান: 
অতিভুজ = √(32 + 42) সে.মি.
= √(9 + 16) সে.মি.
= √25 সে.মি. 
= 5 সে.মি.
১,৭৫৪.
কোন একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ লম্ব অপেক্ষা 2 cm বড় এর ভূমির দৈর্ঘ্য 8 cm হলে, অতিভূজের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 15 cm
  2. খ
    খ) 16 cm
  3. গ
    গ) 17 cm
  4. ঘ
    ঘ) 18 cm
ব্যাখ্যা

ধরি,
লম্ব = a cm
অতিভুজ = (a + 2) cm
∴ ভূমি = 8 cm

∴ (a + 2)2 = a2 + 82
বা, a2 + 4a + 4 - a2 = 64
বা, 4a = 60
বা, a = 15

∴ অতিভুজ = 15 + 2
= 17 cm

১,৭৫৫.
যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 6 বর্গমিটার এবং অতিভুজ 5 মিটার হয়, তবে ত্রিভুজটির পরিসীমা কত হবে?
  1. ক
    17 মিটার
  2. খ
    13 মিটার
  3. গ
    10 মিটার
  4. ঘ
    12 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 6 বর্গমিটার এবং অতিভুজ 5 মিটার হয়, তবে ত্রিভুজটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজটির ভূমি = a এবং উচ্চতা = b
তাহলে, (1/2) ab = 6
⇒ ab = 12

আমরা জানি,
অতিভূজ = ভূমি২ + উচ্চতা২
⇒ 52 = a² + b²
⇒ (a + b)²- 2ab = 25
⇒ (a + b)² - (2 × 12) = 25
⇒ (a + b)² = 25 + 24
⇒ (a + b)² = 49
∴ a + b = 7

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা ভূমি উচ্চতা অতিভুজ = 7 + 5 [ভূমি + উচ্চতা = a + b = 7] = 12 মিটার
১,৭৫৬.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু ভূমির 5/6 অংশ, পরিসীমা 16 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 10 বর্গমিটার
  2. খ
    খ) 12 বর্গমিটার
  3. গ
    গ) 14 বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) 16 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
সমান সমান বাহুঃভূমি = 5:6
সুতরাং 5x + 5x + 6x = 16
Or, 16x = 16
Or, x = 1
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 6/4 × √{4(5)2 - 62}
= 6/4 × √(100-36)
= 6/4 × 8
= 12 বর্গমিটার
১,৭৫৭.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 6 ডিগ্রি হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
  1. ক
    38°
  2. খ
    39°
  3. গ
    41°
  4. ঘ
    42°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 6 ডিগ্রি হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ক্ষুদ্রতম কোণ x
এবং অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + 6° 

এখন
x + x + 6° + 90° = 180°
⇒ 2x + 96° = 180°
⇒ 2x = 180° - 96°
⇒ x = 84°/2
∴ x = 42°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ 42° । 
১,৭৫৮.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 5 একক এবং ভূমি 6 একক হলে, ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    6 বর্গ একক 
  2. খ
    8 বর্গ একক 
  3. গ
    10 বর্গ একক 
  4. ঘ
    12 বর্গ একক 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 5 একক এবং ভূমি 6 একক হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 6 সে. মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 সে. মি.

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) √(4a2 - b2)
= (6/4) √(4 × 52 - 62)
= (6/4) √(100 - 36)
= (6/4)× 8
= 12 বর্গ একক 
১,৭৫৯.
ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তার ক্ষেত্রে নিচের কোন তথ্যটি সঠিক হবে?
  1. ক
    তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি অপেক্ষা ছোট হবে
  2. খ
    তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান হবে
  3. গ
    তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি অপেক্ষা বড় হবে
  4. ঘ
    উপরের কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তার ক্ষেত্রে নিচের কোন তথ্যটি সঠিক হবে?

সমাধান:
ত্রিভুজ সংক্রান্ত কিছু অনুসিদ্ধান্তঃ
১) ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুল কোণ হবে।
৩) সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে।
১,৭৬০.
ABC ত্রিভুজে AB = 15 মি., BC = 18 মি. এবং ক্ষেত্রফল 135 বর্গমি.। তাহলে ∠B = ?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 15 মি., BC = 18 মি. এবং ক্ষেত্রফল 135 বর্গমি.। তাহলে ∠B = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
ΔABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sin ∠B
বা, 135 = (1/2) × 15 × 18 × sin ∠B
বা, 135 = 135 × sin ∠B
বা, sin ∠B = 135/135
বা, sin ∠B = 1
বা, sin ∠B = ‍sin 90°
∴ ∠B = 90°
১,৭৬১.
একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাপ ৪০° ও ৫০° হলে, ত্রিভুজটি হবে-
  1. ক
    সমবাহু
  2. খ
    সমদ্ধিবাহু
  3. গ
    স্থূলকোণী
  4. ঘ
    সমকোণী
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাপ ৪০° ও ৫০° হলে, ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০° 

এখন,
ত্রিভুজের অপর কোণটি = ১৮০° - (৪০° + ৫০°) = ৯০°
∴ ত্রিভুজটি হবে সমকোণী ত্রিভুজ।
১,৭৬২.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু 20 সেঃমিঃ হলে ক্ষেত্রফল -
  1. ক
    ক) 25√3 বর্গ সেঃমিঃ
  2. খ
    খ) 50√3 বর্গ মিঃ
  3. গ
    গ) 100√3 বর্গ মিঃ
  4. ঘ
    ঘ) 100√3 বর্গ সেঃমিঃ
ব্যাখ্যা
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)(বাহু)2
= (√3/4)(20)2
= 100√3
১,৭৬৩.
ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা _____
  1. ক
    ক) ক্ষুদ্রতর
  2. খ
    খ) বৃহত্তর
  3. গ
    গ) সমান
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
গুরুত্বপূর্ণ কিছু অনুসিদ্ধান্ত:
 ১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।অনুসিদ্ধান্ত ২ ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।
৩. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক।
১,৭৬৪.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 40 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 48 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট নতুন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো। নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    184 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    192 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    212 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    208 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 40 সে. মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য 48 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট নতুন একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো। নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a2 - b2)
= (48/4) × √(4 × 402 - 482)
= 12 × √(4 × 1600 - 2304)
= 12 × √(6400 - 2304)
= 12 × √4096
= 12 × 64
= 768 বর্গ সে.মি.

∴ নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 768/4 = 192 বর্গ সে.মি.
১,৭৬৫.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি সমান হলে, অতিভুজের অর্ধেক কত হবে?
  1. ক
    P
  2. খ
    √2P
  3. গ
    P/√2
  4. ঘ
    √2/P
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি সমান হলে, অতিভুজের অর্ধেক কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি সমান 
মনে করি,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব = ভূমি = P

আমরা জানি,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ2 = লম্ব2 + ভূমি2
= P2+ P2
= 2P2
⇒ অতিভুজ2 = 2P2
⇒ অতিভুজ = √2P
⇒ অতিভুজ/2 = √2P/2
∴ অতিভুজ/2 = P/√2

১,৭৬৬.
একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গগজ। ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির ওপর অংকতি লম্বের দৈর্ঘ্য ১২ গজ হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ১০ গজ
  2. খ
    খ) ১২ গজ
  3. গ
    গ) ১৪ গজ
  4. ঘ
    ঘ) ৭ গজ
ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =[ ১÷২ × ভুমি × লম্ব]
বা, ৮৪ = ১÷২ × ভুমি × ১২
ভুমি=(৮৪×২)÷১২
       =১৪ গজ

১,৭৬৭.
প্রদত্ত চিত্রে ΔABC এর ∠ABC > ∠ACB হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) AC = AB
  2. খ
    খ) AC = 2AB
  3. গ
    গ) AC > AB
  4. ঘ
    ঘ) AB > AC
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত চিত্রে ΔABC এর ∠ABC > ∠ACB হলে নিচের কোনটি সঠিক?
 
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
 ΔABC এর ∠ABC > ∠ACB 
AC > AB
১,৭৬৮.
নিচে চারটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। কোনটি সমকোণী ‍ত্রিভুজ?
  1. ক
    ৪, ৮, ৯
  2. খ
    ৬, ১২, ১৫
  3. গ
    ৬, ৮, ৯
  4. ঘ
    ৫, ১২, ১৩
ব্যাখ্যা
সমকোণী ‍ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
১৩² = ১২² + ৫²
১৬৯ = ১৬৯
ইহা একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
১,৭৬৯.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিঃ এখানে অপর বাহুদ্বয়ের একটি অন্যটির 3/4 অংশ। লম্ব এবং ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 20 মিঃ, 10 মিঃ
  2. খ
    খ) 15 মিঃ, 20 মিঃ
  3. গ
    গ) 20 মিঃ, 25 মিঃ
  4. ঘ
    ঘ) 15 মিঃ, 10 মিঃ
ব্যাখ্যা

একটি বাহু 4x হলে অপরটি 4x এর 3/4 = 3x
∴ (4x)2 + (3x)2 = 252
বা, 25x2 = 625
বা, x2 = 25
∴ x = 5
∴ লম্ব ও ভূমির দৈর্ঘ্য = 20 মিঃ এবং 15 মিঃ।

১,৭৭০.
যদি ΔPQR এর কোণসমূহ হয় ∠P = x, ∠Q = x এবং ∠R = 2x  হলে ত্রিভুজটি কী ত্রিভূজ?
  1. ক
    সমকোণী ত্রিভুজ
  2. খ
    সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
  3. গ
    স্থুলকোণী ত্রিভুজ
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ΔPQR এর কোণসমূহ হয় ∠P = x, ∠Q = x এবং ∠R = 2x  হলে ত্রিভুজটি কী ত্রিভূজ?

সমাধান: 
∠P = x, ∠Q = x এবং ∠R = 2x

আমরা জানি,
∠P + ∠Q +∠R = 180°
বা, x + x + 2x = 180°
বা, 4x = 180°
∴ x = 45° 

∠P = 45°, ∠Q = 45°° এবং ∠R = 90°
 ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।
১,৭৭১.
কোনো ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কী বলে?
  1. ক
    ক) বহি:কেন্দ্র
  2. খ
    খ) লম্বকেন্দ্র
  3. গ
    গ) পরিকেন্দ্র
  4. ঘ
    ঘ) ভরকেন্দ্র
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কী বলে?

সমাধান:
ত্রিভুজের কোনো একটি শীর্ষবিন্দু এবং তার বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাকে মধ্যমা বলে। ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু। এই বিন্দু ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।


△PQR এ S, T, U যথাক্রমে QR, RP ও PQ এর মধ্যবিন্দু।
PS, QT ও RU মধ্যমাত্রয় O বিন্দুতে মিলিত হয়।

∴ ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র O।
১,৭৭২.
একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু'টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    48 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    56 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    80 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    64 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু'টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
∴ ক্ষেত্রফল = (16/4) √(4 × 102 - 162)
= 4{√(400 - 256)
= 4 √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.
১,৭৭৩.
একটি সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির মাঠের অতিভুজ ১৩ সেমি এবং লম্ব ৫ সেমি হলে, মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৩০ বর্গসেমি
  2. খ
    ৩৬ বর্গসেমি
  3. গ
    ৪৯ বর্গসেমি
  4. ঘ
    ৬৪ বর্গসেমি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির মাঠের অতিভুজ ১৩ সেমি এবং লম্ব ৫ সেমি হলে, মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অতিভুজ = ১৩ সেমি
লম্ব = ৫ সেমি

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে,
(অতিভুজ)২ = (লম্ব)২ + (ভূমি)২
⇒ (ভূমি)২ = (অতিভুজ)২ - (লম্ব)২
⇒ (ভূমি)২ = ১৩২ - ৫২ 
⇒ (ভূমি)২ = ১৬৯ - ২৫ 
⇒ (ভূমি)২ = ১৪৪
⇒ ভূমি = √১৪৪ = ১২ সেমি

এখন,
মাঠটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × লম্ব × ভূমি
= (১/২) × ৫ × ১২ = ৩০ বর্গসেমি

সুতরাং, মাঠটির ক্ষেত্রফল = ৩০ বর্গসেমি

১,৭৭৪.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?
  1. ক
    ২৪ সে.মি.
  2. খ
    ২৬ সে.মি.
  3. গ
    ৩২ সে.মি.
  4. ঘ
    ৩৪ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) (বাহু)২

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(বাহু)২ = ১৬√৩
⇒ (১/৪)(বাহু)২ = ১৬
⇒ (বাহু)২ = ১৬ × ৪
⇒ (বাহু)২ = ৬৪
⇒ বাহু = √৬৪
⇒ বাহু = ৮

সুতরাং, ত্রিভুজের পরিসীমা = (৮ + ৮ + ৮) সে.মি.
= ২৪ সে.মি.
১,৭৭৫.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 30 মিটার এবং অপর দুটি বাহুর প্রতিটি 25 মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ক) 210 বর্গমিটার
  2. খ
    খ) 250 বর্গমিটার
  3. গ
    গ) 270 বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) 300 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 30 মিটার এবং অপর দুটি বাহুর প্রতিটি 25 মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 


আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
= (b/4)√(4a2 - b2)

এখানে, 
a = 25 m
b = 30 m 

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
= (30/4)√{4(25)2 - (30)2}
= (30/4)√(2500 - 900)
= (30/4)√1600
= (30/4) × 40
= 300 

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 300 বর্গমিটার
১,৭৭৬.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √3 বর্গমিটার হলে, তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) √3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √3 বর্গমিটার হলে, তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমাবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3 × a2)/4 

প্রশ্নমতে,
(√3 × a2)/4  = √3
⇒ a2/4 = 1
⇒ a2 = 4
⇒ a = √4
∴ a = 2

∴ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2 মিটার
১,৭৭৭.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ সেমি হলে, ঐ ত্রিভুজের পরিসীমা কত?
  1. ক
    36 সে.মি.
  2. খ
    24 সে.মি.
  3. গ
    18 সে.মি.
  4. ঘ
    12 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ সে.মি. হলে, ঐ ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ সে.মি

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)a2 [যেখানে a = বাহু]

প্রশ্নমতে,
(√3/4)a2 = 9√3
⇒ (1/4)a2 = 9
⇒ a2 = 9 × 4
⇒ a2 = 36
∴ a = 6

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা = (6 + 6 + 6) = 18 সে.মি.
১,৭৭৮.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি? 
  1. ক
    ৩৬
  2. খ
    ৪৮
  3. গ
    ৫৬
  4. ঘ
    ৭২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি? 

সমাধান: 
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি বাহু সমান = ক 
১২২ = ক২ + ক২
বা, ১৪৪ = ২ক২
বা, ক২ = ৭২
ক =  √৭২

∴ক্ষেত্রফল =(১/২) (√৭২) × (√৭২)
= (১/২) × ৭২
= ৩৬ বর্গ সে.মি.
১,৭৭৯.
PQR ত্রিভুজের PN একটি মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য ২৭ সে.মি. হয়, তাহলে PM-এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৯ সে.মি.
  2. খ
    ২১ সে.মি.
  3. গ
    ৩৬ সে.মি.
  4. ঘ
    ১৮ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PN একটি মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য ২৭ সে.মি. হয়, তাহলে PM-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

এখানে,
PN মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র।
∴ PM : MN = ২ : ১

মোট অনুপাত = ২ + ১ = ৩
মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য = ২৭ সে.মি.
ভরকেন্দ্র M, মধ্যমা PN-কে দুটি অংশে বিভক্ত করেছে: PM এবং MN।

∴ PM-এর দৈর্ঘ্য = ২৭ এর (২/৩) অংশ
= ২৭ × (২/৩) সেমি
= ১৮ সে.মি.

সুতরাং, PM-এর দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি.।

১,৭৮০.
নিচের তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য মিটারে দেওয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব না?
  1. ক
    ক) 4, 5, 6
  2. খ
    খ) 5, 6, 7
  3. গ
    গ) 7, 8, 9
  4. ঘ
    ঘ) 1, 2, 3
ব্যাখ্যা
নিচের তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য মিটারে দেওয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব না?

 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
এখানে একমাত্র অপশন ঘ তে, 1 + 2 = 3 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
১,৭৮১.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ সে.মি. ও ৪ সে.মি. হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ৫ সে.মি.
  2. খ
    খ) ৭ সে.মি.
  3. গ
    গ) ৫.৫ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৬ সে.মি.
ব্যাখ্যা

অতিভুজ = √(৩²+৪²)
= √(৯+১৬)
= √২৫
= ৫ সে.মি.

১,৭৮২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির 3/4 অংশ হলে, ত্রিভুজটির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত? 
  1. ক
    2 : 3
  2. খ
    4 : 5
  3. গ
    5 : 3
  4. ঘ
    4 : 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির 3/4 অংশ হলে, ত্রিভুজটির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ভূমির দৈর্ঘ্য = 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য = 4x × (3/4)
= 3x মিটার 

এখন, 
(লম্ব)2 + (ভূমি)2 = (অতিভুজ)2
⇒ (3x)2 + (4x)2 = (25)2
⇒ 9x2 + 16x2 = 625
⇒ 25x2 = 625
⇒ x2 = 625/25
⇒ x2 = 25
∴ x = 5

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = (4 × 5) = 20 মিটার
এবং লম্বের দৈর্ঘ্য = {4x × (3/4)} = (3 × 5) = 15 মিটার 

∴ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 20 : 15 
= 4 : 3  ।
১,৭৮৩.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে ক, ক/২ এবং ৩ক/২। ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণটির মান কত?
  1. ক
    ৪৫°
  2. খ
    ৬০°
  3. গ
    ৯০°
  4. ঘ
    ৫৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে ক, ক/২ এবং ৩ক/২। ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০° 

প্রশ্নমতে,
ক + (ক/২) + (৩ক/২) = ১৮০°
⇒ (২ক + ক + ৩ক)/২ = ১৮০°
⇒ ৬ক/২ = ১৮০°
⇒ ৬ক = ১৮০° × ২
⇒ ক = (১৮০° × ২)/৬
⇒ ক = ৬০°

∴ বৃহত্তম কোণ = (৩ × ৬০°)/২ = ৯০°
১,৭৮৪.
△ABC - ∠A = 40°, ∠B = 70°, হলে △ABC কি ধরনের ত্রিভুজ?
  1. ক
    ক) সমকোণী
  2. খ
    খ) স্থুলকোণী
  3. গ
    গ) সমদ্বিবাহু
  4. ঘ
    ঘ) সমবাহু
ব্যাখ্যা
যেহেতু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180 ডিগ্রি, তাহলে C কোণের মান হবে (180 - 40 - 70) = 70 ডিগ্রি।
এখানে B ও C কোণ সমান, আর কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান ত্রিভুজতির দুইটি বাহুও সমান হবে।
তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।
১,৭৮৫.
তিনটি বাহুর (সেমি এককে) দেওয়া হলে কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ সম্ভব হবে?
  1. ক
    ৩, ৫, ৬
  2. খ
    ৪, ৫, ৯
  3. গ
    ৫, ৬, ১২
  4. ঘ
    ৬, ৭, ১৬
ব্যাখ্যা
- তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ তৈরি করতে হলে অবশ্যই সবচেয়ে ছোট দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল বড় বাহুটির চেয়ে বড় হতে হবে।
- ৩ সেমি, ৫ সেমি ও ৬ সেমি দৈর্ঘ্যের বাহু তিনটি দিয়ে ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
- কারণ এ ক্ষেত্রে ছোট দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল বড় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বড়।
১,৭৮৬.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 20 মিটার এবং অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি 16 মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ক) 16√39 বর্গ মিটার 
  2. খ
    খ) 18√39 বর্গ মিটার 
  3. গ
    গ) 20√39 বর্গ মিটার 
  4. ঘ
    ঘ) 22√39 বর্গ মিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 20 মিটার এবং অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি 16 মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য b = 20 মিটার
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 16 মিটার

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= (b/4) × √(4a2 - b2)
 = (20/4) × √(4 × 162 - 202)
= 5 × √(1024 - 400)
= 5 ×√624
= 5 × 4√39
= 20√39 বর্গ মিটার
১,৭৮৭.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু যথাক্রমে √২ মিটার এবং ৪ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) √২ বর্গমিটার 
  2. খ
    খ) ২√২ বর্গমিটার 
  3. গ
    গ) ৪√২ বর্গমিটার 
  4. ঘ
    ঘ) ৪ বর্গমিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু যথাক্রমে √২ মিটার এবং ৪ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু  √২ মিটার এবং ৪ মিটার 

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × √২ × ৪ বর্গমিটার 
= ২√২ বর্গমিটার 
১,৭৮৮.
সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির অনুপাত কোনটি?
  1. ক
    ক) ১৩ : ১২: ৫
  2. খ
    খ) ৬: ৪: ৩
  3. গ
    গ) ৬ : ৫ : ৩
  4. ঘ
    ঘ) ১২ : ৮ : ৪
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
∴  ১৩২ = ১২২ + ৫২
সুতরাং, ১৩ : ১২ : ৫ বাহুগুলো সমকোণী ত্রিভুজের অনুপাত

১,৭৮৯.
△ABC- এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে, ∠ACD এর সমান হবে-
  1. ক
    ক) ∠A+∠B−∠C
  2. খ
    খ) ∠A−∠B−∠C
  3. গ
    গ) ∠A+∠B
  4. ঘ
    ঘ) ∠A+∠C
ব্যাখ্যা

কোন ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত দুই কোণের সমষ্টির সমান। বা, ত্রিভুজের কোন এক বাহুকে বর্ধিত করা হলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা ত্রিভুজের বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ ∠ACD = ∠BAC+∠ABC = ∠A+∠B
১,৭৯০.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মি. এবং অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ১০ মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ৩৬ ব.মি.
  2. খ
    খ) ৪২ ব.মি.
  3. গ
    গ) ৫০ ব.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৪৮ ব.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মি. এবং অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ১০ মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি, b = 16 মি. 
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 10 মি.

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2)
= (16/4)√{4 × (10)2 - (16)2}
= 4{√(400 - 256)}
= 4√144
= 4 × 12
= 48 বর্গ মি.
১,৭৯১.
একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে এর অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গ মিটার হবে? 
  1. ক
    ৬ মিটার 
  2. খ
    ৮ মিটার 
  3. গ
    ৩√২ মিটার 
  4. ঘ
    ৪√২ মিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে এর অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গ মিটার হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = a 
∴ অতিভুজ = √২a 

বর্গের ক্ষেত্রফল = ৭২ বর্গ মিটার 
∴ বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৭২ মিটার
= ৬√২ মিটার

প্রশ্নমতে, 
√২a = ৬√২ 
∴ a = ৬ মিটার 

∴ সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে এর অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গ মিটার হবে।
১,৭৯২.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৭৫ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ১৫০ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ৮১ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ১৬২ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি সমান বাহু = ক সে.মি.
আমরা জানি,
অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভূমি২
⇒ ১৮২ = ক২ + ক২
⇒ ২ক২ = ৩২৪
⇒ ক২ = ১৬২
⇒ ক = √১৬২

∴ক্ষেত্রফল =(১/২) × (√১৬২) × (√১৬২)
= (১/২) × ১৬২
= ৮১ বর্গ সে.মি.
১,৭৯৩.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 সে.মি. এবং সমান বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    6 বর্গ সে.মি. 
  2. খ
    12 বর্গ সে.মি. 
  3. গ
    6√2 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    24 বর্গ সে.মি. 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 সে.মি. এবং সমান বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি বা অসমান বাহু, b = 8 সে.মি.
সমান বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য, a = 5 সে.মি. 

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2)
= (8/4)√{4 × (5)2 - 82}
= 2 × √{(4 × 25) - 64}
= 2 × √(100 - 64)
= 2 × √36 
= 2 × 6 
= 12 বর্গ সে.মি.
১,৭৯৪.
একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    ৭৬৮ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ৪৮ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ৯৬ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ১৪৪ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2)

∴ ক্ষেত্রফল = (16/4) √(4 × 102 - 162)
= 4{√(400 - 256)
= 4 √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.।
১,৭৯৫.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান কোণদ্বয়ের একটি ৫২ ডিগ্রি  হলে, তৃতীয় কোণের পরিমাণ কত ? 
  1. ক
    ক) ৭৬ ডিগ্রি
  2. খ
    খ) ৭২ ডিগ্রি
  3. গ
    গ) ৭০ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ঘ) ৭৮ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান কোণদ্বয়ের একটি 52° হলে, তৃতীয় কোণের পরিমাণ কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 52° + 52°
= 104°

∴ অপর কোণ = 180° - 104°
= 76°
১,৭৯৬.
একটি ত্রিভুজাকৃতির মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ সেমি, ১২ সেমি, ১৫ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৫৪ বর্গ সেমি
  2. খ
    ৪৯ বর্গ সেমি
  3. গ
    ৬০ বর্গ সেমি
  4. ঘ
    ৮৪ বর্গ সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতির মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ সেমি, ১২ সেমি, ১৫ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান :
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতির মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = ৯ সেমি, b = ১২ সেমি, c = ১৫ সেমি

∴ s = (৯ + ১২ + ১৫)/২
= ১৮

∴ ত্রিভুজাকৃতির মাঠের ক্ষেত্রফল = √{১৮(১৮ - ৯)(১৮ - ১২)(১৮ - ১৫)}
= √(১৮ × ৯ × ৬ × ৩)
= √(৩ × ৩ × ২ × ৩ × ৩ × ২ × ৩ × ৩)
= ৩ × ৩ × ৩ × ২
= ৫৪ বর্গ সেমি
১,৭৯৭.
ABC ত্রিভুজের AB = AC এবং ∠A = 80° হলে ∠C = কত?
  1. ক
    65°
  2. খ
    50°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    70°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের AB = AC এবং ∠A = 80° হলে ∠C = কত?

সমাধান: 


ΔABC ত্রিভুজের AB = AC 
ΔABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ 
আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান।
∠A + ∠B  +∠ C = 180°
80° + ∠C + ∠C= 180°
2∠C = 100°
∠C = 50°
১,৭৯৮.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে: মি: হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে:মি:?
  1. ক
    18 ব: সে: মি:
  2. খ
    24 ব: সে: মি:
  3. গ
    36 ব: সে: মি:
  4. ঘ
    42 ব: সে: মি:
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে: মি: হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে:মি:?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে: মি:

ধরি, সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
এখন,
⇒ a2 + a2 = 122
⇒ 2a2 = 144
⇒ a2 = 72
⇒ a = √72

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × (√72) × (√72)
= (1/2) × (72)
= 36 বর্গ সে.মি

১,৭৯৯.
একটি ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, উচ্চতা ৪ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ১৫ বর্গমিটার
  2. খ
    খ) ১২ বর্গমিটার
  3. গ
    গ) ১০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২(ভূমি × উচ্চতা)
= ১/২(৩ × ৪)
= ৬ বর্গ মিটার

১,৮০০.
কোন ত্রিভূজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভূজ অংকন সম্ভব?
  1. ক
    ক) 7 : 24 : 25
  2. খ
    খ) 12 : 60 : 61
  3. গ
    গ) 8 : 15 : 19
  4. ঘ
    ঘ) 11 : 35 : 37
ব্যাখ্যা

এখানে,
72 + 242 = 252