ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের AB = AC, ∠A = 40° হলে B = কত?

সমাধান:
যেহেতু AB = AC, তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান হয়।
অতএব, ∠B = ∠C
এখন,
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = 180°

∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 40° + ∠B + ∠B = 180°
⇒ 40° + 2∠B = 180°
⇒ 2∠B = 180° - 40°
⇒ 2∠B = 140°
⇒ ∠B = 70°

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a^২

ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ১)^২

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(a + ১)^২ - (√৩/৪‍)a^২ = ৩√৩
⇒ a^২ + ২a + ১ - a^২ = ১২
⇒ ২a = ১২ - ১ 
⇒ ২a = ১১
⇒ a = ১১/২ 
∴ a = ৫.৫

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৫.৫ মিটার

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 87 বর্গএকক হলে, BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিনভাগে ভাগ করে।
BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/3) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= (1/3) × 87
= 29 বর্গএকক

ΔABC - এ,
A + B + C = 180°
B + C = 180° - A
ΔBOC - এ,
1/2B + 1/2C + ∠BOC = 180°
বা, 1/2(B + C) + ∠BOC = 180°
বা, ∠BOC = 180° - 1/2(B + C)
= 180° - 1/2(180° - A)
= 180° - 90° + A/2
= 90° + 110°/2
= 145°

ধরি, কোন গুলোর অনুপাত ২x :২x : ৫x
২x + ২x + ৫x=180
x= ২০
তাহলে, কোনগুলো হল, ৪০, ৪০, ১০০। ইহা একটি স্থুলকোনী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মিটার, ১২ মিটার এবং ১৪ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু’টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

এখানে বৃহত্তম বাহু = ১৪ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৮ মিটার।

∴ এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ১২ মিটার এর অর্ধেক।
অর্থাৎ ৬ মিটার

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
এখানে দুটি কোণের সমষ্টি = (65° + 75°) = 140°
সুতরাং তৃতীয় কোণের পরিমাণ = 180° - 140° = 40°
সুতরাং ত্রিভুজটি বিষমবাহু কারণ প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ ভিন্ন ভিন্ন।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুইটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
​
​সমাধান: 
​এখানে, 
​সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য, a = 12 সে.মি. এবং b = 12 সে.মি.
অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = 30°

​আমরা জানি,
​ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
​= (1/2) × 12 × 12 × sin30°
​= (1/2) × 144 × 1/2  [sin30° = 1/2]
​= 36 

​অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 36 বর্গ সে.মি.।

সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব a, ভূমি b এবং অতিভুজ c = 13 সে.মি. হলে,
a + b + 13 = 30
⇒ a + b = 17 ......... (i)
আবার,
a² + b² = 13²
⇒ (a + b)² - 2ab = 169
⇒ (17)² - 2ab = 169
⇒ 2ab = 289 - 169
⇒ ab = 120/2
∴ ab = 60 ......... (ii)
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা (লম্ব) 
সুতরাং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ab
= 1/2 × 60
= 30 বর্গ সে.মি.

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)^২ বর্গমি.
= √৩/৪ (১৬)^২ বর্গমি.
= ৬৪√৩ বর্গমি.

a অসমান বাহু এবং b সমান বাহু হলে
সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = a/4 × √(4b²-a²)
                                             =16/44 ×√(10²-16²)
                                             =4 × √144
                                             =48

আমরা জানি, বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (2n - 4)×90°
∴ পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (2×5 - 4)×90° = 540° = 3×180° = 3× ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৩, ১৪ ও ১৫ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের পরিসীমা, ২s = (১৩ + ১৪ + ১৫) মিটার 
বা, s = ৪২/২ মিটার
∴ s = ২১ মিটার

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s (s - a) (s - b) (s - c)} বর্গমিটার 
=  √{২১ (২১ - ১৩) (২১ - ১৪) (২১ - ১৫)} বর্গমিটার
=  √(২১ × ৮ × ৭ × ৬) বর্গমিটার
= √(৭০৫৬) বর্গমিটার 
= ৮৪ বর্গমিটার । 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [১/২ × ভুমি × উচ্চতা]
বা, ৯২ = ১/২ × ভুমি × ৮
∴ ভুমি = (৯২×২) ÷ ৮ = ২৩ গজ

মনে করি, ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার
প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x² + 3x = 810
⇒ x² + 3x - 810 = 0
⇒ x² + 30x -27x - 810 = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0
∴ x = 27 or x = -30 [ গ্রহণ যোগ্য নয়]
∴ ত্রিভুজের ভূমি (2 × 27 + 6) = 60 মিটার।

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 (6)²
= 9√3

ধরি,
ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে, x, x ও 2x।
প্রশ্নমতে, x + x + 2x = 180°
বা, 2x = 90°
অর্থ্যাৎ, ত্রিভুজটির একটি কোণ একসমকোণ।
∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন করা যাবে না?

সমাধান:
ত্রিভুজ অঙ্কনের শর্ত হলো-
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি, তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

অপশন 'ক, খ, ঘ' তে এই নিয়ম মানলেও,
অপশন 'গ' তে, ৫ + ৪ = ৯ < ১০ 
তাই, এইক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব না।

প্রশ্ন: r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের মধ্যে অর্ন্তলিখিত করা যায় এরূপ সর্ববৃহৎ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:


r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তের মধ্যে অর্ন্তলিখিত ত্রিভুজ ΔABC।
ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

ΔABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × BC × AO
= (1/2) × (r + r) × r
= (1/2) × 2r × r
= r² 

১৮০ - ৯৬ = ৮৪
অর্থাৎ, বাকী দুটি কোণের সমষ্টি ৮৪ ডিগ্রি
আমরা জানি, সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণদ্বয়ও সমান হবে।
অর্থাৎ, বাকী কোণ দুটি ৮৪/২ = ৪২ ডিগ্রি করে

প্রশ্ন: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১২৬ বর্গ মি. এবং ভূমি ১৮ মি. হলে উচ্চতা কত?  

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
ক্ষেত্রফল = ১২৬ বর্গ মি.  
ভূমি = ১৮ মি.

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
১২৬ = (১/২) × ১৮ × উচ্চতা
১২৬ = ৯ × উচ্চতা  
উচ্চতা = ১২৬/৯ = ১৪ মি

সুতরাং, উচ্চতা ১৪ মি.

যে ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু এবং কোণ সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। আবার যে ত্রিভুজের কোনো কোণই ৩০° এর কম নয় এবং ১২০° এর বেশি নয়, তাকে সুঠাম ত্রিভুজ বলে। এখানে সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 48√3 cm² হলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 48√3 cm²

প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 48√3
⇒ a² = (48 × 4 × √3)/√3
⇒ a² = 192
⇒ a² = (8 × √3)²
∴ a = 8√3 cm

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু, a = বৃত্তের ব্যাসার্ধ × √3
⇒ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = a/√3 = (8√3)/√3 = 8

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² = π × (8)² = 64π cm²

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 × a² এবং পরিসীমা 3a।
শর্তমতে, √3/4 × a² = 16√3
বা, a² = 16 × 4
বা, a² = 64
বা, a = 8
সুতরাং পরিসীমা = 3a
= 3 × 8
= 24 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13m, 14m, 15m হলে এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 13m, b = 14m, c = 15m।
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/2 = (13 + 14 + 15)/2 = 42/2 = 21

আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = √{s(s − a)(s − b)(s − c)}
= √{21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15)}
= √{21 × 8 × 7 × 6}
= √7056 = 84

∴ ক্ষেত্রফল = 84 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য (x + ৯) মিটার, (২x + ১) মিটার এবং ২(২x - ১) মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য হবে-

সমাধান:
(x + ৯) + (২x + ১)+ ২(২x - ১) = ৩৬
⇒ x + ৯ + ২x + ১ + ৪x - ২ = ৩৬
⇒ ৭x + ৮ = ৩৬
⇒ ৭x = ৩৬ - ৮
⇒ ৭x = ২৮
∴ x = ৪ 

∴ বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য হবে = ২(২x - ১) =  ৪x - ২ = ১৬ - ২ = ১৪ মিটার

সমান সমান বাহুঃভূমি = 5:6
সুতরাং 5x + 5x + 6x = 16
Or, 16x = 16
Or, x = 1
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 6/4 × √{4(5)² - 6²}
= 6/4 × √(100 - 36)
= 6/4 × 8
= 12 বর্গমিটার