ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ১৩ / ২০ · ১,২০১–১,৩০০ / ২,০০৯

১,২০১.

কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ ২০° ও ৭০° হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

ক
ক) সমবাহু
খ
খ) সমদ্বিবাহু
গ
গ) সমকোণী
ঘ
ঘ) স্থুলকোণী

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজটির অপর কোণ ১৮০° - (২০° + ৭০°) = ৯০°
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

১,২০২.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ১২√৩ বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৬ মিটার
খ
৮ মিটার
গ
১১ মিটার
ঘ
৯ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ১২√৩ বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩ক^২/৪
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √৩(ক + ২)^২/৪

প্রশ্নমতে,
{√৩(ক + ২)^২/৪} - {√৩ক^২/৪} = ১২√৩
⇒ (√৩/৪){(ক + ২)^২ - ক^২} = ১২√৩
⇒ ক^২+ ৪ক + ৪ - ক^২ = ৪৮
⇒ ৪ক + ৪ = ৪৮
⇒ ৪ক = ৪৪
∴ ক = ১১

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১১ মিটার।

১,২০৩.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x মি। যদি প্রতিটি বাহু 1 মি. কমানো হয়, তবে ক্ষেত্রফল 2√3 মি² হ্রাস পায়। এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
4.5 মিটার
খ
4 মিটার
গ
3.5 মিটার
ঘ
5 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x মি। যদি প্রতিটি বাহু 1 মি. কমানো হয়, তবে ক্ষেত্রফল 2√3 মি² হ্রাস পায়। এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4)x²

এবং
প্রতিটি বাহু 1 মিটার কমালে নতুন বাহু = (x - 1) মিটার।
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (√3/4)(x - 1)²

প্রশ্নমতে,
(√3/4)x² - (√3/4)(x - 1)² = 2√3
⇒ (√3/4)(x² - (x - 1)² = 2√3
⇒ x² - x² + 2x - 1 = 8
⇒ 2x - 1 = 8
⇒ 2x = 8 + 1
⇒ 2x = 9
⇒ x = 9/2
∴ x = 4.5 মিটার

সুতরাং, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 4.5 মিটার।

১,২০৪.

3 cm, 4 cm ও 5 cm বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে-

ক
ক) সমকোণী
খ
খ) সূক্ষ্মকোণী
গ
গ) সমবাহু
ঘ
ঘ) সমদ্বিবাহু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 cm, 4 cm ও 5 cm বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
আমরা জানি
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
(অতিভুজ)^২ = লম্ব^২ + (ভূমি)^২

এখানে
5² = 25

আবার
3² + 4²= 9 + 16 = 25

3 cm, 4 cm ও 5 cm বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটি হব সমকোণী ত্রিভুজ ।

১,২০৫.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ একক হলে অপরটি কত একক?

ক
ক) ১৫
খ
খ) ৩০
গ
গ) ২৪
ঘ
ঘ) ২০

ব্যাখ্যা

আমরা জানি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে = ১/২ × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
অর্থাৎ, ১৪৪ = ১/২ × ১২ × অপর বাহু
বা, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৪৪/৬ = ২৪ একক

১,২০৬.

একটি ত্রিভুজের ভূমি ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 4 এবং ক্ষেত্রফল 726 বর্গ সেমি। ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

ক
33 সেমি
খ
44 সেমি
গ
55 সেমি
ঘ
66 সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 4 এবং ক্ষেত্রফল 726 বর্গ সেমি। ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ভূমি = 3a এবং উচ্চতা = 4a

∴ ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ 726 = (1/2) × 3a × 4a
⇒ 726 = 12a²/2
⇒12a²= 1452
⇒ a²= 121
∴ a = 11

∴ উচ্চতা = 4 × 11 = 44 সেমি

১,২০৭.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

ক
সমকোণী ত্রিভুজ
খ
স্থূলকোণী ত্রিভুজ
গ
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
ধরি, তিনটি কোণ হলো যথাক্রমে 2x, 3x, 4x

আমরা জানি,
ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি 180°

প্রশ্নমতে,
2x + 3x + 4x = 180°
9x = 180°
x = 180°/9
x = 20°

সুতরাং, কোণগুলো হলো 2x = 40°, 3x = 60° এবং 4x = 80°

এখন, ত্রিভুজের প্রকার নির্ধারণ-
সমকোণী ত্রিভুজ: একটি কোণ 90° হবে। এখানে কোন কোণ 90° নয়।
স্থূলকোণী ত্রিভুজ: একটি কোণ 90° থেকে বড় হবে। এখানে সর্বোচ্চ কোণ 80°।
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ: সব কোণ 90° এর কম। এখানে সব কোণ 90° এর কম।

সুতরাং, ত্রিভুজটি একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

১,২০৮.

যদি একটি ত্রিভুজের দু’টি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১০ সেঃমিঃ এবং ১২ সেঃমিঃ হয়, তবে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = কত সেঃমিঃ?

ক
ক) ২০ সেঃমিঃ
খ
খ) ২২ সেঃমিঃ
গ
গ) ২৪ সেঃমি
ঘ
ঘ) ২৫ সেঃমিঃ

ব্যাখ্যা

এখানে, ১০+১২ > ২০ ; যা ত্রিভুজের বাহুগুলোর সম্পর্ক।

১,২০৯.

সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ দুটির যোগফল কত?

ক
ক) 240°
খ
খ) 120°
গ
গ) 180°
ঘ
ঘ) 60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ দুটির যোগফল কত?

• আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°।
• সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120° কোণ উৎপন্ন করে।
• সুতরাং বহিঃস্থ কোণ দুটির অন্তরফল = 120° + 120° = 240°

১,২১০.

নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

ক
ক) 3, 5, 8
খ
খ) 3, 5, 6
গ
গ) 3, 4, 5
ঘ
ঘ) 3, 6, 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
3² + 4² = 5²
বা, 9 + 16 = 25

১,২১১.

একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
42 বর্গ সে.মি.
খ
48 বর্গ সে.মি.
গ
52 বর্গ সে.মি.
ঘ
58 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)

∴ ক্ষেত্রফল = (16/4) √(4 × 10² - 16²)
= 4{√(400 - 256)
= 4 √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.।

১,২১২.

ΔABC - এ, ∠ABE = ∠ACD = 120° হলে ত্রিভুজটির প্রকৃতি-

ক
সমবাহু
খ
সমদ্বিবাহু
গ
বিষমবাহু
ঘ
সমকোণী

ব্যাখ্যা

চিত্রে,
∠ABE = ∠ACD = 120°
∴ ∠ABC = 180° - 120° = 60°,
∠ACB = 180° - ∠ACD
= 180° - 120°
= 60°
এবং ∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠ACB)
= 180° - (60° + 60°)
= 180° - 120°
= 60°
∴ ত্রিভুজটি সমবাহু।

১,২১৩.

একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ফুট এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য ১০ফুট। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

ক
ক) ৩৬ বর্গ ফুট
খ
খ) 48 বর্গ ফুট
গ
গ) ২৪ বর্গ ফুট
ঘ
ঘ) ৫৪ বর্গ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ফুট এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য ১০ফুট। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ ফুট?
সমাধান :
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ ক্ষেত্রফল = 16/4 √(4 × 10²- 16²)
= 4 √(400 - 256)
= 4 √144

= 4.12
= 48

১,২১৪.

কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অংকন সম্ভব -

ক
ক) ৬ঃ৫ঃ৪
খ
খ) ১২ঃ৮ঃ৫
গ
গ) ১০ঃ২৪ঃ২৬
ঘ
ঘ) ১২ঃ১৩ঃ৬

ব্যাখ্যা

এখানে, ১০ঃ২৪ঃ২৬ = ৫ঃ১২ঃ১৩
যেখানে ৫^২ + ১২^২ = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯ = ১৩^২

১,২১৫.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৩৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

ক
৩৬ সে.মি.
খ
৪২ সে.মি.
গ
৪৬ সে.মি.
ঘ
৪৮ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৩৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)²
এখন, (√৩/৪)(বাহু)^২ = ৩৬√৩
⇒ (১/৪)(বাহু)^২ = ৩৬
⇒ (বাহু)^২ = ৩৬ × ৪
⇒ (বাহু)² = ১৪৪
⇒ বাহু = ১২

∴ ত্রিভুজের পরিসীমা = ১২ + ১২ + ১২ = ৩৬ সে.মি.

১,২১৬.

একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ অপর একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের সমান হলে, ত্রিভুজদ্বয় কিরূপ হবে?

ক
সদৃশকোণী
খ
সর্বসম
গ
সমকোণী
ঘ
সমান

ব্যাখ্যা

দুটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হবার শর্ত,
১। তিন বাহু সমানুপাতিক হলে,
২। দুই বাহু সমানুপাতিক ও অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান,
৩। দুটি কোণ সমান হলে,
৪। সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও একটি বাহু সমানুপাতিক হলে।

১,২১৭.

একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ১৯৫ সেন্টিমিটার এবং এর বাহুগুলোর অনুপাত ৫ : ১২ : ১৩। বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈ‍র্ঘ্যের সমষ্টি কত?

ক
১১৭ সেন্টিমিটার
খ
১১৫.৫ সেন্টিমিটার
গ
১১২ সেন্টিমিটার
ঘ
১১০.৫ সেন্টিমিটার
ঙ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ১৯৫ সেন্টিমিটার এবং এর বাহুগুলোর অনুপাত ৫ : ১২ : ১৩। বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈ‍র্ঘ্যের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈ‍র্ঘ্য ৫ক, ১২ক ও ১৩ক

প্রশ্নমতে,
৫ক + ১২ক + ১৩ক = ১৯৫
বা, ৩০ক = ১৯৫
বা, ক = ১৯৫/৩০
∴ ক = ৬.৫

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈ‍র্ঘ্যের সমষ্টি = ৫ক + ১৩ক
= ১৮ক
= ১৮ × ৬.৫
= ১১৭ সেন্টিমিটার

১,২১৮.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৪৯√৩ বর্গ সে. মি.। ত্রিভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৪ সে. মি.
খ
৭ সে. মি.
গ
১৬ সে. মি.
ঘ
৯ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৪৯√৩ বর্গ সে. মি.। ত্রিভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × ক^২

প্রশ্নমতে,
⇒ (√৩/৪) × ক^২ = ৪৯√৩
⇒ ক^২ = ৪ × ৪৯
⇒ ক = √(৪ × ৪৯)
⇒ ক = ২ × ৭
∴ ক = ১৪

∴ ত্রিভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৪ সে. মি.।

১,২১৯.

একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ মি., ২৪ মি. এবং ৩০ মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
১২৪ বর্গমিটার
খ
২১৬ বর্গমিটার
গ
১৯২ বর্গমিটার
ঘ
২০৪ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ মি., ২৪ মি. এবং ৩০ মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে পরিসীমা S = (১৮ + ২৪ + ৩০)/২ = ৭২/২ = ৩৬

আমরা জানি,
ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = √{S (S - a) (S - b) (S - c)}
= √{৩৬(৩৬ - ১৮) (৩৬ - ২৪) (৩৬ - ৩০)}
= √(৩৬ × ১৮ × ১২ × ৬)
= ২১৬ বর্গমিটার

১,২২০.

সমবাহু ত্রিভুজ এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মি. করে বাড়ানো হলে, ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমি. বৃদ্ধি পায়, বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৩ মি.
খ
খ) ৫ মি.
গ
গ) ২ মি.
ঘ
ঘ) ৪ মি.

ব্যাখ্যা

ধরি, বাহুর দৈর্ঘ্য = x মি.
আমরা জানি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)x²
প্রশ্নমতে,
(√3/4)(x + 2)² - (√3/4)x² =3√3
(x + 2)² - x² = 12
বা, x = 2 মি.

১,২২১.

নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

ক
ক) ২, ৩ ও ৫ সে.মি
খ
খ) ৪, ৫ ও ৬ সে.মি
গ
গ) ৫, ৬ ও ৮ সে.মি
ঘ
ঘ) ৩, ৫ ও ৭ সে.মি

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের যে কোনো দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর
∴ ২ + ৩ = ৫
অর্থ্যাৎ ২, ৩ ও ৫ সে.মি দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব না।

১,২২২.

কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

ক
২, ৩ এবং ৫ সে.মি.
খ
৫, ৬ এবং ৮ সে.মি.
গ
৩, ৪ এবং ৫ সে.মি.
ঘ
২, ৫ এবং ৬ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।

এখানে,
প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৩ + ৪ = ৭ > ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
২ + ৩ = ৫ = ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়
৫ + ৬ = ১১ > ৮ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব

১,২২৩.

৫, ১২ ও ১৩ সেমি বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে-

ক
ক) সমবাহু
খ
খ) সমদ্বিবাহু
গ
গ) স্থুলকোণী
ঘ
ঘ) সমকোণী

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒১৩^২ = ১২^২ + ৫^২
⇒১৬৯ = ১৬৯
অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

১,২২৪.

ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র হলো-

ক
ক) ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দু
খ
খ) ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দু
গ
গ) ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

১,২২৫.

tanθ = m/n হলে, নিচের কোনটি সত্য?

ক
sinθ = √(m + n)/m
খ
secθ = √(m² + n²)/n
গ
cosθ = m/√(m² + n²)
ঘ
উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ = m/n হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
আমরা জানি,
tanθ = লম্ব/ভূমি = m/n
এখানে, লম্ব = m এবং ভূমি = n

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = m² + n²
∴ অতিভুজ = √(m² + n²)

Option Check-

ক) sinθ = লম্ব/অতিভুজ = m/√(m² + n²) (অপশনে মান ভুল)

খ) secθ = অতিভুজ/ভূমি = √(m² + n²)/n (অপশন অনুযায়ী সঠিক)

গ) cosθ = 1/secθ = n/√(m² + n²) (অপশনে মান ভুল)

ঘ) উপরের সবগুলো (যেহেতু, ক ও গ ভুল। তাই অপশন ঘ সঠিক উত্তর হবে না।)

∴ অপশন অনুযায়ী সঠিক উত্তর হচ্ছে, secθ = √(m² + n²)/n

১,২২৬.

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

ক
২৫ মিটার
খ
৪৫ মিটার
গ
৫০ মিটার
ঘ
১০০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার
বর্গের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গ মিটার
= ২৫০০ বর্গ মিটার

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গ মিটার
ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার

আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
বা, (১/২) × ১০০ × উচ্চতা = ২৫০০
বা, উচ্চতা = (২৫০০ × ২)/১০০
∴ উচ্চতা = ৫০ মিটার।

১,২২৭.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যদি 36√3 বর্গ সেন্টিমিটার হয়, তবে ত্রিভুজটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
10 সেমি
খ
15 সেমি
গ
17 সেমি
ঘ
12 সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যদি 36√3 বর্গ সেন্টিমিটার হয়, তবে ত্রিভুজটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 36√3 বর্গ সেন্টিমিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4 ) × a²

প্রশ্নমতে,
(√3/4) × a² = 36√3
⇒ a² = (36√3 × 4)/√3
⇒ a² = 144
⇒ a = √144
∴ a = 12

∴ ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 সেমি

১,২২৮.

একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

ক
27 মিটার
খ
32 মিটার
গ
24 মিটার
ঘ
36 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার

প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x² + 3x = 810
⇒ x² + 3x - 810 = 0
⇒ x² + 30x - 27x - 810 = 0
⇒ x(x + 30) - 27(x + 30) = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0

হয়
x + 30 = 0
x = - 30 [ গ্রহণ যোগ্য নয়]

অথবা
x - 27 = 0
∴ x = 27

∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 মিটার

১,২২৯.

ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গএকক হলে, BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৪৮ বর্গএকক
খ
৩২ বর্গএকক
গ
৭২ বর্গএকক
ঘ
৯৬ বর্গএকক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গএকক হলে, BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিনভাগে ভাগ করে।
BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/৩) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= (১/৩) × ৯৬
= ৩২ বর্গএকক

১,২৩০.

কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বাহিঃস্থ কোণ তিনটি সমষ্টি কত?

ক
ক) ১৮০°
খ
খ) ২৭০°
গ
গ) ৩৬০°
ঘ
ঘ) ৫৪০°

ব্যাখ্যা

বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি,
= ∠ACD + ∠BAE + ∠CBF
= 180° - γ + 180° - α + 180° - β
= 540° - (α + β + γ)
= 540° - 180°
= 360°

১,২৩১.

একটি তালগাছ এর পাদবিন্দু হতে 8 মিটার দূরবর্তী স্থানে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

ক
11.64 মিটার
খ
13.86 মিটার
গ
15.48 মিটার
ঘ
17.32 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি তালগাছ এর পাদবিন্দু হতে 8 মিটার দূরবর্তী স্থানে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
গাছটির উচ্চতা = AB
∴ ΔABC এ,
tan60° = AB/BC
⇒ √3 = AB/8
⇒ AB = 8√3
⇒ AB = 8 × 1.732
= 13.86

১,২৩২.

একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেন্টিমিটার এবং ৭ সেন্টিমিটার হলে তৃতীয় বাহু ____ হতে পারে না।

ক
ক) ৫ সেমি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট
খ
খ) ৮ সেমি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট
গ
গ) ৯ সেমি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট
ঘ
ঘ) ১৩ সেমি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট

ব্যাখ্যা

একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর যোগফল সর্বদা তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হবে। ৬ এবং ৭ এর যোগফল ৫, ৮, ৯ এর চেয়ে বড় হলেও কখনো ১৩ এর চেয়ে বড় না। তাই তৃতীয় বাহু ১৩ সেমি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট হতে পারে না।

১,২৩৩.

একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মিটার, ১২ মিটার এবং ১৬ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু'টির দূরত্ব কত মিটার?

ক
৪ মিটার
খ
৬ মিটার
গ
৮ মিটার
ঘ
১০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মিটার, ১২ মিটার এবং ১৬ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু'টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

এখানে, বৃহত্তম বাহু = ১৬ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৮ মিটার

সুতরাং, এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ১২ মিটার এর অর্ধেক।
∴ দূরত্ব = ১২/২ = ৬ মিটার।

১,২৩৪.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

ক
৩০°
খ
৬০°
গ
৪৫°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।

১,২৩৫.

সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৫° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

ক
ক) ৪২.৫°
খ
খ) ৪৭.৫°
গ
গ) ৫°
ঘ
ঘ) ৪০°

ব্যাখ্যা

ধরি, ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম কোণ x
এখন, সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90° এবং
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°।
∴x + (x+5°) + 90° = 180°
⇒x° + x° = 180°-95°
⇒2x° = 85°
∴x° = 42.5°

১,২৩৬.

ΔABC - এ সমবাহু ত্রিভূজ হলে ∠CBE + ∠BCF = ?

ক
ক) 120°
খ
খ) 180°
গ
গ) 210°
ঘ
ঘ) 240°

ব্যাখ্যা

ΔABC সমবাহু
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ ∠CBE = ∠BAC + ∠ACB
= 60° + 60°
= 120°
∠BCF = ∠BAC + ∠ABC
= 60° + 60°
= 120°
∴ ∠CBE + ∠BCF = 120° + 120°
= 240°

১,২৩৭.

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 49√3 cm হলে, উহার পরিসীমা কত?

ক
ক) 36 cm
খ
খ) 42 cm
গ
গ) 48 cm
ঘ
ঘ) 60 cm

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)×a²
বা, 49√3 = (√3/4)×a²
বা, a = 14 cm
সুতরাং পরিসীমা = 3a = 3×14 = 42 cm

১,২৩৮.

২√৩ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
২১√৩ বর্গ সে.মি.
খ
১৮√৩ বর্গ সে.মি.
গ
২৭√৩ বর্গ সে.মি.
ঘ
৯√৩ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২√৩ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ধরি,
ΔABC এর বাহুর দৈর্ঘ্য AB = BC = AC = a
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ, R = ২√৩ সে.মি.

ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
a/SinA = 2R
বা, a = 2RSinA
∴ a = ২ × ২√৩ × (Sin৬০°)
= ৪√৩ × (√৩/২)
= ৬

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)a^২
= (√৩/৪)(৬)^২ বর্গ সে.মি.
= (√৩/৪) × ৩৬ বর্গ সে.মি.
= ৯√৩ বর্গ সে.মি.

১,২৩৯.

একটি বৃত্ত এবং ত্রিভুজ নূন্যতম কয়টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করতে পারে?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

একটি বৃত্ত এবং ত্রিভুজ নূন্যতম কয়টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করতে পারে?

একটি বৃত্ত এবং ত্রিভুজ নূন্যতম 2টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
নিম্নের চিত্রে একটি বৃত্ত এবং ত্রিভুজ দুটি নির্দিষ্ট 2টি বিন্দুতে ছেদ করেছে।

অপরদিকে, একটি বৃত্ত এবং ত্রিভুজ সর্বোচ্চ 6টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।

১,২৪০.

১২ বর্গমিটার একটি ত্রিভুজাকার জমির উচ্চতা ৪ মিটার হলে তার দৈর্ঘ্য কত?

ক
৮ মিটার
খ
১২ মিটার
গ
৬ মিটার
ঘ
৩ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২ বর্গমিটার একটি ত্রিভুজাকার জমির উচ্চতা ৪ মিটার হলে তার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ১২ বর্গমিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা ৪ মি.

আমরা জানি
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ১২ = (১/২) × ৪ × ভূমি
⇒ ২ × ভূমি = ১২
⇒ ভূমি = ৬
∴ দৈর্ঘ্য = ৬ মি.

১,২৪১.

ΔABC এর ∠A = 42° এবং ∠B = 78°। ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = ?

ক
ক) 72°
খ
খ) 110°
গ
গ) 108°
ঘ
ঘ) 120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 42° এবং ∠B = 78°। ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = ?

সমাধান:

চিত্রে,
∠A = 42°, ∠B = 78°,
∴∠C = 180° - 120° = 60°

∠ACD = 60°/2 = 30°

∴ ∠CDA = 180° - (42° + 30°)
= 108°

১,২৪২.

নিচের কোনটি সমকোণী ত্রিভুজের তিন বাহুর অনুপাত?

ক
ক) ১২ : ১০ : ৮
খ
খ) ৯ : ১২ : ১৫
গ
গ) ৬ : ৪ : ২
ঘ
ঘ) ১২ : ৮ : ৬

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
এখানে, অপশন খ) এর ক্ষেত্রে,
১৫^২ = ১২^২ + ৯^২ যা উপরোল্লিখিত শর্ত পূরণ করে।

১,২৪৩.

তিনটি বিন্দু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয় না যখন -

ক
বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় থাকে
খ
বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় থাকেনা
গ
(ক) ও (খ) উভয়েই
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় থাকলে, তাদের নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয়।
বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় না থাকলে, তাদের নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয় না।

১,২৪৪.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) √3/4 a²
খ
খ) √3/2 a²
গ
গ) 1/2a²
ঘ
ঘ) 3/2a²

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3/4 a²

১,২৪৫.

Find the sum of three exterior angles formed by producing three sides of a triangle?

ক
ক) 90°
খ
খ) 120°
গ
গ) 180°
ঘ
ঘ) 360°

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে বর্ধিত করলে তাদের বহিঃস্থকোণের সমষ্টি হবে = (১৮০° - ৬০°) + (১৮০° - ৬০°) + (১৮০° - ৬০°) = ৩৬০°।

১,২৪৬.

একটি ত্রিভুজের প্রথম কোণ দ্বিতীয় কোণের অর্ধেক। তৃতীয় কোণ অপর দুই কোণের বিয়োগফলের তিনগুণ। দ্বিতীয় কোণটি কত ডিগ্রী?

ক
৩০
খ
৬০
গ
৯০
ঘ
৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের প্রথম কোণ দ্বিতীয় কোণের অর্ধেক। তৃতীয় কোণ অপর দুই কোণের বিয়োগফলের তিনগুণ। দ্বিতীয় কোণটি কত ডিগ্রী?

সমাধান:
ধরি,
দ্বিতীয় কোণ = x
প্রথম কোণ দ্বিতীয় কোণের অর্ধেক।
∴ প্রথম কোণ = x/2
এবং,
তৃতীয় কোণটি অপর দুই কোণের বিয়োগফলের তিনগুণ।
অর্থাৎ, তৃতীয় কোণ = 3{x - (x/2)} = 3(2x - x)/2 = 3x/2

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি সর্বদা 180°

প্রশ্নমতে,
x + (x/2) + (3x/2) = 180°
⇒ (2x + x + 3x)/2 = 180°
⇒ 6x/2 = 180°
⇒ 3x = 180°
⇒ x = 180°/3
∴ x = 60°

অতএব, দ্বিতীয় কোণটি হলো 60°.

১,২৪৭.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25cm এবং অপর দুই বাহুর অন্তর 5cm হলে বাহু দু’টির দৈর্ঘ্য = ?

ক
ক) 9cm, 14cm
খ
খ) 15cm, 20cm
গ
গ) 5cm, 10cm
ঘ
ঘ) 3cm, 8cm

ব্যাখ্যা

এখানে, 15² + 20² = 25²
∴ উত্তরঃ খ।

১,২৪৮.

সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৫৮° হলে অপরটি কত?

ক
ক) ৩২°
খ
খ) ২২°
গ
গ) ৪২°
ঘ
ঘ) ৩৯°

ব্যাখ্যা

অপর কোণ = ১৮০° - ৯০° - ৫৮° = ৩২°

১,২৪৯.

ত্রিভুজ ABC এর BC = CA = AB = 5 সেন্টিমিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
(25√3)/2 বর্গ সে.মি.
খ
(5√3)/4 বর্গ সে.মি.
গ
(25√2)/4 বর্গ সে.মি.
ঘ
(25√3)/4 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC এর BC = CA = AB = 5 সেন্টিমিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
BC = CA = AB = 5 সেন্টিমিটার
প্রদত্ত ত্রিভুজটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
ধরি,
প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) a²
= (√3/4) (5)²
= (25√3)/4 বর্গ সে.মি.

১,২৫০.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৪√৩ মিটার
খ
৬ মিটার
গ
৮ মিটার
ঘ
১২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a^২
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ৪)^২

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(a + ৪)^২ - (√৩/৪‍)a^২ = ১৬√৩
⇒ (√৩/৪){(a + ৪)^২ - a^২} = ১৬√৩
⇒ a^২ + ৮a + ১৬ - a^২ = ১৬√৩ × (৪/√৩)
⇒ ৮a = ৬৪ - ১৬
⇒ a = ৪৮/৮
∴ a = ৬ মিটার

১,২৫১.

নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

ক
ক) 5, 6, 7
খ
খ) 3, 4, 7
গ
গ) 4, 3, 8
ঘ
ঘ) 3, 5, 8

ব্যাখ্যা

- আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
- এখানে একমাত্র 5 + 6 > 7 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।

১,২৫২.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 17 সেন্টিমিটার এবং ভূমি 16 সেন্টিমিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
96 বর্গ সেন্টিমিটার
খ
120 বর্গ সেন্টিমিটার
গ
156 বর্গ সেন্টিমিটার
ঘ
208 বর্গ সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 17 সেন্টিমিটার এবং ভূমি 16 সেন্টিমিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 17 সেন্টিমিটার
এবং ভূমি, b = 16 সেন্টিমিটার

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a²- b²)
= (16/4) × √(4 ⋅ 17²- 16²)
= 4 × √(1156 - 256)
= 4 × √900
= 4 × 30
= 120 বর্গ সেন্টিমিটার

১,২৫৩.

কোনো একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে ৪ সে.মি. ও ৫ সিমি। তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হলে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?

ক
ক) ৩ সেমি
খ
খ) ৪ সেমি
গ
গ) ২ সেমি
ঘ
ঘ) ৫ সেমি

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ²= লম্ব²+ভূমি²
ভূমি² + 4² = 5²
∴ ভূমি = 3
তাই সঠিক উত্তর অপশন (ক)।

১,২৫৪.

ত্রিভুজাকৃতি বাগানের ভূমি ৪৫ মিটার এবং উচ্চতা ২৪ মিটার। প্রতি বর্গমিটারে ৪.৫০ টাকা হারে ফুলের চারা লাগাতে কত টাকা লাগবে?

ক
২৫৪০ টাকা
খ
১৯৫০ টাকা
গ
২১৮০ টাকা
ঘ
২৪৩০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজাকৃতি বাগানের ভূমি ৪৫ মিটার এবং উচ্চতা ২৪ মিটার। প্রতি বর্গমিটারে ৪.৫০ টাকা হারে ফুলের চারা লাগাতে কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি বাগানের ভূমি = ৪৫ মিটার
ত্রিভুজাকৃতি বাগানের উচ্চতা = ২৪ মিটার

∴ ত্রিভুজাকৃতি বাগানের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (ভূমি × উচ্চতা) বর্গমিটার
= (১/২) × (৪৫ × ২৪) বর্গমিটার
= ৪৫ × ১২
= ৫৪০ বর্গমিটার

∴ ১ বর্গমিটারে খরচ হয় = ৪.৫০ টাকা
∴ ৫৪০ বর্গমিটারে খরচ হয় = (৪.৫০ × ৫৪০) টাকা
= ২৪৩০ টাকা

∴ ফুলের চারা লাগাতে ২৪৩০ টাকা লাগবে।

১,২৫৫.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সেঃমিঃ বড় এবং অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা 4cm বড় হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 6cm
খ
খ) 8cm
গ
গ) 10cm
ঘ
ঘ) 12cm

ব্যাখ্যা

ধরি, ভূমি = x cm ফলে লম্ব = x + 2 cm এবং অতিভুজ = x + 4
শর্তমতে, (x+2)² + x² = (x+4)²
বা, x² + 4x + 4 + x² = x² + 8x + 16
বা, x² - 4x - 12 = 0
বা, (x+2)(x-6) = 0
বা, x - 6 = 0
∴ x = 6
∴ অতিভুজ = x + 4 = 6 + 4 = 10cm

১,২৫৬.

প্রদত্ত চিত্রে কতটি ত্রিভুজ আছে?

ক
ক) 15টি
খ
খ) 20টি
গ
গ) 24টি
ঘ
ঘ) 18টি

ব্যাখ্যা

১টি ফাঁকা স্থান নিয়ে ত্রিভুজ আছে = AHB, GHI, BJC, GFE, GIE, IJE, CEJ এবং CDE = 8টি
২টি ফাঁকা স্থান নিয়ে ত্রিভুজ আছে = HEG, BEC, HBE, JGE এবং ICE =. 5টি
৩টি ফাঁকা স্থান নিয়ে ত্রিভুজ আছে = FHE, GCE এবং BED = 3টি
৪টি ফাঁকা স্থান নিয়ে ত্রিভুজ আছে = AGC = 1টি
৯টি ফাঁকা স্থান নিয়ে ত্রিভুজ আছে = AFD = 1টি

মোট ত্রিভুজ =(8 + 5 + 3 + 1 + 1) টি
= 18টি

১,২৫৭.

একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭, ৮ ও ৯ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১২√৫ বর্গমিটার
খ
২৪√৬ বর্গমিটার
গ
১৮√৩ বর্গমিটার
ঘ
৬√৫ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭, ৮ ও ৯ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুসমূহ, a = ৭মি., b = ৮ মি এবং c = ৯ মি.

আমরা জানি,
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/২
= (৭ + ৮ + ৯)/২
= ২৪/২
= ১২ মিটার।

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = √{১২(১২ - ৭)(১২ - ৮)(১২ - ৯)} বর্গমিটার
= √{১২ × ৫ × ৪ × ৩} বর্গমিটার
= √(১৪৪ × ৫) বর্গমিটার
= ১২√৫ বর্গমিটার।

১,২৫৮.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল-

ক
২৫ বর্গ সে.মি.
খ
৩৬ বর্গ সে.মি.
গ
২০ বর্গ সে.মি.
ঘ
৫০ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল-

সমাধান:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি বাহু সমান = ক
১০^২ = ক^২ + ক^২
বা, ১০০= ২ক^২
বা, ক^২ = ৫০
ক = √৫০

∴ক্ষেত্রফল =(১/২) (√৫০) × (√৫০)
= (১/২) × ৫০
= ২৫ বর্গ সে.মি.

১,২৫৯.

একটি ত্রিভুজের যেকোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-

ক
ক) স্থূলকোণী
খ
খ) সমবাহু
গ
গ) সমকোণী
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের যে কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
বড় কোণ = x
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x

শর্তমতে,
x + x = 180°
বা, 2x = 180°
বা, x = 180°/2
∴ x = 90°
অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমকোণী।

১,২৬০.

একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গমিটার। ত্রিভুজের ভূমি ১৮ মিটার হলে, উচ্চতা কত মিটার?

ক
১২ মিটার
খ
১৫ মিটার
গ
১৮ মিটার
ঘ
২৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গমিটার। ত্রিভুজের ভূমি ১৮ মিটার হলে, উচ্চতা কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
বা, (১/২) × ১৮ মিটার × উচ্চতা = ২১৬ বর্গমিটার
বা, ৯ মিটার × উচ্চতা = ২১৬ বর্গমিটার
বা, উচ্চতা = ২১৬/৯ মিটার
∴ উচ্চতা = ২৪ মিটার।

১,২৬১.

ত্রিভুজের তিনটি বাহু ৭ সে.মি., ৮ সে.মি. এবং ১৫ সে.মি. হলে ত্রিভুজ গঠন সম্ভব কি?

ক
সম্ভব
খ
সমকোণী
গ
অসম্ভব
ঘ
সমদ্বিবাহু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিনটি বাহু ৭ সে.মি., ৮ সে.মি. এবং ১৫ সে.মি. হলে ত্রিভুজ গঠন সম্ভব কি?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজ গঠনের শর্ত হতে,
দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।

এখানে বাহু তিনটি যথাক্রমে, ৭ সে.মি., ৮ সে.মি. এবং ১৫ সে.মি.
সবচেয়ে বড় বাহু = ১৫ সে.মি.
অন্য দুটির যোগফল = ৭ + ৮ = ১৫ সে.মি.
∴ ১৫ = ১৫ (বেশি নয়, সমান)

যেহেতু অন্য দুটির যোগফল সবচেয়ে বড় বাহুর সমান হয়েছে, তাই তিনটি বিন্দু একই সরলরেখায় পড়বে।
অর্থাৎ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।

সুতরাং ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

১,২৬২.

একটি সমবাহু Δ এর পরিধি হল ৭২√৩ মিটার। Δ এর উচ্চতা কত?

ক
ক) ৬৩ মিটার
খ
খ) ৩৬ মিটার
গ
গ) ৪০ মিটার
ঘ
ঘ) ৫৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু Δ এর পরিধি হল ৭২ √৩ মিটার। Δ এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজ এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে
3a = 72√3
a = 24√3

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (24√3)2
= (√3/4) × 576 × 3
= 432√3

সমবাহু ত্রিভুজ এর উচ্চতা =h

এখন
(1/2)ah = 432√3
(1/2) × 24√3 × h = 432√3
12h = 432
h = 432/12
h = 36

১,২৬৩.

ΔABC এ ∠A = 50°, ∠B = 80° হলে, ΔABC কী ধরণের ত্রিভুজ?

ক
স্থূলকোণী ত্রিভুজ
খ
সমকোণী ত্রিভুজ
গ
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ঘ
সমবাহু ত্রিভুজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এ ∠A = 50°, ∠B = 80° হলে, ΔABC কী ধরণের ত্রিভুজ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ΔABC এ ∠A = 50°, ∠B = 80°
অপর কোণটি = 180° - (∠A + ∠B )
= 180° - (50° + 80°)
= 180° - 130°
= 50°

এখানে, সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলো সমান। তাই ΔABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

১,২৬৪.

একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 48√3 cm2 হলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

ক
64 cm²
খ
88π cm²
গ
44π cm²
ঘ
64π cm²
ঙ
36π cm

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 48√3 cm² হলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 48√3 cm²

প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 48√3
⇒ a² = (48 × 4 × √3)/√3
⇒ a² = 192
⇒ a² = (8 × √3)²
∴ a = 8√3 cm

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু, a = বৃত্তের ব্যাসার্ধ × √3
⇒ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = a/√3 = (8√3)/√3 = 8

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² = π × (8)² = 64π cm²

১,২৬৫.

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?

ক
ক) ৫ সেন্টিমিটার
খ
খ) ৭ সেন্টিমিটার
গ
গ) ৮ সেন্টিমিটার
ঘ
ঘ) ৯ সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = √{(ভূমি)² + (লম্ব)²} = √(৩² + ৪²) = √২৫ = ৫ সেন্টিমিটার

১,২৬৬.

একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ সে.মি ও ৫ সে.মি হলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ১০ সে.মি
খ
খ) ১২ সে.মি
গ
গ) ১৪ সে.মি
ঘ
ঘ) ১৫ সে.মি

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি এর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
এখানে, ৭ + ৫ > ১০।

১,২৬৭.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের একটি কোণ ৯৮° হলে অপর একটি কোণ-

ক
ক) ৪০°
খ
খ) ৪১°
গ
গ) ৪২°
ঘ
ঘ) ৪৩°

ব্যাখ্যা

অপর সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০° - ৯৮°
= ৮২
∴ একটি কোণ = ৪১°

১,২৬৮.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 8 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

ক
10 সে.মি.
খ
12 সে.মি.
গ
14 সে.মি.
ঘ
16 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 8 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 8 : EF = 2 : 1
⇒ 8/EF = 2/1
⇒ 2EF = 8
⇒ EF = 4

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF
= (8 + 4)
= 12 সে.মি.

১,২৬৯.

ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়কে কোন বৃত্ত স্পর্শ করলে, উক্ত বৃত্তের কেন্দ্র -

ক
অন্তকেন্দ্র
খ
পরিকেন্দ্র
গ
লম্বকেন্দ্র
ঘ
ভরকেন্দ্র

ব্যাখ্যা

ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O

১,২৭০.

ক
ক) ১
খ
খ) ২
গ
গ) ৩
ঘ
ঘ) ৪

ব্যাখ্যা

ধরি, বাহুর দৈর্ঘ্য = x মি.
আমরা জানি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)x²
প্রশ্নমতে,
(√3/4)(x+2)²-(√3/4)x² =3√3
(x + 2)² - x² = 12
বা, x = 2 মি.

১,২৭১.

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ১/২ : ১/৩ : ১/৪ এবং এর পরিসীমা ১০৪ সে.মি. সবচেয়ে বড় বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
২৪ সে. মি.
খ
৩২ সে. মি.
গ
৪৮ সে. মি.
ঘ
৪২ সে. মি.

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ১/২ : ১/৩ : ১/৪
= (১২ × ১/২) : (১২ × ১/৩) : (১২ ×১/৪)
= ৬ : ৪ : ৩
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৬ + ৪ + ৩ = ১৩

ত্রিভুজের সবচেয়ে বড় বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০৪ এর ৬/১৩
= ৪৮ সে. মি.

১,২৭২.

কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত হবে?

ক
১৮০°
খ
২৭০°
গ
৩৬০°
ঘ
৫৪০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-

সমাধান:

ত্রিভুজের যেকোন বাহুকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ যে কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ দুই কোণের সমষ্টির সমান।
∠CBD = ∠A + ∠C
∠BAF = ∠B + ∠C
∠ACE = ∠A + ∠B

বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = ∠CBD + ∠BAF + ∠ACE
= ∠A + ∠C + ∠B + ∠C + ∠A + ∠B
= 2(∠A + ∠B + ∠C)
= 2 × 180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°]
= 360°

১,২৭৩.

কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয়দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-

ক
বিষমবাহু
খ
সমকোণী
গ
সমদ্বিবাহু
ঘ
সবগুলোই হতে পারে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয়দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি-

সমাধান:
- একটি ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণগুলো সমান হলে ত্রিভুজের অন্তস্থ কোণগুলোও সমান হয়।
- এটা নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে ত্রিভুজটির অন্তত দুটি বাহু পরস্পর সমান।
সঠিক উত্তরঃ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমবাহু হতে পারে আবার নাও হতে পারে।

১,২৭৪.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং উচ্চতা x সে.মি. হলে, x এর মান কত?

ক
২√৩
খ
২√২
গ
√৩
ঘ
√২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং উচ্চতা x সে.মি. হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)^২
= (√৩/৪) × (৪)^২
= ৪√৩ বর্গ সেমি

প্রশ্নমতে,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ক্ষেত্রফল
⇒ (১/২) × ৪ × x = ৪√৩
⇒ ২x = ৪√৩
⇒ x = (৪√৩)/২
∴ x = ২√৩

১,২৭৫.

ABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। AG = ১৪ সে. মি. হলে AD কত?

ক
২৮ সে. মি.
খ
৩৫ সে. মি.
গ
২১ সে. মি.
ঘ
২৭ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। AG = ১৪ সে. মি. হলে AD কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ভরকেন্দ্র ত্রিভুজের মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

প্রশ্নমতে,
AG : GD = ২ : ১
⇒ ১৪/GD = ২/১
⇒ GD = ১৪/২
∴ GD = ৭

∴ AD = (AG + GD) সে. মি.
= (১৪ + ৭) সে. মি.
= ২১ সে. মি.

১,২৭৬.

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ, উহার AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে D ও E পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠CBD + ∠BCE = কত?

ক
120°
খ
180°
গ
240°
ঘ
360°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ, উহার AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে D ও E পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠CBD + ∠BCE = কত?

সমাধান:

ABC সমবাহু ত্রিভুজের ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ ∠CBD = 180° - ∠ABC
= 180° - 60°
= 120°

∴ ∠BCE = 180° - ∠ACB
= 180° - 60°
= 120°

∴ ∠CBD + ∠BCE = 120° + 120°
= 240°

১,২৭৭.

একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫° ও ৫৫°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

ক
স্থুলকোণী
খ
সমদ্বিবাহু
গ
সমকোণী
ঘ
সমবাহু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫° ও ৫৫° । ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
বা, ৩৫° + ৫৫° + তৃতীয় কোণ = ১৮০°
বা, তৃতীয় কোণ = ১৮০° - ৯০°
∴ তৃতীয় কোণ = ৯০°

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।

১,২৭৮.

একটি বাড়ি 15 ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেওয়াল থেকে 8 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

ক
17 ফুট
খ
21 ফুট
গ
18 ফুট
ঘ
23 ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাড়ি 15 ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেওয়াল থেকে 8 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

সমাধান:

ধরি,
মইটি y ফুট লম্বা।

সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রানুযায়ী,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২+ (ভূমি)^২বা, AC² = AB²+ BC²বা, y² = (15)² + (8)²বা, y² = 225 + 64
বা, y² = 289
বা, y² = 17²∴ y = 17 ফুট

∴ মইটি কত 17 ফুট লম্বা।

১,২৭৯.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

ক
ক) ৪৫°
খ
খ) ৬০°
গ
গ) ৭৫°
ঘ
ঘ) ৮০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫
ধরি,
কোণগুলো হল ৩ক, ৪ক, ৫ক

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°

∴ ৩ক + ৪ক + ৫ক = ১৮০°
⇒ ১২ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০°/১২ = ১৫°

অতএব, বৃহত্তম কোণটির মান = ৫ক = (৫ × ১৫°) = ৭৫°

১,২৮০.

নিচে দেওয়া চিত্রে, x এর মান কত?

ক
ক) 18°
খ
খ) 15°
গ
গ) 21°
ঘ
ঘ) 19°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজ = 90°
সুতরাং বাকি দুটি কোণের সমষ্টি = 2x + 3x = 90°
Or, 5x = 90°
Or, x = 18°

১,২৮১.

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬০মি. ত্রিভুজটির উচ্চতা ৯০ মি. হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৪০ মিটার
খ
খ) ৮০ মিটার
গ
গ) ৬০ মিটার
ঘ
ঘ) ৯০ মিটার

ব্যাখ্যা

বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬০মি.
বর্গের ক্ষেত্রফল = (৬০ × ৬০) বর্গ মিটার
= ৩৬০০ বর্গ মিটার

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ৩৬০০ বর্গ মিটার
ত্রিভুজটির উচ্চতা ৯০ মি.

আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
(১/২) × ভূমি × ৯০ = ৩৬০০
ভূমি = (৩৬০০ × ২)/৯০
ভূমি = ৮০ মিটার।

১,২৮২.

একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২৬৪ বর্গমিটার এবং ভূমি ২৪ মিটার হলে উচ্চতা কত হবে?

ক
১৫ মিটার
খ
২২ মিটার
গ
২৪ মিটার
ঘ
২৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২৬৪ বর্গমিটার এবং ভূমি ২৪ মিটার হলে উচ্চতা কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ২৬৪ বর্গমিটার
ভূমি = ২৪ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
বা, ২৬৪ = (১/২) × ২৪ × উচ্চতা
বা, ১২ × উচ্চতা = ২৬৪
বা, উচ্চতা = ২৬৪/১২
∴ উচ্চতা = ২২ মিটার

১,২৮৩.

একটি ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20m, 21m ও 29m হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
200m²
খ
210m²
গ
290m²
ঘ
300m²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20m, 21m ও 29m হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
a = 20m, b = 21m এবং c = 29m

ত্রিভুজ আকৃতি মাঠের অর্ধপরিসীমা = (a + b + c)/2
= (20 + 21 + 29)/2
= 35m

ত্রিভুজ আকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল = √(s(s - a)(s - b)(s - c))
= √{(35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)}
= √(35 × 15 × 14 × 6)
= 210 m²

১,২৮৪.

নিচের কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়?

ক
৪, ৬, ৮
খ
২, ৪, ৭
গ
৩, ৫, ৬
ঘ
৬, ৭, ৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।

এখানে,
৪ + ৬ = ১০ > ৮ ; ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
২ + ৪ = ৬ < ৭ ; ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।
৩ + ৫ = ৮ > ৬ ; ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
৬ + ৭ = ১৩ > ৯ ; ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

১,২৮৫.

একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য 7 ও 16 হলে নিচের কোনটি ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে না?

ক
22
খ
17
গ
9
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য 7 ও 16 হলে নিচের কোনটি ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে না?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

এখানে,
9 + 7 = 16, যা 16 অপেক্ষা বৃহত্তর নয়।
তাই, তৃতীয় বাহু 9 সেমি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট হতে পারে না।

১,২৮৬.

ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ফলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = ?

ক
ক) ∠ABC + ∠ACB
খ
খ) ∠ACB + ∠BAC
গ
গ) (1/2)(∠ACB + ∠BAC)
ঘ
ঘ) ∠ABC + ∠BAC

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ফলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = ?

সমাধান:
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।I
৩. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক।

ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো।
বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC

১,২৮৭.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
২৫ বর্গ সে.মি.
খ
৫০ বর্গ সে.মি.
গ
১০০ বর্গ সে.মি.
ঘ
√৫০ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি সমান বাহু = ক সে.মি.

আমরা জানি,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ ১০^২ = ক^২ + ক^২
⇒ ২ক^২ = ১০০
⇒ ক^২ = ১০০/২
⇒ ক = √৫০

∴ক্ষেত্রফল =(১/২) × (√৫০) × (√৫০)
= (১/২) × ৫০
= ২৫ বর্গ সে.মি.

১,২৮৮.

একটি ত্রিভুজে কতটি সমকোণ থাকতে পারে?

ক
১ টি
খ
২ টি
গ
অসংখ্য
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজে কতটি সমকোণ থাকতে পারে?

সমাধান:
- একটি ত্রিভুজে ১টি সমকোণ থাকতে পারে।
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
- ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হয় দুই সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলে, অতিভূজের বিপরীত কোণ সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু।

১,২৮৯.

ABC ত্রিভুজের BC বাহুকে D পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠ACD = 115° হলে, ∠BAC + ∠ABC =?

ক
ক) 65°
খ
খ) 75°
গ
গ) 115°
ঘ
ঘ) 150°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের BC বাহুকে D পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠ACD = 115° হলে, ∠BAC + ∠ABC =?

সমাধান:

ত্রিভুজ ABC এ BC বাহুকে D পর্যন্ত বাড়ানো হলো। উৎপন্ন কোণ ∠ACD = 115°

∠ACD = ∠BAC + ∠ABC
= 115°

১,২৯০.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল হবে-

ক
√3 বর্গ মিটার
খ
2√3 বর্গ মিটার
গ
4√3 বর্গ মিটার
ঘ
16√3 বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল হবে-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 2 মিটার।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²
= (√3/4) × 2²
= (√3/4) × 4
= √3 বর্গ মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √3 বর্গ মিটার।

১,২৯১.

কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব হবে?

ক
৬ : ৫ : ৪
খ
৩ : ৪ : ৫
গ
১২ : ৮ : ৪
ঘ
৬ : ৪ : ৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
∴ ৫^২ = ৩^২ + ৪^২
সুতরাং, ৩ : ৪ : ৫ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।

১,২৯২.

সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ কত ডিগ্রী?

ক
৭০°
খ
৮০°
গ
৮৫°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ কত ডিগ্রী?

সমাধান:

- একটি সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ ৯০°

- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।

- ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হয় দুই সমকোণ।

- সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলে, অতিভূজের বিপরীত কোণ সমকোণ।

- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ বৃহত্তম বাহুই

১,২৯৩.

কোন ত্রিভুজের বাহুগুলাের অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে?

ক
ক) ৬ : ৪ : ৩
খ
খ) ৬ : ৫ : ৪
গ
গ) ১২ : ১৮ : ৪
ঘ
ঘ) ১৫ : ২৫ : ২০

ব্যাখ্যা

আমরা জানি
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভূমি^২ + লম্ব^২ = অতিভুজ^২
এখানে,
১৫^২ + ২০^২ = ২৫^২
⇒ ২২৫ + ৪০০ = ৬২৫

১,২৯৪.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x, x/2 এবং 3x/2 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক
ক) 60°
খ
খ) 90°
গ
গ) 30°
ঘ
ঘ) 50°

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের তিন কোণের পরিমাণ 180°. সুতরাং,
x + x/2 + 3x/2 = 180
⇒ (2x+x+3x)/2 = 180
⇒ 6x = 360
∴ x = 60
∴ বৃহত্তম কোণের মান, 3×60/2 = 90°

১,২৯৫.

একটি ত্রিভূজের মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি x মিঃ এবং পরিসীমা y মিঃ হলে কোনটি সত্য?

ক
ক) x = y
খ
খ) x > y
গ
গ) y > x
ঘ
ঘ) y = 2x

ব্যাখ্যা

ত্রিভূজের মধ্যমা তিনটির সমষ্টি তার পরিসীমা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
সুতরাং, y > x

১,২৯৬.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে 2x/3, 3x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক
110°
খ
90°
গ
120°
ঘ
80°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে 2x/3, 3x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180°

শর্তমতে,
2x/3 + 3x/3 + 4x/3 = 180°
⇒ (2x + 3x + 4x)/3 = 180°
⇒ 9x/3 = 180°
⇒ 3x = 180°
∴ x = 60°

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 4x/3
= {(4 × 60)/3}°
= 80°

১,২৯৭.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কি কোণ?

ক
ক) সরলকোণ
খ
খ) সূক্ষ্মকোণ
গ
গ) পূরককোণ
ঘ
ঘ) সন্নিহিতকোণ

ব্যাখ্যা

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ হয়। যে কোণ এর মান ৯০° অপেক্ষা কম তাকে সূক্ষ্মকোণ বলা হয়। সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোন যেহেতু ৯০° তাই অপর দুইটি কোণ অবশ্যই ৯০° অপেক্ষা কম হবে।

১,২৯৮.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 36 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
18√3 বর্গসে.মি.
খ
36√3 বর্গসে.মি.
গ
24√3 বর্গসে.মি.
ঘ
48 বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 36 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 36 সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান।

প্রশ্নমতে,
3a = 36
⇒ a = 36/3
⇒ a = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (12)²= (√3/4) × 144
= 36√3 বর্গসে.মি.

১,২৯৯.

একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২৬৪ বর্গমিটার এবং ভূমি ২২ মিটার হলে উচ্চতা কত হবে?

ক
১২ মিটার
খ
১৫ মিটার
গ
২৪ মিটার
ঘ
২৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২৬৪ বর্গমিটার এবং ভূমি ২২ মিটার হলে উচ্চতা কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ২৬৪ বর্গমিটার
ভূমি = ২২ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
২৬৪ = (১/২) × ২২ × উচ্চতা
১১ × উচ্চতা = ২৬৪
উচ্চতা = ২৬৪/১১
উচ্চতা = ২৪ মিটার

১,৩০০.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ৮০ সে.মি এবং তার দুইটি বাহুর প্রতিটি ৫০ সে.মি হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
১২০০ বর্গমি
খ
১২০ বর্গসে.মি
গ
০.১২ বর্গসে.মি
ঘ
০.১২ বর্গমি

ব্যাখ্যা

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ৮০/৪ × √(৪ × ৫০^২ - ৮০^২)
= ১২০০ বর্গসে.মি
= ১২০০/১০০০০ বর্গমি
= ০.১২ বর্গমি