ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য m মি. হলে এর ক্ষেত্রফল = √3/4 m²

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব যদি তিন বাহুর দৈর্ঘ্য হয়-

সমাধান: 
অপশন ঘ হতে পাই,

আমরা জানি, 
পিথাগোরাসের উপপাদ্য,
a² + b² = c²
⇒ (৯^২) + (১২^২) = ১৫^২ 
⇒ ৮১ + ১৪৪ = ২২৫ 
∴ ২২৫ = ২২৫ 
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের শর্তপূরণ করে। 
সঠিক উত্তর ঘ 

অন্য অপশন গুলো পিথাগোরাসের উপপাদ্যের শর্তপূরণ করে না। 

প্রশ্ন: ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মাধ্যমাকে কত অনুপাতে বিভক্ত করে?

সমাধান:

মধ্যমা:
একটি ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে তার বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখাকে বলা হয় মধ্যমা।

ভরকেন্দ্র:
ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে বলা হয় ভরকেন্দ্র। 

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে। 

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)^২ বর্গমি.
= √৩/৪ (১৮)^২ বর্গমি.
= ৮১√৩ বর্গমি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ মিটার, ১০ মিটার এবং ১৭ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি বাহু,
a = ৯ মিটার
b = ১০ মিটার
c = ১৭ মিটার
এখন, অর্ধ-পরিসীমা s = (a + b + c)/২
s = (৯ + ১০ + ১৭)/২ = ৩৬/২ = ১৮ মিটার

আমরা জানি,
বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{১৮(১৮ - ৯)(১৮ - ১০)(১৮ - ১৭)}
= √(১৮ × ৯ × ৮ × ১)
= √১২৯৬
= ৩৬

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার  
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গ মিটার 
= ২৫০০ বর্গ মিটার 

যেহেতু, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গ মিটার 
∴ ত্রিভুজটির ভূমি = ১০০ মিটার  

আমরা জানি, 
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
বা, (১/২) × ১০০ × উচ্চতা = ২৫০০ 
বা, উচ্চতা = (২৫০০ × ২)/১০০ 
∴ উচ্চতা = ৫০ মিটার

∴ ত্রিভুজটির উচ্চতা = ৫০ মিটার ।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ১০√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ এর ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)a^২ বর্গ মিটার

বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে, নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = (a + ২) মিটার
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (a + ২)^২ বর্গ মিটার

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪) × (a + ২)^২ - (√৩/৪)a^২ = ১০√৩
⇒ (√৩/৪) × {(a + ২)^২ - a^২} = ১০√৩
⇒ (a + ২)^২ - a^২ = ১০√৩ × (৪/√৩)
⇒ (a^২ + ৪a + ৪) - a^২ = ৪০
⇒ ৪a + ৪ = ৪০
⇒ ৪a = ৪০ - ৪
⇒ ৪a = ৩৬
⇒ a = ৩৬/৪
⇒ a = ৯

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৯ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের যে কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
একটি কোণ = x
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x

শর্তমতে,
x + x = 180°
বা, 2x = 180°
বা, x = 180°/2
∴ x = 90°
অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী।

এখানে ভূমি b = 16 মিঃ
অপর বাহুর প্রতিটির দৈর্ঘ্য a = ?
∴ ক্ষেত্রফল = b/4.√(4a² - b²) = 48
বা, 16/4√(4a² - 16²) = 48
বা, 4√(4a² - 256) = 48
√(4a² - 256) = 12
বা, 4a² - 256 = 144
বা, 4a² = 256 + 144 = 400
বা, a² = 100
∴ a = 10

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না? 

সমাধান:
তিনটি বাহু দেয়া থাকলে তাদের দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করার শর্ত হলো - 
"যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে"। 

এখানে, তিনটি শর্তই পূরণ হওয়া আবশ্যক। 
১. a + b > c
২. a + c > b
৩. b + c > a

অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) ৩, ৪, ৭ ৩ + ৪ = ৭ (৭ এর সমান, বড় নয়)
অন্য দুটি শর্ত ঠিক আছে, কিন্তু একটিও না পূরণ হলে ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।
ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না। 

খ) ৪, ৫, ৬
৪ + ৫ = ৯ > ৬
৪ + ৬ = ১০ > ৫
৫ + ৬ = ১১ > ৪
সব শর্ত পূরণ।  ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

গ) ৩, ৪, ৫
৩ + ৪ = ৭ > ৫
৩ + ৫ = ৮ > ৪
৪ + ৫ = ৯ > ৩
সব শর্ত পূরণ।  ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

ঘ) ৪, ৭, ৬
৪ + ৭ = ১১ > ৬
৪ + ৬ = ১০ > ৭
৭ + ৬ = ১৩ > ৪
সব শর্ত পূরণ।  ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

সুতরাং সঠিক উত্তর: ক) ৩, ৪, ৭

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে 40°, 60°, এবং 80°। এই ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে?

সমাধান:
- যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই এক সমকোণের চেয়ে ছোট অর্থাৎ 90° চেয়ে ছোট তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।
- প্রদত্ত ত্রিভুজের তিনটি কোণই 90°-এর কম, তাই এটি একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের যে কোন দুইটি কোণের সমষ্টি সবসময়ই ৯০° এর চেয়ে বেশি।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো সমানও হতে পারে, আবার অসমানও হতে পারে।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র, অন্তকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র ও লম্বকেন্দ্র সবই ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত।

যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°, যা ২য় কোণের তিনগুণ। তাহলে ২য় কোণ = ৯০°/৩ = ৩০° এবং ৩য় কোণ = ১৮০° - (৯০° + ৩০°) = ৬০° = ২ × ৩০° = ২ × ২য় কোণ।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 10 সেমি

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3 / 4) × a² বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (10)² বর্গ সেমি
= (√3/4) × 100 বর্গ সেমি
= 25√3 বর্গ সেমি

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 25√3 বর্গ সেমি।

মনে করি,
ত্রিভুজের কোণত্রয় x, ৩x/২, x/২
শর্তমতে,
x + ৩x/২ + x/২ = ১৮০°
বা, (২x+৩x+x)/২ = ১৮০°
বা, ৬x = ২ × ১৮০°
∴ x = (২ × ১৮০°)/৬
বা, x = ৬০°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৬ ডিগ্রি। সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = "ক"
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ = (ক + ৬)
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ৬ + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২ক + ৯৬° = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০° - ৯৬°
⇒ ২ক = ৮৪°
∴ ক = ৪২°

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের ২টি কোণের অনুপাত ৩ : ৫ এবং তৃতীয় কোণ ৫২° 

প্রশ্নমতে, ৩ক + ৫ক + ৫২° = ১৮০°
বা, ৮ক = ১৮০° - ৫২°
বা, ক = ১২৮/৮ = ১৬

∴ ছোট কোণের মান = ৩ × ১৬ = ৪৮°

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3 / 4) × (বাহু)²
= (√3 / 4) × (16)²
= 64√3

প্রশ্ন: ΔABC-তে AB = AC এবং ∠B = 65°। যদি EF রেখা BC এর সমান্তরাল হয়, তবে ∠AEF + ∠A এর মান কত?

সমাধান: 

দেওয়া আছে,
AB = AC, তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
এবং ∠B = ∠C।
∴ ∠B = 65° হলে ∠C = 65° হবে। 

আমরা জানি,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A = 180° - ∠B - ∠C 
= 180° - 65° - 65°
= 180° - 130°
∴ ∠A = 50°

আবার, 
EF || BC এবং A থেকে এ রেখা তে ∠AEF গঠিত।
সমান্তরাল রেখার কোণের  সূত্র অনুযায়ী,
⇒ ∠AEF = ∠C = 65°

∴ ∠AEF + ∠A = 65° + 50° = 115°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 30° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
বৃহত্তর কোণ = (x + 30)°

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°

প্রশ্নমতে,
x + (x + 30) = 90
⇒ 2x + 30 = 90
⇒ 2x = 90 - 30
⇒ 2x = 60
⇒ x = 60/2
∴ x = 30

অতএব, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো 30°

• আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°।
• সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120° কোণ উৎপন্ন করে।
• সুতরাং বহিঃস্থ কোণ দুটির যোগফল = 120° + 120° = 240°

ধরি, লম্বের দৈর্ঘ্য ক মিটার
ভূমির দৈর্ঘ্য (ক - ১) মিটার
অতিভুজের দৈর্ঘ্য (ক + ১) মিটার
(ক + ১)^২ = ক^২ + (ক - ১)^২
বা, ক^২ + ২ক + ১ - ২ক^২ + ২ক -১ = ০
বা, ক^২ - ৪ক = ০
বা, ক = ৪
অতিভুজ = (৪ + ১)= ৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b = 10 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) × 10 × 10 × sin30°
= (1/2) × 10 × 10 × (1/2)
= 25 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার 
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার 

আমরা জানি,  
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²} 

∴ ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}
= 8/4 {√4(5)² - (8)²}
= 2 {√(100 - 64)}
= 2 √36
= 2 × 6
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: দুইটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 3 : 4 হলে ভূমির অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি, ত্রিভুজের ভূমি যথাক্রমে x এবং y 
এবং তাদের উচ্চতা যথাক্রমে 3h এবং 4h

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা

এখন, 
{(1/2) × x × 3h} : {(1/2) × y × 4h} = 4 : 3
⇒ {(1/2) × x × 3h}/{(1/2) × y × 4h} = 4/3 
⇒ (3x/2)/(2y) = 4/3
⇒ x/y = (4/3) × (4/3)
⇒ x/y = 16/9
∴ x : y = 16 : 9

সুতরাং, ভূমির অনুপাত 16 : 9

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60°

ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরিত অন্তস্থ দুইটি কোণের সমষ্টির সমান।

সুতরাং,
 সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় এর মান হবে 60° + 60° = 120°

120° এর দুই-তৃতীয়াংশ = 120° × (2/3) = 240°/3 = 80°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৩ক একক।
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৪ক একক।

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য  = ৮ মিটার
তাহলে, এর পরিসীমা = ৩ × ৮ = ২৪ মিটার

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২৪ মিটার
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২৪/৪ = ৬ মিটার।

ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১:২:৩ হলে
১+২+৩ = ৬x
৬x= ১৮০°
x=৩০°
১ম দুইটি কোণ= যথাক্রমে ৩০° ও ৬০°
তৃতীয় কোণ=৯০°
আমরা জানি ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° হলে তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = √(50²+120²)
= √(2500+14400)
= √16900
= 130 মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ক্ষুদ্রতর কোনটি কত ডিগ্রী?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3 : 4 : 5
ধরি কোণগুলো হলো 3x, 4x, 5x

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = 180°

প্রশ্নমতে, 
3x + 4x + 5x = 180
⇒ 12x = 180
⇒ x = 180/12
∴ x = 15

তাহলে কোণগুলো হল,
3x = 3 × 15 = 45°
4x = 4 × 15 = 60°
5x = 5 × 15 = 75°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 45°

ধরি, ভূমি b = ১৬ মিটার এবং বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১০ মিটার।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪)√(৪a^২ - b^২)
= (১৬/৪) X √(৪X১০^২ - ১৬^২)
= ৪ X ১২
= ৪৮ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 13 সে.মি. করে এবং ভূমি 10 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 13 সে.মি., ভূমির দৈর্ঘ্য b = 10 সে.মি.
∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (10/4) × √{4 × (13)² - (10)²}
= (5/2) × √(676 - 100)
= (5/2) × √576
= (5/2) × 24
= 60 বর্গ সে.মি.