ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৯, ১২, ১৮ এবং ৩০ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৯, ১২, ১৮ এবং ৩০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি,
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫

যেহেতু ছাত্রদেরকে বর্গের আকারে সাজানো যায় তাই ল.সা.গু এর সাথে ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ২ × ২ × ৩ × ৩ x ৫ × ৫ = ৯০০ জন

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৮, ৭৪ ও ৯৬ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ২ ও ৬ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
৫৮ - ৪ = ৫৪
৭৪ - ২ = ৭২
৯৬ - ৬ = ৯০

এখন, ৫৪, ৭২ ও ৯০ এর গ.সা.গু হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই,
৫৪ = ২ × ৩ × ৩ × ৩
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
৯০ = ২ × ৩ × ৩ × ৫

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ৩ × ৩ = ১৮

অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১৮।

প্রশ্ন: একটি লোহার পাত ও একটি তামার পাতের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৬৮ সেমি. ও ২১০ সেমি.। পাত দুটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে ১৬৮ সেমি. ও ২১০ সেমি. এর গ.সা.গু.

১৬৮ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৭  
২১০ = ২ × ৩ × ৫ × ৭
সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক = ২ × ৩ × ৭

∴ ১৬৮ ও ২১০ এর গ.সা.গু. = ৪২

∴ সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে = ৪২ সেমি.

প্রশ্ন: ৩/৬, ১০/১৫, ২০/১৮ এর গ.সা.গু কত?

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু =  লবগুলোর গ.সা.গু/হরের ল.সা.গু

এখানে,
ভগ্নাংশের লব = ১, ১০, ২০
ভগ্নাংশের হর = ৬, ১৫, ১৮

লব ৩, ১০, ২০ এর গসাগু = ১
হর ৬, ১৫, ১৮ এর লসাগু = ৯০

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ১/৯০
= 

প্রশ্ন: কতগুলো ঘণ্টা একসাথে বাজার পর ৫ সেকেন্ড, ১০ সেকেন্ড, ১৫ সেকেন্ড এবং ২০ সেকেন্ড পর পর বাজতে থাকলো। ঘণ্টাগুলো কতক্ষণ পর আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৫, ১০, ১৫, এবং ২০ এর ল.সা.গু যত, ঘণ্টাগুলো ততক্ষণ পরে আবার একত্রে বাজবে।
৫, ১০, ১৫, ২০ এর ল.সা.গু = ৬০

ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে ৬০ সেকেন্ড পর।
= ৬০/৬০ মিনিট
= ১ মিনিট

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৪০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম সংখ্যা = ৪ক
২য় সংখ্যা = ৭ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = ২৮ক

প্রশ্নমতে,
২৮ক = ১৪০
⇒ ক = ১৪০/২৮
⇒ ক = ৫

অর্থাৎ,
১ম সংখ্যা = ৪ × ৫ = ২০
২য় সংখ্যা = ৭ × ৫ = ৩৫

∴ বড় সংখ্যাটি = ৩৫

প্রশ্ন: ১২০ টি চকলেট ও ১৫০ টি টফি সর্বোচ্চ কতজন শিশুর মধ্যে সমান ভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
এখানে, ১২০ ও ১৫০ এর গ.সা.গু হবে নির্ণেয় শিশুর সংখ্যা।

১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
১৫০ = ২ × ৩ × ৫ × ৫

∴ ১২০ ও ১৫০ এর গ.সা.গু = ২ × ৩ × ৫ = ৩০

অর্থাৎ ৩০ জন শিশুর মধ্যে ১২০ টি চকলেট ও ১৫০ টি টফি সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু. ৩৬০। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি হলো ৩ক এবং ৪ক

সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. হলো ৩ × ৪ × ক = ১২ক

প্রশ্নমতে,
১২ক = ৩৬০
⇒ ক = ৩৬০/১২
⇒ ক = ৩০

∴ সংখ্যা দুইটি হলো ৩ × ৩০ = ৯০ এবং ৪ × ৩০ = ১২০

∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ৯০ + ১২০ = ২১০

প্রশ্ন: একটি কন্টেইনারে ৪০০টি কমলা আছে। এর সাথে কমপক্ষে কতগুলো কমলা যোগ করা হলে সেগুলো ৬, ৮, অথবা ৯ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
প্রশ্নে কমপক্ষে কথাটি উল্লেখ থাকলে ল.সা.গু করতে হবে।

৬ = ২ × ৩ 
৮ = ২ × ২ × ২
৯ = ৩ × ৩

৬, ৮, ৯ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২ 

৭২ ) ৪০০ ( ৫
        ৩৬০
 _____________
          ৪০ 

যেহেতু ভাগশেষ ৪০ , সুতরাং (৭২ - ৪০) = ৩২ টি কমলা যোগ করলে সেগুলো ৬, ৮, অথবা ৯ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে। 

প্রশ্ন: সর্বাধিক কতজন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১২০টি চকলেট এবং ১৪৪টি বিস্কুট সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে ১২০ এবং ১৪৪ এর গ.সা.গু।

১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
১৪৪ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩

এখানে সাধারণ উৎপাদকগুলো হলো ২, ২, ২ এবং ৩
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২৪

অতএব, সর্বাধিক ২৪ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে চকলেট ও বিস্কুটগুলো সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু., বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১৫, ৭৫ এবং ৩৫১০। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১৫x ও ১৫y

তাহলে,
১৫x - ১৫y = ৭৫
∴ ১৫(x - y) = ৭৫
⇒ x - y = ৫ .......... (১)

এবং,
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১৫xy
∴ ১৫xy = ৩৫১০
⇒ xy = ৩৫১০/১৫
⇒ xy = ২৩৪

আমরা জানি,
(x + y)^২ = (x - y)^২ + ৪xy

∴ (x + y)^২ = ৫^২ + ৪ × ২৩৪
= ২৫ + ৯৩৬
= ৯৬১

⇒ x + y = ৩১ .......... (২)

এখন, (১) + (২) করলে পাই,
২x = ৩৬
⇒ x = ১৮

এবং, (২) - (১) করলে পাই,
২y = ২৬
⇒ y = ১৩

অতএব,
সংখ্যা দুটি = ১৫ × ১৮ এবং ১৫ × ১৩
= ২৭০ ও ১৯৫

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৭ যোগ করলে যোগফল ১৫, ২০ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু. থেকে ৭ কম।
এখন,
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ১৫, ২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২০ - ৭
= ১১৩

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ. সা. গু. ও ল. সা. গু. যথাক্রমে ৩ ও ৪৮০। একটি সংখ্যা ১৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. = ৩
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ৪৮০
একটি সংখ্যা = ১৫

​আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ১৫ × দ্বিতীয় সংখ্যা = ৩ × ৪৮০
⇒ দ্বিতীয় সংখ্যা = (৩ × ৪৮০) / ১৫
⇒ দ্বিতীয় সংখ্যা = ১৪৪০ / ১৫
∴ দ্বিতীয় সংখ্যা = ৯৬

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হলো ৯৬।

প্রশ্ন: ৯৬ টি লাড্ডু এবং ১৪৪ টি সন্দেশ এমনভাবে বাক্সে রাখতে হবে যাতে প্রতিটি বাক্সে সমান সংখ্যক লাড্ডু ও সন্দেশ থাকে এবং কোনোটিই অবশিষ্ট না থাকে। সর্বাধিক কতটি বাক্স তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
৯৬ এবং ১৪৪ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) নির্ণয় করতে হবে।

এখন,
৯৬ এর গুণনীয়ক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৩২, ৪৮, ৯৬
১৪৪ এর গুণনীয়ক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৬, ১৮, ২৪, ৩৬, ৪৮, ৭২, ১৪৪

এদের মধ্যে সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক = ৪৮

সুতরাং সর্বাধিক ৪৮ টি বাক্স তৈরি করা যাবে।

প্রশ্ন: a² + 2a - 3 এবং a² - 2a - 3 এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
প্রথমে প্রতিটি বহুপদকে গুণনীয়কে ভাগ করি:
a² + 2a - 3
= a² + 3a - a - 3
= (a + 3)(a - 1)
a² - 2a - 3
= a² - 3a + a - 3
= (a - 3)(a + 1) 

সাধারণ গুণনীয়ক খুঁজে বের করি:
প্রথমের গুণনীয়ক: (a + 3), (a - 1)
দ্বিতীয়ের গুণনীয়ক: (a - 3), (a + 1)
এখানে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে গ.সা.গু. = 1

∴ গ.সা.গু. = 1

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৮০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৩ : ৪

ধরি,
সংখ্যাগুলো যথাক্রমে ৩ক ও ৪ক
∴ ৩ক ও ৪ক এর ল.সা.গু. = ১২ক

প্রশ্নমতে,
১২ক = ১৮০
⇒ ক = ১৮০/১২
∴ ক = ১৫

∴ বৃহত্তর সংখ্যা = ৪ × ১৫ = ৬০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫: ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ১২০। সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. হবে-

সমাধান:
ধরি, সংখ্যার দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ৬ক
গ.সা.গু = ক এবং ল.সা.গু = ৩০ক

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ১২০
⇒ ক = ৪
সুতরাং, গ.সা.গু. = ৪

প্রশ্ন: একটি ঝুড়ি ভর্তি লিচুকে ১৫, ২০ এবং ৩০ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ১১ এবং ২১ অবশিষ্ট থাকে। তাহলে ঝুড়িতে কমপক্ষে কতটি লিচু রয়েছে?

সমাধান:
এখানে,
১৫ - ৬ = ৯
২০ - ১১ = ৯
৩০ - ২১ = ৯
প্রত্যেক ক্ষেত্রেই অবশিষ্টের সাথে ভাজকের পার্থক্য ৯

এখন,
১৫ = ৩ × ৫ 
২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ তাদের ল.সা.গু = ৩ × ৫ × ২ × ২ = ৬০
∴ লিচুর সর্বনিম্ন সংখ্যা হবে = (৬০ - ৯) = ৫১

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৮, ১২, ১৬ এবং ২৪ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ৮, ১২, ১৬ এবং ২৪ এর ল.সা.গু = ২^৪ × ৩ = ৪৮

এখানে ২ এর ঘাত জোড় (৪), কিন্তু ৩ এর ঘাত বিজোড় (১)। এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আমাদের আরও একটি ৩ দিয়ে গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ৪৮ × ৩ = ১৪৪ জন

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৭, ৮, ১২ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৫ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৭, ৮, ১২ এর ল.সা.গু থেকে ৫ বেশি।

৭ = ১ × ৭
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩

ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৭
= ১৬৮

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৬৮ + ৫
= ১৭৩

প্রশ্ন: ৯/৮ এবং ১২/৫ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

এখানে লব ৯ ও ১২ এর ল.সা.গু:
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৩৬

এবং হর ৮ ও ৫ এর গ.সা.গু:
৮ = ২ × ২ × ২
৫ = ৫
যেহেতু এদের মধ্যে ১ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই, তাই গ.সা.গু = ১

অতএব, ৯/৮ এবং ১২/৫ এর ল.সা.গু = ৩৬/১
= ৩৬

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ৭২০। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৪৮ × অপর সংখ্যা = ৭২০ × ১২
⇒ অপর সংখ্যা = (৭২০ × ১২)/৪৮
⇒ অপর সংখ্যা = ৮৬৪০/৪৮
⇒ অপর সংখ্যা = ১৮০

∴ অপর সংখ্যাটি হলো ১৮০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ৪২০। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি হলো ৫ক এবং ৬ক
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. হলো ৫ × ৬ × ক = ৩০ক

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ৪২০
⇒ ক = ৪২০/৩০
⇒ ক = ১৪

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৫ × ১৪ = ৭০ এবং ৬ × ১৪ = ৮৪

সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ৭০ + ৮৪ = ১৫৪

প্রশ্ন: ৪/৩, ৮/৯, ১২/৬ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
লবগুলোর গ.সা.গু বের করি,
৪ = ২ × ২
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
৪, ৮, ১২ এর গ.সা.গু = ৪

হরগুলোর ল.সা.গু বের করি,
৩ = ৩
৯ = ৩ × ৩
৬ = ২ × ৩
৩, ৯, ৬ এর ল.সা.গু = ১৮

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু
= ৪/১৮
= ২/৯

প্রশ্ন: চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ১০, ১৫, ২০ ও ৩০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯

১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫
∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০

৯৯৯৯ কে ৬০ দিয়ে ভাগ করি,
৯৯৯৯ ÷ ৬০ = ১৬৬ (ভাগফল), ১৬৬ × ৬০ = ৯৯৬০
৯৯৯৯ - ৯৯৬০ = ৩৯ (ভাগশেষ)

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ - ৩৯ = ২১

অর্থাৎ, ৯৯৯৯ এর সাথে ২১ যোগ করলে যোগফল হবে ১০০২০, যা ৬০ এর গুণিতক এবং ১০, ১৫, ২০ ও ৩০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।