৬,২০১.
কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?
সমাধান:
১১/১৪ = ০.৭৮৫
৪/৯ = ০.৪৪৪
১২/১৩ = ০.৯২৩
১৭/২১ = ০.৮০৯
সমাধান:
১১/১৪ = ০.৭৮৫
৪/৯ = ০.৪৪৪
১২/১৩ = ০.৯২৩
১৭/২১ = ০.৮০৯
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু
বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু
PrepBank · পাতা ৬৩ / ৬৪ · ৬,২০১–৬,৩০০ / ৬,৪০৪
৬,২০২.
৯টি সংখ্যার গড় ১৪। একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় হয় ১৩। বাতিলকৃত সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯টি সংখ্যার গড় ১৪। একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় হয় ১৩। বাতিলকৃত সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
৯টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৪ × ৯ = ১২৬
একটি সংখ্যা বাদ দিলে সংখ্যা থাকে ৮টি।
৮টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৩ × ৮ = ১০৪
বাতিলকৃত সংখ্যাটি (১২৬ - ১০৪) = ২২
সমাধান:
৯টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৪ × ৯ = ১২৬
একটি সংখ্যা বাদ দিলে সংখ্যা থাকে ৮টি।
৮টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৩ × ৮ = ১০৪
বাতিলকৃত সংখ্যাটি (১২৬ - ১০৪) = ২২
৬,২০৩.
৬টি সংখ্যার গড় ৪০। এর সাথে ৩টি সংখ্যা যোগ করা হলো, যাদের গড় ২০। সমষ্টিগত ভাবে ৯টি সংখ্যার গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬টি সংখ্যার গড় ৪০। এর সাথে ৩টি সংখ্যা যোগ করা হলো, যাদের গড় ২০। সমষ্টিগত ভাবে ৯টি সংখ্যার গড় কত?
সমাধান:
৬টি সংখ্যার গড় ৪০
৬টি সংখ্যার সমষ্টি = ৪০ × ৬ = ২৪০
৩টি সংখ্যার গড় ২০
৩টি সংখ্যার সমষ্টি = ২০ × ৩ = ৬০
৯টি সংখ্যার সমষ্টি = ২৪০ + ৬০ = ৩০০
৯টি সংখ্যার গড় = ৩০০/৯
= ৩৩.৩৩
সমাধান:
৬টি সংখ্যার গড় ৪০
৬টি সংখ্যার সমষ্টি = ৪০ × ৬ = ২৪০
৩টি সংখ্যার গড় ২০
৩টি সংখ্যার সমষ্টি = ২০ × ৩ = ৬০
৯টি সংখ্যার সমষ্টি = ২৪০ + ৬০ = ৩০০
৯টি সংখ্যার গড় = ৩০০/৯
= ৩৩.৩৩
৬,২০৪.
নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনটির ভাজক সংখ্যা বিজোড়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিম্নে লিখিত চারটি সংখ্যার মধ্যে কোনটির ভাজক সংখ্যা বিজোড়?
সমাধান:
আমরা জানি,
পূর্ণ বর্গসংখ্যার ভাজক সংখ্যা বিজোড় হয়।
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ১০২৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
∴ √(১০২৪) = ৩২
সুতরাং ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড় সংখ্যা হবে।
এখন,
১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করি:
১০২৪ = ১ × ১০২৪
= ২ × ৫১২
= ৪ × ২৫৬
= ৮ × ১২৮
= ১৬ × ৬৪
= ৩২ × ৩২
∴ ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা = ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮, ২৫৬, ৫১২ এবং ১০২৪
= ১১ টি।
সমাধান:
আমরা জানি,
পূর্ণ বর্গসংখ্যার ভাজক সংখ্যা বিজোড় হয়।
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ১০২৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
∴ √(১০২৪) = ৩২
সুতরাং ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড় সংখ্যা হবে।
এখন,
১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করি:
১০২৪ = ১ × ১০২৪
= ২ × ৫১২
= ৪ × ২৫৬
= ৮ × ১২৮
= ১৬ × ৬৪
= ৩২ × ৩২
∴ ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা = ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮, ২৫৬, ৫১২ এবং ১০২৪
= ১১ টি।
৬,২০৫.
৭টি সংখ্যার গড় ৫০। এর সাথে ৩ টি সংখ্যা যোগ করা হল। সংখ্যা তিনটির গড় ২১। সমষ্টিগতভাবে ১০ টি সংখ্যার গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭টি সংখ্যার গড় ৫০। এর সাথে ৩ টি সংখ্যা যোগ করা হল। সংখ্যা তিনটির গড় ২১। সমষ্টিগতভাবে ১০ টি সংখ্যার গড় কত?
সমাধান:
৭টি সংখ্যার গড় ৫০।
৭ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ৫০
= ৩৫০
তিনটি সংখ্যার গড় ২১
তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = ২১ × ৩
= ৬৩
দশটি সংখ্যার সমষ্টি = ৩৫০ + ৬৩
= ৪১৩
∴ ১০টি সংখ্যার গড় = ৪১৩/১০
= ৪১.৩
সমাধান:
৭টি সংখ্যার গড় ৫০।
৭ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ৫০
= ৩৫০
তিনটি সংখ্যার গড় ২১
তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = ২১ × ৩
= ৬৩
দশটি সংখ্যার সমষ্টি = ৩৫০ + ৬৩
= ৪১৩
∴ ১০টি সংখ্যার গড় = ৪১৩/১০
= ৪১.৩
৬,২০৬.
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ২ এবং তাদের গ.সা.গু ১০ হলে সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ২ এবং তাদের গ.সা.গু ১০ হলে সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?
সমাধান:
ল.সা.গু = অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু
= ২ × ৩ × ১০
= ৬০
সমাধান:
ল.সা.গু = অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু
= ২ × ৩ × ১০
= ৬০
৬,২০৭.
নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?
ব্যাখ্যা
প্রথম দুটি নিয়ে বজ্র বা ক্রস গুণ করলে পাই
3/5 × 5/8; 24 < 25, অর্থাৎ দ্বিতীয়টি বড়।
দ্বিতীয় ও তৃতীয়টি নিয়ে
5/8 × 6/11; 55 > 48, অর্থাৎ দ্বিতীয়টি বড়।
এবার দ্বিতীয়টি ও চতুর্থটি নিলে
5/8 × 8/14; 70 > 64, এ ক্ষেত্রেও দ্বিতীয়টি বড়।
৬,২০৮.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
{(০.৪ × ০.০৫ × ০.০২)/০.০১} + ১
= (০.০০০৪/০.০১) + ১
= ০.০৪ + ১
= ১.০৪
সমাধান:
{(০.৪ × ০.০৫ × ০.০২)/০.০১} + ১
= (০.০০০৪/০.০১) + ১
= ০.০৪ + ১
= ১.০৪
৬,২০৯.
তিনটি বড় ড্রামে যথাক্রমে ৩৬ লিটার, ৪৫ লিটার এবং ৭২ লিটার তেল ধরে। কোন বৃহত্তম পরিমাপটি দ্বারা সঠিকভাবে তিনটি ড্রামের তেল মাপা যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি বড় ড্রামে যথাক্রমে ৩৬ লিটার, ৪৫ লিটার এবং ৭২ লিটার তেল ধরে। কোন বৃহত্তম পরিমাপটি দ্বারা সঠিকভাবে তিনটি ড্রামের তেল মাপা যাবে?
সমাধান:
মাপটি হবে ৩৬, ৪৫ এবং ৭২ এর গ.সা.গু এর সমান।
৩৬, ৪৫ এবং ৭২ এর গ.সা.গু = ৯
∴ বৃহত্তম মাপটি হবে ৯ লিটার।
সমাধান:
মাপটি হবে ৩৬, ৪৫ এবং ৭২ এর গ.সা.গু এর সমান।
৩৬, ৪৫ এবং ৭২ এর গ.সা.গু = ৯
∴ বৃহত্তম মাপটি হবে ৯ লিটার।
৬,২১০.
শূন্য অপেক্ষা বড় যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে বলা হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: শূন্য অপেক্ষা বড় যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে বলা হয়?
সমাধান:
শূন্য অপেক্ষা বড় পূর্ণ সংখ্যাগুলো (যেমন: ১, ২, ৩, ...) কে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়।
অন্য দিকে,
অমূলদ সংখ্যা: এগুলো হলো এমন সংখ্যা যেগুলোকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেমন: √2, π)।
মূলদ সংখ্যা: এগুলোকে p/q আকারে লেখা যায় (যেমন: 3 = 3/1)।
বাস্তব সংখ্যা: সমস্ত স্বাভাবিক, পূর্ণ, মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত।
সমাধান:
শূন্য অপেক্ষা বড় পূর্ণ সংখ্যাগুলো (যেমন: ১, ২, ৩, ...) কে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়।
অন্য দিকে,
অমূলদ সংখ্যা: এগুলো হলো এমন সংখ্যা যেগুলোকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেমন: √2, π)।
মূলদ সংখ্যা: এগুলোকে p/q আকারে লেখা যায় (যেমন: 3 = 3/1)।
বাস্তব সংখ্যা: সমস্ত স্বাভাবিক, পূর্ণ, মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত।
৬,২১১.
কোন ভগ্নাংশটি 1/3 অপেক্ষা বড়?
ব্যাখ্যা
1/3 = 0.333
(1/3)2= 1/9 = 0.111
1/0.03 = 33.33
সুতরাং, 1/0.03 ভগ্নাংশটি 1/3 অপেক্ষা বড়।
(1/3)2= 1/9 = 0.111
1/0.03 = 33.33
সুতরাং, 1/0.03 ভগ্নাংশটি 1/3 অপেক্ষা বড়।
৬,২১২.
কোন লঘিষ্ট সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
ব্যাখ্যা
লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু থেকে ২ কম
২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু = ১৪৪
নির্ণেয় লঘিষ্ট সংখ্যাটি = ১৪৪ - ২ = ১৪২
২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু = ১৪৪
নির্ণেয় লঘিষ্ট সংখ্যাটি = ১৪৪ - ২ = ১৪২
৬,২১৩.
৫০ এবং ৭০ এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তর মৌলিক সংখ্যার গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫০ এবং ৭০ এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তর মৌলিক সংখ্যার গড় কত?
সমাধান:
৫০ এবং ৭০ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭
তাহলে ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তর মৌলিক সংখ্যার গড় = (৫৩ + ৬৭)/২ = ৬০
সমাধান:
৫০ এবং ৭০ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭
তাহলে ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তর মৌলিক সংখ্যার গড় = (৫৩ + ৬৭)/২ = ৬০
৬,২১৪.
৯/৮ এবং ১২/৫ এর ল.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯/৮ এবং ১২/৫ এর ল.সা.গু কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু
এখানে লব ৯ ও ১২ এর ল.সা.গু:
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৩৬
এবং হর ৮ ও ৫ এর গ.সা.গু:
৮ = ২ × ২ × ২
৫ = ৫
যেহেতু এদের মধ্যে ১ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই, তাই গ.সা.গু = ১
অতএব, ৯/৮ এবং ১২/৫ এর ল.সা.গু = ৩৬/১
= ৩৬
৬,২১৫.
একটি সংখ্যা ৬৫০ হতে যত বড় ৮২০ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
সংখ্যাটি = (৬৫০+৮২০)/২
= ১৪৭০/২
= ৭৩৫
৬,২১৬.
নিচের কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
ব্যাখ্যা
নিচের কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
৩/৫ = ০.৬
৪/১৫ = ০.২৬৬
২/২০ = ০.১
৭/২৫ = ০.২৮
৩/৫ = ০.৬
৪/১৫ = ০.২৬৬
২/২০ = ০.১
৭/২৫ = ০.২৮
৬,২১৭.
০.১/০.০১/০.০০১ এর ৩৫% = ?
ব্যাখ্যা
০.১/০.০১/০.০০১ এর ৩৫%
= ০.১/(১/১০০)/(১/১০০০) এর ৩৫%
= ০.১ × ১০০ × ১০০০ এর ৩৫%
= ১০০০০ এর ৩৫%
= ৩৫০০
= ০.১/(১/১০০)/(১/১০০০) এর ৩৫%
= ০.১ × ১০০ × ১০০০ এর ৩৫%
= ১০০০০ এর ৩৫%
= ৩৫০০
৬,২১৮.
একজন শ্রমিক প্রতিদিন প্রথম ৮ ঘণ্টা কাজের জন্য ঘণ্টায় ৩০ টাকা করে এবং পরবর্তী সময়ের ঘণ্টায় ৩৫ টাকা করে মজুরি পায়। দৈনিক ১০ ঘণ্টা কাজ করলে তার ঘণ্টাপ্রতি গড় মজুরি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন শ্রমিক প্রতিদিন প্রথম ৮ ঘণ্টা কাজের জন্য ঘণ্টায় ৩০ টাকা করে এবং পরবর্তী সময়ের ঘণ্টায় ৩৫ টাকা করে মজুরি পায়। দৈনিক ১০ ঘণ্টা কাজ করলে তার ঘণ্টাপ্রতি গড় মজুরি কত?
সমাধান:
প্রথম ৮ ঘণ্টায় পায় = ৮ × ৩০ = ২৪০ টাকা।
পরবর্তী ২ ঘণ্টায় পায় = ২ × ৩৫= ৭০ টাকা।
১০ ঘণ্টায় মোট মজুরি পায়= ২৪০ + ৭০ = ৩১০ টাকা
∴ ঘণ্টা প্রতি গড় মজুরি = ৩১০/১০ = ৩১ টাকা।
সমাধান:
প্রথম ৮ ঘণ্টায় পায় = ৮ × ৩০ = ২৪০ টাকা।
পরবর্তী ২ ঘণ্টায় পায় = ২ × ৩৫= ৭০ টাকা।
১০ ঘণ্টায় মোট মজুরি পায়= ২৪০ + ৭০ = ৩১০ টাকা
∴ ঘণ্টা প্রতি গড় মজুরি = ৩১০/১০ = ৩১ টাকা।
৬,২১৯.
নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?
সমাধান:
দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুননীয়ক বা উৎপাদক না থাকলে,সংখ্যা দুইটিকে সহমৌলিক বলে।
এখানে, ১২ ও ১৭ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ গুননীয়ক নেই।
∴ ১২ ও ১৭ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।
সমাধান:
দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুননীয়ক বা উৎপাদক না থাকলে,সংখ্যা দুইটিকে সহমৌলিক বলে।
এখানে, ১২ ও ১৭ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ গুননীয়ক নেই।
∴ ১২ ও ১৭ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।
৬,২২০.
দুটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যার গুণফল কী হতে পারে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যার গুণফল কী হতে পারে?
সমাধান:
দুটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যার গুণফল মূলদ বা অমূলদ উভয়ই হতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ:
যখন √2 এবং √8 দুটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা, তখন তাদেরগুণফল হলো
√2 × √8 = √16 = 4 যা একটি মূলদ সংখ্যা।
আবার,
যখন √2 এবং √3 দুটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা, তখন তাদের গুণফল হলো √2 × √3 = √6; যা একটি অমূলদ সংখ্যা।
৬,২২১.
পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৪, ৮, ১২, ১৬ ও ২০ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল, কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৪, ৮, ১২, ১৬ ও ২০ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল, কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?
সমাধান:
৪, ৮, ১২, ১৬ ও ২০ এর ল.সা.গুই নির্ণেয় সময়
৪, ৮, ১২, ১৬ ও ২০ এর ল.সা.গু. = ২৪০
∴ ২৪০ সেকেন্ড বা ৪ মিনিট পর আবার ঘণ্টাগুলো একত্রে বাজবে।
সমাধান:
৪, ৮, ১২, ১৬ ও ২০ এর ল.সা.গুই নির্ণেয় সময়
৪, ৮, ১২, ১৬ ও ২০ এর ল.সা.গু. = ২৪০
∴ ২৪০ সেকেন্ড বা ৪ মিনিট পর আবার ঘণ্টাগুলো একত্রে বাজবে।
৬,২২২.
৭/১৭ এর হর এবং লবের সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি ১/২ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭/১৭ এর হর এবং লবের সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি ১/২ হবে?
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(৭ + ক)/(১৭ + ক) = ১/২
⇒ ১৪ + ২ক = ১৭ + ক
⇒ ২ক - ক = ১৭ - ১৪
∴ ক = ৩
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(৭ + ক)/(১৭ + ক) = ১/২
⇒ ১৪ + ২ক = ১৭ + ক
⇒ ২ক - ক = ১৭ - ১৪
∴ ক = ৩
৬,২২৩.
টাইপের ভুলের কারণে ৩টা প্রশ্ন বাতিল করে ফলাফল প্রণয়ন করা হয়েছে। অনাকাঙ্ক্ষিত এই সমস্যার জন্য আমরা আন্তরিকভাবে দুঃখিত। পরবর্তীতে এই ধরণের সমস্যা যেন না হয় তার জন্য সংশ্লিষ্ট টিমকে নির্দেশনা দেয়া হয়েছে। আশা করি আপনারা ক্ষমাসুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন।
১) কোনোটি মৌলিক সংখ্যা?
১) কোনোটি মৌলিক সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
৯১ = ৭ × ১৩,
১৪৩ = ১১ × ১৩,
৪৭ = ৪৭ × ১,
৮৭ = ৩ × ২৯
সুতরাং, ৪৭ একটি মৌলিক সংখ্যা।
১৪৩ = ১১ × ১৩,
৪৭ = ৪৭ × ১,
৮৭ = ৩ × ২৯
সুতরাং, ৪৭ একটি মৌলিক সংখ্যা।
৬,২২৪.
৯৬ ও ৪৮ এর ভাজক সংখ্যার পার্থক্য কয়টি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯৬ ও ৪৮ এর ভাজক সংখ্যার পার্থক্য কয়টি?
সমাধান:
৪৮ = ১ × ৪৮
= ২ × ২৪
= ৩ × ১৬
= ৪ × ১২
= ৬ × ৮
∴ ৪৮ এর ভাজকসমূহ: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৪৮
∴ মোট ভাজক সংখ্যা = ১০টি
আবার,
৯৬ = ১ × ৯৬
= ২ × ৪৮
= ৩ × ৩২
= ৪ × ২৪
= ৬ × ১৬
= ৮ × ১২
∴ ৯৬ এর ভাজকসমূহ: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৩২, ৪৮, ৯৬
∴ মোট ভাজক সংখ্যা ১২টি।
সুতরাং, ৯৬ ও ৪৮ এর ভাজক সংখ্যার পার্থক্য = (১২ - ১০) = ২ টি
সমাধান:
৪৮ = ১ × ৪৮
= ২ × ২৪
= ৩ × ১৬
= ৪ × ১২
= ৬ × ৮
∴ ৪৮ এর ভাজকসমূহ: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৪৮
∴ মোট ভাজক সংখ্যা = ১০টি
আবার,
৯৬ = ১ × ৯৬
= ২ × ৪৮
= ৩ × ৩২
= ৪ × ২৪
= ৬ × ১৬
= ৮ × ১২
∴ ৯৬ এর ভাজকসমূহ: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৩২, ৪৮, ৯৬
∴ মোট ভাজক সংখ্যা ১২টি।
সুতরাং, ৯৬ ও ৪৮ এর ভাজক সংখ্যার পার্থক্য = (১২ - ১০) = ২ টি
৬,২২৫.
x2 - 3x, x2 -9 এবং x2 - 4x + 3 এর গ. সা. গু. কোনটি?
ব্যাখ্যা
১ম রাশি,
x2 - 3x
= x ( x - 3 )
২য় রাশি,
x2 -9
= ( x + 3 ) ( x - 3 )
৩য় রাশি,
x2 - 4x + 3
= ( x - 3 ) ( x - 1 )
নির্ণেয় গ. সা. গু. = ( x - 3 )
৬,২২৬.
কতজন বালককে ১৪০ টি মার্বেল ও ১৬৫ টি লজেন্স সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কতজন বালককে ১৪০ টি মার্বেল ও ১৬৫ টি লজেন্স সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?
সমাধান:
এখানে,
১৪০ ও ১৬৫ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় বালকের সংখ্যা।
১৪০ ও ১৬৫ এর গ.সা.গু = ৫
∴ ৫ জন বালককে ১৪০ টি মার্বেল ও ১৬৫ টি লজেন্স সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।
সমাধান:
এখানে,
১৪০ ও ১৬৫ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় বালকের সংখ্যা।
১৪০ ও ১৬৫ এর গ.সা.গু = ৫
∴ ৫ জন বালককে ১৪০ টি মার্বেল ও ১৬৫ টি লজেন্স সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।
৬,২২৭.
কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৮০ ও ২৫২ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১২ ভাগশেষ থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৮০ ও ২৫২ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১২ ভাগশেষ থাকবে?
সমাধান:
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (১৮০ - ১২) = ১৬৮ এবং (২৫২ - ১২) = ২৪০ এর গ.সা.গু এর সমান।
∴ ১৬৮ এবং ২৪০ এর গ.সা.গু হলো = ২৪
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ২৪
৬,২২৮.
একটি বাঁশের ১/৪ অংশ পানিতে, ১/২ অংশ মাটিতে এবং অবশিষ্ট ৮ মিটার পানির উপরে আছে। সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৪ অংশ পানিতে, ১/২ অংশ মাটিতে এবং অবশিষ্ট ৮ মিটার পানির উপরে আছে। সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি, সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
পানিতে ও মাটিতে আছে= (ক/৪) + (ক/২) অংশ
= (ক + ২ক)/৪ অংশ
= ৩ক/৪ অংশ
∴ পানির উপরে আছে = ক - (৩ক/৪) = (৪ক - ৩ক)/৪ = ক/৪ অংশ
প্রশ্নমতে,
ক/৪ অংশ = ৮ মিটার
⇒ ক = ৮ × ৪
∴ ক = ৩২
অর্থাৎ সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার
সমাধান:
ধরি, সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
পানিতে ও মাটিতে আছে= (ক/৪) + (ক/২) অংশ
= (ক + ২ক)/৪ অংশ
= ৩ক/৪ অংশ
∴ পানির উপরে আছে = ক - (৩ক/৪) = (৪ক - ৩ক)/৪ = ক/৪ অংশ
প্রশ্নমতে,
ক/৪ অংশ = ৮ মিটার
⇒ ক = ৮ × ৪
∴ ক = ৩২
অর্থাৎ সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার
৬,২২৯.
a ও b দুইটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, a2 + b2 এর সাথে নিচের কোনটি যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
ব্যাখ্যা
a2 + b2
= a2 + b2 + 2ab - 2ab
= (a + b)2 - 2ab
অতএব, (a + b)2 - 2ab এর সাথে 2ab যোগ করলে আমরা পাই,
(a + b)2 - 2ab + 2ab
= (a + b)2 যা পূর্ণবর্গ
= a2 + b2 + 2ab - 2ab
= (a + b)2 - 2ab
অতএব, (a + b)2 - 2ab এর সাথে 2ab যোগ করলে আমরা পাই,
(a + b)2 - 2ab + 2ab
= (a + b)2 যা পূর্ণবর্গ
৬,২৩০.
একজন ব্যবসায়ী তার মোট মুনাফার ১/৩ অংশ ব্যাংকে জমা রাখেন, ১/৪ অংশ ব্যবসায়ে পুনঃবিনিয়োগ করেন, ১/৬ অংশ দান করেন এবং বাকি অংশ নিজের কাছে রাখেন। তিনি তার মুনাফার কত অংশ নিজের কাছে রাখেন?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী তার মোট মুনাফার ১/৩ অংশ ব্যাংকে জমা রাখেন, ১/৪ অংশ ব্যবসায়ে পুনঃবিনিয়োগ করেন, ১/৬ অংশ দান করেন এবং বাকি অংশ নিজের কাছে রাখেন। তিনি তার মুনাফার কত অংশ নিজের কাছে রাখেন?
সমাধান:
ব্যাংক, পুনঃবিনিয়োগ এবং দানে ব্যয় = (১/৩) + (১/৪) + (১/৬) অংশ
= (৪ + ৩ + ২)/১২ অংশ
= ৯/১২ অংশ
∴ নিজের কাছে রাখেন = ১ - (৯/১২) অংশ
= (১২ - ৯)/১২ অংশ
= ৩/১২ অংশ
= ১/৪ অংশ
তাহলে ব্যবসায়ী তার মোট মুনাফার ১/৪ অংশ নিজের কাছে রাখেন।
সমাধান:
ব্যাংক, পুনঃবিনিয়োগ এবং দানে ব্যয় = (১/৩) + (১/৪) + (১/৬) অংশ
= (৪ + ৩ + ২)/১২ অংশ
= ৯/১২ অংশ
∴ নিজের কাছে রাখেন = ১ - (৯/১২) অংশ
= (১২ - ৯)/১২ অংশ
= ৩/১২ অংশ
= ১/৪ অংশ
তাহলে ব্যবসায়ী তার মোট মুনাফার ১/৪ অংশ নিজের কাছে রাখেন।
৬,২৩১.
কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ অবশিষ্ট থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ অবশিষ্ট থাকবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ অবশিষ্ট থাকবে।
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে (২৭ - ৩) বা, ২৪, (৪০ - ৪) বা, ৩৬ এবং (৬৫ - ৫) বা, ৬০ এর গ.সা.গু।
এখন,
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ২ × ২ × ৩ = ১২
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ অবশিষ্ট থাকবে।
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে (২৭ - ৩) বা, ২৪, (৪০ - ৪) বা, ৩৬ এবং (৬৫ - ৫) বা, ৬০ এর গ.সা.গু।
এখন,
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ২ × ২ × ৩ = ১২
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২
৬,২৩২.
একটি সম্পত্তির ৩/৪ অংশের মূল্য ৩৬০০০ টাকা হলে তার ২/৩ অংশের মূল্য কত?
ব্যাখ্যা
মনে করি,
সম্পত্তির মূল্য ক টাকা।
সুতরাং ক এর ৩/৪ = ৩৬০০০
বা, ক = ৪/৩ × ৩৬০০০
বা, ক = ৪৮০০০
সুতরাং সম্পত্তির ২/৩ = ২/৩ × ৪৮০০০
= ৩২,০০০ টাকা।
৬,২৩৩.
৩, ৬, ১২, ১৫ এর গ.সা.গু কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩, ৬, ১২, ১৫ এর গ.সা.গু কোনটি?
সমাধান:
৩, ৬, ১২, ১৫ এর গ.সা.গু = ৩
সমাধান:
৩, ৬, ১২, ১৫ এর গ.সা.গু = ৩
৬,২৩৪.
নিচের কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা
শূন্য হচ্ছে অধনাত্মক, অঋনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ১ মিশ্র সংখ্যা নয়, বরং ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
৬,২৩৫.
৯৬ সংখ্যাটির মোট কতগুলো ভাজক রয়েছে?
ব্যাখ্যা
৯৬ সংখ্যাটির ভাজকগুলো হলো ১,২,৩,৪,৬,৮, ১২,১৬,২৪,৩২,৪৮,৭২ = ১২ টি।
৬,২৩৬.
কোনটি মূলদ সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনটি মূলদ সংখ্যা?
সমাধান:
আমরা জানি,
p/q আকারের কোনাে সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
যে কোনাে মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়।
সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।
এখানে,
√27/√48 = √(3 × 9)/√(3 × 16)
= 3√3/4√3
= 3/4, যা একটি মূলদ সংখ্যা।
∴ √27/√48 একটি মূলদ সংখ্যা।
সমাধান:
আমরা জানি,
p/q আকারের কোনাে সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
যে কোনাে মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়।
সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।
এখানে,
√27/√48 = √(3 × 9)/√(3 × 16)
= 3√3/4√3
= 3/4, যা একটি মূলদ সংখ্যা।
∴ √27/√48 একটি মূলদ সংখ্যা।
৬,২৩৭.
xyz = ২৪০ হলে কোনটি y-এর মান হতে পারে না?
ব্যাখ্যা
y এর মান শূন্য হলে xyz এর মান 0 হয়ে যাবে; যা প্রশ্নোক্ত সমীকরণের সাথে সাংঘর্ষিক। তাই y এর মান 0 হতে পারে না।
৬,২৩৮.
১৮০ জন শিক্ষার্থীকে এমনভাবে সারিতে বসানো হবে যাতে প্রতিটি সারিতে সমান সংখ্যক শিক্ষার্থী থাকে, তাহলে নিচের কোনটি সারির সংখ্যা হতে পারে না?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৮০ জন শিক্ষার্থীকে এমনভাবে সারিতে বসানো হবে যাতে প্রতিটি সারিতে সমান সংখ্যক শিক্ষার্থী থাকে, তাহলে নিচের কোনটি সারির সংখ্যা হতে পারে না?
সমাধান:
এখানে,
১৮০/৪ = ৪৫
১৮০/২০ = ৯
১৮০/৩০ = ৬
১৮০/৪০ = ৪.৫
১৮০/৯০ = ২
সমাধান:
এখানে,
১৮০/৪ = ৪৫
১৮০/২০ = ৯
১৮০/৩০ = ৬
১৮০/৪০ = ৪.৫
১৮০/৯০ = ২
৬,২৩৯.
(০.১ × ০.০৩ × ০.০০৬)/(০.০১ × ০.০৬) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (০.১ × ০.০৩ × ০.০০৬)/(০.০১ × ০.০৬) এর মান কত?
সমাধান:
(০.১ × ০.০৩ × ০.০০৬)/(০.০১ × ০.০৬)
= ০.০০০০১৮/০.০০০৬
= (১৮ × ১০০০০)/(৬ × ১০০০০০০)
= ০.০৩
সমাধান:
(০.১ × ০.০৩ × ০.০০৬)/(০.০১ × ০.০৬)
= ০.০০০০১৮/০.০০০৬
= (১৮ × ১০০০০)/(৬ × ১০০০০০০)
= ০.০৩
৬,২৪০.
নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম?
সমাধান:
৩/৪ = ০.৭৫
৫/৯ =০.৫৫
৭/১২ =০.৫৮
১১/১৮ = ০.৬১
সমাধান:
৩/৪ = ০.৭৫
৫/৯ =০.৫৫
৭/১২ =০.৫৮
১১/১৮ = ০.৬১
৬,২৪১.
n একটি জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারে না?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: n একটি জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারে না?
সমাধান:
ধরি,
n = 2
তাহলে,
5n + 7 = 5 × 2 + 7 = 17 ;যা একটি বিজোড় সংখ্যা
সমাধান:
ধরি,
n = 2
তাহলে,
7(n + 2) = 7(2 + 2) = 28 ;যা একটি জোড় সংখ্যা
3n + 4 = 3 × 2 + 4 = 10 ;যা একটি জোড় সংখ্যা
n2 = 22 = 4 ;যা একটি জোড় সংখ্যা5n + 7 = 5 × 2 + 7 = 17 ;যা একটি বিজোড় সংখ্যা
৬,২৪২.
দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর ৪, সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখাটির যোগফল ১১০। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর ৪, সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখাটির যোগফল ১১০। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = x
দশক স্থানীয় অঙ্ক = x + 4
তাহলে,
সংখ্যাটি = 10(x + 4) + x
= 10x + 40 + x
= 11x + 40
এবং স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি = 10x + x + 4 = 11x + 4
প্রশ্নমতে,
11x + 40 + 11x + 4 = 110
⇒ 22x = 110 - 44
⇒ 22x = 66
∴ x = 3
∴ সংখ্যাটি = 11 × 3 + 40 = 73
∴ স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি = 11 × 3 + 4 = 37
[সংখ্যাটি 37 বা 73 যেকোনোটি হতে পারে]
সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = x
দশক স্থানীয় অঙ্ক = x + 4
তাহলে,
সংখ্যাটি = 10(x + 4) + x
= 10x + 40 + x
= 11x + 40
এবং স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি = 10x + x + 4 = 11x + 4
প্রশ্নমতে,
11x + 40 + 11x + 4 = 110
⇒ 22x = 110 - 44
⇒ 22x = 66
∴ x = 3
∴ সংখ্যাটি = 11 × 3 + 40 = 73
∴ স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি = 11 × 3 + 4 = 37
[সংখ্যাটি 37 বা 73 যেকোনোটি হতে পারে]
৬,২৪৩.
কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
ব্যাখ্যা
সকল সংখ্যাকে দশমিকে রুপান্তর করে -
০.৩
১/৩ = ০.৩৩
√০.৩ = ০.৫৪৭৭
২/৫ = ০.৪
অর্থাৎ √০.৩ সংখ্যাটি বড়।
৬,২৪৪.
একজন বোলার গড়ে ১৮ রান দিয়ে ৭ টি উইকেট পান। পরবর্তী ইনিংসে গড়ে ১০ রান দিয়ে ৩ টি উইকেট পান। তিনি উইকেট প্রতি গড়ে কত রান দিয়েছেন?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন বোলার গড়ে ১৮ রান দিয়ে ৭ টি উইকেট পান। পরবর্তী ইনিংসে গড়ে ১০ রান দিয়ে ৩ টি উইকেট পান। তিনি উইকেট প্রতি গড়ে কত রান দিয়েছেন?
সমাধান:
৭ টি উইকেট পেতে গড়ে রান দেয় = ১৮
∴ ৭ টি উইকেট পেতে মোট রান দেয় = (১৮ × ৭)
= ১২৬
আবার, পরবর্তীতে
৩ টি উইকেট পেতে গড়ে রান দেয় = ১০
∴ ৩ টি উইকেট পেতে মোট রান দেয় = (১০ × ৩)
= ৩০
∴ সর্বমোট রান দেয় = (১২৬ + ৩০)
= ১৫৬
এবং সর্বমোট প্রাপ্ত উইকেট = (৭ + ৩)
= ১০
∴ উইকেট প্রতি গড়ে রান দেয় = ১৫৬/১০
= ১৫.৬।
৬,২৪৫.
পিতা ও তার দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩৫ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৭ বছর হলে, পিতার বয়স কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পিতা ও তার দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩৫ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৭ বছর হলে, পিতার বয়স কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় = ৩৫ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (৩৫ × ৩) বছর
= ১০৫ বছর
আবার,
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২৭ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (২৭ × ২) বছর
= ৫৪ বছর
∴ পিতার বয়স = (১০৫ - ৫৪) বছর
= ৫১ বছর।
৬,২৪৬.
কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সঙ্গে ৭ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৬, ২৪ ও ৩২ দিয়ে নি:শেষে বিভাজ্য হবে?
ব্যাখ্যা
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১২, ১৬, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু থেকে ৭ কম
১২, ১৬, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু = ৯৬
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৯৬ - ৭ = ৮৯
১২, ১৬, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু = ৯৬
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৯৬ - ৭ = ৮৯
৬,২৪৭.
এক লিটার খাঁটি দুধে ২০০ মিলি লিটার পানি মিশ্রিত করলে মিশ্রিত দুধে পানির পরিমাণ হবে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক লিটার খাঁটি দুধে ২০০ মিলি লিটার পানি মিশ্রিত করলে মিশ্রিত দুধে পানির পরিমাণ হবে-
সমাধান:
আমরা জানি,
১ লিটার খাঁটি দুধ = ১০০০ মিলি লিটার
পানি মেশানো হলো = ২০০ মিলি লিটারগ্রাম
∴ মোট মিশ্রণ = ১০০০ + ২০০ = ১২০০ মিলি লিটার
∴ মিশ্রিত দুধে পানির পরিমাণ হবে = ২০০/১২০০ = ১/৬ অংশ
৬,২৪৮.
নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
সমাধান:
যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
এখানে,
√(২৫/৯) = √(৫/৩)২ = ৫/৩
√(২৫/৫) = √(৫২/৫) = ৫/√৫ = √৫
√(২৫) = √৫২ = ৫
সমাধান:
যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
এখানে,
√(২৫/৯) = √(৫/৩)২ = ৫/৩
√(২৫/৫) = √(৫২/৫) = ৫/√৫ = √৫
√(২৫) = √৫২ = ৫
৬,২৪৯.
একটি লোহার পাত ও একটি তামার পাতের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮০ সে.মি. ও ২৭০ সে.মি. । পাত দুইটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি লোহার পাত ও একটি তামার পাতের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮০ সে.মি. ও ২৭০ সে.মি. । পাত দুইটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে ১৮০ সে.মি. ও ২৭০ সে.মি. এর গ.সা.গু।
১৮০ ও ২৭০ এর গ.সা.গু = ৯০
∴ সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে = ৯০ সে.মি.
সমাধান:
একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে ১৮০ সে.মি. ও ২৭০ সে.মি. এর গ.সা.গু।
১৮০ ও ২৭০ এর গ.সা.গু = ৯০
∴ সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে = ৯০ সে.মি.
৬,২৫০.
6p2 - p - 1 এবং 2p2 + 3p - 2 এর গ.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6p2 - p - 1 এবং 2p2 + 3p - 2 এর গ.সা.গু কত?
সমাধান:
১ম রাশি = 6p2 - p - 1
= 6p2 - 3p + 2p - 1
= 3p(2p - 1) + 1(2p - 1)
= (2p - 1)(3p + 1)
২য় রাশি = 2p2 + 3p - 2
= 2p2 + 4p - p - 2
= 2p(p + 2) - 1(p + 2)
= (p + 2)(2p - 1)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (2p - 1)
সমাধান:
১ম রাশি = 6p2 - p - 1
= 6p2 - 3p + 2p - 1
= 3p(2p - 1) + 1(2p - 1)
= (2p - 1)(3p + 1)
২য় রাশি = 2p2 + 3p - 2
= 2p2 + 4p - p - 2
= 2p(p + 2) - 1(p + 2)
= (p + 2)(2p - 1)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (2p - 1)
৬,২৫১.
৩২, ৪৮, ৫৬ ও ৮০ এর গ. সা. গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩২, ৪৮, ৫৬ ও ৮০ এর গ. সা. গু কত?
সমাধান:
৩২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
৫৬ = ২ × ২ × ২ × ৭
৮০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৫
∴ ৩২, ৪৮, ৫৬ ও ৮০ এর গ. সা. গু = ২ × ২ × ২ = ৮
৬,২৫২.
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ৭২০। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ৭২০। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৪৮ × অপর সংখ্যা = ৭২০ × ১২
⇒ অপর সংখ্যা = (৭২০ × ১২)/৪৮
⇒ অপর সংখ্যা = ৮৬৪০/৪৮
⇒ অপর সংখ্যা = ১৮০
∴ অপর সংখ্যাটি হলো ১৮০
৬,২৫৩.
(০.১ × ১.১ × ১.২)/(০.০১ × ০.২) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (০.১ × ১.১ × ১.২)/(০.০১ × ০.২) এর মান কত?
সমাধান:
(০.১ × ১.১ × ১.২)/(০.০১ × ০.২)
= ০.১৩২/০.০০২
= ৬৬
সমাধান:
(০.১ × ১.১ × ১.২)/(০.০১ × ০.২)
= ০.১৩২/০.০০২
= ৬৬
৬,২৫৪.
০.৩ + ০.০১ + ০.০৫ = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ০.৩ + ০.০১ + ০.০৫ = ?
সমাধান:
০.৩ + ০.০১ + ০.০৫
= ৩/১০ + ১/১০০ + ৫/১০০
= (৩০ + ১ + ৫)/১০০
= (৩৬)/১০০
= ৯/২৫
৬,২৫৫.
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু ৩৬০ হলে সংখ্যা দুটি কি কি?
ব্যাখ্যা
মনে করি,
সংখ্যা দুটি ৫ক এবং ৬্ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৩০ক
প্রশ্নমতে,
৩০্ক = ৩৬০
বা, ক = ৩৬০/৩০
= ১২
∴ সংখ্যা দুটি ৫ × ১২ বা ৬০ এবং ৬ × ১২ বা ৭২
অতএব সংখ্যা দুইটি ৬০ ও ৭২
সংখ্যা দুটি ৫ক এবং ৬্ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৩০ক
প্রশ্নমতে,
৩০্ক = ৩৬০
বা, ক = ৩৬০/৩০
= ১২
∴ সংখ্যা দুটি ৫ × ১২ বা ৬০ এবং ৬ × ১২ বা ৭২
অতএব সংখ্যা দুইটি ৬০ ও ৭২
৬,২৫৬.
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে '৭' সংখ্যাটি কতবার আসে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে '৭' সংখ্যাটি কতবার আসে?
সমাধান:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে "২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯" সংখাগুলো আছে ২০ বার করে।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে "১" সংখ্যাটি আছে ২১ বার।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে "০" আছে ১১ বার।
সমাধান:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে "২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯" সংখাগুলো আছে ২০ বার করে।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে "১" সংখ্যাটি আছে ২১ বার।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে "০" আছে ১১ বার।
৬,২৫৭.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
৬,২৫৮.
একটি সংখ্যা ৫১৩ থেকে যত বড় ৬৫১ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৫১৩ থেকে যত বড় ৬৫১ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক - ৫১৩ = ৬৫১ - ক
⇒ ক + ক = ৬৫১ + ৫১৩
⇒ ২ক = ১১৬৪
⇒ ক = ১১৬৪/২
∴ ক = ৫৮২
∴ সংখ্যাটি হলো = ৫৮২ ।
৬,২৫৯.
যদি দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬, সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল ১০৮০ হয়, তবে সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬, সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল ১০৮০ হয়, তবে সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি = ৫ক ও ৬ক
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ৩০ক২
আমরা জানি,
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩০ক২ = ১০৮০
⇒ ক২ = ৩৬
⇒ ক = √৩৬
⇒ ক = ৬
∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ৬ক + ৫ক
= (৬ × ৬) + (৫ × ৬)
= ৩৬ + ৩০
= ৬৬
৬,২৬০.
তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ মিনিট ৯ মিনিট ও ১২ মিনিট অন্তর অন্তর বাজে। সকাল ৮ : ২৪ মিনিটে তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর আবার কখন তারা একত্রে বাজবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ মিনিট ৯ মিনিট ও ১২ মিনিট অন্তর অন্তর বাজে। সকাল ৮ : ২৪ মিনিটে তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর আবার কখন তারা একত্রে বাজবে?
সমাধান:
তাদের পরবর্তী একত্রে বাজার সময় নির্ণয়ের জন্য তিনটি সময়ের ল.সা.গু বের করতে হবে।
∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৩৬ মিনিট
অর্থাৎ, ৩৬ মিনিট পর তারা আবার একসঙ্গে বাজবে।
সুতরাং, ৮ : ২৪ + ৩৬ মিনিট = ৯ :০০ মিনিটে তারা আবার একসঙ্গে বাজবে
সমাধান:
তাদের পরবর্তী একত্রে বাজার সময় নির্ণয়ের জন্য তিনটি সময়ের ল.সা.গু বের করতে হবে।
∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৩৬ মিনিট
অর্থাৎ, ৩৬ মিনিট পর তারা আবার একসঙ্গে বাজবে।
সুতরাং, ৮ : ২৪ + ৩৬ মিনিট = ৯ :০০ মিনিটে তারা আবার একসঙ্গে বাজবে
৬,২৬১.
৩/৫, ১/৪, ২/৩ এর ল.সা.গু. -
ব্যাখ্যা
ল.সা.গু. = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু
= ৬/১
= ৬
৬,২৬২.
৪২০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪২০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা কত?
সমাধান:
৪২০ = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ = ২২ × ৩১ × ৫১ × ৭১
এখানে,
২ এর সূচক ২, ৩ এর সূচক ১, ৫ এর সূচক ১ এবং ৭ এর সূচক ১।
এখন,
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১)(১ + ১)(১ + ১)(১ + ১) = ৩ × ২ × ২ × ২
= ২৪ টি
সমাধান:
৪২০ = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ = ২২ × ৩১ × ৫১ × ৭১
এখানে,
২ এর সূচক ২, ৩ এর সূচক ১, ৫ এর সূচক ১ এবং ৭ এর সূচক ১।
এখন,
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১)(১ + ১)(১ + ১)(১ + ১) = ৩ × ২ × ২ × ২
= ২৪ টি
৬,২৬৩.
নিচের জোড়াটি সহমৌলিক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের জোড়াটি সহমৌলিক?
সমাধান:
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।
২৭ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছেঃ ১, ৩, ৯, ২৭
৩৮ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছেঃ ১, ২, ১৯, ৩৮
(২৭, ৩৮) পরস্পর সহমৌলিক
সমাধান:
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।
২৭ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছেঃ ১, ৩, ৯, ২৭
৩৮ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছেঃ ১, ২, ১৯, ৩৮
(২৭, ৩৮) পরস্পর সহমৌলিক
৬,২৬৪.
২ বছর আগে ক ও খ এর গড় বয়স ছিল ১২ বছর। ক, খ ও গ এর বর্তমান গড় বয়স ১৮ বছর। ৪ বছর পর গ এর বয়স কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২ বছর আগে ক ও খ এর গড় বয়স ছিল ১২ বছর। ক, খ ও গ এর বর্তমান গড় বয়স ১৮ বছর। ৪ বছর পর গ এর বয়স কত হবে?
সমাধান:
২ বছর আগে ক ও খ এর গড় বয়স ছিল ১২ বছর
২ বছর আগে ক ও খ এর মোট বয়স ছিল = ১২ × ২ বছর
= ২৪ বছর
ক ও খ এর বর্তমানে মোট বয়স = ২৪ + ২ + ২ = ২৮বছর
ক, খ ও গ এর বর্তমান গড় বয়স ১৮বছর
ক, খ ও গ এর বর্তমান মোট বয়স (১৮ × ৩) বছর
= ৫৪বছর
গ এর বর্তমান বয়স = (৫৪ - ২৮) বছর
= ২৬ বছর
৪ বছর পর গ এর বয়স হবে = (২৬ + ৪) বছর = ৩০ বছর
সমাধান:
২ বছর আগে ক ও খ এর গড় বয়স ছিল ১২ বছর
২ বছর আগে ক ও খ এর মোট বয়স ছিল = ১২ × ২ বছর
= ২৪ বছর
ক ও খ এর বর্তমানে মোট বয়স = ২৪ + ২ + ২ = ২৮বছর
ক, খ ও গ এর বর্তমান গড় বয়স ১৮বছর
ক, খ ও গ এর বর্তমান মোট বয়স (১৮ × ৩) বছর
= ৫৪বছর
গ এর বর্তমান বয়স = (৫৪ - ২৮) বছর
= ২৬ বছর
৪ বছর পর গ এর বয়স হবে = (২৬ + ৪) বছর = ৩০ বছর
৬,২৬৫.
৩টি ধারাবাহিক সংখ্যার সমষ্টি ৫৭ হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩টি ধারাবাহিক সংখ্যার সমষ্টি ৫৭ হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, (ক - ১), ক এবং (ক + ১) হচ্ছে ৩টি ধারাবাহিক সংখ্যা।
প্রশ্নমতে,
(ক - ১) + ক + (ক + ১) = ৫৭
⇒ ৩ক = ৫৭
⇒ ক = ১৯
∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যা = ১৯ + ১
= ২০
৬,২৬৬.
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ৪২০। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ৪২০। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?
সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি হলো ৫ক এবং ৬ক
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. হলো ৫ × ৬ × ক = ৩০ক
প্রশ্নমতে,
৩০ক = ৪২০
⇒ ক = ৪২০/৩০
⇒ ক = ১৪
সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৫ × ১৪ = ৭০ এবং ৬ × ১৪ = ৮৪
সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ৭০ + ৮৪ = ১৫৪
৬,২৬৭.
পরপর চারটি সংখ্যার গুণফল ৩৬০ হলে তাদের যোগফল কত?
ব্যাখ্যা
চারটি ক্রমবাচক সংখ্যার যোগফল = ৩ + ৪ + ৫ + ৬ = ১৮
চারটি ক্রমবাচক সংখ্যার গুণফল = ৩×৪×৫×৬ = ৩৬০
চারটি ক্রমবাচক সংখ্যার গুণফল = ৩×৪×৫×৬ = ৩৬০
৬,২৬৮.
২০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭ তাদের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭ তাদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
২০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭, সেগুলো হলো: ৩৭, ৪৭, এবং ৬৭।
সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি = ৩৭ + ৪৭ + ৬৭ = ১৫১
৬,২৬৯.
একটি বাক্সে ৯০টি লাল এবং ১৫০টি নীল বল আছে। সর্বাধিক কতগুলো প্যাকেটে ভাগ করা যাবে যেন প্রতিটি প্যাকেটে সমান সংখ্যক লাল ও নীল বল থাকে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৯০টি লাল এবং ১৫০টি নীল বল আছে। সর্বাধিক কতগুলো প্যাকেটে ভাগ করা যাবে যেন প্রতিটি প্যাকেটে সমান সংখ্যক লাল ও নীল বল থাকে?
সমাধান:
৯০ = ২ × ৩ × ৩ × ৫
১৫০ = ২ × ৩ ×৫ × ৫
∴ ৯০ ও ১৫০ এর গ.সা.গু = ৩০
∴ মার্বেলগুলো সর্বাধিক ৩০টি প্যাকেটে রাখা যাবে।
৬,২৭০.
ভাজ্য = কোন সূত্রটি প্রযোজ্য?
ব্যাখ্যা
ভাগফলের সাথে ভাজক গুণ দিয়ে এর সাথে ভাগশেষ যোগ করলে ভাজ্য পাওয়া যায়।
সুতরাং সঠিক সূত্র হবে - ভাজ্য = ভাগফল X ভাজক + ভাগশেষ।
৬,২৭১.
রুবেল তার সঞ্চয়ের ২/৫ অংশ দিয়ে একটি কম্পিউটার কিনে এবং সেই কম্পিউটারের দামের ১/২ অংশ দিয়ে একটি প্রিন্টার কিনে। তাহলে তার সঞ্চয়ের কত অংশ অবশিষ্ট রইল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রুবেল তার সঞ্চয়ের ২/৫ অংশ দিয়ে একটি কম্পিউটার কিনে এবং সেই কম্পিউটারের দামের ১/২ অংশ দিয়ে একটি প্রিন্টার কিনে। তাহলে তার সঞ্চয়ের কত অংশ অবশিষ্ট রইল?
সমাধান:
মনে করি,
রুবেলের মোট সঞ্চয়ের পরিমান = ১ অংশ।
তাহলে,
কম্পিউটার কিনে = ২/৫ অংশ টাকা দিয়ে
প্রিন্টার কিনে =(১/২) × (২/৫) = ১/৫ অংশ টাকা দিয়ে
∴ মোট খরচ = (২/৫) + (১/৫) = (২ + ১)/৫ = ৩/৫ অংশ
∴ অবশিষ্ট = ১ - (৩/৫) = (৫ - ৩)/৫ = ২/৫ অংশ
সমাধান:
মনে করি,
রুবেলের মোট সঞ্চয়ের পরিমান = ১ অংশ।
তাহলে,
কম্পিউটার কিনে = ২/৫ অংশ টাকা দিয়ে
প্রিন্টার কিনে =(১/২) × (২/৫) = ১/৫ অংশ টাকা দিয়ে
∴ মোট খরচ = (২/৫) + (১/৫) = (২ + ১)/৫ = ৩/৫ অংশ
∴ অবশিষ্ট = ১ - (৩/৫) = (৫ - ৩)/৫ = ২/৫ অংশ
৬,২৭২.
কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে ১ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৮, ১২ ও ১৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে ১ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৮, ১২ ও ১৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
সমাধান:
এখানে,
৮, ১২ ও ১৬ এর ল.সা.গু = ৪৮
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু + ১
= ৪৮ + ১
= ৪৯
সমাধান:
এখানে,
৮, ১২ ও ১৬ এর ল.সা.গু = ৪৮
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু + ১
= ৪৮ + ১
= ৪৯
৬,২৭৩.
৬ টি পরপর সংখ্যা দেওয়া আছে। যদি প্রথম ৩ টি সংখ্যার যোগফল ১৮৩ হয় ,তবে শেষ ৩টি সংখ্যার যোগফল কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, প্রথম সংখ্যাটি ক
তাহলে, পরবর্তি পাঁচটি ক্রমিক সংখ্যা হবে ক+১, ক+২, ক+৩, ক+৪, ক+৫
শর্তমতে, প্রথম তিনটি সংখ্যার যোগফল = ক+ক+১+ক+২ = ১৮৩
বা, ৩ক = ১৮০
বা, ক = ৬০
সুতরাং শেষ তিনটি ক্রমিক ধারাবাহিক সংখ্যার যোগফল হবে,
ক+৩+ক+৪+ক+৫ = ৩ক+১২ = ৩X৬০+১২ = ১৯২
৬,২৭৪.
x একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। x কে ৪ দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে এবং x কে ৯ দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে। r2 + R এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান কত হতে পারে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। x কে ৪ দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে এবং x কে ৯ দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে। r2 + R এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান কত হতে পারে?
সমাধান:
x একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
আমরা জানি,
ভাগশেষ সবসময় ভাজকের চেয়ে ছোট হয়।
x কে ৪ দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে
∴ r এর মান ১, ২, ৩ হতে পারবে।
x কে ৯ দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে
∴ R এর মান ১, ২, ৩, ৪, ৫,৬ ,৭ ,৮ হতে পারবে
r2 + R এর সর্বোচ্চ হবে যদি r ও R সর্বোচ্চ হয়
∴ r2 + R = ৩২ + ৮ = ৯ + ৮ = ১৭
সমাধান:
x একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
আমরা জানি,
ভাগশেষ সবসময় ভাজকের চেয়ে ছোট হয়।
x কে ৪ দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে
∴ r এর মান ১, ২, ৩ হতে পারবে।
x কে ৯ দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে
∴ R এর মান ১, ২, ৩, ৪, ৫,৬ ,৭ ,৮ হতে পারবে
r2 + R এর সর্বোচ্চ হবে যদি r ও R সর্বোচ্চ হয়
∴ r2 + R = ৩২ + ৮ = ৯ + ৮ = ১৭
৬,২৭৫.
পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৫, ৭, ৮, ১০ ও ১২ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পরে ঘণ্টা গুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৫, ৭, ৮, ১০ ও ১২ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পরে ঘণ্টা গুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?
সমাধান:
৫, ৭, ৮, ১০ ও ১২ এর ল. সা. গু = ২ × ২ × ৫ × ৭ × ২ × ৩
= ৮৪০
∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ৮৪০ সেকেন্ড পর
= (৮৪০/৬০) মিনিট পর [∵ ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট]
= ১৪ মিনিট
সমাধান:
৫, ৭, ৮, ১০ ও ১২ এর ল. সা. গু = ২ × ২ × ৫ × ৭ × ২ × ৩
= ৮৪০
∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ৮৪০ সেকেন্ড পর
= (৮৪০/৬০) মিনিট পর [∵ ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট]
= ১৪ মিনিট
৬,২৭৬.
১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?
সমাধান:
১ থেকে n পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + ১)/২
১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যার সমষ্টি = ৪৯(৪৯ + ১)/২
= ৪৯ × ২৫
১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় = (৪৯ × ২৫)/৪৯
= ২৫
সমাধান:
১ থেকে n পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + ১)/২
১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যার সমষ্টি = ৪৯(৪৯ + ১)/২
= ৪৯ × ২৫
১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় = (৪৯ × ২৫)/৪৯
= ২৫
৬,২৭৭.
কতজন ছাত্রকে ১২৫ টি আম ও ১৪৫ টি লিচু সমান ভাগে ভাগ করে দেওয়া যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কতজন ছাত্রকে ১২৫ টি আম ও ১৪৫ টি লিচু সমান ভাগে ভাগ করে দেওয়া যাবে?
সমাধান:
১২৫ = ৫ × ৫ × ৫
১৪৫ = ৫ × ২৯
১২৫ ও ১৪৫ এর গ. সা. গু = ৫
∴ ৫ জন ছাত্রকে ১২৫ টি আম ও ১৪৫ টি লিচু সমান ভাগে ভাগ করে দেওয়া যাবে।
সমাধান:
১২৫ = ৫ × ৫ × ৫
১৪৫ = ৫ × ২৯
১২৫ ও ১৪৫ এর গ. সা. গু = ৫
∴ ৫ জন ছাত্রকে ১২৫ টি আম ও ১৪৫ টি লিচু সমান ভাগে ভাগ করে দেওয়া যাবে।
৬,২৭৮.
একটি বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের ড্রিল করার সময় ১২, ১৮ এবং ২৪ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ বিদ্যালয়ে কমপক্ষে কতজন শিক্ষার্থী আছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের ড্রিল করার সময় ১২, ১৮ এবং ২৪ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ বিদ্যালয়ে কমপক্ষে কতজন শিক্ষার্থী আছে?
সমাধান:
১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু = ৭২
= (২ × ২ × ২) × ৩ × ৩
যা বর্গাকারে সাজানো সম্ভব নয়।
(২ × ২ × ২) × ৩ × ৩ কে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।
∴ ১২, ১৮ এবং ২৪ সারিতে এবং বর্গাকারে সাজানোর জন্য শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে
= (২ × ২ × ২ × ২) × (৩ × ৩) জন
= ১৬ × ৯
= ১৪৪ জন
অতএব, বিদ্যালয়ে কমপক্ষে ১৪৪ জন শিক্ষার্থী আছে।
৬,২৭৯.
একটি সংখ্যা ৩১ থেকে যত বেশি ৫৫ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩১ থেকে যত বেশি ৫৫ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
x - ৩১ = ৫৫ - x
বা, x + x = ৫৫ + ৩১
বা, ২x = ৮৬
বা, x = ৮৬/২
∴ x = ৪৩
∴ সংখ্যাটি = ৪৩।
৬,২৮০.
কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে?
ব্যাখ্যা
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে (২৭ - ৩) = ২৪, (৪০ - ৪) = ৩৬, (৬৫ - ৫) = ৬০ এর গ.সা.গু।
২৪ = ২×২×২×৩
৩৬ = ২×২×৩×৩
৬০ = ২×২×৩×৫
সুতরাং, নির্ণেয় গ.সা.গু = ২×২×৩ = ১২
২৪ = ২×২×২×৩
৩৬ = ২×২×৩×৩
৬০ = ২×২×৩×৫
সুতরাং, নির্ণেয় গ.সা.গু = ২×২×৩ = ১২
৬,২৮১.
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল. সা. গু ১৮০ । সংখ্যা দুটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল. সা. গু ১৮০ । সংখ্যা দুটি কত?
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুটি ৩ক ও ৪ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা. গু = ১২ক
শর্তমতে,
১২ক = ১৮০
বা, ক = ১৮০/১২
∴ ক = ১৫
সুতরাং ৩ক = ৩ × ১৫ = ৪৫ এবং ৪ক = ৪ × ১৫ = ৬০
∴ সংখ্যা দুটি ৪৫ ও ৬০ ।
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুটি ৩ক ও ৪ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা. গু = ১২ক
শর্তমতে,
১২ক = ১৮০
বা, ক = ১৮০/১২
∴ ক = ১৫
সুতরাং ৩ক = ৩ × ১৫ = ৪৫ এবং ৪ক = ৪ × ১৫ = ৬০
∴ সংখ্যা দুটি ৪৫ ও ৬০ ।
৬,২৮২.
কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে ১ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৯, ১২ ও ১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে ১ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৯, ১২ ও ১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
সমাধান:
৯, ১২ ও ১৫ এর ল. সা. গু. এর সঙ্গে ১ যোগ করলে নির্ণেয় সংখ্যা পাওয়া যায়।
∴ ৯, ১২ ও ১৫ এর ল. সা. গু. = ১৮০
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (১৮০ + ১)
= ১৮১ ।
সমাধান:
৯, ১২ ও ১৫ এর ল. সা. গু. এর সঙ্গে ১ যোগ করলে নির্ণেয় সংখ্যা পাওয়া যায়।
∴ ৯, ১২ ও ১৫ এর ল. সা. গু. = ১৮০
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (১৮০ + ১)
= ১৮১ ।
৬,২৮৩.
তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় ১৬০ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় ১৩০। বৃহত্তম সংখ্যাটি কত ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় ১৬০ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় ১৩০। বৃহত্তম সংখ্যাটি কত ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
তিনটি সংখ্যার গড় = ১৬০
∴ তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = ১৬০ × ৩ = ৪৮০
আবার,
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটির গড় = ১৩০
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটির সমষ্টি = ১৩০ × ২ = ২৬০
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৪৮০ - ২৬০ = ২২০
৬,২৮৪.
একটি সংখ্যা আরেকটি সংখ্যার ২/৫ গুণ। সংখ্যা দুইটির যোগফল ৯৮ হলে, সংখ্যা দু'টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা আরেকটি সংখ্যার ২/৫ গুণ। সংখ্যা দুইটির যোগফল ৯৮ হলে, সংখ্যা দু'টি কত?
সমাধান:
ধরি:
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যা = ২ক/৫
প্রশ্নমতে,
ক + ২ক/৫ = ৯৮
⇒ (৫ক + ২ক)/৫ = ৯৮
⇒ ৭ক = ৯৮ × ৫
⇒ ৭ক = ৪৯০
⇒ ক = ৪৯০/৭
⇒ ক = ৭০
অপর সংখ্যাটি = (২/৫) × ৭০ = ২৮
∴ সংখ্যাদ্বয় = (২৮, ৭০)
৬,২৮৫.
x + y = 10 এবং x – y = 4 হলে x : y = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 10 এবং x – y = 4 হলে x : y = কত?
সমাধান:
দুইটি সমীকরণ:
x + y = 10.........(i)
x - y = 4..........(ii)
(i) ও (ii) যোগ করে:
x + y + x - y = 10 + 4
⇒ 2x = 14
⇒ x = 7
x এর মান (i) এ বসিয়ে পাই:
7 + y = 10
⇒ y = 10 - 7
⇒ y = 3
অনুপাত:
x : y = 7 : 3
৬,২৮৬.
(x2 + x), (x2 + 2x + 1) এবং (x2 - 1) এর গ.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : (x2 + x), (x2 + 2x + 1) এবং (x2 - 1) এর গ.সা.গু কত?
সমাধান :
১ম রাশি = (x2 + x)
= x(x + 1)
২য় রাশি = (x2 + 2x + 1)
= (x + 1)2
৩য় রাশি = (x2 - 1)
= (x + 1)( x - 1)
রাশিতিনটির গ.সা.গু = (x + 1)
সমাধান :
১ম রাশি = (x2 + x)
= x(x + 1)
২য় রাশি = (x2 + 2x + 1)
= (x + 1)2
৩য় রাশি = (x2 - 1)
= (x + 1)( x - 1)
রাশিতিনটির গ.সা.গু = (x + 1)
৬,২৮৭.
তিনটি পরপর জোড় সংখ্যা নেওয়া হয়েছে। তাদের সমষ্টি প্রথম সংখ্যার ৪ গুণ। মাঝের সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি পরপর জোড় সংখ্যা নেওয়া হয়েছে। তাদের সমষ্টি প্রথম সংখ্যার ৪ গুণ। মাঝের সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, তিনটি পরপর জোড় সংখ্যা হলো,
x, (x + ২), (x + ৪) ; [যেখানে x একটি জোড় সংখ্যা]
প্রশ্নানুসারে,
তাদের সমষ্টি = প্রথম সংখ্যার ৪ গুণ
⇒ x + (x + ২) + (x + ৪) = ৪x
⇒ ৩x + ৬ = ৪x
⇒ ৪x - ৩x = ৬
∴ x = ৬
তাহলে তিনটি সংখ্যা হলো ৬, ৮, ১০
∴ মাঝের সংখ্যা = ৮
৬,২৮৮.
1 + 2/3 = কত?
ব্যাখ্যা
1 + 2/3
= (3 + 2)/3
= 5/3
= (3 + 2)/3
= 5/3
৬,২৮৯.
কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৯, ১৩ ও ১৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ৫ ও ৯ অবশিষ্ট থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৯, ১৩ ও ১৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ৫ ও ৯ অবশিষ্ট থাকবে?
সমাধান:
এখানে,
৯ - ১ = ৮
১৩ - ৫ = ৮
১৭ - ৯ = ৮
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৮ কম।
৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু = ১৯৮৯
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = ১৯৮৯ - ৮ = ১৯৮১
সমাধান:
এখানে,
৯ - ১ = ৮
১৩ - ৫ = ৮
১৭ - ৯ = ৮
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৮ কম।
৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু = ১৯৮৯
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = ১৯৮৯ - ৮ = ১৯৮১
৬,২৯০.
৩০ এবং ৫০ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩০ এবং ৫০ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?
সমাধান:
৩০ থেকে ৫০ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো = ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭
গড় = (৩১ + ৩৭ + ৪১ + ৪৩ +৪৭)/৫
=১৯৯/৫
= ৩৯. ৮
সমাধান:
৩০ থেকে ৫০ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো = ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭
গড় = (৩১ + ৩৭ + ৪১ + ৪৩ +৪৭)/৫
=১৯৯/৫
= ৩৯. ৮
৬,২৯১.
একটি সংখ্যা ৭২০ থেকে যত বড় ৮২০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৭২০ থেকে যত বড় ৮২০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক - ৭২০ = ৮২০ - ক
⇒ ক + ক = ৮২০ + ৭২০
⇒ ২ক = ১৫৪০
∴ ক = ৭৭০
৬,২৯২.
নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যা p ও q (যেখানে q ≠ 0) এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, সসীম দশমিক এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: ৫/৩, ২.৫, √৯ = ৩ ইত্যাদি।
অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √২, √৭, √১১ ইত্যাদি।
এখানে,
ক) √১৪৪ = ১২। এটি একটি পূর্ণসংখ্যা এবং ১৪৪ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) ৭/১১ এটি p/q আকারে আছে। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
গ) √৫০ = √(২৫ × ২) = ৫√২। এখানে √২ একটি অমূলদ সংখ্যা এবং ২ পূর্ণবর্গ নয়।
√৫০ = ৭.০৭১০৬৭৮১১৮...... এটি একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক। এটিকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সুতরাং এটি অমূলদ সংখ্যা।
ঘ) ৪.২৫ = ৪২৫/১০০ = ১৭/৪, এটি p/q আকারে প্রকাশ করা যায়। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
সুতরাং, √৫০ অমূলদ সংখ্যা।
৬,২৯৩.
P ও Q উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P ও Q উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?
সমাধান:
দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদাই জোড় সংখ্যা হয়।
ধরি,
বিজোড় সংখ্যা দুইটি P = 5 এবং Q = 7,
ক) PQ = (5 × 7) = 35 (বিজোড় সংখ্যা),
খ) PQ + 2 = (5 × 7) + 2 = 35 + 2 = 37 (বিজোড় সংখ্যা),
গ) P + Q = (5 + 7) = 12 (জোড় সংখ্যা) এবং
ঘ) P + Q + 1 = (5 + 7 + 1) = 13 (বিজোড় সংখ্যা)।
∴ (P + Q) জোড় সংখ্যা হবে।
৬,২৯৪.
কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ৫/৩২, ৭/৮০ এবং ৮৭/১৬ কে ভাগ করলে, প্রত্যেক ক্ষেত্রে ভাগফল পূর্ণসংখ্যা হবে ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ৫/৩২, ৭/৮০ এবং ৮৭/১৬ কে ভাগ করলে, প্রত্যেক ক্ষেত্রে
ভাগফল পূর্ণসংখ্যা হবে ?
সমাধান :
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৫/৩২, ৭/৮০ এবং ৮৭/১৬ এর গ.সা.গু. ।
ভগ্নাংশগুলোর লব ৫, ৭, ৮৭ এর গ.সা.গু. = ১
ভগ্নাংশগুলোর হর ৩২, ৮০, ১৬ এর ল.সা.গু. = ১৬০
ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু. = লবগুলোর গ.সা.গু./ হরগুলোর ল.সা.গু
= ১/১৬০
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি = ১/১৬০
ভাগফল পূর্ণসংখ্যা হবে ?
সমাধান :
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৫/৩২, ৭/৮০ এবং ৮৭/১৬ এর গ.সা.গু. ।
ভগ্নাংশগুলোর লব ৫, ৭, ৮৭ এর গ.সা.গু. = ১
ভগ্নাংশগুলোর হর ৩২, ৮০, ১৬ এর ল.সা.গু. = ১৬০
ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু. = লবগুলোর গ.সা.গু./ হরগুলোর ল.সা.গু
= ১/১৬০
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি = ১/১৬০
৬,২৯৫.
p এবং q বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচে কোন রাশিটি জোড় সংখ্যা হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p এবং q বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচে কোন রাশিটি জোড় সংখ্যা হবে?
সমাধান:
- যেকোনো দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় জোড় হয় এবং গুণফল বিজোড় হয়।
- বিজোড়ের সাথে বিজোড় সংখ্যা যোগ করলে সেটা জোড় সংখ্যা হয়ে যায়।
- বিজোড়ের সাথে জোড় সংখ্যা যোগ করলে সেটা বিজোড় সংখ্যা হয়।
- p এবং q বিজোড় সংখ্যা হলে p + q জোড় সংখ্যা
সমাধান:
- যেকোনো দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় জোড় হয় এবং গুণফল বিজোড় হয়।
- বিজোড়ের সাথে বিজোড় সংখ্যা যোগ করলে সেটা জোড় সংখ্যা হয়ে যায়।
- বিজোড়ের সাথে জোড় সংখ্যা যোগ করলে সেটা বিজোড় সংখ্যা হয়।
- p এবং q বিজোড় সংখ্যা হলে p + q জোড় সংখ্যা
৬,২৯৬.
একজন রাজনৈতিক প্রার্থী একটি তহবিল সংগ্রহের অনুষ্ঠান থেকে ১,৭৪৯ টাকা সংগ্রহ করেছেন। যদি প্রতিটি সমর্থক কমপক্ষে ৫০ টাকা প্রদান করে, তাহলে অনুষ্ঠানে উপস্থিত সমর্থকের সর্বাধিক সম্ভাব্য সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন রাজনৈতিক প্রার্থী একটি তহবিল সংগ্রহের অনুষ্ঠান থেকে ১,৭৪৯ টাকা সংগ্রহ করেছেন। যদি প্রতিটি সমর্থক কমপক্ষে ৫০ টাকা প্রদান করে, তাহলে অনুষ্ঠানে উপস্থিত সমর্থকের সর্বাধিক সম্ভাব্য সংখ্যা কত?
সমাধান:
ধরি,
সমর্থক সংখ্যা ক জন
১ জন প্রদান করে কমপক্ষে ৫০ টাকা
∴ উপস্থিত সমর্থক সংখ্যা ১৭৪৯/৫০ = ৩৪.৯৮ ≈ ৩৫ জন।
৩৫ জন হলে ৫০ টাকার কম দেয়া সমর্থক পাওয়া যায় যা অসম্ভব, তাই সর্বাধিক উপস্থিত সমর্থক সংখ্যা ৩৪ জন
সমাধান:
ধরি,
সমর্থক সংখ্যা ক জন
১ জন প্রদান করে কমপক্ষে ৫০ টাকা
∴ উপস্থিত সমর্থক সংখ্যা ১৭৪৯/৫০ = ৩৪.৯৮ ≈ ৩৫ জন।
৩৫ জন হলে ৫০ টাকার কম দেয়া সমর্থক পাওয়া যায় যা অসম্ভব, তাই সর্বাধিক উপস্থিত সমর্থক সংখ্যা ৩৪ জন
৬,২৯৭.
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৫/১৬। এদের একটি ৩/৪ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৫/১৬। এদের একটি ৩/৪ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল = ১৫/১৬
এবং একটি ভগ্নাংশ ৩/৪
অপর ভগ্নাংশ = ভগ্নাংশ দুটির গুণফল/একটি ভগ্নাংশ
∴ অপর ভগ্নাংশ = (১৫/১৬)/(৩/৪)
= (১৫/১৬) × (৪/৩)
= ৫/৪ ।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল = ১৫/১৬
এবং একটি ভগ্নাংশ ৩/৪
অপর ভগ্নাংশ = ভগ্নাংশ দুটির গুণফল/একটি ভগ্নাংশ
∴ অপর ভগ্নাংশ = (১৫/১৬)/(৩/৪)
= (১৫/১৬) × (৪/৩)
= ৫/৪ ।
৬,২৯৮.
৪৮৫ কে নূন্যতম কত দ্বারা গুণ করলে, গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪৮৫ নূন্যতম কত দ্বারা গুণ করলে, গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
সমাধান:
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
(৪৮)৫ = (২ × ২ × ২ × ২ × ৩)৫ = (২৪ × ৩১)৫ = ২২০ × ৩৫
(৪৮)৫ কে ন্যুনতম ৩ দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।
সমাধান:
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
(৪৮)৫ = (২ × ২ × ২ × ২ × ৩)৫ = (২৪ × ৩১)৫ = ২২০ × ৩৫
(৪৮)৫ কে ন্যুনতম ৩ দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।
৬,২৯৯.
একটি সংখ্যা ৭৩৫ থেকে যত বড়ো ৮২৫ থেকে তত ছোটো। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৭৩৫ থেকে যত বড়ো ৮২৫ থেকে তত ছোটো। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক - ৭৩৫ = ৮২৫ - ক
বা, ২ক = ৮২৫ + ৭৩৫
বা, ২ক = ১৫৬০
∴ ক = ৭৮০
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক - ৭৩৫ = ৮২৫ - ক
বা, ২ক = ৮২৫ + ৭৩৫
বা, ২ক = ১৫৬০
∴ ক = ৭৮০
৬,৩০০.
দুইটি সংখ্যার গুণফল ৫৪ এবং গ.সা.গু ৩ হলে, তাদের ল.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৫৪ এবং গ.সা.গু ৩ হলে, তাদের ল.সা.গু কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, ল.সা.গু = দুইটি সংখ্যার গুণফল/গ.সা.গু
বা, ল.সা.গু = ৫৪/৩
∴ ল.সা.গু = ১৮
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, ল.সা.গু = দুইটি সংখ্যার গুণফল/গ.সা.গু
বা, ল.সা.গু = ৫৪/৩
∴ ল.সা.গু = ১৮