বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু।
⇒ গ.সা.গু = দুইটি সংখ্যার গুণফল/ল.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ২১৬/৩৬
∴ গ.সা.গু = ৬

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৮, ৭৪ ও ৯৬ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ২ ও ৬ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
৫৮ - ৪ = ৫৪
৭৪ - ২ = ৭২
৯৬ - ৬ = ৯০

এখন, ৫৪, ৭২ ও ৯০ এর গ.সা.গু হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই,
৫৪ = ২ × ৩ × ৩ × ৩
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
৯০ = ২ × ৩ × ৩ × ৫

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ৩ × ৩ = ১৮

অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১৮।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৮৮৮ থেকে যত ছোট, ৬৬৬ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
৮৮৮ - ক = ক - ৬৬৬
⇒ ৮৮৮ + ৬৬৬ = ক + ক
⇒ ১৫৫৪ = ২ক
⇒ ক = ১৫৫৪/২
∴ ক = ৭৭৭

অতএব, সংখ্যাটি = ৭৭৭

০.৫ – ০.৫% = ০.৫ – ৫/(১০ × ১০০)
= ০.৫ – ০.০০৫ = ০.৪৯৫

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ৩/১০। একটি ভগ্নাংশ ৩/৫ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ৩/১০
একটি ভগ্নাংশ = ৩/৫

অপর ভগ্নাংশ = (৩/১০) ÷ (৩/৫)
= (৩/১০) × (৫/৩)
= ১৫/৩০
= ১/২

ধরি বইটির ক্রয়মূল্য x টাকা। তাহলে ২৪ টাকায় বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় (x-২৪) টাকা এবং ৭৬ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হয় (৬৩-x) টাকা।
প্রশ্নমতে,
৩(x-২৪) = ৭৬-x
বা, ৩x - ৭২ = ৭৬-x
বা, ৪x = ১৪৮
∴ x = ৩৭

৭ টি সংখ্যার সমষ্টি ২৮০ এবং ৩ টি সংখ্যার সমষ্টি ৬৩।
∴ ১০ টি সংখ্যার গড় হবে (২৮০ + ৬৩) / ১০ = ৩৪.৩

প্রদত্ত ভগ্নাংশ ২/৩, ৩/৫, ৬/১৫
ল.সা.গু. = লবগুলোর ল.সা.গু./হরগুলোর গ.সা.গু.
= ২, ৩, ৬ এর ল.সা.গু./৩, ৫, ১৫ এর গ.সা.গু.
= ৬/১
= ৬

০.৪ × ০.০৪ × ০.০০৩
= ৪/১০ × ৪/১০০ × ৩/১০০০
= ৪৮/১০০০০০০
= ০.০০০০৪৮

হর গুলোর লসাগু = ৮০
সবগুলো হরকে ৮০ কে পরিবর্তন করলে নতুন ভগ্নাংশগুলো হবে,
৭/৮ = ৭০/৮০
১৩/১৬ = ৬৫/৮০
৩১/৪০ = ৬২/৮০
৬৩/৮০ = ৬৩/৮০
এর মধ্যে, ৭০/৮০ বৃহত্তম।
অর্থাৎ, উত্তর ৭/৮

প্রশ্ন: ৫ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল হবে-

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা:
মৌলিক সংখ্যা হলো ১-এর চেয়ে বড় এমন স্বাভাবিক সংখ্যা, যার কেবলমাত্র দুটি উৎপাদক থাকে- ১ এবং সংখ্যাটি নিজে।
অর্থাৎ, যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
যেমন, ২, ৩, ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি হলো মৌলিক সংখ্যা।

এখন, 
৫ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংথ্যাগুলো হলো ৫ ও ৭।
সুতরাং এদের গুনফল = ৫ × ৭ = ৩৫

প্রশ্ন: একটি লোহার পাত ও একটি তামার পাতের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৬৮ সেমি. ও ২১০ সেমি.। পাত দুটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে ১৬৮ সেমি. ও ২১০ সেমি. এর গ.সা.গু.

১৬৮ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৭  
২১০ = ২ × ৩ × ৫ × ৭
সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক = ২ × ৩ × ৭

∴ ১৬৮ ও ২১০ এর গ.সা.গু. = ৪২

∴ সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে = ৪২ সেমি.

প্রশ্ন: ১৯৪৪ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

​সমাধান:
​১৯৪৪ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করে পাই,
​১৯৪৪ = ২ × ২ × ২ ×৩ × ৩ × ৩ × ৩ × ৩
​= ২^৩ × ৩^৫ 

​​একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে তার মৌলিক গুণনীয়কের সূচক (exponent) জোড় সংখ্যা হতে হয়।

​এখানে ২ ও ৩ উভয়ের সূচকই বিজোড় সংখ্যা।
​তাই পূর্ণবর্গ করতে প্রয়োজন = ২ × ৩ = ৬

​সুতরাং, ১৯৪৪ সংখ্যাটিকে (২ × ৩) বা ৬ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
১৯৪৪ × ৬ = ১১৬৬৪ = ১০৮^২

প্রশ্ন: ৩/৬, ১০/১৫, ২০/১৮ এর গ.সা.গু কত?

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু =  লবগুলোর গ.সা.গু/হরের ল.সা.গু

এখানে,
ভগ্নাংশের লব = ১, ১০, ২০
ভগ্নাংশের হর = ৬, ১৫, ১৮

লব ৩, ১০, ২০ এর গসাগু = ১
হর ৬, ১৫, ১৮ এর লসাগু = ৯০

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ১/৯০
= 

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তাদের গুণফল কত?

সমাধান:
১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩, ৫, ৭ 
∴ গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ 
= ৬ × ৩৫ 
= ২১০

√০.০০০০০৭৮৪ = √(০.০০২৮ × ০.০০২৮)
= √(০.০০২৮)^২
= ০.০০২৮

গ.সা.গু. a হলে,
a×৯৬ = ১৫৩৬
∴ a = ১৬

প্রশ্ন: পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০
তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯

∴ নির্ণেয় অন্তর = ১০০০০ - ৯৯৯
= ৯০০১

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ২৩৫ থেকে যত ছোট, ১৬৫ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি
সংখ্যাটি = ক
তাহলে, 
২৩৫ - ক = ক - ১৬৫
⇒ ২ক = ২৩৫ + ১৬৫
⇒ ২ক = ৪০০
⇒ ক = ৪০০/২
∴ ক = ২০০

সঠিক উত্তর গ) ২০০

শর্টকাট:
সংখ্যাটি = (২৩৫ + ১৬৫)/২ = ৪০০/২ = ২০০

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট ম্যাচে হাসান প্রথম তিন ইনিংসে যথাক্রমে ৪৫, ৫২ ও ৬০ রান করেন। চতুর্থ ইনিংসে তাকে কত রান করতে হবে যেন তার গড় রান ৫৫ হয়?

সমাধান:
ধরি, চতুর্থ ইনিংসে রান করতে হবে = x

প্রশ্নমতে,
(৪৫ + ৫২ + ৬০ + x)/৪ = ৫৫
বা, (১৫৭ + x)/৪ = ৫৫
বা, ১৫৭ + x = ২২০
বা, x = ২২০ - ১৫৭
∴ x = ৬৩

∴ চতুর্থ ইনিংসে তাকে ৬৩ রান করতে হবে।

প্রশ্ন: কতগুলো ঘণ্টা একসাথে বাজার পর ৫ সেকেন্ড, ১০ সেকেন্ড, ১৫ সেকেন্ড এবং ২০ সেকেন্ড পর পর বাজতে থাকলো। ঘণ্টাগুলো কতক্ষণ পর আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৫, ১০, ১৫, এবং ২০ এর ল.সা.গু যত, ঘণ্টাগুলো ততক্ষণ পরে আবার একত্রে বাজবে।
৫, ১০, ১৫, ২০ এর ল.সা.গু = ৬০

ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে ৬০ সেকেন্ড পর।
= ৬০/৬০ মিনিট
= ১ মিনিট

প্রশ্ন: সপ্তম শ্রেণির বার্ষিক পরীক্ষায় রাকিবের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৬৫, ৮০ ও ৭০ । চতুর্থ পরীক্ষায় তাকে কত নম্বর পেতে হবে যেন তার গড় প্রাপ্ত নম্বর ৭৫ হয়? 

সমাধান: 
ধরি,
চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ক 

প্রশ্নমতে, 
(৬৫ + ৮০ + ৭০ + ক)/৪ = ৭৫ 
বা, ২১৫ + ক = ৩০০ 
বা, ক = ৩০০ - ২১৫
∴ ক = ৮৫ 

∴ চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ৮৫ ।

প্রশ্ন: ১২০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১২০ এর মৌলিক গুণনীয়ক রূপ বের করি:
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^১ × ৫^১

এখানে ২ এর সূচক ৩, ৩ এর সূচক ১ এবং ৫ এর সূচক ১।

ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র:
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে সেটিই ভাজক সংখ্যা।
∴ ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ২ × ২
= ১৬
অর্থাৎ, ১২০ এর মোট ১৬টি ভাজক আছে।

ছাত্রদের বয়সের সমষ্টি = ২০ ✕ ১০ = ২০০
শিক্ষকসহ ছাত্রদের বয়সের সমষ্টি = ২১ ✕ ১২ = ২৫২
∴ শিক্ষকের বয়স = ২৫২-২০০ = ৫২ বছর।

প্রশ্ন: যদি একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১৫ হয় এবং লব থেকে ৩ বিয়োগ করলে তা হরের অর্ধেক হয়, তবে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = ক
∴ হর = (১৫ - ক)

প্রশ্নমতে,
ক - ৩ = (১৫ - ক)/২
⇒ ২ × (ক - ৩) = ১৫ - ক
⇒ ২ক - ৬ = ১৫ - ক
⇒ ২ক + ক = ১৫ + ৬
⇒ ৩ক = ২১
⇒ ক = ২১/৩
∴ ক = ৭

লব = ৭ হলে,
হর = ১৫ - ৭ = ৮

অতএব, ভগ্নাংশটি = ৭/৮

দুই অঙ্কের বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭ এবং
ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ১১
সুতরাং, দুই অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার পার্থক্য = ৯৭ - ১১ = ৮৬

প্রশ্ন:

সমাধান:

- আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লব গুলোর গ.সা.গু)/(হর গুলোর ল.সা.গু)
- তাহলে ভগ্নাংশদ্বয়ের লব গুলো ৪ ও ৮।
- সুতরাং এদের গ.সা.গু = ৪ এবং
- ৭ ও ৯ হরগুলোর ল.সা.গু ৬৩।
সুতরাং ৪/৭ এবং ৮/৯ ভগ্নাংশদ্বয়ের গ.সা.গু = ৪/৬৩।

প্রশ্ন: ৯ দিয়ে বিভাজ্য ৩ অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার প্রথম অঙ্ক ৩, তৃতীয় অঙ্ক ৮ হলে মধ্যম অঙ্কটি কত?

সমাধান:
অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
অপশন টেস্ট করলে পাই,
৩ + ৬ + ৮ = ১৭ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
৩ + ৭ + ৮ = ১৮ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
৩ + ৮ + ৮ = ১৯ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
৩ + ৯ + ৮ = ২০ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল. সা. গু =৬০,
৯৯৯৯৯ কে ৬০ দিয়ে ভাগ করলে ৩৯ অবশিষ্ট থাকে
∴ যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করতে হবে = (৬০ - ৩৯) = ২১