বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: ১ - ০.০৯৯৯ = ? 

সমাধান:
১ - ০.০৯৯৯
= ০.৯০০১

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা? 

সমাধান: 
মূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। 
যেমন, ৩/১ = ৩, ১১/২ = ৫.৫ ইত্যাদি। 

অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) √৮ = √(২ × ৪) = ২√২ ; যা অমূলদ সংখ্যা 

খ) √(৮/৭) = √৮/√৭ ;  যা অমূলদ সংখ্যা

গ) √৭/৩ ;  যা অমূলদ সংখ্যা

ঘ) √২৭/√৪৮ = √(২৭/৪৮)
= √(৯/১৬) = ৩/৪ = ০.৭৫ ; যা মূলদ সংখ্যা

সুতরাং, সঠিক উত্তর ঘ) √২৭/√৪৮

প্রশ্ন: ৩/৪, ৬/৮, ৯/১২ এর গ.সা.গু কত?

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু =  লবগুলোর গ.সা.গু/হরের ল.সা.গু

এখানে, 
ভগ্নাংশের লব = ৩, ৬, ৯
ভগ্নাংশের হর = ৪, ৮, ১২

লব ৩, ৬, ৯ এর গসাগু = ৩
হর ৪, ৮, ১২ এর লসাগু = ২৪

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ৩/২৪
= ১/৮

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ছাত্রদের ড্রিল করার সময় ৮, ১২ ও ১৬ সারিতে সাজানো যায়, আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। এ স্কুলের ছাত্রসংখ্যা কমপক্ষে কত হবে?

সমাধান:
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২

∴ ৮, ১২ ও ১৬ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

৪৮ সংখ্যাটি বর্গ নয়। বর্গ আকারে সাজাতে হলে সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ৪৮ × ৩ = ১৪৪

∴ এ স্কুলের ছাত্রসংখ্যা কমপক্ষে কত হবে ১৪৪

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ১০৫ এবং সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ৫ : ৭ হলে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৭
তাদের ল.সা.গু = ১০৫

মনে করি,
একটি সংখ্যা = ৫ক
অপর সংখ্যা = ৭ক

∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৩৫ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ১০৫
⇒ ক = ১০৫/৩৫
∴ ক = ৩

∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ৫ক + ৭ক
= ১২ক
= ১২ × ৩
= ৩৬

ধরি, সংখ্যা দুইটি ৫ক ও ৭ক
∴ ৫ক ও ৭ক এর গ.সা.গু. = ক
প্রশ্নমতে,
ক = ৬
∴ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৫ × ৬ = ৩০ এবং ৭ × ৬ = ৪২
∴ ৩০ ও ৪২ এর ল.সা.গু. = ২১০

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?

সমাধান:
যদি দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক না থাকে, তাহলে সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
১১ ও ১৩ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
অতএব ১১ ও ১৩ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

পাঁচ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯
এক অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা =        ১
----------------------------------------
(+)                            = ১০০০০০ ছয় অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ এবং ল.সা.গু ৯০। একটি সংখ্যা ৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যাটি হলো x
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩০x = ১৫ × ৯০
⇒ x = (১৫ × ৯০)/৩০
⇒ x = ৪৫
 
অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৪৫

প্রশ্ন: রফিক ও তার বন্ধুর বয়সের অনুপাত ৯ : ৭। বর্তমানে রফিকের বয়স ১৮ বছর হয়, ৫ বছর আগে বন্ধুর বয়স কত ছিলো?

সমাধান:  
রফিক ও তার বন্ধুর বয়সের অনুপাত = ৯ : ৭
বর্তমানে রফিকের বয়স = ১৮ বছর
বর্তমানে রফিকের বয়স : তার বন্ধুর বয়স = ১৮ : x
তাহলে,
১৮/x = ৯/৭
⇒ x = (১৮ × ৭)/৯
∴ x = ১৪
তাহলে ৫ বছর আগে রফিকের বন্ধুর বয়স = ১৪ - ৫ = ৯

∴ ৫ বছর আগে বন্ধুর বয়স ছিলো ৯ বছর। 

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের ১৬ গুণ। সংখ্যা তিনটির গড় কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক, ক + ১, ক + ২

প্রশ্নমতে,
ক(ক + ১)(ক + ২) = ১৬(ক + ক + ১ + ক + ২)
⇒ ক(ক + ১)(ক + ২) = ১৬(৩ক + ৩)
⇒ ক(ক + ১)(ক + ২) = ১৬ × ৩(ক + ১)
⇒ ক(ক + ২) = ৪৮ 
⇒ ক^২ + ২ক - ৪৮ = ০ 
⇒ ক^২ + ৮ক - ৬ক - ৪৮ = ০
⇒ (ক + ৮)(ক - ৬) = ০ 
হয়, ক = ৬ অথবা, ক = - ৮    ; [ক = - ৮ গ্রহণযোগ্য নয়]

তাহলে,
ক = ৬ হলে সংখ্যা তিনটির গড় = (ক + ক + ১ + ক + ২) ÷ ৩
= (৩ক + ৩)/৩
= ২১/ ৩ 
= ৭ 

মনে করি,
সংখ্যা দু'টি যথাক্রমে x, 2.5x
∴ x + 2.5x = 105
বা, 3.5x = 105
বা, x = 105/3.5 = 30
∴ বড় সংখ্যাটি = 2.5 × 30
= 75

Let the five numbers be x, (x + 2), (x + 4), (x + 6) and (x + 8)

Then, x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8) = 575
⇔ 5x + 20 = 575 ⇔ 5x = 555 ⇔ x = 111

∴ Required sum = (x + 10) + (x + 12) + (x + 14) + (x + 16) + (x + 18)
= 5x + 70
= 5 × 111 + 70
= 555 + 70
= 625

প্রশ্ন: পাঁচ অংকের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 12, 15 এবং 18 দ্বারা বিভাজ্য হবে? 

সমাধান:
12, 15, 18 এর ল.সা.গু = 180
পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 10000

10000 কে 180 দিয়ে ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে 100 

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 10000 + (180 - 100)
= 10000 + 80
= 10080

Sum of the present ages of husband, wife and child
= (27 x 3 + 3 x 3) years
= 90 years
Sum of the present ages of wife and child
= (20 x 2 + 5 x 2) years
= 50 years
∴ Husband's present age
= (90 - 50) years
= 40 years

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১ হলে‌ অর্থাৎ ১ ভিন্ন কোন সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে তাদেরকে একত্রে সহ-মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন- (৩, ৪), (৮, ৯), (৬, ১৩) (৯,১৬), (১৬, ২৫) ইত্যাদি।
এখানে, ৯ = ১ × ৩ × ৩
১৬ = ১ × ২ × ২ × ২ × ২
যেহেতু ১ ভিন্ন কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই সুতরাং (৯, ১৬) পরস্পর সহ-মৌলিক।

এখানে,
৯১ এর উৎপাদক = ১, ৭, ১৩, ৯১
৮৭ এর উৎপাদক = ১, ৩, ২৯, ৮৭
৫১ এর উৎপাদক = ১, ৩, ১৭,৫১
৫৯ এর উৎপাদক = ১, ৫৯
∴ ৫৯ মৌলিক সংখ্যা।

ধরি, সংখ্যাটি = ক
∴ শর্তমতে, ক এর ৩/৪ অংশ এর ১/৫ অংশ = ৬০
বা, (ক × ৩ × ১)/৪ × ৫ = ৬০
বা, ৩ক / ২০ = ৬০
বা, ক = (৬০ × ২০)/৩
বা, ক = ৪০০
∴ সংখ্যাটি ৪০০

x মৌলিক সংখ্যা।
y, x দ্বারা বিভাজ্য নয়।
∴ ল.সা.গু. = xy.

প্রশ্ন: কোনো একটি শ্রেণিতে ৮ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৪ জন বছর। ৪ জন শিক্ষার্থী নতুন ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় হলো ১৫ বছর। নতুন ৪ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি কত বছর?

সমাধান:
৮ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স = ১৪ বছর
∴ তাদের মোট বয়স =৮ × ১৪ = ১১২ বছর

৪ শিক্ষার্থী নতুন আসায় মোট শিক্ষার্থী = ৮ + ৪ জন
= ১২ জন

নতুন গড় বয়স = ১৫ বছর
∴ ১২ জনের মোট বয়স = ১২ × ১৫ = ১৮০ বছর

∴ নতুন ৪ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = ১৮০ - ১১২ বছর
= ৬৮ বছর

∴ নতুন ৪ শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = ৬৮ বছর

2/x= 3; y = 12
x = 2/3
(3 + y)/(x - 4) = (3 + 12)/(2/3 - 4)
= -( 15 × 3)/10 = - 4.5

০.০১ × ০.০০১০ × ০.০০০৫ × ০.০০০০২
= ১/১০০ × ১/১০০০ × ৫/১০০০০ × ১/১০০০০০
= ১০/১০০০০০০০০০০০০০০
= ০.০০০০০০০০০০০০১

তিন ভাইয়ের বয়সের সমষ্টি = ৩ × ১৭ = ৫১
পিতা এবং তিন ভাইয়ের বয়সের সমষ্টি = ৪ × ২৬ = ১০৪
সুতরাং, পিতার বয়স = ১০৪ - ৫১ = ৫৩ বছর

প্রশ্ন: তিনজন মেয়ে একটি বৃত্তাকার মাঠের চারিদিক বরাবর একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দৌড়ানো শুরু করল এবং প্রত্যেকে একটি পাক যথাক্রমে 24 সেকেন্ড, 36 সেকেন্ড এবং 48 সেকেন্ড পূর্ণ করে। কত সময় পর তারা একই স্থানে মিলিত হবে?

সমাধান:

প্রথম মেয়ে এক পাক সম্পন্ন করে = 24 সেকেন্ডে
দ্বিতীয় মেয়ে এক পাক সম্পন্ন করে = 36 সেকেন্ডে
তৃতীয় মেয়ে এক পাক সম্পন্ন করে = 48 সেকেন্ডে

24, 36 এবং 48 এর ল.সা.গু (LCM) বের করতে হবে। 

প্রথমে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3

LCM (ল.সা.গু) = সর্বোচ্চ ঘাতসহ সকল মৌলিক উৎপাদকের গুণফল

LCM(ল.সা.গু) = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144

অতএব, 144 সেকেন্ড বা 2 মিনিট 24 সেকেন্ড পর তারা একই স্থানে মিলিত হবে।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
প্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব ছোট এবং হর বড় সেইসকল ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - ৩/৫, ৪/৭ ইত্যাদি।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব বড় এবং হর ছোট সেইসকল ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - ৫/৩, ৯/৫ ইত্যাদি।

মিশ্র ভগ্নাংশ: পূর্ণ সংখ্যা এবং ভগ্নাংশ মিলে যে ভগ্নাংশ হয় তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - 

প্রশ্ন: a ∈ N হলে, a² + 2a + 1 কোন ধরনের সংখ্যা?

সমাধান: 
কারণ a² + 2a + 1 রাশিটিকে (a + 1)² হিসাবে লেখা যায়।
এখানে a একটি স্বাভাবিক সংখ্যা (N), তাই (a + 1) ও একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হবে।

আমরা জানি, 
কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ সর্বদা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হয়।

উদাহরণস্বরূপ,
যদি a = 1 হয়, তবে (1 + 1)² = 2² = 4, যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
যদি a = 2 হয়, তবে (2 + 1)² = 3² = 9, যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।

ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে, ৮ক - ২ক = ৭২
বা, ৬ক = ৭২
বা, ক = ১২

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ?

সমাধান: 
আমরা জানি,
যে ভগ্নাংশের লব, হর অপেক্ষা ছোট তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।

এখানে,
ক) ১.৫= ৩/২ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
খ) ১.০৭ =১০৭/১০০[অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
গ) ১.৮  = ১৮/১০ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
ঘ)০.০৭ = ৭/১০০[প্রকৃত ভগ্নাংশ]

সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশ ০.০৭ । 

৫,১০,১৫ এর লসাগু=৩০, তাই ৩০ মিনিট পরে পরে তারা একত্রে চকলেট খাই