বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: a ও b বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড়?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a ও b হলো দুইটি বিজোড় সংখ্যা।

আমরা জানি, দুইটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল সর্বদা একটি বিজোড় সংখ্যা হয়।

যেহেতু, a ও b উভয়ই বিজোড়,
তাহলে, ab = একটি বিজোড় সংখ্যা।

এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
ab = বিজোড় সংখ্যা।
ab + 1 = বিজোড় সংখ্যা + 1 = জোড় সংখ্যা। [যেমন: 3 + 1 = 4]
ab + 2 = বিজোড় সংখ্যা + 2 = বিজোড় সংখ্যা। [যেমন: 3 + 2 = 5]
ab + 4 = বিজোড় সংখ্যা + 4 = বিজোড় সংখ্যা। [যেমন: 3 + 4 = 7]

যেহেতু ab একটি বিজোড় সংখ্যা এবং বিজোড় সংখ্যার সাথে 1 যোগ করলে পরবর্তী জোড় সংখ্যাটি পাওয়া যায়,

∴ ab + 1 একটি জোড় সংখ্যা।

প্রশ্ন: ১২টি সংখ্যার গড় ৩৫। প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৫ বিয়োগ করে পরে ২ দিয়ে গুণ করলে নতুন গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মূল গড় = ৩৫  
মোট সংখ্যা = ১২  
∴ সমষ্টি = ১২ × ৩৫ = ৪২০

এখন, 
প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৫ বিয়োগ করলে নতুন সমষ্টি  
= ৪২০ - (১২ × ৫)  
= ৪২০ - ৬০  
= ৩৬০

আবার, 
প্রত্যেক সংখ্যাকে ২ দিয়ে গুণ করলে নতুন সমষ্টি,  
= ৩৬০ × ২ = ৭২০

∴ নতুন গড় = ৭২০/১২ = ৬০ 

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা যুগল সহমৌলিক?

সমাধান:
• দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

১৪ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৭, ১৪।
২৫ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ৫, ২৫।

এখানে ১৪ এবং ২৫ এর মধ্যে ১ ছাড়া আর কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই। তাই, ১৪ এবং ২৫ হলো সহ-মৌলিক।

২/৩ = ০.৬৭
৩৩/৫০ = ০.৬৬
৮/১১ = ০.৭৩
৩/৫ = ০.৬০
১১/১৭ = ০.৬৫

২/৩ থেকে বড় সংখ্যাটি হচ্ছে ৮/১১

প্রশ্ন: ৩/১০ এবং ৯/২০ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

লব (৩, ৯)-এর ল.সা.গু নির্ণয়:
৩ = ৩ × ১
৯ = ৩ × ৩
∴ লবগুলোর ল.সা.গু = ৩ × ৩ = ৯

হর (১০, ২০)-এর গ.সা.গু নির্ণয়:
১০ = ২ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
∴ হরগুলোর গ.সা.গু = ২ × ৫ = ১০

∴ ৩/১০ এবং ৯/২০ এর ল.সা.গু = ৯/১০

প্রশ্ন:

সমাধান:

Sum of marks in 4 subjects = 75×4 = 300
Sum of marks in 5 subjects = 300+80 = 380
∴ New average = 380/5 = 76

বাঁশের দৈর্ঘ্য x ফুট হলে, x/2 + x/3 + 4 = x
(3x + 2x + 24)/6 = x
5x - 6x = -24
x = 24

0.3
√0.3 = 0.55
1/3 = 0.33
2/5 = 0.40

So, √0.3 is the biggest number

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ২/৫ অংশ কাদায়, ১/৩ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ৮ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য = ক মিটার।

কাদায় আছে = ক এর ২/৫ = ২ক/৫ মিটার
পানিতে আছে = ক এর ১/৩ = ক/৩ মিটার

∴ খুঁটিটির কাদায় ও পানিতে মোট আছে = (২ক/৫) + (ক/৩) মিটার
= (৬ক + ৫ক)/১৫ মিটার
= ১১ক/১৫ মিটার

∴ পানির উপরে অবশিষ্ট আছে = ক - (১১ক/১৫) মিটার
= (১৫ক - ১১ক)/১৫ মিটার
= ৪ক/১৫ মিটার

প্রশ্নমতে, পানির উপরে অবশিষ্ট অংশ ৮ মিটার।
∴ ৪ক/১৫ = ৮
⇒ ৪ক = ৮ × ১৫
⇒ ৪ক = ১২০
⇒ ক = ৩০

∴ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার।

x² - 8x - 8y + 16 + y²
= (x + y - 4)² - 2xy

∴ প্রদত্ত রাশি থেকে -2xy বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণ বর্গ হবে।

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে ১২ মিনিট, ১৫ মিনিট ও ১৮ মিনিট অন্তর অন্তর বাজে। সকাল ৭ : ৩০ মিনিটে তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর আবার কখন তারা একত্রে বাজবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে ১২ মিনিট ১৫ মিনিট ও ১৮ মিনিট অন্তর অন্তর বাজে।
সকাল ৭ : ৩০ মিনিটে তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজে।

∴ ১২, ১৫ ও ১৮ এর ল.সা.গু হবে ঘণ্টা তিনটি পরবর্তীতে একত্রে বাজার সময়।

১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
১৮ = ২ × ৩ × ৩

∴ ১২, ১৫ ও ১৮ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০

তাহলে,
ঘণ্টাগুলো ১৮০ মিনিট (১৮০ ÷ ৬০) বা ৩ ঘণ্টা পর পুনরায় একত্রে বাজবে।

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = (৭ : ৩০ মিনিট + ৩ : ০০ মিনিট) =  সকাল ১০ : ৩০ মিনিট

প্রশ্ন: ৩০০ থেকে ৪০০ এর মধ্যে কয়টি সংখ্যা তিন দিয়ে বিভাজ্য?

সমাধান:
৩০০ থেকে ৪০০ এর মধ্যে সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য:

ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা ≥ ৩০০ যা ৩: ৩০০ দ্বারা বিভাজ্য (যেহেতু ৩০০ ÷ ৩ = ১০০)

এবং, 
বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা ≤ ৪০০ যা ৩: ৩৯৯ দ্বারা বিভাজ্য (যেহেতু ৩৯৯ ÷ ৩ = ১৩৩)।
এগুলো পাটিগণিত ক্রম গঠন করে ৩০০, ৩০৩, ..., ৩৯৯ যার সাধারণ পার্থক্য ৩।

∴ তিন দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা আছে = (১৩৩ - ১০০) + ১ = ৩৩ + ১ = ৩৪ টি 

∴ ৩০০ থেকে ৪০০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য ৩৪টি সংখ্যা আছে।

অথবা, 
n দ্বারা প্রদত্ত পদ n এর সংখ্যা = ((শেষ - প্রথম)/পার্থক্য) + ১ = ((৩৯৯ - ৩০০)/৩) + ১ = (৯৯/৩) + ১ = ৩৩ + ১ = ৩৪ ।

যে বাস্তব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
আবার অসীম অনাবৃত দশমিক সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
এখানে,
³√8
= ³√2³
= 2 ; যা একটি মূলদ সংখ্যা

প্রশ্ন: যদি 'ক' এবং 'খ' উভয়ই জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে নিচের কোনটি অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
ধরি,
ক = ৪, খ = ৬ (উভয় জোড়)

ক) ৪ + ২ × ৬ = ১৬ → জোড়

খ) ৪ × ৬ + ১ = ২৫ → বিজোড়

গ) ৪ + ৬ = ১০ → জোড়

ঘ) ২ × ৪ + ৬ = ১৪ → জোড়

সুতরাং, কখ + ১ অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে। 

প্রশ্ন: একটি বইয়ের ৩/৮ অংশ পড়তে ৪৫ মিনিট লাগে। বাকি অংশ পড়তে কত মিনিট লাগবে?

সমাধান:
বইয়ের ৩/৮ অংশ পড়তে সময় লাগে = ৪৫ মিনিট
∴ ১ বা পুরো অংশ পড়তে সময় লাগবে = ৪৫ × (৮/৩) মিনিট
= (১৫ × ৮) মিনিট
= ১২০ মিনিট

∴ বাকি অংশ = পুরো বই - ৩/৮ অংশ = ১ - (৩/৮) = (৮ - ৩)/৮ = ৫/৮ অংশ

∴ ৫/৮ অংশ পড়তে সময় লাগবে = ১২০ × (৫/৮) মিনিট
= (১৫ × ৫) মিনিট
= ৭৫ মিনিট

সুতরাং বাকি অংশ পড়তে ৭৫ মিনিট লাগবে।

৪৯/১২১ এর বর্গ মূল = √(৪৯/১২১) = ৭/১১

প্রশ্ন: পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা ৪১ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০ 
∴ ৪১) ১০০০০(২৪৩
            ৮২
     ______________
            ১৮০
            ১৬৪
    _______________
               ১৬০
               ১২৩
   _______________
                 ৩৭

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (১০০০০ - ৩৭) + ৪১
= ১০০০৪ ।

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার যোগফল ৫২০। এদের প্রথম চারটির গড় ৪৮ এবং শেষ পাঁচটির গড় ৩৮ হলে, পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
পঞ্চম সংখ্যাটি = ৫২০ - {(৪৮ × ৪) + (৩৮ × ৫)}
= ৫২০ - (১৯২ + ১৯০)
= ৫২০ - ৩৮২
= ১৩৮

প্রশ্ন: ১২ এর কত শতাংশ ১৮ হবে?

সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী,
১২ এর ক% = ১৮
⇒ (ক/১০০) × ১২ = ১৮ 
⇒ ক = (১০০ × ১৮) / ১২
ক = ১৫০% 

∴ ১২ এর ১৫০% হলো ১৮

৫/৩ এর ১/৫ ÷ ১/৯
= ৫/৩ এর ১/৫ ÷ ১/৯
= ১/৩ ÷ ১/৯
= ১/৩ ÷ ৯/১
= ৩

প্রশ্ন: - (- ২) - ২ + (- ২) - {- (২)} - ২ + ২ - (- ২) = ?

সমাধান:
- (- ২) - ২ + (- ২) - {- (২)} - ২ + ২ - (- ২)
= ২ - ২ - ২ + ২ - ২ + ২ + ২
= ২ + ২ + ২ + ২ - ২ - ২ - ২
= ৮ - ৬
= ২

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু ১৮০ হলে সংখ্যা দুটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যা দুটি ৩ক ও ৪ক 
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১২ক 

শর্তমতে, 
১২ক = ১৮০ 
বা, ক = ১৮০/১২ 
∴ ক = ১৫ 
সুতরাং, ৩ক = ৩ × ১৫ = ৪৫
৪ক = ৪ × ১৫ = ৬০ 

∴ সংখ্যা দুটি = ৪৫ ও ৬০ ।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ, সা, গু, অন্তর ও ল, সা, গু যথাক্রমে ১২, ২৪ ও ১৮০ হলে  সংখ্যা দুটি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
গ.সা.গু = ১২
ল.সা.গু = ১৮০
দুটি সংখ্যার অন্তর = ২৪

আমরা জানি, 
 দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু × ল.সা.গু
= ১২ × ১৮০
= ২১৬০ 

ধরি, সংখ্যা দুটি  ১২x এবং ১২y  ;  [যেখানে x ও y সহমৌলিক]

শর্তমতে, 
১২x × ১২y = ২১৬০
⇒ ১৪৪xy = ২১৬০
⇒ xy = ২১৬০/১৪৪ 
∴ xy = ১৫ ......(১) 

আবার, সংখ্যাটির অন্তরফল = ২৪ 
১২y - ১২x = ২৪ 
⇒ ১২(y - x) = ২৪ 
⇒ y - x = ২৪/১২ 
⇒ y - x = ২ 
∴ y = ২ + x .........(২) 

(১) নং হতে পাই, 
xy = ১৫
⇒ x(২ + x) = ১৫ 
⇒ x^২ + ২x - ১৫ = ০ 
⇒ x^২ + ৫x - ৩x - ১৫ = ০ 
⇒ x(x + ৫) - ৩(x + ৫) = ০ 
⇒ (x + ৫)(x - ৩) = ০ 

∴ x = - ৫ এবং x = ৩ 

(২) নং হতে পাই,
∴y = ২ + x = ২ + ৩ = ৫ 

∴ সংখ্যা দুটি = ১২ × ৩ = ৩৬ এবং ১২  × ৫ = ৬০ 
সুতরাং, সংখ্যা দুটি = ৩৬ এবং ৬০

প্রশ্ন: ১ থেকে ১২ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তাদের গুণফল কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১২ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১ 
∴ গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১ 
= ৬ × ৩৫ × ১১ 
= ২৩১০ ।

প্রশ্ন: ০.২ × ৪.২৫ × ৬.৪ = ?

সমাধান:
০.২ × ৪.২৫ × ৬.৪
= (২/১০) × (৪২৫/১০০) × (৬৪/১০)
= (২ × ৪২৫ × ৬৪) ÷ (১০ × ১০০ × ১০)
= ৫৪৪০০ ÷ ১০০০০
= ৫.৪৪

ধরি, সংখ্যা দুটি x ও y
প্রশ্নমতে, x²+y² = 85 এবং xy = 42
সূত্রানুসারে,
x²-y² = √{(x²+y²)² - 4x²y²}
⇒ x²-y² = √{(85)² - 4(42)²}
⇒ x²-y² = √(7225- 4×1764)
⇒ x²-y² = √(7225 -7056)
⇒ x²-y² = √169
∴ x²-y² = 13

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে বড়?

সমাধান:
প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিক আকারে প্রকাশ করি:

৫/৮ = ০.৬২৫
২/৩ = ০.৬৬৬........
৩/৪ = ০.৭৫
৭/৮ = ০.৮৭৫

∴ তুলনা করলে দেখা যায়,
৭/৮ >  ৩/৪  > ২/৩ > ৫/৮

∴ ৭/৮ ভগ্নাংশটি সবচেয়ে বড়।

প্রশ্ন:


সমাধান: 

।x + 5। = 3
x + 5 = 3
x = -2
আবার, -(x + 5) = 3
x = - 8
এবং
।2y -1।/3 = 5
2y = 15 + 1
y = 8
আবার,
-(2y - 1)/3 = 5
2y = -14
y = -7
∴ x = - 2, y = 8 হলে ।x + y। = 6
x = - 2, y = - 7 হলে ।x + y। = 9
x = - 8, y = 8 হলে ।x + y। = 0
x = - 8, y = -7 হলে ।x + y। = 15
8 হওয়া সম্ভব নয়।

100 জন শিক্ষার্থীর মোট ওজন = (100 × 48) = 4800 কেজি।
60 জন ছাত্রের মোট ওজন = (60 × 50) = 3000 কেজি।
সুতরাং, 40 জন ছাত্রীর মোট ওজন = (4800 - 3000) = 1800 কেজি।

∴ ছাত্রীদের গড় ওজন = 1800/40 = 45 কেজি।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা (Rational Number) হলো এমন সংখ্যা, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়-
p/q, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা এবং q ≠ 0.

ক) ০.১২
০.১২ = ১২/১০০ = ৩/২৫
এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) √৭২
√৭২ = √(36×2) = 6√2
√2 অমূলদ সংখ্যা, তাই 6√2  অমূলদ সংখ্যা।
গ) √৪৯
√৪৯ = ৭
এটি একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √২৫
√২৫ = ৫
এটিও একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

ধরি সংখ্যাটি = x
শর্তমতে,
3.5 x (560 - x) = x - 380
⇒1960 - 3.5x = x - 380
⇒ 4.5x = 2340
∴ x = 520

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৯, ১২, ১৮ এবং ৩০ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৯, ১২, ১৮ এবং ৩০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি,
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫

যেহেতু ছাত্রদেরকে বর্গের আকারে সাজানো যায় তাই ল.সা.গু এর সাথে ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ২ × ২ × ৩ × ৩ x ৫ × ৫ = ৯০০ জন

60 = 5 × 12
= 5 × 4 × 3
= 3 × 4 × 5
∴ বৃহত্তম সংখ্যা + ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 5 + 3 = 8

প্রশ্নটি দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর হবে।
মনেকরি 
সংখ্যা দুটি ক, (ক + ১)
প্রশ্নমতে,
(ক+১)^২ - ক^২ = ৪১ 
বা, ক^২ + ২ক ১ + ১^২ - ক^২ = ৪১ 
বা, ২ক + ১ = ৪১ 
বা, ২ক = ৪১ - ১
বা, ২ক = ৪০ 
∴, ক = ২০ 

বড় সংখ্যাটি = ২০ + ১ = ২১