৫,৬০১.
নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত অপশনগুলোতে √২২/√২ একটি অমূলদ সংখ্যা।
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু
বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু
PrepBank · পাতা ৫৭ / ৬৪ · ৫,৬০১–৫,৭০০ / ৬,৪০৪
৫,৬০২.
তিনটি সংখ্যা জোড়ায় জোড়ায় যোগ করলে যোগফল ২০, ২৭ এবং ২৩ হয়। সংখ্যা তিনটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যা জোড়ায় জোড়ায় যোগ করলে যোগফল ২০, ২৭ এবং ২৩ হয়। সংখ্যা তিনটি কত?
সমাধান:
এখানে
অপশন ঘ)
৮ + ১২ = ২০
৮ + ১৫ = ২৩
১২ + ১৫ = ২৭
অপশন ক)
৬, ৪ এবং ১৫
৬ + ১৫ = ২১
৬ + ৪ = ১০
৪ + ১৫ = ১৯
অপশন খ)
৯, ১১ এবং ১৪
৯ + ১১ = ২০
৯ + ১৪ = ২৩
১১ + ১৪ = ২৫
অপশন গ)
১০, ৮ এবং ১৭
১০ + ৮ = ১৮
১০ + ১৭ = ২৭
৮ + ১৭ = ২৫
সঠিক উত্তর: ঘ
সমাধান:
এখানে
অপশন ঘ)
৮ + ১২ = ২০
৮ + ১৫ = ২৩
১২ + ১৫ = ২৭
অপশন ক)
৬, ৪ এবং ১৫
৬ + ১৫ = ২১
৬ + ৪ = ১০
৪ + ১৫ = ১৯
অপশন খ)
৯, ১১ এবং ১৪
৯ + ১১ = ২০
৯ + ১৪ = ২৩
১১ + ১৪ = ২৫
অপশন গ)
১০, ৮ এবং ১৭
১০ + ৮ = ১৮
১০ + ১৭ = ২৭
৮ + ১৭ = ২৫
সঠিক উত্তর: ঘ
৫,৬০৩.
নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?
সমাধান:
১/৫ = ০.২০
১/৬ = ০.১৭
৫/২১ =০.২৪
৬/১২ = ০.৫
সমাধান:
১/৫ = ০.২০
১/৬ = ০.১৭
৫/২১ =০.২৪
৬/১২ = ০.৫
৫,৬০৪.
যদি p এবং q দু’টি অযুগ্ম সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই যুগ্ম সংখ্যা হবে?
ব্যাখ্যা
দুটি অযুগ্ম সংখ্যার যোগফল সবসময় যুগ্ম হয়।
যেমনঃ ১ + ৫ = ৬, ৩ + ১ = ৪।
∴ সঠিক উত্তর হবে, p + q
যেমনঃ ১ + ৫ = ৬, ৩ + ১ = ৪।
∴ সঠিক উত্তর হবে, p + q
৫,৬০৫.
দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩০০৭ এবং গ.সা.গু. ৯৭ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. কত?
ব্যাখ্যা
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = দুইটি সংখ্যার গুণফল
বা, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = দুইটি সংখ্যার গুণফল ÷ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু.
বা, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = ৩০০৭ ÷ ৯৭
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = ৩১
৫,৬০৬.
একটি ঝুড়িতে ৬৩টি চকলেট আছে। এতে কমপক্ষে আরো কতগুলো চকলেট যোগ করা হলে সেগুলো ৩, ৪ অথবা ৬ জন ছাত্রের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি ঝুড়িতে ৬৩টি চকলেট আছে। এতে কমপক্ষে আরো কতগুলো চকলেট যোগ করা হলে সেগুলো ৩, ৪ অথবা ৬ জন ছাত্রের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?
সমাধান:
৩, ৪ এবং ৬ এর ল.সা.গু = ১২
এখানে,
ভাজক = ১২
ভাজ্য = ৬৩
ভাগফল = ৫
ভাগশেষ = ৩
∴ চকলেট যোগ করতে হবে = (১২ - ৩) = ৯ টি
সমাধান:
৩, ৪ এবং ৬ এর ল.সা.গু = ১২
এখানে,
ভাজক = ১২
ভাজ্য = ৬৩
ভাগফল = ৫
ভাগশেষ = ৩
∴ চকলেট যোগ করতে হবে = (১২ - ৩) = ৯ টি
৫,৬০৭.
কোন সংখ্যার ভাগ এবং ০.১ ভাগের মধ্যে পার্থক্য ০.৫ হলে, সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ভাগ এবং ০.১ ভাগের মধ্যে পার্থক্য ০.৫ হলে, সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যাটি = ক
এখানে,
= ১/৯
প্রশ্নমতে
(ক/৯) - (ক/১০) = ০.৫
⇒ (১০ক - ৯ক)/৯০ = ৫/১০
⇒ ক/৯০ = (৫ × ৯০)/১০
∴ ক = ৪৫
সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যাটি = ক
এখানে,
= ১/৯
প্রশ্নমতে
(ক/৯) - (ক/১০) = ০.৫
⇒ (১০ক - ৯ক)/৯০ = ৫/১০
⇒ ক/৯০ = (৫ × ৯০)/১০
∴ ক = ৪৫
৫,৬০৮.
কোন সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ ঐ সংখ্যার চেয়ে 50 কম হলে সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ ঐ সংখ্যার চেয়ে 50 কম হলে সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
শর্তমতে,
2ক/3 = ক - 50
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি 'ক'
সংখ্যাটি 'ক'
শর্তমতে,
2ক/3 = ক - 50
বা, ক - 2ক/3 = 50
বা, (3ক - 2ক)/3 = 50
বা, ক/3 = 50
বা, ক/3 = 50
∴ ক = 150
৫,৬০৯.
√১ + √১ এর বর্গ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √১ + √১ এর বর্গ কত?
সমাধান:
সমাধান:
√১ + √১ এর বর্গ = (√১ + √১)২
= (২√১)২
= ৪ × ১
= ৪
সমাধান:
সমাধান:
√১ + √১ এর বর্গ = (√১ + √১)২
= (২√১)২
= ৪ × ১
= ৪
৫,৬১০.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
এখন
(১/২) + (১/২) = (১ + ১)/২ = ২/২ = ১
অতএব
১/২ যোগ করলে যোগফল ১ হবে।
৫,৬১১.
নিম্নে লিখিত চারটি সংখ্যার মধ্যে কোনটির ভাজক সংখ্যা বিজোড়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিম্নে লিখিত চারটি সংখ্যার মধ্যে কোনটির ভাজক সংখ্যা বিজোড়?
সমাধান:
আমরা জানি,
পূর্ণ বর্গসংখ্যার ভাজক সংখ্যা বিজোড় হয়।
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ১০২৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
∴ √(১০২৪) = ৩২
সুতরাং ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড় সংখ্যা হবে।
এখন,
১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করি:
১০২৪ = ১ × ১০২৪
= ২ × ৫১২
= ৪ × ২৫৬
= ৮ × ১২৮
= ১৬ × ৬৪
= ৩২ × ৩২
∴ ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা = ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮, ২৫৬, ৫১২ এবং ১০২৪
= ১১ টি।
সমাধান:
আমরা জানি,
পূর্ণ বর্গসংখ্যার ভাজক সংখ্যা বিজোড় হয়।
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ১০২৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
∴ √(১০২৪) = ৩২
সুতরাং ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড় সংখ্যা হবে।
এখন,
১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করি:
১০২৪ = ১ × ১০২৪
= ২ × ৫১২
= ৪ × ২৫৬
= ৮ × ১২৮
= ১৬ × ৬৪
= ৩২ × ৩২
∴ ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা = ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮, ২৫৬, ৫১২ এবং ১০২৪
= ১১ টি।
৫,৬১২.
নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে বড়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে বড়?
সমাধান:
এখানে,
২৩/৩০ = ০.৭৬৬৭
৪/৫ = ০.৮০
১৩/১৫ = ০.৮৬৬৭
১৯/২৬ = ০.৭৩১
∴ ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ১৩/১৫ সবচেয়ে বড়।
সমাধান:
এখানে,
২৩/৩০ = ০.৭৬৬৭
৪/৫ = ০.৮০
১৩/১৫ = ০.৮৬৬৭
১৯/২৬ = ০.৭৩১
∴ ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ১৩/১৫ সবচেয়ে বড়।
৫,৬১৩.
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮ এবং তাদের ল. সা. গু ১২০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮ এবং তাদের ল. সা. গু ১২০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮
ছোট সংখ্যাটি = ৫ক
বড় সংখ্যাটি = ৮ক
৫ক ও ৮ক এর ল.সা.গু = ৪০ক
প্রশ্নমতে
৪০ক = ১২০
ক = ৩
বড় সংখ্যাটি = ৮ × ৩ = ২৪
সমাধান:
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮
ছোট সংখ্যাটি = ৫ক
বড় সংখ্যাটি = ৮ক
৫ক ও ৮ক এর ল.সা.গু = ৪০ক
প্রশ্নমতে
৪০ক = ১২০
ক = ৩
বড় সংখ্যাটি = ৮ × ৩ = ২৪
৫,৬১৪.
কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ২১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কতজন সৈন্য ছিল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ২১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কতজন সৈন্য ছিল?
সমাধান:
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০০
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ২১) জন
= ৫৭৯ জন।
সমাধান:
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০০
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ২১) জন
= ৫৭৯ জন।
৫,৬১৫.
তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল ৫৪ হলে, তাদের গুণফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল ৫৪ হলে, তাদের গুণফল কত?
সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক, ক + ২, ক + ৪
প্রশ্নমতে,
ক + ক + ২ + ক + ৪ = ৫৪
⇒ ৩ক + ৬ = ৫৪
⇒ ৩ক = ৫৪ - ৬
⇒ ৩ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮/৩
∴ ক = ১৬
তাহলে, ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে = ১৬, (১৬ + ২) = ১৮ ও (১৬ + ৪০ = ২০
∴ তাদের গুণফল = (১৬ × ১৮ × ২০) = ৫৭৬০
সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক, ক + ২, ক + ৪
প্রশ্নমতে,
ক + ক + ২ + ক + ৪ = ৫৪
⇒ ৩ক + ৬ = ৫৪
⇒ ৩ক = ৫৪ - ৬
⇒ ৩ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮/৩
∴ ক = ১৬
তাহলে, ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে = ১৬, (১৬ + ২) = ১৮ ও (১৬ + ৪০ = ২০
∴ তাদের গুণফল = (১৬ × ১৮ × ২০) = ৫৭৬০
৫,৬১৬.
আফতাব আহমেদ গড়ে ১৪ রান দিয়ে ১২টি উইকেট পান। পরবর্তী খেলায় যদি তিনি গড়ে ৯ রান দিয়ে ৩টি উইকেট পান তবে তাঁর উইকেট প্রতি রানের গড়ের কী পরিবর্তন হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আফতাব আহমেদ গড়ে ১৪ রান দিয়ে ১২টি উইকেট পান। পরবর্তী খেলায় যদি তিনি গড়ে ৯ রান দিয়ে ৩টি উইকেট পান তবে তাঁর উইকেট প্রতি রানের গড়ের কী পরিবর্তন হবে?
সমাধান:
আফতাব আহমেদ গড়ে ১৪ রান দিয়ে ১২ উইকেট পান
মোট রান দিয়েছেন = ১৪ × ১২ = ১৬৮ রান
পরবর্তী খেলায় গড়ে ৯ রান দিয়ে ৩ উইকেট পেলে
মোট রান দিবেন = (৯ × ৩) = ২৭ রান
∴ তিনি গড়ে উইকেট প্রতি রান = মোট রান/মোট উইকেট
= (১৬৮ + ২৭)/(১২ + ৩)
= ১৯৫/১৫
= ১৩ রান
∴ উইকেট প্রতি রানের গড় হ্রাস পাবে = ১৪ - ১৩ = ১ রান
সমাধান:
আফতাব আহমেদ গড়ে ১৪ রান দিয়ে ১২ উইকেট পান
মোট রান দিয়েছেন = ১৪ × ১২ = ১৬৮ রান
পরবর্তী খেলায় গড়ে ৯ রান দিয়ে ৩ উইকেট পেলে
মোট রান দিবেন = (৯ × ৩) = ২৭ রান
∴ তিনি গড়ে উইকেট প্রতি রান = মোট রান/মোট উইকেট
= (১৬৮ + ২৭)/(১২ + ৩)
= ১৯৫/১৫
= ১৩ রান
∴ উইকেট প্রতি রানের গড় হ্রাস পাবে = ১৪ - ১৩ = ১ রান
৫,৬১৭.
দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৯১ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৯১ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১
প্রশ্নমতে,
(ক + ১)২ - ক২ = ৯১
⇒ ক২ + ২ক + ১ - ক২ = ৯১
⇒ ২ক + ১ = ৯১
⇒ ২ক = ৯০
⇒ ক = ৪৫
∴ বড় সংখ্যাটি = ৪৫ + ১ = ৪৬
৫,৬১৮.
চার অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চার অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?
সমাধান:
১২, ১৮, ২৪ এবং ৩৬ এর লসাগু = ৭২
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
১০০০ কে ৭২ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৬৪
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে = ১০০০ + (৭২ - ৬৪)
= ১০০০ + ৮ = ১০০৮
৫,৬১৯.
√0.000256 = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : √0.000256 = কত?
সমাধান :√0.000256
= 0.016
৫,৬২০.
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ৮ হলে নিচের কোনটি তাদের ল.সা.গু. হতে পারবে না?
ব্যাখ্যা
যেহেতু, গ.সা.গু. = ৮
সুতরাং, ল.সা.গু. ৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে। তাই, ৬০ ল.সা.গু. হতে পারে না।
৫,৬২১.
মা ও তার ৩ সন্তানের গড় বয়স ১২। যদি মায়ের বয়স বাদ দেয়া হয়, তাহলে তাদের গড় বয়স ৫ বছর কমে যাবে। মায়ের বয়স কত?
ব্যাখ্যা
মা ও তার ৩ সন্তানের গড় বয়স ১২
মা ও তার ৩ সন্তানের বয়সের সমষ্টি = ১২ × ৪ = ৪৮
৩ সন্তানের গড় বয়স = ৭
৩ সন্তানের বয়সের সমষ্টি = ৭ × ৩ = ২১
মায়ের বয়স = ৪৮ - ২১ = ২৭ বছর
মা ও তার ৩ সন্তানের বয়সের সমষ্টি = ১২ × ৪ = ৪৮
৩ সন্তানের গড় বয়স = ৭
৩ সন্তানের বয়সের সমষ্টি = ৭ × ৩ = ২১
মায়ের বয়স = ৪৮ - ২১ = ২৭ বছর
৫,৬২২.
x3 + 2x2 - 8x, x3 - 4x2 + 4x এবং x2 - 2x এর গ.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 + 2x2 - 8x, x3 - 4x2 + 4x এবং x2 - 2x এর গ.সা.গু কত?
সমাধান:
১ম রাশি = x3 + 2x2 - 8x
= x(x2 + 2x - 8)
= x(x2 + 4x - 2x - 8)
= x{x(x + 4) - 2(x + 4)}
= x(x + 4)(x - 2)
২য় রাশি = x3 - 4x2 + 4x
= x(x2 - 4x + 4)
= x(x2 - 2. x. 2 + 22)
= x(x - 2)2
৩য় রাশি = x2 - 2x
= x(x - 2)
∴ গ.সা.গু = x(x - 2)
= x2 - 2x
সমাধান:
১ম রাশি = x3 + 2x2 - 8x
= x(x2 + 2x - 8)
= x(x2 + 4x - 2x - 8)
= x{x(x + 4) - 2(x + 4)}
= x(x + 4)(x - 2)
২য় রাশি = x3 - 4x2 + 4x
= x(x2 - 4x + 4)
= x(x2 - 2. x. 2 + 22)
= x(x - 2)2
৩য় রাশি = x2 - 2x
= x(x - 2)
∴ গ.সা.গু = x(x - 2)
= x2 - 2x
৫,৬২৩.
কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে ৬৯ বিয়োগ করলে একই ফল পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে ৬৯ বিয়োগ করলে একই ফল পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে
(ক/২) + ৬ = ২ক - ৬৯
⇒ ৬ + ৬৯ = ২ক - (ক/২)
⇒ ৭৫ = (৪ক - ক)/২
⇒ ৪৫ = ৩ক/২
⇒ ৩ক = ৭৫ × ২
⇒ ক = (৭৫ × ২)/৩
⇒ ক = ৫০
সমাধান:
ধরি
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে
(ক/২) + ৬ = ২ক - ৬৯
⇒ ৬ + ৬৯ = ২ক - (ক/২)
⇒ ৭৫ = (৪ক - ক)/২
⇒ ৪৫ = ৩ক/২
⇒ ৩ক = ৭৫ × ২
⇒ ক = (৭৫ × ২)/৩
⇒ ক = ৫০
৫,৬২৪.
১০০ জন শিক্ষার্থীর গড় নাম্বার ৯০, যার মধ্যে ২৫ জন শিক্ষার্থীর গড় নাম্বার ৭৫। অবশিষ্ট শিক্ষার্থীদের গড় নাম্বার কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০০ জন শিক্ষার্থীর গড় নাম্বার ৯০, যার মধ্যে ২৫ জন শিক্ষার্থীর গড় নাম্বার ৭৫। অবশিষ্ট শিক্ষার্থীদের গড় নাম্বার কত?
সমাধান:
১০০ জন শিক্ষার্থীর মোট নাম্বার (১০০ × ৯০) = ৯০০০
২৫ জন শিক্ষার্থীর মোট নাম্বার (২৫ × ৭৫) = ১৮৭৫
অবশিষ্ট (১০০ - ২৫) = ৭৫ জন শিক্ষার্থীর মোট নাম্বার (৯০০০ - ১৮৭৫)
= ৭১২৫
∴ অবশিষ্ট ৭৫ জনের গড় নাম্বার ৭১২৫/৭৫ = ৯৫
সমাধান:
১০০ জন শিক্ষার্থীর মোট নাম্বার (১০০ × ৯০) = ৯০০০
২৫ জন শিক্ষার্থীর মোট নাম্বার (২৫ × ৭৫) = ১৮৭৫
অবশিষ্ট (১০০ - ২৫) = ৭৫ জন শিক্ষার্থীর মোট নাম্বার (৯০০০ - ১৮৭৫)
= ৭১২৫
∴ অবশিষ্ট ৭৫ জনের গড় নাম্বার ৭১২৫/৭৫ = ৯৫
৫,৬২৫.
√০.০০০১ এর বর্গমূল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √০.০০০১ এর বর্গমূল কত?
সমাধান:
√০.০০০১ = ০.০১
০.০১ এর বর্গমূল = √০.০১ = ০.১
সমাধান:
√০.০০০১ = ০.০১
০.০১ এর বর্গমূল = √০.০১ = ০.১
৫,৬২৬.
দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৭ হলে বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
বড় সংখ্যাটি, (১৯৭ + ১)/২ = ৯৯
৫,৬২৭.
৬, ৭, ১০ এর গাণিতিক গড়, ৭, ৮ এবং কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?
ব্যাখ্যা
ধরি,
সংখ্যাটি ক
তাহলে,
৬ + ৭ + ১০ = ৭ + ৮ + ক
২৩ = ১৫ + ক
ক = ২৩ - ১৫
ক = ৮
সংখ্যাটি ক
তাহলে,
৬ + ৭ + ১০ = ৭ + ৮ + ক
২৩ = ১৫ + ক
ক = ২৩ - ১৫
ক = ৮
৫,৬২৮.
একটি ঝুড়িতে দুই-তৃতীয়াংশ ফল পরীক্ষা করার পর ৪টি ফল ত্রুটিযুক্ত এবং বাকি ৩৬টি ক্রটিমুক্ত পাওয়া গেল। ৮০% ফল ক্রটিমুক্ত পেতে হলে অবশিষ্ট ফলের মধ্যে কতটি ফল ক্রটিমুক্ত পেতে হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে দুই-তৃতীয়াংশ ফল পরীক্ষা করার পর ৪টি ফল ত্রুটিযুক্ত এবং বাকি ৩৬টি ক্রটিমুক্ত পাওয়া গেল। ৮০% ফল ক্রটিমুক্ত পেতে হলে অবশিষ্ট ফলের মধ্যে কতটি ফল ক্রটিমুক্ত পেতে হবে?
সমাধান:
২/৩ অংশ ফল = (৩৬ + ৪)টি = ৪০টি
∴ ১ অংশ বা (সম্পূর্ণ) = ৪০ × (৩/২) টি = ৬০টি
এখন,
৬০ এর ৮০% = ৬০ এর ৮০/১০০= ৪৮টি
∴ ক্রটিমুক্ত পেতে হবে = ৪৮ - ৩৬ = ১২টি
সমাধান:
২/৩ অংশ ফল = (৩৬ + ৪)টি = ৪০টি
∴ ১ অংশ বা (সম্পূর্ণ) = ৪০ × (৩/২) টি = ৬০টি
এখন,
৬০ এর ৮০% = ৬০ এর ৮০/১০০= ৪৮টি
∴ ক্রটিমুক্ত পেতে হবে = ৪৮ - ৩৬ = ১২টি
৫,৬২৯.
√2 এবং √3 এর মধ্যবর্তী একটি মূলদ সংখ্যা হবে-
ব্যাখ্যা
√2 = 1.414
√3 = 1.732
∴ √2 এবং √3 এর মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যাটি 1.5
৫,৬৩০.
চারটি ঘণ্টা একসঙ্গে বেজে উঠল এবং তারপর যথাক্রমে ১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ সেকেন্ড অন্তর বাজতে থাকে। কতক্ষণ পর আবার সবগুলো একসঙ্গে বাজবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একসঙ্গে বেজে উঠল এবং তারপর যথাক্রমে ১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ সেকেন্ড অন্তর বাজতে থাকে। কতক্ষণ পর আবার সবগুলো একসঙ্গে বাজবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে সময়গুলো,
১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ সেকেন্ড
এখন, ১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ ল.সা.গু = ৩০০ সেকেন্ড
= ৩০০/৬০ মিনিট ; [১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড]
= ৫ মিনিট
অতএব, ৫ মিনিট পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।
৫,৬৩১.
0.001/(0.01 × 0.001) = কত?
ব্যাখ্যা
0.001/(0.01 × 0.001)
= 0.001/0.00001
= 100
৫,৬৩২.
নিচের কোন সংখ্যা দুটি পরস্পর সহমৌলিক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি পরস্পর সহমৌলিক?
সমাধান:
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।
এখানে,
১৫ = ১ × ৩ × ৫
২২ = ১ × ২ × ১১
১৫, ২২ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
∴ ১৫, ২২ পরস্পর সহমৌলিক সংখ্যা।
৫,৬৩৩.
নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
সমাধান:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
ক) ৮৩ একটি মৌলিক সংখ্যা, কারণ এটি কেবল ১ এবং ৮৩ দ্বারা বিভাজ্য, অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নয়।
খ) ৮৭ মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য; ৮৭/৩ = ২৯
গ) ১৩৩ মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি ৭ দ্বারা বিভাজ্য; ১৩৩/৭ = ১৯
ঘ) ৫১ মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য; ৫১/৩ = ১৭
সমাধান:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
ক) ৮৩ একটি মৌলিক সংখ্যা, কারণ এটি কেবল ১ এবং ৮৩ দ্বারা বিভাজ্য, অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নয়।
খ) ৮৭ মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য; ৮৭/৩ = ২৯
গ) ১৩৩ মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি ৭ দ্বারা বিভাজ্য; ১৩৩/৭ = ১৯
ঘ) ৫১ মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য; ৫১/৩ = ১৭
৫,৬৩৪.
√২৮৯ এর বর্গমূল হল-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √২৮৯ এর বর্গমূল হল-
সমাধান:
√২৮৯ = ১৭
১৭ এর বর্গমূল = √১৭
- অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
- √২৮৯ এর বর্গমূল হল অমূলদ
সমাধান:
√২৮৯ = ১৭
১৭ এর বর্গমূল = √১৭
- অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
- √২৮৯ এর বর্গমূল হল অমূলদ
৫,৬৩৫.
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩:৪ তাদের ল.সা.গু. ১২০। সংখ্যা দুটির যোগফল কত?
ব্যাখ্যা
সংখ্যা দুটির অনুপাত = ৩ : ৪
সংখ্যা দুটি = ৩x , ৪x
সংখ্যা দুইটির গ. সা. গু= x
সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু = ১২x
প্রশ্নমতে,
১২x = ১২০
x = ১২০/১২
x = ১০
সংখ্যা দুটি = ৩×১০ , ৪×১০
= ৩০ , ৪০
সংখ্যা দুটির যোগফল= ৩০+৪০= ৭০
সংখ্যা দুটি = ৩x , ৪x
সংখ্যা দুইটির গ. সা. গু= x
সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু = ১২x
প্রশ্নমতে,
১২x = ১২০
x = ১২০/১২
x = ১০
সংখ্যা দুটি = ৩×১০ , ৪×১০
= ৩০ , ৪০
সংখ্যা দুটির যোগফল= ৩০+৪০= ৭০
৫,৬৩৬.
৫ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা এবং ৪ অংকের বৃহত্তম সংখ্যার পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা এবং ৪ অংকের বৃহত্তম সংখ্যার পার্থক্য কত?
সমাধান:
৫ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০
৪ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯
পার্থক্য = ১০০০০ - ৯৯৯৯
= ১
সমাধান:
৫ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০
৪ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯
পার্থক্য = ১০০০০ - ৯৯৯৯
= ১
৫,৬৩৭.
নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৭/৯ হতে বড়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ কোন ভগ্নাংশটি ৭/৯ হতে বড়?
সমাধানঃ
৭/৯ ≈ 0.৭৭৭
৭/১০ =0.৭
২/৩ = 0.৬৬৬৭
১২/১৫ = 0.৮
১০/১৩ = 0.৭৬৯২
সঠিক উত্তর: গ) ১২/১৫
৫,৬৩৮.
নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনটির মান সবচেয়ে বেশি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনটির মান সবচেয়ে বেশি?
সমাধান:
০.০৯ = ৯/১০০
০.৫০ = ৫০/১০০
০.১৯ = ১৯/১০০
০.৩৩ = ৩৩/১০০
এখানে
৫০ > ৩৩ > ১৯ > ৯
৫০/১০০ > ৩৩/১০০ > ১৯/১০০ > ৯/১০০
০.৫০ > .৩৩ > .১৯ > ০.০৯
সবচেয়ে বেশি = ০.৫০
সমাধান:
০.০৯ = ৯/১০০
০.৫০ = ৫০/১০০
০.১৯ = ১৯/১০০
০.৩৩ = ৩৩/১০০
এখানে
৫০ > ৩৩ > ১৯ > ৯
৫০/১০০ > ৩৩/১০০ > ১৯/১০০ > ৯/১০০
০.৫০ > .৩৩ > .১৯ > ০.০৯
সবচেয়ে বেশি = ০.৫০
৫,৬৩৯.
কোন ভগ্নাংশটির মান সবচেয়ে বড়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটির মান সবচেয়ে বড়?
সমাধান:
৩/১০ = ০.৩
২/৫ = ০.৪
৪/১৫ = ০.২৭
৭/২০ = ০.৩৫
সমাধান:
৩/১০ = ০.৩
২/৫ = ০.৪
৪/১৫ = ০.২৭
৭/২০ = ০.৩৫
৫,৬৪০.
নিচের ভগ্নাংশ গুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশ গুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?
সমাধান:
৩/৪ = ০·৭৫
৭/৯ = ০·৭৮
৫/৬ = ০·৮৩
৮/১১ = ০·৭৩
৫/৬ > ৭/৯ > ৩/৪ > ৮/১১
∴ ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি হলো ৮/১১।
সমাধান:
৩/৪ = ০·৭৫
৭/৯ = ০·৭৮
৫/৬ = ০·৮৩
৮/১১ = ০·৭৩
৫/৬ > ৭/৯ > ৩/৪ > ৮/১১
∴ ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি হলো ৮/১১।
৫,৬৪১.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √2/(√6 + 2) = কত?
সমাধান:
√2/(√6 + 2)
= √2/√2(√3 + √2)
= 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
= (√3 - √2)/{(√3)2 - (√2)2}
= (√3 - √2)/(3 - 2)
=(√3 - √2)/1
= (√3 - √2)
সমাধান:
√2/(√6 + 2)
= √2/√2(√3 + √2)
= 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
= (√3 - √2)/{(√3)2 - (√2)2}
= (√3 - √2)/(3 - 2)
=(√3 - √2)/1
= (√3 - √2)
৫,৬৪২.
তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর তারা ৩ ঘণ্টা, ৪ ঘণ্টা ও ৬ ঘণ্টা পরপর বাজতে থাকল। ১ দিনে তারা কতবার একত্রে বাজবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর তারা ৩ ঘণ্টা, ৪ ঘণ্টা ও ৬ ঘণ্টা পরপর বাজতে থাকল। ১ দিনে তারা কতবার একত্রে বাজবে?
সমাধান:
৩, ৪ ও ৬ এর ল.সা.গু = ১২
অতএব, তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজবে ১২ ঘণ্টা পর।
∴ ১ দিনে বা ২৪ ঘণ্টায় মোট বাজবে = (২৪/১২) বার
= ২ বার
[১ দিন বলতে যেহেতু ২৪ ঘণ্টাকে (০০:০০:০০-২৩:৫৯:৫৯) বুঝায়, তাই এই সময়ের মধ্যে ঘণ্টাটি সর্বোচ্চ ২ বার বাজবে।]
সমাধান:
৩, ৪ ও ৬ এর ল.সা.গু = ১২
অতএব, তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজবে ১২ ঘণ্টা পর।
∴ ১ দিনে বা ২৪ ঘণ্টায় মোট বাজবে = (২৪/১২) বার
= ২ বার
[১ দিন বলতে যেহেতু ২৪ ঘণ্টাকে (০০:০০:০০-২৩:৫৯:৫৯) বুঝায়, তাই এই সময়ের মধ্যে ঘণ্টাটি সর্বোচ্চ ২ বার বাজবে।]
৫,৬৪৩.
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু 48 । সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 । সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি নির্ণয় করুন।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু 48 । সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 । সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি নির্ণয় করুন।
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি 2x ও 3x
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = 6x
প্রশ্নমতে,
6x = 48
বা, x = 48/6
∴ x = 8
∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = 2x + 3x
= 5x
= 5 × 8
= 40
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি 2x ও 3x
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = 6x
প্রশ্নমতে,
6x = 48
বা, x = 48/6
∴ x = 8
∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = 2x + 3x
= 5x
= 5 × 8
= 40
৫,৬৪৪.
x - 2, x2 - 4 এবং x + 2 এর গ. সা. গু নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 2, x2 - 4 এবং x + 2 এর গ. সা. গু নিচের কোনটি?
সমাধান:
১ম রাশি = x - 2
২য় রাশি = x2 - 4
= x2 - 22
= (x + 2) (x - 2)
৩য় রাশি = x + 2
∴ x - 2, x2 - 4 এবং x + 2 এর গ. সা. গু = 1
সমাধান:
১ম রাশি = x - 2
২য় রাশি = x2 - 4
= x2 - 22
= (x + 2) (x - 2)
৩য় রাশি = x + 2
∴ x - 2, x2 - 4 এবং x + 2 এর গ. সা. গু = 1
৫,৬৪৫.
তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় ৪৩ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় ৪৩ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো যথাক্রমে ক, ক + ১ এবং ক +২
প্রশ্নমতে,
(ক + ক + ১ + ক + ২)/৩ = ৪৩
৩ক + ৩ = ১২৯
৩ক = ১২৬
ক = ৪২
∴ বৃহত্তম সংখ্যটি = ৪২ + ২ = ৪৪
সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো যথাক্রমে ক, ক + ১ এবং ক +২
প্রশ্নমতে,
(ক + ক + ১ + ক + ২)/৩ = ৪৩
৩ক + ৩ = ১২৯
৩ক = ১২৬
ক = ৪২
∴ বৃহত্তম সংখ্যটি = ৪২ + ২ = ৪৪
৫,৬৪৬.
8x2yz এবং 12x3y2z2-এর সংখ্যা সহগের গ.সা.গু. নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 8x2yzএবং 12x3y2z2-এর সংখ্যা সহগের গ.সা.গু. নিচের কোনটি?
সমাধান :
8x2yzএবং 12x3y2z2-এর সংখ্যা সহগ যথাক্রমে 8 ও 12সংখ্যা সহগের গ.সা.গু = 4
আবার, প্রদত্ত রাশি 8x2yzএবং 12x3y2z2 এর গ.সা.গু = 4x2yz
যদি রাশি দুইটির গ.সা.গু বের করতে বলা হতো, তাহলে উত্তর 4x2yz হতো।
৫,৬৪৭.
একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক-তৃতীয়াংশের চেয়ে ২১ বেশি, সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক-তৃতীয়াংশের চেয়ে ২১ বেশি, সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে,
⇒ ক/২ = (ক/৩) + ২১
⇒ (ক/২) - (ক/৩) = ২১
⇒ (৩ক - ২ক)/৬ = ২১
⇒ ক = ২১ × ৬
∴ ক = ১২৬
সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ১২৬।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে,
⇒ ক/২ = (ক/৩) + ২১
⇒ (ক/২) - (ক/৩) = ২১
⇒ (৩ক - ২ক)/৬ = ২১
⇒ ক = ২১ × ৬
∴ ক = ১২৬
সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ১২৬।
৫,৬৪৮.
১৫ থেকে ৩০ এর মধ্যে অবস্থিত মৌলিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি বের করুন।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫ থেকে ৩০ এর মধ্যে অবস্থিত মৌলিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি বের করুন।
সমাধান:
১৫ থেকে ৩০ এর মধ্যে অবস্থিত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ১৭, ১৯, ২৩ এবং ২৯।
সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১৭ + ১৯ + ২৩ + ২৯
= ৮৮
৫,৬৪৯.
দুটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ৫৭। বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ৫৭। বড় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১
প্রশ্নমতে,
(ক + ১)২ - ক২ = ৫৭
⇒ ক২ + ২ক + ১ - ক২ = ৫৭
⇒ ২ক = ৫৭ - ১
⇒ ২ক = ৫৬
⇒ ক = ৫৬/২
∴ ক = ২৮
অতএব, বড় সংখ্যাটি = (২৮ + ১) = ২৯
সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১
প্রশ্নমতে,
(ক + ১)২ - ক২ = ৫৭
⇒ ক২ + ২ক + ১ - ক২ = ৫৭
⇒ ২ক = ৫৭ - ১
⇒ ২ক = ৫৬
⇒ ক = ৫৬/২
∴ ক = ২৮
অতএব, বড় সংখ্যাটি = (২৮ + ১) = ২৯
৫,৬৫০.
১০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ১ তাদের গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ১ তাদের গড় কত?
সমাধান:
১০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ১,
সে সকল সংখ্যা হচ্ছে ১১, ৩১, ৪১, ৬১, ৭১
∴ সংখ্যা পাঁচটির সমষ্টি = ১১ + ৩১ + ৪১ + ৬১ + ৭১ = ২১৫
∴ সংখ্যা পাঁচটির গড় = ২১৫/৫ = ৪৩
সমাধান:
১০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ১,
সে সকল সংখ্যা হচ্ছে ১১, ৩১, ৪১, ৬১, ৭১
∴ সংখ্যা পাঁচটির সমষ্টি = ১১ + ৩১ + ৪১ + ৬১ + ৭১ = ২১৫
∴ সংখ্যা পাঁচটির গড় = ২১৫/৫ = ৪৩
৫,৬৫১.
দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ২৫১ হলে বড় সংখ্যা কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ২৫১ হলে বড় সংখ্যা কোনটি?
সমাধান:
বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(ক + ১)২ - ক২ = ২৫১
বা, ক২ + ২ক + ১ - ক২ = ২৫১
বা, ২ক = ২৫১ - ১
বা, ২ক = ২৫০
∴ ক = ১২৫
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১ = ১২৫+ ১
= ১২৬
সমাধান:
বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(ক + ১)২ - ক২ = ২৫১
বা, ক২ + ২ক + ১ - ক২ = ২৫১
বা, ২ক = ২৫১ - ১
বা, ২ক = ২৫০
∴ ক = ১২৫
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১ = ১২৫+ ১
= ১২৬
৫,৬৫২.
১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭ তাদের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭ তাদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার একেক স্থানীয় অঙ্ক ৭ যাদের সেগুলো হলো ১৭, ৩৭, ৪৭
এদের সমষ্টি = ১৭ + ৩৭ + ৪৭ = ১০১
সমাধান:
১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার একেক স্থানীয় অঙ্ক ৭ যাদের সেগুলো হলো ১৭, ৩৭, ৪৭
এদের সমষ্টি = ১৭ + ৩৭ + ৪৭ = ১০১
৫,৬৫৩.
i + i2 + i3 + i4 = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: i + i2 + i3 + i4 = কত?
সমাধান:
জটিল সংখ্যার বিভিন্ন মানসমূহ-
• i = √(-1)
• i2 = - 1
• i3 = - i
• i4 = 1
এখন,
i + i2 + i3 + i4
= i + (- 1) + (- i) + 1
= i - 1 - i + 1
= 0
সমাধান:
জটিল সংখ্যার বিভিন্ন মানসমূহ-
• i = √(-1)
• i2 = - 1
• i3 = - i
• i4 = 1
এখন,
i + i2 + i3 + i4
= i + (- 1) + (- i) + 1
= i - 1 - i + 1
= 0
৫,৬৫৪.
০.০০০১ এর বর্গমূল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ০.০০০১ এর বর্গমূল কত?
সমাধান:
০.০০০১ এর বর্গমূল = √(০.০০০১)
= ০.০১
সমাধান:
০.০০০১ এর বর্গমূল = √(০.০০০১)
= ০.০১
৫,৬৫৫.
১০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭ তাদের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭ তাদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
১০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭,
সে সকল সংখ্যা হচ্ছে ১৭, ৩৭, ৪৭ এবং ৬৭
∴ সংখ্যা চারটির সমষ্টি = ১৭ + ৩৭ + ৪৭ + ৬৭ = ১৬৮
সমাধান:
১০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭,
সে সকল সংখ্যা হচ্ছে ১৭, ৩৭, ৪৭ এবং ৬৭
∴ সংখ্যা চারটির সমষ্টি = ১৭ + ৩৭ + ৪৭ + ৬৭ = ১৬৮
৫,৬৫৬.
একটি নার্সারিতে ১৬ জাতের ফুল গাছ আছে। ১/৪ অংশ জাতের ৫টি করে এবং ৩/৪ অংশ জাতের ৪টি করে গাছ আছে। সর্বমোট কতটি গাছ আছে নার্সারিতে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি নার্সারিতে ১৬ জাতের ফুল গাছ আছে। ১/৪ অংশ জাতের ৫টি করে এবং ৩/৪ অংশ জাতের ৪টি করে গাছ আছে। সর্বমোট কতটি গাছ আছে নার্সারিতে?
সমাধান:
মোট জাত = ১৬ টি
১/৪ অংশ জাত = ১৬ এর (১/৪) = ৪ টি
∴ মোট গাছ = ৪ × ৫ = ২০টি ; [প্রতি জাতে ৫টি করে গাছ]
আবার,
৩/৪ অংশ জাত = ১৬ এর (৩/৪) = ১২ টি
∴ মোট গাছ = ৪ × ১২ = ৪৮ টি ; [প্রতি জাতে ৪টি করে গাছ]
∴ সর্বমোট গাছ = ২০ + ৪৮ = ৬৮টি
৫,৬৫৭.
নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা নয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা নয়?
সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যেসব সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q ≠ 0 তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে।
- শূণ্য, সব স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা। যেমন: √4, √36.
- সব পূর্ণ ঘন সংখ্যার ঘনমূল মূলদ সংখ্যা।
- দশমিকের পরের অঙ্কগুলো যদি সসীম আকারে থাকে তাহলে সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা। যেমন: 5.66, 7.75.
∴ √28/4 = √(4 × 7)/4 = √7 = 2.645751....; যা একটি অমূলদ সংখ্যা।
সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যেসব সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q ≠ 0 তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে।
- শূণ্য, সব স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা। যেমন: √4, √36.
- সব পূর্ণ ঘন সংখ্যার ঘনমূল মূলদ সংখ্যা।
- দশমিকের পরের অঙ্কগুলো যদি সসীম আকারে থাকে তাহলে সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা। যেমন: 5.66, 7.75.
∴ √28/4 = √(4 × 7)/4 = √7 = 2.645751....; যা একটি অমূলদ সংখ্যা।
৫,৬৫৮.
১ থেকে ৩১ পর্যন্ত স্বাভাবিক জোড় সংখ্যাগুলোর গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত স্বাভাবিক জোড় সংখ্যাগুলোর গড় কত?
সমাধান:
১ থেকে ৩১ পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলো = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২ ,১৪, ১৬, ১৮, ২০, ২২, ২৪, ২৬, ২৮, ৩০
এখানে, ১ম সংখ্যা = ২, শেষ সংখ্যা = ৩০
∴ গড় = (১ম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা)/২
= (২ + ৩০)/২
= ৩২/২
= ১৬
৫,৬৫৯.
3x2 + 9, x4 - 9, x4 + 6x2 + 9 বীজগাণিতিক রাশিগুলোর ল.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x2 + 9, x4 - 9, x4 + 6x2 + 9 বীজগাণিতিক রাশিগুলোর ল.সা.গু কত?
সমাধান:
১ম রাশি = 3x2 + 9
= 3(x2 + 3)
২য় রাশি = x4 - 9
= (x2)2 - 32
= (x2 + 3)(x2 - 3)
৩য় রাশি = x4 + 6x2 + 9
= (x2)2 + 2 . x2 . 3 + 32
= (x2 + 3)2
নির্ণেয় ল.সা.গু = 3(x2 + 3)2(x2 - 3)
সমাধান:
১ম রাশি = 3x2 + 9
= 3(x2 + 3)
২য় রাশি = x4 - 9
= (x2)2 - 32
= (x2 + 3)(x2 - 3)
৩য় রাশি = x4 + 6x2 + 9
= (x2)2 + 2 . x2 . 3 + 32
= (x2 + 3)2
নির্ণেয় ল.সা.গু = 3(x2 + 3)2(x2 - 3)
৫,৬৬০.
নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়?
সমাধান:
১ = ১২
১৪৪ = ১২২
১৯৬ = ১৪২
২৪১ কে অন্য কোন পূর্ণসংখ্যার বর্গ আকারে প্রকাশ করা যায় না, তাই ১৮৬ পূর্নবর্গ সংখ্যা নয়।
সমাধান:
১ = ১২
১৪৪ = ১২২
১৯৬ = ১৪২
২৪১ কে অন্য কোন পূর্ণসংখ্যার বর্গ আকারে প্রকাশ করা যায় না, তাই ১৮৬ পূর্নবর্গ সংখ্যা নয়।
৫,৬৬১.
নিচের কোনটি ভিন্ন রকম?
ব্যাখ্যা
৩২৪ ব্যাতিত বাকি সংখ্যাগুলোর অংকগুলোর যোগফল ১০
অর্থাৎ
৩ + ২ + ৪ = ৯
২ + ৪ + ৪ = ১০
১ + ৫ + ৪ = ১০
৫ + ১ + ৪ = ১০
অর্থাৎ
৩ + ২ + ৪ = ৯
২ + ৪ + ৪ = ১০
১ + ৫ + ৪ = ১০
৫ + ১ + ৪ = ১০
৫,৬৬২.
একটি সংখ্যার শতক, দশক ও একক স্থানীয় অঙ্ক যথাক্রমে a, b, c হলে সংখ্যাটি হবে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যার শতক, দশক ও একক স্থানীয় অঙ্ক যথাক্রমে a, b, c হলে সংখ্যাটি হবে-
সমাধান:
একটি সংখ্যার শতক, দশক ও একক স্থানীয় অংক যথাক্রমে a, b, c হলে সংখ্যাটি হবে,
100 × শতক স্থানীয় অঙ্ক + 10 × দশক স্থানীয় অঙ্ক + 1 × একক স্থানীয় অঙ্ক
= (100 × a) + (10 × b) + (1 × c)
= 100a + 10b + c
৫,৬৬৩.
দুটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, সংখ্যাদ্বয় x ও (x + 1)
প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 199
⇒ x² + 2x + 1 - x² = 199
⇒ 2x = 199 - 1
⇒ x = 198/2 = 99
∴ বড় সংখ্যাটি = 199 - 99 = 100
৫,৬৬৪.
সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাকে কী বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাকে কি বলে?
সমাধান:
বাস্তব সংখ্যাঃ সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে।
সমাধান:
বাস্তব সংখ্যাঃ সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে।
পূর্ণ সংখ্যাঃ শূন্য সহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণ সংখ্যা বলে।
স্বাভাবিক সংখ্যাঃ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে।
মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers): যেসব সংখ্যা ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়, অর্থাৎ (p/q আকারে লিখা যায়, যেখানে q ≠ 0), যেমন: ১/২, ৩, -৫, ০.৭৫ ইত্যাদি।
অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers): যেসব সংখ্যা ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না, অর্থাৎ (p/q আকারে লিখা যায় না, যেখানে q ≠ 0)যেমন: √২, π, √৫ ইত্যাদি।
৫,৬৬৫.
একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক তৃতীয়াংশের চেয়ে ১৭ বেশি। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে, ক/২ = ক/৩ + ১৭
⇒ ক/২ - ক/৩ = ১৭
⇒ (৩ক - ২ক)/৬ = ১৭
⇒ ক = ১৭X৬
∴ক = ১০২
৫,৬৬৬.
পাঁচটি ঘণ্টা প্রথমে একত্রে বেজে যথাক্রমে ৬, ১২, ১৫, ১৮, ২৪ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা প্রথমে একত্রে বেজে যথাক্রমে ৬, ১২, ১৫, ১৮, ২৪ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?
সমাধান:
পাঁচটি ঘণ্টা পুনরায় একত্রে বাজার সময় হবে ৬, ১২, ১৫, ১৮, ২৪ সেকেন্ড এর ল.সা.গু এর মান
৬, ১২, ১৫, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু = ৩৬০
সুতরাং, পাঁচটি ঘণ্টা পুনরায় একত্রে বাজবে ৩৬০ সেকেন্ড বা ৩৬০/৬০ মিনিট = ৬ মিনিট পর।
সমাধান:
পাঁচটি ঘণ্টা পুনরায় একত্রে বাজার সময় হবে ৬, ১২, ১৫, ১৮, ২৪ সেকেন্ড এর ল.সা.গু এর মান
৬, ১২, ১৫, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু = ৩৬০
সুতরাং, পাঁচটি ঘণ্টা পুনরায় একত্রে বাজবে ৩৬০ সেকেন্ড বা ৩৬০/৬০ মিনিট = ৬ মিনিট পর।
৫,৬৬৭.
(a + b), (a2 - b2), (a2 + ab) এর গ. সা. গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a + b), (a2 - b2), (a2 + ab) এর গ. সা. গু কত?
সমাধান:
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
a2 + ab = a(a + b)
∴ (a + b), (a2 - b2), (a2 + ab) এর গ. সা. গু = a + b
সমাধান:
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
a2 + ab = a(a + b)
∴ (a + b), (a2 - b2), (a2 + ab) এর গ. সা. গু = a + b
৫,৬৬৮.
দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4 এবং এদের লসাগু 180 হলে, সংখ্যা দুটি কত?
ব্যাখ্যা
সংখ্যা দুটি 3y ও 4y হলে, এদের লসাগু 12y
অতএব, 12y = 180
বা, y = 15
সংখ্যা দুইটি 45 ও 60
অতএব, 12y = 180
বা, y = 15
সংখ্যা দুইটি 45 ও 60
৫,৬৬৯.
এক খণ্ড জমির ৩/৮ অংশের মূল্য ৩৭৫ টাকা হলে ঐ জমির ১/৫ অংশের দাম কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : এক খণ্ড জমির ৩/৮ অংশের মূল্য ৩৭৫ টাকা হলে ঐ জমির ১/৫ অংশের দাম কত?
সমাধান:
৩/৮ অংশ জমির মূল্য ৩৭৫ টাকা
১ অংশ জমির মূল্য (৩৭৫ × ৮)/৩ টাকা
১/৫ অংশ জমির মূল্য (৩৭৫ × ৮)/(৩ × ৫) টাকা
= ২০০ টাকা
সমাধান:
৩/৮ অংশ জমির মূল্য ৩৭৫ টাকা
১ অংশ জমির মূল্য (৩৭৫ × ৮)/৩ টাকা
১/৫ অংশ জমির মূল্য (৩৭৫ × ৮)/(৩ × ৫) টাকা
= ২০০ টাকা
৫,৬৭০.
১০০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?
সমাধান:
১০০৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭
= ২৪ × ৩২ × ৭১
এখানে,
২ এর সূচক ৪, ৩ এর সূচক ২ এবং ৭ এর সূচক হলো ১
এখন,
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) (২ + ১) (১ + ১)
= ৫ × ৩ × ২
= ৩০
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ৩০।
৫,৬৭১.
১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর গড় কত?
সমাধান:
১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর গড় = (১ + ৯৯) / ২
= ১০০/২
= ৫০
সমাধান:
১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর গড় = (১ + ৯৯) / ২
= ১০০/২
= ৫০
৫,৬৭২.
The HCF and LCM of two numbers are 12 and 336 respectively. If one of the numbers is 84, the other is = ?
ব্যাখ্যা
Other number
= (12×336)/84
= 48
৫,৬৭৩.
৫২৭৪৩৫ সংখ্যাটিতে ৭ এবং ৩ এর স্থানীয় মানের পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা
৫২৭৪৩৫ সংখ্যাটিতে ৭ এর স্থানীয়মান = ৭০০০
৫২৭৪৩৫ সংখ্যাটিতে ৩ এর স্থানীয়মান = ৩০
নির্ণেয় পার্থক্য = ৭০০০ - ৩০
= ৬৯৭০
৫২৭৪৩৫ সংখ্যাটিতে ৩ এর স্থানীয়মান = ৩০
নির্ণেয় পার্থক্য = ৭০০০ - ৩০
= ৬৯৭০
৫,৬৭৪.
কোন ভগ্নাংশটি ২/৩ থেকে বড়?
ব্যাখ্যা
৩৩/৫০ = ০.৬৬
১১/১৩ = ০.৮৪৬
৩/৫ = ০.৬
১৩/২৭ = ০.৪৮১৪
২/৩ = .৬৬৭
সুতরাং, ১১/১৩ এর মান ২/৩ এর মানের চেয়ে বড়।
১১/১৩ = ০.৮৪৬
৩/৫ = ০.৬
১৩/২৭ = ০.৪৮১৪
২/৩ = .৬৬৭
সুতরাং, ১১/১৩ এর মান ২/৩ এর মানের চেয়ে বড়।
৫,৬৭৫.
{ - ১২ - (- ৯)} - { - ১২ + ( - ৯)} এর মান কত?
ব্যাখ্যা
{ - ১২ - (- ৯)} - { - ১২ + ( - ৯)}
= {- ১২ + ৯} - {- ১২ - ৯}
= - ৩ - {- ২১}
= - ৩ + ২১
= ১৮
= {- ১২ + ৯} - {- ১২ - ৯}
= - ৩ - {- ২১}
= - ৩ + ২১
= ১৮
৫,৬৭৬.
২১/৪ , ৯/৮ এর ল.সা.গু. কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লব গুলোর ল.সা.গু)/( হর গুলোর গ.সা.গু)
প্রদত্ত ভাগ্নাংশগুলোর লব ২১, ৯ এর ল.সা.গু = ৬৩
প্রদত্ত ভাগ্নাংশগুলোর হর ৪, ৮ এর গ.সা.গু = ৪
∴ভগ্নাংশের ল.সা.গু = ৬৩/৪
৫,৬৭৭.
x2 – 8x – 8y + 16 + y2 রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
ব্যাখ্যা
x2 - 8x - 8y + 16 + y2
সূত্র: (a - b - c)2
= a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ca
x2 - 2.x.4 - 2.4.y + (4)2 + y2
= {42 + x2 + y2 - 2.x.4 + 2xy - 2.y.4} - 2xy
=(4 - x - y)2 - 2xy
অতএব, x2 - 8x - 8y + 16 + y2 এর সাথে 2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে।
x2 - 8x - 8y + 16 + y2 + 2xy
= (4 - x - y)2 - 2xy + 2xy
= (4 - x - y)2
৫,৬৭৮.
৩/৭ এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ২/৩ হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩/৭ এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ২/৩ হয়?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(৩ + ক)/(৭ + ক) = ২/৩
⇒ ৯ + ৩ক = ১৪ + ২ক
⇒ ৩ক - ২ক = ১৪ - ৯
⇒ ক = ৫
∴ সংখ্যাটি = ৫
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(৩ + ক)/(৭ + ক) = ২/৩
⇒ ৯ + ৩ক = ১৪ + ২ক
⇒ ৩ক - ২ক = ১৪ - ৯
⇒ ক = ৫
∴ সংখ্যাটি = ৫
৫,৬৭৯.
√.০০৩৬ এর মান কত?
ব্যাখ্যা
√.০০৩৬ = √(.০৬ × .০৬) = .০৬
৫,৬৮০.
একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশ হতে চার বিয়োগ করলে ২০ হয়। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশ হতে চার বিয়োগ করলে ২০ হয়। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে
(ক/৪) - ৪ = ২০
ক/৪ = ২০ + ৪
ক/৪ = ২৪
ক = ২৪ × ৪
ক = ৯৬
সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে
(ক/৪) - ৪ = ২০
ক/৪ = ২০ + ৪
ক/৪ = ২৪
ক = ২৪ × ৪
ক = ৯৬
৫,৬৮১.
নিচের কোন সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু ১৮?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু ১৮?
সমাধান:
৩৬ এর গুণনীয়ক:
১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮, ৩৬
আবার,
৫৪ এর গুণনীয়ক:
১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮, ২৭, ৫৪
উভয় সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক:
১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮
এর মধ্যে সবচেয়ে বড় গুণনীয়ক = ১৮
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ১৮
∴ ৩৬ এবং ৫৪ সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু ১৮
৫,৬৮২.
a ও b দুটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a ও b দুটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা?
সমাধান:
মনে করি, a ও b দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা হল 2 ও 4।
অপশন ক = a2 = 22 = 4 [যা জোড় সংখ্যা]
অপশন খ = b2 = 42 = 16 [যা জোড় সংখ্যা]
অপশন গ = a2 + 1 = 22 + 1= 5 [যা বিজোড় সংখ্যা]
অপশন ঘ = b2 + 2 = 42 + 2= 18 [যা জোড় সংখ্যা]
সমাধান:
মনে করি, a ও b দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা হল 2 ও 4।
অপশন ক = a2 = 22 = 4 [যা জোড় সংখ্যা]
অপশন খ = b2 = 42 = 16 [যা জোড় সংখ্যা]
অপশন গ = a2 + 1 = 22 + 1= 5 [যা বিজোড় সংখ্যা]
অপশন ঘ = b2 + 2 = 42 + 2= 18 [যা জোড় সংখ্যা]
৫,৬৮৩.
তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার প্রথম ২টির গুণফল শেষ ২টির গুণফল অপেক্ষা ১০ কম। বৃহত্তর সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার প্রথম ২টির গুণফল শেষ ২টির গুণফল অপেক্ষা ১০ কম। বৃহত্তর সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
১ম ক্রমিক সংখ্যা = x
২য় ক্রমিক সংখ্যা = x + 1
৩য় ক্রমিক সংখ্যা = x + 2
প্রশ্নমতে,
x(x + 1) = (x + 1)(x + 2) - 10
বা, x2 + x = x2 + 2x + x + 2 - 10
বা, x2 + x = x2 + 3x - 8
বা, x2 + x - x2 - 3x = - 8
বা, - 2x = - 8
বা, x = - 8/(- 2)
x = 4
১ম ক্রমিক সংখ্যা = 4
২য় ক্রমিক সংখ্যা = 4 + 1 = 5
৩য় ক্রমিক সংখ্যা = 4 + 2 = 6
সমাধান:
ধরি,
১ম ক্রমিক সংখ্যা = x
২য় ক্রমিক সংখ্যা = x + 1
৩য় ক্রমিক সংখ্যা = x + 2
প্রশ্নমতে,
x(x + 1) = (x + 1)(x + 2) - 10
বা, x2 + x = x2 + 2x + x + 2 - 10
বা, x2 + x = x2 + 3x - 8
বা, x2 + x - x2 - 3x = - 8
বা, - 2x = - 8
বা, x = - 8/(- 2)
x = 4
১ম ক্রমিক সংখ্যা = 4
২য় ক্রমিক সংখ্যা = 4 + 1 = 5
৩য় ক্রমিক সংখ্যা = 4 + 2 = 6
৫,৬৮৪.
০.০০০১ এর বর্গমূল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ০.০০০১ এর বর্গমূল কত?
সমাধান:
০.০০০১ এর বর্গমূল = √০.০০০১
= ০.০১
সমাধান:
০.০০০১ এর বর্গমূল = √০.০০০১
= ০.০১
৫,৬৮৫.
২/৫, ৩/১০ ও ১/৪ এর গ.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২/৫, ৩/১০ ও ১/৪ এর গ.সা.গু কত?
সমাধান:
২/৫, ৩/১০ ও ১/৪
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লব গুলোর গ.সা.গু/হর গুলোর ল.সা.গু
এখানে,
লব = ২, ৩ ও ১ এর গ.সা.গু = ১
হর = ৫, ১০ ও ৪ এর ল.সা.গু = ২০
∴ ২/৫, ৩/১০ ও ১/৪ এর গ.সা.গু = ১/২০
সমাধান:
২/৫, ৩/১০ ও ১/৪
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লব গুলোর গ.সা.গু/হর গুলোর ল.সা.গু
এখানে,
লব = ২, ৩ ও ১ এর গ.সা.গু = ১
হর = ৫, ১০ ও ৪ এর ল.সা.গু = ২০
∴ ২/৫, ৩/১০ ও ১/৪ এর গ.সা.গু = ১/২০
৫,৬৮৬.
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ২৪০ এবং গ.সা.গু ১২। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে অপরটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ২৪০ এবং গ.সা.গু ১২। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে অপরটি কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = (ল.সা.গু. × গ.সা.গু.)
⇒ ৪৮ × অপর সংখ্যা = (১২ × ২৪০)
⇒ অপর সংখ্যা = (১২ × ২৪০)/৪৮
= ৬০
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = (ল.সা.গু. × গ.সা.গু.)
⇒ ৪৮ × অপর সংখ্যা = (১২ × ২৪০)
⇒ অপর সংখ্যা = (১২ × ২৪০)/৪৮
= ৬০
৫,৬৮৭.
কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে।
এখানে,
২৭ - ৩ = ২৪
৪০ - ৪ = ৩৬
৬৫ - ৫ = ৬০
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর ল.সা.গু = ১২
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।
৫,৬৮৮.
তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি ১৭৭ হলে বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
সংখ্যা তিনটির সমষ্টি = ১৭৭
সংখ্যা তিনটির গড় = ১৭৭/৩ = ৫৯
∴ বড় সংখ্যাটি = ৫৯ + ২ = ৬১
সংখ্যা তিনটির গড় = ১৭৭/৩ = ৫৯
∴ বড় সংখ্যাটি = ৫৯ + ২ = ৬১
৫,৬৮৯.
১৬ কোটির ১% কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৬ কোটির ১% কত?
সমাধান:
১ কোটি = ১০০০০০০০
১৬ কোটি = ১৬০০০০০০০
১৬০০০০০০০ এর ১% = ১৬০০০০০০০ × (১/১০০)
= ১৬০০০০০
= ১৬ লক্ষ
সমাধান:
১ কোটি = ১০০০০০০০
১৬ কোটি = ১৬০০০০০০০
১৬০০০০০০০ এর ১% = ১৬০০০০০০০ × (১/১০০)
= ১৬০০০০০
= ১৬ লক্ষ
৫,৬৯০.
একটি ১২০ ফুট দৈর্ঘ্য ও ৭০ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট আয়তাকার ঘরের মেঝেকে বর্গাকার টাইলস দিয়ে সম্পূর্ণ ঢেকে দিতে হবে। সর্বোচ্চ সাইজের বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ১২০ ফুট দৈর্ঘ্য ও ৭০ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট আয়তাকার ঘরের মেঝেকে বর্গাকার টাইলস দিয়ে সম্পূর্ণ ঢেকে দিতে হবে। সর্বোচ্চ সাইজের বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
১২০ ও ৭০ এর গ.সা.গু ই হবে সর্বোচ্চ বর্গাকৃতির টাইলসের সংখ্যা কারণ টাইলসের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ এমন সংখ্যা হতে হবে যাতে তা দিয়ে ১২০ এবং ৭০ উভয় সংখ্যাকে ভাগ করা যায়। তাহলে কোন টাইলস কাটতে হবে না।
৭০ = ২ × ৫ × ৭
১২০ =২ × ২× ২ × ৩ × ৫
∴ গসাগু = ২ × ৫ = ১০
∴ সর্বোচ্চ সাইজের বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে ১০ ফুট ।
৫,৬৯১.
০.৯৬২৩ - ৩১ = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ০.৯৬২৩ - ৩১ = কত?
সমাধান:
০.৯৬২৩ - ৩১ = - ৩০.০৩৭৭
সমাধান:
০.৯৬২৩ - ৩১ = - ৩০.০৩৭৭
৫,৬৯২.
দুটি সংখ্যার যোগফল ২৩ ও বিয়োগফল ২১। ছোট সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল ২৩ ও বিয়োগফল ২১। ছোট সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যা x
বড় সংখ্যা y
x + y = 23
y - x = 21
_________________
(-) 2x = 2
∴ x = 1
সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যা x
বড় সংখ্যা y
x + y = 23
y - x = 21
_________________
(-) 2x = 2
∴ x = 1
৫,৬৯৩.
৪০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর কত?
ব্যাখ্যা
৪০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা ৭৯ এবং ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা ৪১।
এদের অন্তর ৭৯ - ৪১ = ৩৮।
৫,৬৯৪.
সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৬, ৯ এবং ১৫ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৬, ৯ এবং ১৫ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?
সমাধান:
৬, ৯ এবং ১৫ এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি,
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
∴ ল.সা.গু. = ২ × ৩ × ৩ × ৫
এখন,ছাত্রদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব হলে মোট ছাত্রসংখ্যা অবশ্যই একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। কোনো সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচক (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।
∴ লসাগু এর সাথে ২ এবং ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (২ × ২) × (৩ × ৩) × (৫ × ৫) = ৯০০
৫,৬৯৫.
x3 - 2x2, x2 - 4, xy - 2y রাশিগুলোর গ.সা.গু. (H.C.F) কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 2x2, x2 - 4, xy - 2y রাশিগুলোর গ.সা.গু. (H.C.F) কত?
সমাধান:
১ম রাশি = x3 - 2x2
= x2(x - 2)
২য় রাশি = x2 - 4
= x2 - 22
= (x + 2)(x - 2)
৩য় রাশি = xy - 2y
= y(x - 2)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 2)
৫,৬৯৬.
১৩ সংখ্যাটির অংকগুলোকে স্থান বিনিময় করলে ১৮ বৃদ্ধি পায়। এরূপ আর কতটি দুই অংকবিশিষ্ট সংখ্যা আছে যাদের অংকগুলোকে স্থান বিনিময় করলে ১৮ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৩ সংখ্যাটির অংকগুলোকে স্থান বিনিময় করলে ১৮ বৃদ্ধি পায়। এরূপ আর কতটি দুই অংকবিশিষ্ট সংখ্যা আছে যাদের অংকগুলোকে স্থান বিনিময় করলে ১৮ বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি (১০x + y),
অংকগুলোকে স্থান বিনিময় করলে হবে (১০y + x)
প্রশ্নমতে,
(১০y + x) - (১০x + y) = ১৮
⇒ ৯(y - x) = ১৮
⇒ y - x = ২
∴ y = ২ + x
∴ (x, y) এর সম্ভাব্য মানগুলো হবে (১, ৩), (২, ৪), (৩, ৫), (৪, ৬), (৫, ৭), (৬, ৮) এবং (৭, ৯)
১৩ বাদে এরূপ দুই অংকবিশিষ্ট সংখ্যা হবে: ২৪, ৩৫, ৪৬, ৫৭, ৬৮, ৭৯
∴ ১৩ এর মত অংকগুলোকে স্থান বিনিময় করলে ১৮ বৃদ্ধি এরূপ দুই অংকবিশিষ্ট সংখ্যা আছে আরও ৬টি।
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি (১০x + y),
অংকগুলোকে স্থান বিনিময় করলে হবে (১০y + x)
প্রশ্নমতে,
(১০y + x) - (১০x + y) = ১৮
⇒ ৯(y - x) = ১৮
⇒ y - x = ২
∴ y = ২ + x
∴ (x, y) এর সম্ভাব্য মানগুলো হবে (১, ৩), (২, ৪), (৩, ৫), (৪, ৬), (৫, ৭), (৬, ৮) এবং (৭, ৯)
১৩ বাদে এরূপ দুই অংকবিশিষ্ট সংখ্যা হবে: ২৪, ৩৫, ৪৬, ৫৭, ৬৮, ৭৯
∴ ১৩ এর মত অংকগুলোকে স্থান বিনিময় করলে ১৮ বৃদ্ধি এরূপ দুই অংকবিশিষ্ট সংখ্যা আছে আরও ৬টি।
৫,৬৯৭.
দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং গ.সা.গু ১৩। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং গ. সা. গু ১৩। সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির গ. সা. গু × সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু
বা, ৩৩৮০ = ১৩ × ল. সা. গু
বা, ল. সা. গু = ৩৩৮০/১৩
∴ ল. সা. গু = ২৬০ ।
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির গ. সা. গু × সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু
বা, ৩৩৮০ = ১৩ × ল. সা. গু
বা, ল. সা. গু = ৩৩৮০/১৩
∴ ল. সা. গু = ২৬০ ।
৫,৬৯৮.
নিচের কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
ব্যাখ্যা
এখানে,
০.৫ = ০.৫
√০.৫ = ০.৭০৭
২/৫ = ০.৪
১/৩ = ০.৩৩৩৩
০.৫ = ০.৫
√০.৫ = ০.৭০৭
২/৫ = ০.৪
১/৩ = ০.৩৩৩৩
৫,৬৯৯.
একটি খুঁটির 1/3 অংশ মাটির নিচে পুঁতে রাখা আছে। মাটির নিচে যতটুকু আছে তার 1/2 অংশ পানিতে আছে এবং বাকি অংশ পানির উপরে আছে। যদি পানির উপরে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য 9 ফুট হয়, পানিতে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খুঁটির 1/3 অংশ মাটির নিচে পুঁতে রাখা আছে। মাটির নিচে যতটুকু আছে তার 1/2 অংশ পানিতে আছে এবং বাকি অংশ পানির উপরে আছে। যদি পানির উপরে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য 9 ফুট হয়, পানিতে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
খুঁটির দৈর্ঘ্য = r মিটার
এখন,
মাটির নিচে আছে খুঁটিটির = r × (1/3) = r/3 অংশ
পানিতে আছে খুঁটিটির = (r/3) × (1/2) = r/6 অংশ
∴ বাকি অংশ বা পানির উপরে আছে = r - (r/3) - (r/6)
= (6r - 2r - r)/6
= 3r/6
= r/2
প্রশ্নমতে,
r/2 = 9
∴ r = 18 ফুট
∴ খুঁটিটির পানিতে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য = 18/6
= 3 ফুট
সমাধান:
ধরি,
খুঁটির দৈর্ঘ্য = r মিটার
এখন,
মাটির নিচে আছে খুঁটিটির = r × (1/3) = r/3 অংশ
পানিতে আছে খুঁটিটির = (r/3) × (1/2) = r/6 অংশ
∴ বাকি অংশ বা পানির উপরে আছে = r - (r/3) - (r/6)
= (6r - 2r - r)/6
= 3r/6
= r/2
প্রশ্নমতে,
r/2 = 9
∴ r = 18 ফুট
∴ খুঁটিটির পানিতে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য = 18/6
= 3 ফুট
৫,৭০০.
৪/১১ কে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪/১১ কে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?
সমাধান:
৪/১১ = ০.৩৬৩৬৩৬....…=
এটি একটি পুনরাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ, যেখানে ৩৬ পুনরায় আসতেছে।
সমাধান:
৪/১১ = ০.৩৬৩৬৩৬....…=
এটি একটি পুনরাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ, যেখানে ৩৬ পুনরায় আসতেছে।