বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: (১৮)^৭ কে সর্বনিম্ন কত দিয়ে গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
(১৮)^৭ 
= (২ × ৯)^৭
= (২ × ৩^২)^৭
= ২^৭ × ৩^১৪
কোনো সংখ্যার ঘাত জোড় সংখ্যা হলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে। 
৩^১৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ।

কিন্তু ২^৭ এর ঘাত বিজোড় হওয়ায় সেটি পূর্ণবর্গ নয়।
তবে ২^৭ কে ২ দ্বারা গুণ করলে গুণফল হবে,
(২^৭ × ২)
= ২^৮ যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

অর্থাৎ (১৮)^৭ এর সাথে সর্বনিম্ন ২ দ্বারা গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে। 

প্রশ্ন: একজন শ্রমিক প্রতিদিন প্রথম ৬ ঘণ্টা কাজের জন্য ঘণ্টায় ১৫ টাকা করে এবং পরবর্তী সময়ের জন্য ঘণ্টায় ২৫ টাকা করে মজুরি পায়। দৈনিক ১০ ঘণ্টা কাজ করলে তার ঘণ্টাপ্রতি গড় মজুরি কত?

সমাধান:
প্রথম ৬ ঘণ্টার জন্য,
১ ঘণ্টায় মজুরি পায় ১৫ টাকা
∴ ৬ ঘণ্টায় মজুরি পায় (৬ × ১৫) = ৯০ টাকা

পরবর্তী ৪ ঘণ্টার জন্য,
১ ঘণ্টায় মজুরি পায় ২৫ টাকা
∴ ৪ ঘণ্টায় মজুরি পায় (৪ × ২৫) = ১০০ টাকা

∴ ১০ ঘণ্টায় মোট মজুরি পায় (৯০ + ১০০) = ১৯০ টাকা

∴ ঘণ্টাপ্রতি গড় মজুরি = ১৯০ ÷ ১০ = ১৯ টাকা

প্রশ্ন: ১০/২১, ১৫/২৮ ও ২০/৩৫ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.)/(হর গুলোর ল.সা.গু.)

এখানে,
লব ১০, ১৫ ও ২০ এর গ.সা.গু. নির্ণয়:
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২^২ × ৫
∴ গ.সা.গু. = ৫

হর ২১, ২৮ ও ৩৫ এর ল.সা.গু. নির্ণয়:
২১ = ৩ × ৭
২৮ = ২^২ × ৭
৩৫ = ৫ × ৭
∴ ল.সা.গু. = ২^২ × ৩ × ৫ × ৭
= ৪ × ৩ × ৫ × ৭ = ৪২০

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = ৫/৪২০ = ১/৮৪

প্রশ্ন: ৬০ এর চেয়ে ছোট কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যা ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ যায় না।

২ থেকে ৫৯ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো,
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ = মোট ১৭টি
(৬০ নিজে মৌলিক নয়, তাই এটি গণনায় আসে নাই)

সুতরাং, ৬০ এর চেয়ে ছোট ১৭টি মৌলিক সংখ্যা আছে। 

৯টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪×৬২+৫×৩২) = ৪০৮
∴ পঞ্চম সংখ্যাটি = (৪৫৬-৪০৮) = ৪৮

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৭৫। সংখ্যা দুটির ল. সা. গু ৭৫ হলে, সংখ্যা দুটির গ. সা. গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৭৫
সংখ্যা দুটির ল. সা. গু ৭৫

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গ. সা. গু = দুটি সংখ্যার গুণফল/সংখ্যা দুটির ল. সা. গু
= ৩৩৭৫/৭৫
= ৪৫

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ 2πr : 2r
= π
= অমূলদ সংখ্যা (সকল ধ্রুবক একটি অমূলদ সংখ্যা)

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪২০ এবং গ.সা.গু ২০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩/৭ অংশ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ৭ক/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু
⇒ ক × (৭ক/৩) = ৪২০ × ২০
⇒ (৭/৩)ক^২ = ৮৪০০
⇒ ক^২ = ৮৪০০ × (৩/৭)
⇒ ক^২ = ৩৬০০
⇒ ক = √৩৬০০
∴ ক = ৬০

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৬০

∴ বড় সংখ্যাটি = (৬০ × ৭)/৩ = ৪২০/৩ = ১৪০

সুতরাং বড় সংখ্যাটি = ১৪০

৭, ৫, ৯, ৩ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ৩১৫
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৭ × ৩১৫ = ৩ × ৪৫ = ১৩৫
আবার, ২/৫ × ৩১৫ = ২ × ৬৩ = ১২৬
আবার, ৪/৯ × ৩১৫ = ৪ × ৩৫ = ১৪০
এবং ২/৩ × ৩১৫ = ২ × ১০৫ =২১০
সুতরাং সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ২/৩।

প্রশ্ন: ১২ জনের একটি অভিযাত্রী দলের ২৪ এবং ২৬ বছর বয়সী দুজন মহিলার পরিবর্তে দুজন পুরুষ এলে সকলের গড় বয়স ২ বছর বৃদ্ধি পায়। নতুন করে যুক্ত হওয়া দুজন পুরুষের গড় বয়স কত?

সমাধান:
দুজন পুরুষ লোকের মোট বয়স = [(২৪ + ২৬) + (১২ × ২)] বছর 
= (৫০ + ২৪) বছর
= ৭৪ বছর

∴ দুজন লোকের গড় বয়স = (৭৪/২) বছর
= ৩৭ বছর

- Water absorption capacity of first class brick is about 15 to 17% (Almost 1/6 portion) of its dry weight when immersed in water for 24 hour is allowed.
- Water absorption capacity of second class brick is little higher than first class bricks; it has about 18 to 20% (Almost 1/5 portion) of dry weight of bricks when immersed in water for 24 hour.
Link - (UNDP_Procurement_Notice]

প্রশ্ন: একটি গামলার ৭/৮ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ থাকলে তার ওজন ২১ কেজি হয় এবং ৩/৪ অংশ পানি পূর্ণ থাকলে তার ওজন ১৯ কেজি হয়। ঐ গামলার ওজন কত?

সমাধান:
ধরি,
গামলার ওজন = x কেজি
এবং পূর্ণ পানির ওজন = y কেজি।

প্রথম শর্ত অনুযায়ী,
গামলার ৭/৮  অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ থাকলে মোট ওজন = x + (৭/৮)y = ২১  কেজি। ........(1)

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী,
গামলার ৩/৪​ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ থাকলে মোট ওজন = x + (৩/৪)y = ১৯ কেজি। ........(2)

এখন (1) - (2) করে পাই, 
⇒ x + (৭/৮)y - {x + (৩/৪)y} = ২১ - ১৯ 
⇒ y{(৭/৮) - (৩/৪)} = ২ 
⇒ y(৭ - ৬)/৮ = ২ 
∴ y = ১৬ 

এখন y এর মান 1 নং এ বসিয়ে পাই, 
⇒ x + (৭/৮) × ১৬ = ২১
⇒ x + ১৪ = ২১ 
⇒ x = ২১ - ১৪ 
∴ x = ৭ কেজি 

সুতরাং, ঐ গামলার ওজন ৭ কেজি । 

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো:
৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯

∴ মোট মৌলিক সংখ্যা = ৭ টি

নোট:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা (মোট ২৫টি):
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

ধরি,
দশকের অঙ্ক = ক
∴এককের অঙ্ক = (ক+২)
∴সংখ্যাটি = ১০ক+ক+২ = ১১ক+২
⇒১১ক+২ = (ক+ক+২)х৩+৬
⇒১১ক+২ = ৬ক+৬+৬
⇒৫ক = ১০
∴ক = ২
∴সংখ্যাটি = ১১х২+২ = ২৪

 প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি বাস্তব সংখ্যা নয়?

সমাধান:
√- ৪ হলো একটি কাল্পনিক সংখ্যা, যা বাস্তব সংখ্যা নয়।
√- ৪ = √{৪ × (- ১)} = ২ √- ১ = ২i ; যেখানে i = √- ১​ কাল্পনিক একক

বাকিগুলো সবগুলোই বাস্তব সংখ্যা।

প্রশ্ন: ০, ২, ৪, ৫ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত?
 
সমাধান:
০, ২, ৪, ৫ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৫৪২০ 
এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৪৫

এদের পার্থক্য = ৫৪২০ - ২০৪৫ = ৩৩৭৫

সহমৌলিক সংখ্যা হল এমন দুইটি ধনাত্মক সংখ্যা যাদের মধ্যে ১ ব্যতিত কোন সাধারন উৎপাদক নেই। ৪=১×২×২, ৬=১×২×৩,এখনে ৪ ও ৬ এর সাধারন উৎপাদক ১ ও ২, তাই এরা সহমৌলিক নয়।

পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা।
যেহেতু √২২৫ = ১৫, √৬৭৬ = ২৬, √১২১ = ১১
সুতরাং √২২৫, √৬৭৬, √১২১ এগুলো মূলদ সংখ্যা।
কিন্তু √২১৬ মূলদ সংখ্যা নয়।

নিয়ম-১ঃ
৩৬ = ২ x ২ x ৩ x ৩ = ২² x ৩²
৩৬ সংখ্যাটির ভাজক = (২+১) x (২+১) = ৯টি।
নিয়ম-২ঃ
৩৬ = ১ x ৩৬ = ২ x ১৮ = ৩ x ১২ = ৪ x ৯ = ৬ x ৬
৩৬ সংখ্যাটির ভাজক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮, ৩৬ = ৯টি।

৭, ৫, ৯, ৩ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ৩১৫
সুতরাং, ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে,
৩/৭ × ৩১৫ = ৩ × ৪৫ = ১৩৫
আবার, ২/৫ × ৩১৫ = ২ × ৬৩ = ১২৬
আবার, ৪/৯ × ৩১৫ = ৪ × ৩৫ = ১৪০
এবং ১/৩ × ৩১৫ = ১ × ১০৫ = ১০৫
সুতরাং সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ৪/৯।

প্রশ্ন: একটি লাঠির ১/৪ অংশ মাটির নিচে, ২/৫ অংশ পানির নিচে এবং অবশিষ্ট ১৪ মিটার পানির উপরে আছে। লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ক মিটার
মাটির নিচে অংশ = ক/৪ মিটার
পানির নিচে অংশ = ২ক/৫ মিটার

মাটি ও পানির নিচের মোট অংশ = (ক/৪) + (২ক/৫) মিটার
= (৫ক + ৮ক)/২০ মিটার
= ১৩ক/২০ মিটার

∴ পানির উপরে আছে = ক - (১৩ক/২০)
= (২০ক - ১৩ক)/২০
= ৭ক/২০ মিটার

প্রশ্নমতে,
৭ক/২০ = ১৪
⇒ ৭ক = ১৪ × ২০
⇒ ৭ক = ২৮০
⇒ ক = ২৮০/৭
∴ ক = ৪০

অতএব, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার।

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একই সময়ে বাজতে শুরু করে। ঘণ্টা চারটি যথাক্রমে প্রতি ৬ সেকেন্ড, ১২ সেকেন্ড, ১৫ সেকেন্ড এবং ২০ সেকেন্ডের ব্যবধানে বাজে। ঘণ্টা চারটি ২ ঘণ্টার মধ্যে কতবার একসাথে বাজবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘণ্টাগুলির সময়কাল যথাক্রমে ৬, ১২, ১৫, ২০ সেকেন্ড।
প্রথমে এই সংখ্যা গুলোর মৌলিক গুণফল বের করি। 
৬ = ২ × ৩ 
১২ = ২ × ২ × ৩ 
১৫ = ৫ × ৩ 
২০ = ২ × ২ × ৫ 

∴ ল, সা, গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০ 
∴ চারটি ঘণ্টা একসাথে প্রতি ৬০ সেকেন্ডে বাজে।

এখন, 
২ ঘণ্টা = ২ × ৬০ × ৬০ = ৭২০০ সেকেন্ড
∴ ২ ঘন্টায়, ঘণ্টা চারটি একসাথে বাজবে = (৭২০০/৬০) বার + ১ বার(শুরুতে)
= ১২০ + ১ =  ১২১ বার

∴ ২ ঘন্টার মধ্যে ঘণ্টা চারটি একসাথে ১২১ বার বাজবে। 

এখানে,
√50/√8 = 5√2/2√2
= 5/2 যা মূলদ সংখ্যা

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক গাছকে ১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ টি সারিতে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে রোপণ করা সম্ভব?

সমাধান:
১৫ = ৩ × ৫ = ৩^১ × ৫^১
২০ = ২ × ২ × ৫ = ২^২ × ৫^১
২৫ = ৫ × ৫ = ৫^২
৩০ = ২ × ৩ × ৫ = ২^১ × ৩^১ × ৫^১

∴ ল.সা.গু. = ২^২ × ৩^১ × ৫^২ = ৩০০

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হতে হবে।
এখানে ২ এর ঘাত = ২ (জোড়), ৩ এর ঘাত = ১ (বিজোড়), ৫ এর ঘাত = ২ (জোড়)।
∴ এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ৩ দিয়ে গুণ করতে হবে।
সুতরাং, নির্ণেয় সর্বনিম্ন গাছের সংখ্যা = ৩০০ × ৩ = ৯০০

∴ সর্বনিম্ন ৯০০টি গাছকে সারিতে ভাগ করে বর্গাকারে রোপণ করা সম্ভব।

দুইটি সংখ্যার গ সা গু ২, ল সা গু ৩৬০এবং একটি সংখ্যা ১০।
আমরা জানি,
গ সা গু X ল সা গু = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
বা, ২ × ৩৬০ = ১০ × ২য় সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (২×৩৬০)/১০
= ৭২

প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের ১/৫ অংশ মাটির নিচে, ৩/৭ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ২৬ মিটার পানির উপরে আছে। গাছটির মোট দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
ধরি, গাছটির মোট দৈর্ঘ্য = ক মিটার
দেওয়া আছে,
মাটির নিচে = ১/৫ অংশ = ক/৫
পানিতে = ৩/৭ অংশ = ৩ক/৭
পানির উপরে (অবশিষ্ট) = ২৬ মিটার

∴ সম্পূর্ণ গাছ = মাটির নিচে + পানিতে + পানির উপরে
⇒ ক = (ক/৫) + (৩ক/৭) + ২৬
⇒ ক - (ক/৫) - (৩ক/৭) = ২৬
⇒ (৩৫ক - ৭ক - ১৫ক)/৩৫ = ২৬
⇒ ১৩ক/৩৫ = ২৬ 
⇒ ক = (৩৫ × ২৬)/১৩ 
⇒ ক =  ৩৫ × ২
∴ ক = ৭০ 

সুতরাং, গাছটির মোট দৈর্ঘ্য ৭০ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ২ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৩ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ৫ বার বেশি ঘুরবে? 

সমাধান: 
সামনের চাকা পেছনের চাকার চেয়ে ১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে ২ ও ৩ এর ল.সা.গু এর সমান 
∴ ২ ও ৩ এর ল.সা.গু  = ৬ 

১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৬ মিটার 
∴ ৫ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = (৬ × ৫) মিটার 
= ৩০ মিটার

আমরা জানি দুটি সংখ্যার গুণফল = লসাগু×গসাগু
∴ ১১৭৬ = ৮৪×গসাগু
⇒ গসাগু = ১১৭৬/৮৪ = ১৪

নির্ণয়ে বৃহত্তম সংখ্যা হবে (১০২-৬)=৯৬ এবং (১৮৬-৬)=১৮০ এর গ.সা.গু.=১২

১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু. হলো ৫।
তাই সর্বোচ্চ ৫ জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যাবে।

৩৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলে ক্রয়মূল্য (৩৮০+২০) = ৪০০ টাকা।
৪০০ টাকায় ক্ষতি হয় ২০ টাকা
∴ ১০০ 〃     〃  〃 (১০০×২০)/৪০০ টাকা
                      = ৫ টাকা

প্রশ্ন: ৩/৫, ৫/৭ এবং ৭/৯ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু

এখানে,
লব ৩, ৫ ও ৭ এর ল.সা.গু = ১০৫
হর ৫, ৭ ও ৯ এর গ.সা.গু = ১

অতএব,
৩/৫, ৫/৭ ও ৭/৯ এর ল.সা.গু
= ১০৫/১
= ১০৫