PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ৫৩ / ৬৪ · ৫,২০১–৫,৩০০ / ৬,৪০৪
২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল.সা.গু. = ৬০
৯৯৯৯৯ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ১৬৬ এবং ভাগশেষ হয় ৩৯।
ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্যই হবে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা (৬০-৩৯) = ২১
প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 121 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = x
বড় সংখ্যাটি = x + 1
প্রশ্নমতে,
(x + 1)2 - x2 = 121
⇒ x2 + 2x + 1 - x2 = 121
⇒ 2x + 1 = 121
⇒ 2x = 121 - 1
⇒ 2x = 120
⇒ x = 120/2
∴ x = 60
∴ বড় সংখ্যাটি = 60 + 1 = 61
আমরা জানি,
১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু.
২য় সংখ্যা = (সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু.)/১ম সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (২৮৮ × ১২)/৩৬ = ৯৬
০ = ১×০
১ = ১×১
২ = ১×২
৩ = ১×৩
সুতরাং, গ.সা.গু. = ১।
প্রশ্ন: ২৪ জন ছাত্র এবং একজন শিক্ষকের বয়সের গড় ১৬ বছর। শিক্ষককে বাদ দিয়ে শুধু ছাত্রদের গড় করলে গড় ২ বছর কমে যায়। শিক্ষকের বয়স কত?
সমাধান:
মোট ব্যক্তি = ২৫ জন
গড় = ১৬ বছর
∴ মোট বয়স = ২৫ × ১৬ = ৪০০ বছর
আবার,
শিক্ষককে বাদ দিলে,
ছাত্র = ২৪ জন
গড় = ১৬ - ২ = ১৪ বছর
∴ ছাত্রদের মোট বয়স = ২৪ × ১৪ = ৩৩৬ বছর
∴ শিক্ষকের বয়স = মোট বয়স - ছাত্রদের মোট বয়স
= ৪০০ - ৩৩৬
= ৬৪ বছর
সুতরাং, শিক্ষকের বয়স ৬৪ বছর।
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩৬০০। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ১৮০ হলে, গ.সা.গু কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৩৬০০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ১৮০
আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৬০০ = ১৮০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ৩৬০০/১৮০
∴ গ.সা.গু = ২০
প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?
সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় তাই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, সে সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেখানে p এবং q উভয়ই পূর্ণসংখ্যা এবং q শূন্য নয় এমন সংখ্যা।
ক) √৭/৩; ⇒ যেহেতু, √৭ একটি অমূলদ সংখ্যা, তাই এই ভগ্নাংশটি অমূলদ।
খ) √২৫/√৮১ = ৫/৯; ⇒ এটিকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে ৫ ও ৯ উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা। ∴ এটি একটি মূলদ সংখ্যা।
গ) √৫/৪; ⇒ যেহেতু √৫ একটি অমূলদ সংখ্যা, তাই এই ভগ্নাংশটি অমূলদ।
ঘ) √২; ⇒ এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।
অতএব, √২৫/√৮১ হলো মূলদ সংখ্যা।
ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে, ক/২ = ক/৩ + ১৫
⇒ ক/২ - ক/৩ = ১৫
⇒ (৩ক - ২ক)/৬ = ১৫
⇒ ক = ১৫X৬
∴ক = ৯০
২০ জাতের ১/৪ অংশ = ৫ জাত। অবশিষ্ট থাকে (২০-৫) = ১৫
∴ মোট গাছের সংখ্যা (৫×৫ + ১৫×৪) = ৮৫ টি।
আমরা জানি,
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭ এবং ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১।
সুতরাং সংখ্যা দুটির মধ্যে পার্থক্য = ৯৭ - ৪১
= ৫৬
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৪০ হলে সংখ্যা দুটির যোগফল কত?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৪ক ও ৫ক।
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৪ × ৫ × ক) = ২০ক।
প্রশ্নমতে,
২০ক = ১৪০
⇒ ক = ১৪০/২০
⇒ ক = ৭
সংখ্যা দুটি হলো: (৪ × ৭) = ২৮ এবং (৫ × ৭) = ৩৫
∴ সংখ্যা দুটির যোগফল = ২৮ + ৩৫ = ৬৩
প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কতজন সৈন্য ছিল?
সমাধান:
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০০
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ১১) জন
= ৫৮৯ জন।
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ৫৮৫ এবং ১৩। সংখ্যা দুটির মধ্যে পার্থক্য কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
গ.সা.গু = ১৩ এবং ল.সা.গু = ৫৮৫
ধরি,
সংখ্যাটি হলো ১৩ক এবং ১৩খ ; [ যেখানে ক এবং খ হল সহ-মৌলিক সংখ্যা।]
∴ ১৩ক এবং ১৩খ এর ল.সা.গু = ১৩কখ
প্রশ্নমতে,
১৩কখ = ৫৮৫
⇒ কখ = ৫৮৫/১৩
⇒ কখ = ৪৫ = ৫ × ৯
∴ ক = ৫ এবং খ = ৯ অথবা ক = ৯ এবং খ = ৫
∴ প্রথম সংখ্যা = ১৩ক = ১৩ × ৫ = ৬৫
∴ দ্বিতীয় সংখ্যা = ১৩খ = ১৩ × ৯ = ১১৭
∴ সংখ্যা দুটির পার্থক্য = ১১৭ - ৬৫ = ৫২
অতএব, সংখ্যা দুটির পার্থক্য ৫২
প্রশ্ন: একজন চাকুরিজীবীর মাসিক আয়ের ১/৪ অংশ বাসা ভাড়ায়, ২/৫ অংশ খাদ্যে এবং ১/১০ অংশ যাতায়াতে ব্যয় হয়। তার আয়ের শতকরা কত ভাগ সঞ্চয় হয়?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাসা ভাড়া = ১/৪ অংশ
খাদ্য = ২/৫ অংশ
যাতায়াত = ১/১০ অংশ
মোট ব্যয় = (১/৪) + (২/৫) + (১/১০)
= (৫ + ৮ + ২)/২০
= ১৫/২০
= ৩/৪ অংশ
∴ সঞ্চয়ের অংশ = মোট আয় - মোট ব্যয়
= ১ - (৩/৪)
= ১/৪ অংশ
∴ শতকরা সঞ্চয় = (১/৪) × ১০০% = ২৫%
সুতরাং, তার আয়ের শতকরা ২৫ ভাগ সঞ্চয় হয়।
রানা + রনি = ৫x × ২ = ১০x বছর
রনি + জনি = ১৩x/২ × ২ = ১৩x বছর
---------------------------------------
∴ রানা + ২×রনি + জনি = ২৩x বছর (যোগ করে)
আবার, রানা + রনি + জনি = ১৫x বছর
∴ রনির বয়স = ৮x বছর
প্রশ্নমতে,
৮x = ১৬ বছর
∴ x = ২
∴ তিনজনের বয়সের গড় = ৫ × ২ = ১০ বছর।
প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগশেষ ভাজকের এক-চতুর্থাংশ এবং ভাগফল ভাজকের দ্বিগুণ। ভাজক ১২ হলে ভাজ্য কত?
সমাধান:
দেয়া আছে, ভাজক = ১২
ভাগশেষ = ভাজকের এক-চতুর্থাংশ = ১২/৪ = ৩
ভাগফল = ভাজকের দ্বিগুণ = ১২ × ২ = ২৪
আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (১২ × ২৪) + ৩
= ২৮৮ + ৩
= ২৯১
∴ ভাজ্য = ২৯১
এখানে,
√27/3 = 3√3/3
= √3 যা অমূলদ সংখ্যা।
√8/√2 = 2
5√16/8 = 5/2
3√125/5 = 1
সুতরাং, এগুলো মূলদ সংখ্যা।
প্রশ্ন: ১২ এর কত শতাংশ ১৮ হবে?
[মাদকদ্রব্য নিয়ন্ত্রণ অধিদপ্তর পদের নাম: অফিস সহায়ক]
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী,
১২ এর ক% = ১৮
⇒ (ক/১০০) × ১২ = ১৮
⇒ ক = (১০০ × ১৮)/১২
∴ ক = ১৫০%
∴ ১২ এর ১৫০% হলো ১৮
প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৬০, ১৫০ এবং ৩০০ নিঃশেষে বিভাজ্য?
সমাধান:
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা হবে ৬০, ১৫০ এবং ৩০০ এর গ.সা.গু
৬০ = ৩ × ২ × ৫ × ৫ × ২
১৫০ = ২ × ৫ × ৩ × ৫
৩০০ = ২ × ৫ × ৫ × ৩ × ২
∴ প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু = ২ × ৩ × ৫ = ৩০
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ৩০
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ab এবং গ.সা.গু. cd। একটি সংখ্যা m হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ল.সা.গু. = ab এবং গ.সা.গু. = cd
একটি সংখ্যা = m
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
অপর সংখ্যাটি × m = ab × cd
∴ অপর সংখ্যা = abcd/m
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা থেকে ৩৫ বিয়োগ করলে তা কমে সংখ্যাটির ৮০% এর সমান হয়। সংখ্যাটির চার-পঞ্চমাংশের মান কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
x − ৩৫ = x এর ৮০%
বা, x − ৩৫ = x × ৮০/১০০
বা, ১০০x − ৩৫০০ = ৮০x
বা, ১০০x − ৮০x = ৩৫০০
বা, ২০x = ৩৫০০
বা, x = ৩৫০০/২০
∴ x = ১৭৫
∴ সংখ্যাটির চার-পঞ্চমাংশ = ১৭৫ × (৪/৫)
= ১৪০ ।
প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?
সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: p/q আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।
অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
এখন,
ক) π = 3.14159…
খ) √3 = 1.73205081…
গ) e = 2.71828…
ঘ)
সুতরাং, সঠিক উত্তর ঘ
প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার গড় ৭২, প্রথম চারটি সংখ্যার গড় ৮০ এবং শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ৬০ হলে পঞ্চম সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
১০টি সংখ্যার গড় = ৭২
∴ ১০টি সংখ্যার সমষ্টি (৭২ × ১০) = ৭২০
প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় = ৮০
প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = (৮০ × ৪) = ৩২০
শেষ ৫টি সংখ্যার গড় = ৬০
শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (৫ × ৬০) = ৩০০
এখন,
১০টি সংখ্যার মোট সমষ্টি = (প্রথম ৪টির সমষ্টি + পঞ্চম সংখ্যা + শেষ ৫টির সমষ্টি)
∴ পঞ্চম সংখ্যা = (মোট সমষ্টি - প্রথম ৪টির সমষ্টি - শেষ ৫টির সমষ্টি)
= ৭২০ - ৩২০ - ৩০০
= ৭২০ - ৬২০
= ১০০
অতএব, পঞ্চম সংখ্যাটি হলো ১০০।
প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ছোট?
সমাধান:
সব ভগ্নাংশে লব (উপরের সংখ্যা) একই, অর্থাৎ ১,
সুতরাং যে ভগ্নাংশের হর (নিচের সংখ্যা) সবচেয়ে বেশি, সেটিই সবচেয়ে ছোট।
অপশন অনুযায়ী—
১/৫ = ০.২
১/৬ ≈ ০.১৬৬৭
১/৭ ≈ ০.১৪২
১/৮ = ০.১২৫ এই সংখ্যাটি সবচেয়ে ছোট
প্রশ্ন: ৭২০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
সমাধান:
কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।
৭২০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ২৪ × ৩২ × ৫১
এখানে,
২-এর ঘাত হলো ৪, যা একটি জোড় সংখ্যা।
৩-এর ঘাত হলো ২, যা একটি জোড় সংখ্যা।
৫-এর ঘাত হলো ১, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।
৫-এর ঘাত জোড় করতে হলে আরও একটি ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।
৭২০ × ৫ = ৩৬০০ = ৬০২
সুতরাং, ৫ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
৪ টি ১ টাকার নোট ও ৮ টি ২ টাকার নোট = (১×৪ + ৮×২) = ২০
৮ টি ৫ টাকার নোট = (৮ × ৫) = ৪০ টাকা
অতএব, ২০/৪০ = ১/২ অংশ