বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ে যতজন শিক্ষার্থী আছে প্রত্যেকে তত ৩টি করে চারা লাগায়। যদি মোট ১২০০টি চারা লাগানো হয়, তাহলে শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?
​
​সমাধান: 
​ধরি,
​শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ক জন
প্র​শ্ন অনুযায়ী, প্রত্যেকে শিক্ষার্থীর সংখ্যা যত, তত ৩টি করে চারা লাগায়।
অতএব, প্রত্যেকের লাগানো চারার সংখ্যা = (ক × ৩) টি।
​
​প্রশ্নমতে,
​ক × (ক × ৩) = ১২০০
⇒ ৩ক^২ = ১২০০
⇒ ক^২= ১২০০/৩
⇒ ক^২ = ৪০০
⇒ ক = √৪০০
⇒ ক = ২০

সুতরাং, শিক্ষার্থীর সংখ্যা হলো ২০ জন।

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৮, ১২, ১৮ ও ২৪ এর ল.সা.গু'র চেয়ে ৫ বেশি।
∴ ৮, ১২, ১৮ ও ২৪ এর লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি (৭২ + ৫) বা ৭৭। 

প্রশ্ন: কোন সম্পত্তির ৩/৭ অংশের মূল্য ২৭০০০ টাকা হলে ১/২ অংশের মূল্য কত?

সমাধান:
৩/৭ অংশ = ২৭০০০
∴ ১ অংশ = ২৭০০০ × (৭/৩)
∴ ১/২ অংশ = ২৭০০০ × (৭/৩) × (১/২)
= ৩১,৫০০ টাকা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং গ.সা.গু ৩ হলে ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং গ.সা.গু ৩

ধরি, সংখ্যা দুইটি ৫ক এবং ৭ক
যেহেতু, ৫ ও ৭ পরস্পর সহমৌলিক   [দুইটি সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।]
∴ ৫ক এবং ৭ক এর গ.সা.গু = ক

প্রশ্নমতে, ক = ৩
∴ ক্ষুদ্রতর সংখ্যা = ৩ × ৫ 
= ১৫

ধারা হিসেবে বিবেচনা করলে- 15 + 16 + 17 +......+ 25 তম পদ
এখন,
১ম পদ, a = 15
সাধারণ অন্তর, d = 1
n = 25
nতম পদের সমষ্টি, S = (n/2) {2a + (n - 1)d}
= (25/2) {2 × 15 + (39 - 1)1}
= (25/2) (30 + 24)
= 25/2 × 54
= 675
∴ অডিটরিয়ামে 675টি আসন আছে।

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৩। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ১৯৩
বা, ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ১৯৩
বা, ২ক + ১ = ১৯৩
বা, ২ক + ১ = ১৯৩ - ১
বা, ২ক = ১৯২
বা, ক = ১৯২/২
∴ ক = ৯৬

∴ বড় সংখ্যাটি = ক + ১ = ৯৬ + ১ = ৯৭

Age of the boy sitting in the middle
= 26×7-(19×3+32×3)
= 180-153
= 29 years

প্রশ্ন: ছয়টি সংখ্যার গড় ৬। যদি প্রতিটি সংখ্যা থেকে ২ বিয়োগ করা হয় তবে নতুন সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ছয়টি সংখ্যার গড় ৬

∴ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৬ × ৬ = ৩৬

আবার,
যদি প্রতিটি সংখ্যা থেকে ২ বিয়োগ করা হয়, তবে মোট সমষ্টি থেকে বিয়োগ হবে = ২ × ৬ = ১২।
∴ নতুন যোগফল = ৩৬ - ১২ = ২৪।

∴ নতুন গড় = নতুন যোগফল ÷ সংখ্যার সংখ্যা = ২৪ ÷ ৬ = ৪

অতএব, নতুন সংখ্যাগুলোর গড় ৪। 

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২৪, ৩৬, ৪৮ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১৪, ২৬ ও ৩৮ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
২৪ - ১৪ = ১০  
৩৬ - ২৬ = ১০  
৪৮ - ৩৮ = ১০  

২৪, ৩৬, ৪৮ থেকে যথাক্রমে ১৪, ২৬ ও ৩৮ বিয়োগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১০ অবশিষ্ট থাকে।

এখন,
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩  
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩  
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু.  
= ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩  
= ১৪৪

যেহেতু প্রতিক্ষেত্রে ১০ অবশিষ্ট থাকে  
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৪৪ - ১০ = ১৩৪

প্রশ্ন: Q একটি মৌলিক সংখ্যা হলে তার √Q কে কী হিসেবে প্রকাশ করা যায়?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা অনুসারে, Q কেবলমাত্র 1 এবং Q দ্বারা বিভাজ্য।
আমরা জানি যে, যদি Q একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় √Q​ মূলদ সংখ্যা হয়। 
কিন্তু যেহেতু Q মৌলিক, এটি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
∴ √Q মূলদ সংখ্যা নয়।
যদি Q = 2, 3, 5, 7, 11, 13,… হয়, তবে  √Q​​ একটি অমূলদ সংখ্যা (irrational number)।
কারণ  √Q​​ কখনো ভগ্নাংশ বা পূর্ণসংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

অর্থাৎ √Q একটি অমূলদ সংখ্যা। 

ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(৭ + ক)/(১৭ + ক) = ৩/৫
বা, ৩৫ + ৫ক = ৫১ + ৩ক
বা, ২ক = ১৬
∴ ক = ৮

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ৪/৭ অংশ কালো এবং বাকি অংশ হলুদ। খুঁটির কালো এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য ৯ মিটার হলে সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য = ১ অংশ

খুঁটির কালো অংশ = ৪/৭ অংশ
খুঁটির হলুদ অংশ = ১ - (৪/৭) অংশ
 = (৭ - ৪)/৭ অংশ
= ৩/৭ অংশ

কালো এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য = (৪/৭) - (৩/৭) অংশ
 = (৪ - ৩)/৭ অংশ
= ১/৭ অংশ

প্রশ্নমতে,
১/৭ অংশ = ৯ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = (৭×৯)/১ মিটার
= ৬৩ মিটার

৮ টি সংখ্যার সমষ্টি ৩১৭ এবং ৩ টি সংখ্যার সমষ্টি ৯০।
∴ ১১ টি সংখ্যার গড় হবে = (৩১৭ + ৯০) / ১১ = ৪০৭/১১ = ৩৭ 

0 = 0 × 3,
3 = 3 × 1,
12 = 3 × 4
∴ গ. সা. গু = 3

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-পঞ্চমাংশের সাথে এক-ষষ্ঠাংশ যোগ করলে যোগফল ৩৩ হবে?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(ক/৫) + (ক/৬) = ৩৩
বা, (৬ক + ৫ক)/৩০ = ৩৩
বা, ১১ক/৩০ = ৩৩
বা, ১১ক = ৩৩ × ৩০
বা, ক = (৩৩ × ৩০)/১১
বা, ক = ৩ × ৩০
বা, ক = ৯০
​
​অতএব, সংখ্যাটি হবে ৯০।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫: ৭ এবং তাদের ল.সা.গু. ২১০ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ৭ক

∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৫ × ৭)ক = ৩৫ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৩৫
⇒ ক = ৬

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৫ × ক
= ৫ × ৬ = ৩০

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য? 

সমাধান: 
৪ দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম:
একটি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি তার শেষ দুটি অঙ্ক (একক এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক) দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) ২১৪১৩৩; শেষ দুটি অঙ্ক ৩৩। ৩৩ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে (৩৩ = ৪ × ৮ + ১), তাই এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

খ) ৩২২৬৫৮; শেষ দুটি অঙ্ক ৫৮। ৫৮ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে (৫৮ = ৪ × ১৪ + ২), তাই এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

গ) ৫২১৫৬৪; শেষ দুটি অঙ্ক ৬৪। ৬৪ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না (৬৪ = ৪ × ১৬), তাই এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

ঘ) ৯৫২২১৮; শেষ দুটি অঙ্ক ১৮। ১৮ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে (১৮ = ৪ × ৪ + ২), তাই এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো গ) ৫২১৫৬৪।

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৫২০ টি আম রয়েছে। এতে কমপক্ষে আরো কতটি আম যোগ করলে সেগুলো ৩, ৪ এবং ৬ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
৩ = ১ × ৩
৪ = ২ × ২
৬ = ২ × ৩

৩, ৪, ৬ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ = ১২

এখন,
১২ ) ৫২০ ( ৪৩
        ৪৮
     ___________
           ৪০
           ৩৬
    _____________
              ৪ 

যেহেতু ভাগশেষ ৪, সেহেতু ল.সা.গু. থেকে ভাগশেষের বিয়োগফলের সমান সংখ্যক আম যোগ করলে তা সকলের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

∴ আম যোগ করতে হবে = (১২ - ৪) টি = ৮ টি

প্রশ্ন: ৬০০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা কত?

সমাধান:
৬০০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫
= ২^৩× ৩^১ × ৫^২ 

আমরা জানি,
কোনো সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা বের করতে হলে এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচকের সাথে ১ যোগ করে গুণ করতে হয়।

∴  ৬০০ এর মোট ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (১ + ১) × (২ + ১)
= ৪ × ২ × ৩
= ২৪

সুতরাং, ৬০০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ২০, ৩০ এবং ৪০ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১০, ২০ এবং ৩০ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
প্রথমেই, ভাজক এবং ভাগশেষের মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করি,
২০ - ১০ = ১০
৩০ - ২০ = ১০
৪০ - ৩০ = ১০

এখানে, প্রতিটি ক্ষেত্রে পার্থক্য একই (১০)।
সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ২০, ৩০ এবং ৪০ এর ল.সা.গু  অপেক্ষা ১০ কম।

২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫

ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১২০ - ১০ 
= ১১০

সংখ্যাটি = (৩৭৫ + ৪৬৫)/২
= ৮৪০/২
= ৪২০

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি বাস্তব সংখ্যা নয়?

সমাধান:
বাস্তব সংখ্যা: শূন্য সহ সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে। যেমন: ০, ১, ২, - ১, - ২, √২, √৩ ইত্যাদি।

এখানে,
ক) - ৭.৫ → এটি একটি বাস্তব দশমিক সংখ্যা।
খ) √০ = ০ → এটি একটি বাস্তব সংখ্যা।
ঘ) ১/২ → এটি একটি বাস্তব ভগ্নাংশ।
গ) ৯ + √- ১৬ → এই সংখ্যাটির √- ১৬ একটি কাল্পনিক সংখ্যা। কারণ, √- ১৬ বাস্তব সংখ্যার মধ্যে পড়ে না। এটি একটি কাল্পনিক সংখ্যা।

∴ (গ) ৯ + √- ১৬ বাস্তব সংখ্যা নয়।

প্রশ্ন: ১০০ থেকে বড় এবং ১৫০ থেকে ছোট কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে? 

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা: যে সংখ্যাকে শুধুমাত্র ১ এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

এখন, 
১০০ থেকে বড় এবং ১৫০ থেকে ছোট ১০টি মৌলিক সংখ্যা আছে। 
মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো-
১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯, ১১৩, ১২৭, ১৩১, ১৩৭, ১৩৯ এবং ১৪৯। 

প্রশ্ন: ১ থেকে ৮০ গণনা করলে তার মধ্যে কয়টি ৬ পাওয়া যাবে? 

সমাধান:
একক স্থানে ৬ আছে - ৬, ১৬, ২৬, ৩৬, ৪৬, ৫৬, ৬৬, ৭৬ = ৮টি

এবং 
দশক স্থানে ৬ আছে - ৬০, ৬১, ৬২, ৬৩, ৬৪, ৬৫, ৬৬, ৬৭, ৬৮, ৬৯ = ১০ টি

∴ মোট ৬ আছে = ৮ + ১০ = ১৮ টি 

বিশেষ দ্রষ্টব্য: ৬৬ সংখ্যায় ৬ দুইবার এসেছে (একক ও দশক উভয় স্থানে)

প্রশ্ন: ৭০ হতে ৯০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
৭০ হতে ৯০ মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো  = ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯

অতএব, মোট মৌলিক সংখ্যা = ৫টি

প্রশ্ন: ৭২ × ৭৫  × ৩^৩  × ৪^৩  × ২^৮ কে নূন্যতম কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৭২ × ৭৫  × ৩৩  × ৪৩  × ২৮
= ৮  × ৯  × ৩  × ২৫  × ৩^৩ ×  (২^২)^৩  × ২^৮
= ২^৩ × ৩^২  × ৩  × ৫^২  × ৩^৩  × ২^৬  × ২^৮ 
= ২^১৭  × ৩^৬  × ৫^২ 

এখানে, জোড় ঘাত বিশিষ্ট সংখ্যা পূর্ণবর্গ। প্রদত্ত সংখ্যায় ২^১৭ এর ঘাত ১৭ যা বিজোড় হওয়ায় সংখ্যাটিকে ২ দ্বারা গুণ করলে দাঁড়ায় ২^১৮  × ৩^৬  × ৫^২ , যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। 

সুতরাং ২ দ্বারা গুণ করতে হবে। 

প্রশ্ন: (৩/৫) + ০.১ + ০.০৫ = ?

সমাধান:
৩/৫ + ০.১ + ০.০৫
= ৩/৫ + ১/১০ + ৫/১০০
= ৩/৫ + ১/১০ + ১/২০
= (১২ + ২ + ১)/২০
= ১৫/২০
= ৩/৪

- দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার গ. সা .গু সবসময় ১।

- দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।
- ৯ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে: ১, ৩, ৯
- ৩৮ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে: ১, ২, ১৯, ৩৮

∴ ৯ ও ৩৮ পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
শতক, দশক ও একক স্থানীয় অঙ্ক যথাক্রমে p, q, r হলে,
সংখ্যাটি = 100 × p + 10 × q + 1 × r
= 100p + 10q + r

ধরি, সংখ্যাটি = ১০২ × ১ + ২৩ = ১২৫

এখন, ১৭)১২৫(৭
              ১১৯
            -------
                   ৬
∴ ভাগশেষ ৬