বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু ৩৬০ হলে সংখ্যা দুটি কি কি?

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যা দুটি ৫ক এবং ৬ক 
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৩০ক
প্রশ্নমতে,
৩০ক = ৩৬০
∴ ক = ৩৬০/৩০ = ১২
∴ সংখ্যা দুটি ৫ × ১২ = ৬০ এবং ৬ × ১২ = ৭২

অতএব সংখ্যা দুইটি ৬০ ও ৭২

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = (১৯৯ - ১)/২
= ৯৯

প্রশ্ন: নিচের কোন ফলাফলটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
৯ দিয়ে কোন সংখ্যা বিভাজ্য হতে হলে সংখ্যাটির অংকগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
ক) ৫২ + ২৫ = ৫০ 
৫ + ০ = ৫ , [যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়]

খ) ৫২৭ + ৭২৫ = ১২৫২
১ + ২ + ৫ + ২ = ১০ [যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়]

গ) ৪১২ + ২৩৪ = ৬৪৬
৬ + ৪ + ৬ = ১৬ [যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়]

ঘ) ৭৫ - ৫৭ =১৮
১ + ৮ = ৯  [যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য]

প্রশ্ন: পিতা ও তার দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩২ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২২ বছর হলে, পিতার বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩২ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি (৩২ × ৩) বছর = ৯৬ বছর

আবার,
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২২ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি (২২× ২) বছর = ৪৪ বছর

∴ পিতার বয়স = (৯৬ - ৪৪) বছর = ৫২ বছর।

১০২ এবং ১৮৬ কে যে বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৬ অবশিষ্ট থাকবে তা হচ্ছে (১০২ - ৬) = ৯৬ এবং (১৮৬ - ৬) = ১৮০ এর গসাগু

∴ ৯৬ এবং ১৮০ এর গসাগু = ১২

 প্রথম ৪টির গড় ৫২
প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = ৪ × ৫২
                                     = ২০৮

শেষ৫টির সংখ্যার গড় ৩৮
শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ৫ × ৩৮
                                    = ১৯০

∴ ৯টি সংখ্যার সমষ্টি = (২০৮ + ১৯০)
                                = ৩৯৮

∴পঞ্চম সংখ্যাটি = ৪৬২ - ৩৯৮
                          = ৬৪

প্রশ্ন: যদি একটি জলাধারের ২/৭ অংশ পূর্ণ আছে এবং জলাধারটির ৫/৭ অংশ পূর্ণ করতে আরও ২৪ লিটার পানির প্রয়োজন হয়, তবে জলাধারটির ধারণক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান:
২৪ লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হয় জলাধারের {(৫/৭) - (২/৭)} অংশ
= ৩/৭ অংশ

জলাধারের ৩/৭ অংশের ধারণক্ষমতা = ২৪ লিটার
∴ জলাধারের ১ বা সম্পূর্ণ অংশের ধারণক্ষমতা = (২৪ × ৭)/৩ লিটার
= ৫৬ লিটার।

মনেকরি,
সংখ্যাদ্বয় ২a, ৩a
∴ ল.সা.গু. = ৬a
প্রশ্নমতে,
   ৬a = ৫৪
∴ a = ৯
∴ অন্তর = ৩a - ২a
= a
= ৯

গ.সা.গু.= (লবগুলোর গ.সা.গু.)/(হরগুলোর ল.সা.গু.)
= ({১,২,৪} এর গ.সা.গু)/({২,৩,৭} এর ল.সা.গু)
= ১/৪২

19, 29, 59 এই সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা। 
49 মৌলিক সংখ্যা নয়। 

১০৫, ১০০১, ২৪৩৬ এর গ.সা.গুই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।
১০৫ = ৩ × ৫ × ৭
১০০১ = ৭ × ১১ × ১৩
২৪৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৭ × ২৯
গ.সা.গু = ৭

প্রত্যক সারিতে সমান সংখ্যক গাছ লাগানর পরে অবশিষ্ট গাছ থাকবে
    ৫৯৫। ২৪
    ৪
     ____
৪৪। ১৯৫
      ১৭৬
      ____
      ১৯
∴ ১৯ টি গাছ অবশিষ্ট থাকবে

প্রশ্ন: একটি বাড়ির ২/৭ অংশের মূল্য ৫৬০০০ টাকা হলে ১/৪ অংশের মূল্য কত?

সমাধান: 
২/৭ অংশ বাড়ির মূল্য ৫৬০০০ টাকা
∴ ১ অংশ বাড়ির মূল্য = (৫৬০০০ × ৭)/২ = (২৮০০০ × ৭) টাকা
∴ ১/৪  অংশ বাড়ির মূল্য = (২৮০০০ × ৭)/৪ টাকা
= ৪৯০০০ টাকা 

প্রশ্ন: ২১৭৮ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
২১৭৮ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই, 
২১৭৮ = ২ × ৩ × ৩ × ১১ × ১১
 = ২ × ৩^২ × ১১^২

এখানে, ২ এর সূচক একক (জোড়া বিহীন)।
সুতরাং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা পেতে, ২১৭৮ কে ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ২ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্নঃ একটি সংখ্যার ঘনমূলের বর্গ সংখ্যাটির 20 শতাংশের সমান । সংখ্যাটি কত?

সমাধানঃ
মনে করি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে, 
(∛x)² = 20% of x
বা, (∛x)² = 20x/100
বা, (∛x)² = x/5
বা, ∛x = √x/√5 (বর্গমূল করে)
বা, √x / ∛x = √5
বা, x^1/2 / x^1/3= 5^1/2
বা, x^1/2-1/3= 5^1/2
বা, x^1/6 = 5^1/2
বা, x = (5^1/2)⁶ (উভয়পক্ষের ঘাতকে 6 দ্বারা গুন করে)
বা, x = 5³
বা, x = 125

প্রশ্ন: যদি কোনো সংখ্যার তিন-চতুর্থাংশের দুই-পঞ্চমাংশ ৩৬ হয়, তবে সেই সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি সংখ্যাটি x,

তাহলে,


∴ সংখ্যাটি ১২০ 

৫:১৮, ৭:২, ৩:৬ = ৫:১৮, ৭:২, ১:২
সুতরাং, মিশ্র অনুপাত = (৫×৭×১) : (১৮×২×২) = ৩৫:৭২

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৬৫০ থেকে যত বড় ৮২০ থেকে তত ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক
তাহলে,
৮২০ - ক = ক - ৬৫০
⇒ ২ক = ৮২০ + ৬৫০ = ১৪৭০ 
⇒ ক = ১৪৭০/২ 
∴ ক = ৭৩৫

এখানে,
২১৩ - ৫ = ২০৮ এবং
৯৪১ - ৫ = ৯৩৬

২০৮)৯৩৬(৪
        ৮৩২
       ------
         ১০৪)২০৮(২
               ২০৮
              -----
                  ০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ১০৪

প্রশ্ন: একটি ৬০ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, 
বড় অংশ = ক ফুট 
∴ ছোট অংশ = (ক এর ২/৩) 
= ২ক/৩ ফুট 

প্রশ্নমতে, 
ক + (২ক/৩) = ৬০ 
বা, (৩ক + ২ক)/৩ = ৬০ 
বা, ৫ক = ১৮০ 
বা, ক = ১৮০/৫ 
∴ ক = ৩৬

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২ × ৩৬)/৩ 
= ২৪ ফুট।

সমাধান:
৩৬৫ - ৫ = ৩৬০ এবং ৪৬৩ - ৭ = ৪৫৬
সুতরাং নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৩৬০ ও ৪৫৬ এর গ. সা. গু ।

এখানে,
৩৬০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
এবং ৪৫৬ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ১৯

∴ নির্ণেয় গ. সা. গু = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২৪

নোটঃ
প্রশ্নে বৃহত্তম সংখ্যা বের করতে বলা হলে গ.সা.গু বের করতে হবে।
প্রশ্নে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বের করতে বলা হলে ল.সা.গু বের করতে হবে।

প্রশ্ন: ৪০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা দুইটির অন্তর কত? 

সমাধান: 
৪০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হলো = ৪১ 
আবার,
৪০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা হলো = ৭৯ 

∴ সংখ্যা দুইটির অন্তর = (৭৯ - ৪১) 
= ৩৮ ।

প্রশ্ন: (৩/২)% কে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
= (৩/২)%
= (৩/২)/১০০
= ৩/(২ × ১০০)
= ৩/২০০
= ০.০১৫

সম্পত্তিটির ৭/৮ অংশের মূল্য ৯২১২ টাকা
সম্পত্তিটির ১ অংশের মূল্য (৯২১২ × ৮)/৭ টাকা
সম্পত্তিটির ৩/৪ অংশের মূল্য (৯২১২ × ৮ × ৩)/(৭ × ৪) টাকা
= ৭৮৯৬ টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার পার্থক্য ৬ এবং তাদের বর্গের পার্থক্য ১০৮, সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, 
দুইটি সংখ্যা ক এবং খ

শর্তমতে
ক - খ = ৬ 
ক^২ - খ^২ = ১০৮

তাহলে, 
ক^২ - খ^২ = ১০৮
⇒ (ক - খ) (ক + খ) = ১০৮
 ⇒ ৬ × (ক + খ) = ১০৮
⇒ ক + খ = ১০৮/৬
⇒ ক + খ = ১৮

 ∴ দুইটির যোগফল = ১৮

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যা p ও q (যেখানে q ≠ 0) এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, সসীম দশমিক এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: ৫/৩, ২.৫, √৯ = ৩ ইত্যাদি।

অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √২, √৭, √১১ ইত্যাদি।

এখানে,
ক) √১৬৯ = ১৩ এটি একটি পূর্ণসংখ্যা এবং ১৬৯ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) ৫/৯ এটি p/q আকারে আছে। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
গ) √২৮ =  √(৪ × ৭) = ২√৭। এখানে ৭ একটি মৌলিক সংখ্যা এবং পূর্ণবর্গ নয়।
√২৮ = ৫.২৯১৫০২৬২২১...... এটি একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক। এটিকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সুতরাং এটি অমূলদ সংখ্যা।
ঘ) ৩.৭৫ = ৩৭৫/১০০ = ১৫/৪, এটি p/q আকারে প্রকাশ করা যায়। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।

সুতরাং, √২৮ অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
ক্রমিক সংখ্যার গড় নির্ণয়ের সূত্র:
গড় = (প্রথম পদ + শেষ পদ)/২

এখানে, প্রথম পদ = ১, শেষ পদ = ১০০

অতএব, গড় = (১ + ১০০)/২
= ১০১/২
= ৫০.৫

∴ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় হল ৫০.৫

ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ২x
∴ বড় সংখ্যাটি = -২x এর ৩/২
= ৩x
∴ সংখ্যা দু'টির ল.সা.গু.,
২ × ৩ × x = ৬x
শর্তমতে,
৬x = ৯৬
∴ x = ১৬
∴ ছোট সংখ্যাটি = ২ × ১৬
= ৩২