বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট দলের ১১ জন খেলোয়াড়ের গড় বয়স ২০ বছর। যখন কোচের বয়স অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তখন গড় বয়স ১০% বৃদ্ধি পায়। কোচের বয়স কত?

সমাধান:
১১ জন খেলোয়াড়ের গড় বয়স = ২০ বছর।
১১ জন খেলোয়াড়ের মোট বয়স = ১১ × ২০ = ২২০ বছর।

কোচকে অন্তর্ভুক্ত করলে মোট সদস্য সংখ্যা = ১১ + ১ = ১২ জন।
গড় বয়স বৃদ্ধি পায় ১০% 

∴  নতুন গড় = ২০ + (২০ এর ১০/১০০)
= ২০ + ২ = ২২ বছর।

১২ জনের মোট বয়স = ১২ × ২২ = ২৬৪ বছর।

∴ কোচের বয়স = নতুন মোট সমষ্টি - আগের মোট সমষ্টি
= ২৬৪ - ২২০ 
= ৪৪ বছর।

অতএব, কোচের বয়স ৪৪ বছর।

সরল করুন: ২ - [২ - (৩ + ২) - {২ - (২ - ৩ + ২)} + ৬]

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২ - [২ - (৩ + ২) - {২ - (২ - ৩ + ২)} + ৬]
 = ২ - [২ - (৩ + ২) - {২ - (৪ - ৩)} + ৬]
 = ২ - [২ - ৫ - {২ - ১}+ ৬]
 = ২ - [২ - ৫ - ১ + ৬]
= ২ - ২
= ০

১/৫ = ০.২
১/৪ = ০.২৫
১/২ = ০.৫
১/১০ = ০.১
∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যা ১/২

যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
যেমনঃ √২, √৩, √৫, √১০ ইত্যাদি
সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে।
যেমনঃ ০, ১, ৩, √২, √৩, √৫, √১০ ইত্যাদি।

প্রশ্ন: ০.০০০১ এর বর্গমূল কত? 

সমাধান: 
০.০০০১ এর বর্গমূল = √(০.০০০১) 
= √(১/১০০০০)
= ১/১০০
= ০.০১

সমাধান:
বাস্তব সংখ্যা: শূণ্য সহ সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে। যেমনঃ 0, 1, 2, -1, -2, √2, √5, 22/7

অপশন ক, গ, ঘ তিনটিই বাস্তব সংখ্যা।

কিন্তু,
অপশন (খ) এর 3+√-4 একটি কাল্পনিক সংখ্যা। কারণ √-4 বাস্তব সংখ্যার মধ্যে পড়ে না। এটি একটি কাল্পনিক সংখ্যা। 

যাত্রার সময় সকাল ৭ টা থেকে বিকাল ৩ টা হলে, ট্রেনটির যেতে মোট সময় লাগে ৮ ঘন্টা।
৮ ঘন্টায় অতিক্রম করে ৩০০ কিমি
∴ ১  〃      〃       〃  ৩০০/৮ 〃
                           = ৩৭.৫ কিমি

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ১৫, ২০ এবং ২৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ এবং ২৫ এর ল.সা.গু থেকে ৫ কম।

১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৫ = ৫ × ৫

ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫
= ৩০০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০০ - ৫ = ২৯৫

৩৮৫, ২৮৬ এর গসাগু করলে ১১ হয়

প্রশ্ন: যদি ৭৫ টি সংখ্যার গাণিতিক গড় গণনা করা হয়, তবে তা হয় ৩৫। যদি প্রতিটি সংখ্যা ৫ বৃদ্ধি করা হয়, তবে নতুন সংখ্যাগুলোর গড় কত হবে?

সমাধান:
৭৫ টি সংখ্যার গাণিতিক গড় ৩৫
৭৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (৭৫ × ৩৫) = ২৬২৫

প্রতিটি সংখ্যা ৫ করে বাড়ালে মোট বৃদ্ধি পায় = (৭৫ × ৫) = ৩৭৫

∴ নতুন সমষ্টি = (২৬২৫ + ৩৭৫) = ৩০০০

∴ নতুন গড় = ৩০০০ ÷ ৭৫ = ৪০

প্রশ্ন: ২৪ ইঞ্চি লম্বা একটি লাঠিকে এমনভাবে দুই ভাগে ভাগ করা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের ১/৩ হয়। ছোট অংশটি কত সে.মি. লম্বা?

সমাধান:
ধরি,
ছোট অংশটি = ক ইঞ্চি
তাহলে, বড় অংশটি = ৩ক  ইঞ্চি

শর্তমতে,
ক + ৩ক = ২৪ ইঞ্চি
⇒ ৪ক = ২৪ ইঞ্চি
⇒ ক  = ২৪/৪ ইঞ্চি
∴ ক = ৬ ইঞ্চি

অতএব, ছোট অংশটি ৬ ইঞ্চি লম্বা।

আমরা জানি,
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে.মি.
∴ ৬ ইঞ্চি = ৬ × ২.৫৪ = ১৫.২৪ সে.মি.

অতএব, ছোট অংশটি ১৫.২৪ সে.মি. লম্বা।

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9. অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 45 কম হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
একক স্থানীয় অংক = x 
দশক স্থানীয় অংক = 9 - x 
∴ সংখ্যাটি = 10(9 - x) + x
= 90 - 9x 

আবার,
অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে = 10x + 9 - x
= 9x + 9 

প্রশ্নমতে, 
9x + 9 = 90 - 9x - 45 
⇒ 18x = 36 
⇒ x = 36/18
∴ x = 2

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 2)
= 72 । 

১ম রাশি,
x² + 5x
= x(x + 5) 
২য় রাশি,
x² - 25
= (x + 5)(x - 5)
৩য় রাশি,
x² + 7x + 10
= x² + 5x + 2x + 10
= x(x + 5) + 2(x + 5)
= (x + 5)(x + 2)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. (x + 5) 

প্রশ্ন: কোনো সম্পত্তির ২/৩ অংশের মূল্য ২৪০০০ টাকা হলে। তাহলে সম্পত্তির ৭/৯ অংশের মূল্য কত?

সমাধান:
সম্পত্তির ২/৩ অংশের মূল্য = ২৪০০০ টাকা
∴ সম্পত্তির ১ অংশের মূল্য = (২৪০০০ × ৩)/২ = ৩৬০০০ টাকা
∴ সম্পত্তির ৭/৯ অংশের মূল্য = (৩৬০০০ × ৭)/৯ = ২৮০০০ টাকা

∴ সম্পত্তির ৭/৯ অংশের মূল্য ২৮০০০ টাকা।

১৬ - ৬ = ১০,
২৪ - ১৪ = ১০,
৩৬ - ২৬ = ১০
প্রতিক্ষেত্রে বিয়োগফল = ১০
এখন, ১৬, ২৪, ৩৬ এর ল.সা.গু. = ১৪৪
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১৪৪ - ১০
= ১৩৪

ধরি, ৭ জনের ওজনের সমষ্টি x কেজি
এবং নতুন ব্যক্তির ওজন p কেজি
(x+৬৫) /৮ + ২.৫ = (x+p) /৮
⇒ x + ৬৫ + ২০ = x+p
⇒ p = ৮৫ + x - x
∴ p = ৮৫

প্রশ্ন: ৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু 
∴ লব ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২
হর ৪ ও ৭ এর গ.সা.গু = ১

∴ ৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু = ১২/১
= ১২ । 

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ৫/১২ । একটি ভগ্নাংশ ৫/৮ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ৫/১২
একটি ভগ্নাংশ = ৫/৮

এখন,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = একটি ভগ্নাংশ × অপর ভগ্নাংশ
বা, অপর ভগ্নাংশ = দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল/একটি ভগ্নাংশ
= (৫/১২)/(৫/৮)
= (৫/১২) × (৮/৫)
= ৮/১২
= ২/৩

∴ অপর ভগ্নাংশ = ২/৩

প্রশ্ন: যদি 2x + 2/x = 3 হয় তবে, x² + 1/x² = কত?

সমাধান:
2x + 2/x = 3
⇒ 2(x + 1/x) = 3
⇒ x + 1/x = 3/2
⇒ (x + 1/x)² = (3/2)²
⇒ x² + 2 × x × 1/x + 1/x² = 9/4
⇒ x² + 2 + 1/x² = 9/4
⇒ x² + 1/x² = 9/4 - 2
⇒ x² + 1/x² = 9/4 - 8/4
⇒ x² + 1/x² = (9 - 8)/4
x² + 1/x² = 1/4

বড় সংখ্যাটি = (৯৩ + ১) / ২ = ৪৭

√-৫
= i√৫
= √৫i
কারণ,
√-১ = ১

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একবার একত্রে বাজার পর যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগলো। ঘণ্টাগুলো পুনরায় কত সময় পর একত্রে বাজবে? 

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু. এর সমান সময়ের পর পুনরায় একত্রে বাজবে। 

৩ = ১ × ৩ 
৫ = ১ × ৫ 
৭ = ১ × ৭ 
৮ = ১ × ২ × ২ × ২
১০ = ১ × ২ × ৫

নির্ণেয় ল.সা.গু. = ১ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ = ৮৪০ 

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ৮৪০ সেকেন্ড পর
= (৮৪০/৬০) মিনিট পর
= ১৪ মিনিট পর

৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ১৮০
সুতরাং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৮০ + ১
= ১৮১

বড় সংখ্যাটি ক+১ হলে ছোট সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে, (ক+১)²-ক² = ২৫
বা, ক²+২ক+১-ক² = ২৫
বা, ২ক = ২৫-১ = ২৪
বা, ক = ১২
∴ বড় সংখ্যাটি = ক+১ = ১২+১ = ১৩

ধরি,
দুধ = ৭ক লিটার, পানি = ২ক লিটার
∴ ৭ক-২ক = ১০ লিটার
বা, ৫ক = ১০ লিটার
∴ ক = ২ লিটার
∴ পানির পরিমাণ = ২×২ = ৪ লিটার

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু ৬০ এবং গ. সা. গু ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে বড় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
বড় সংখ্যাটি = ৩ক 
∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক এর ২/৩ = ২ক 

আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু × দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু 
⇒ ৩ক × ২ক = ৬০ × ১০ 
⇒ ৬ক^২ = ৬০০ 
⇒ ক^২ = ৬০০/৬ 
⇒ ক^২ = ১০০ 
⇒ ক^২ = ১০^২ 
∴ ক = ১০ 

∴ বড় সংখ্যাটি = ৩ক 
= ৩ × ১০ 
= ৩০

সুতরাং, বড় সংখ্যাটি হলো ৩০। 

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৩৫ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৬৩। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত??

সমাধান:
ধরি তিনটি সংখ্যা ক, খ, গ

দেওয়া আছে:
ক × খ = ৩৫ , খ × গ = ৬৩

৩৫ এবং ৬৩ এর সাধারণ গুণক হলো ৭।
তাই খ = ৭

∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৭

৬, ৮, ১০ এর ল.সা.গু. = ১২০
আবার, ১২০ = (২ × ২) × ২ × ৩ × ৫
এখন, (২ × ২) (২ × ২) (৩ × ৩) (৫ × ৫)
= ৩৬০০ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
∴ সৈন্যসংখ্যা = ৩৬০০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ৪২০ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে, ৫ক ও ৭ক হলে
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৩৫ক
এবং সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ৪২০

∴ ক = ৪২০/৩৫ = ১২

∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ১২