বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: ১০৫ থেকে ১৩৫ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত?

সমাধান: 
১০৫ থেকে ১৩৫ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা ১৩১
১০৫ থেকে ১৩৫ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা ১০৭
∴ সংখ্যা দুইটির গড় = (১৩১ + ১০৭)/২ = ১১৯

প্রশ্ন: ২৫৩১৩ কে কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ১২৭ ও ভাগশেষ ৪০ থাকে?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
ভাজ্য =২৫৩১৩
ভাগশেষ = ৪০
ভাগফল = ১২৭

আমরা জানি,

প্রশ্ন: (৯ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৪ × ২) = ? 

সমাধান: 
(৯ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৪ × ২)
= ১২ ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৮) 
= ৪ × ২ + ১  
= ৮ + ১
= ৯  

১০ সে., ১৫ সে., ২০ সে. এবং ২৫ সে. এর ল.সা.গু. = ৩০০ সেকেন্ড = ৫ মিনিট
সুতরাং, ৫ মিনিট পরে একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
ক) ১৭/২১ = ০.৮১ 
খ) ১১/১৪ = ০.৭৮ 
গ) ৫/৬ = ০.৮৩ 
ঘ) ১২/১৫ = ০.৮০ 

∴ অপশন (খ) ১১/১৪ ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম।

দশটি সংখ্যার যোগফল = 10x এবং এদের প্রথম পাঁচটির যোগফল = 5y
তাহলে বাকী পাঁচটির যোগফল = 10x - 5y
সুতরাং বাকী পাঁচটির গড় = (10x - 5y)/5 = 2x - y
প্রশ্নমতে,
z = 2x - y
বা, 2x = y + z.

প্রশ্ন: যদি ১৫, ২৮ ও ৩৩ এই তিনটি সংখ্যার গুণফল Z হলে, নিচের কোনটি একটি পূর্ণ সংখ্যা হবে না?

সমাধান:
প্রথমে Z এর মান বের করি:
Z = ১৫ × ২৮ × ৩
= (৩ × ৫) × (৪ × ৭) × (৩ × ১১)
= ৩^২ × ৪ × ৫ × ৭ × ১১

এখন, 
ক) Z/২১, এখানে Z এর মধ্যে ২১ রয়েছে, তাই পূর্ণ সংখ্যা হবে।
খ) Z/৫৫, এখানে Z এর মধ্যে ৫৫ রয়েছে, তাই পূর্ণ সংখ্যা হবে।
গ) Z/২৪, এই ভাগফলটি পূর্ণ সংখ্যা হবে না কারণ Z এর মধ্যে ২৪ সংখ্যা নেই।

অতএব, Z/২৪ একটি পূর্ণ সংখ্যা হবে না, এবং তাই এই উত্তরটি সঠিক।

প্রশ্ন: প্রথম 6টি 7-এর অযুগ্ম গুণিতক গড় কত?

সমাধান: 
৭ এর প্রথম ৬ টি অযুগ্ম গুণিতক হলো:  ৭, ২১, ৩৫, ৪৯, ৬৩, ৭৭।

নির্ণেয় গড় = (৭ + ২১ + ৩৫ + ৪৯ + ৬৩ + ৭৭)/৬
= ২৫২/৬ = ৪২

প্রশ্ন: ৫ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল কত?

সমাধান:
৫ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ৫ ও ৭।
সুতরাং এদের গুণফল = ৫ × ৭ = ৩৫

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

হর গুলোর লসাগু = ৮০
সবগুলো হরকে ৮০ কে পরিবর্তন করলে নতুন ভগ্নাংশগুলো হবে,
৭/৮ = ৭০/৮০
১৩/১৬ = ৬৫/৮০
৩১/৪০ = ৬২/৮০
৬৩/৮০ = ৬৩/৮০
এর মধ্যে, ৭০/৮০ বৃহত্তম। অর্থাৎ, উত্তর ৭/৮

প্রশ্ন: 5, 20 এবং 80 এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় =
 
∴ 5, 20 এবং 80 এর জ্যামিতিক গড় = (20 × 5 × 80)^1/3
= (8000)^1/3
= (20³)^1/3
= 20

ধরি,
সংখ্যাটি , x = ১১q + ৩
⇒ ৪x = ৪(১১q + ৩)
⇒ ৪x = ৪৪q + 12
এখন, ৪৪q + 12 =  11(৪q + ১) +১
সুতরাং ১১ দ্বারা ভাগ করলে ১ অবশিষ্ট থাকবে।

৩০ এবং ৪৫ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যা = ৩১, ৩৭, ৪১ এবং ৪৩
এদের সমষ্টি = ৩১ + ৩৭ + ৪১ + ৪৩ = ১৫২

প্রশ্ন: আকাশের 9 ইনিংস পর্যন্ত যে গড় রান ছিল, দশম ইনিংসে 100 রান করার পর সেই গড় 8 রান বেড়ে যায়। তার নতুন গড় রান কত?

সমাধান:
ধরি,
9 টি ইনিংসের গড় ছিল x রান
তাহলে 9 ইনিংসের মোট রান = 9x

দশম ইনিংসে তিনি 100 রান করেন
∴ দশম ইনিংসের পর মোট রান =  9x+100
∴ নতুন গড় = x + 8

শর্তমতে,
10(x + 8) = 9x+100
⇒ 10x + 80 = 9x + 100
⇒ 10x - 9x = 100 - 80
∴ x = 20

অতএব, নতুন গড় = 20 + 8 = 28

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার সমষ্টি ১২ এবং তাদের গুণফল ৩৫। সংখ্যাদ্বয়ের বিপরীত ভগ্নাংশের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাদ্বয় ক এবং খ 
শর্তমতে, ক + খ = ১২ এবং ক × খ = ৩৫
(১/ক) + (১/খ)
= (ক + খ)/(ক × খ)
= ১২/৩৫

প্রশ্ন:

সমাধান:

দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু - ২, ল.সা.গু ৩৬০ এবং একটি সংখ্যা ১০।
আমরা জানি, গ.সা.গু × ল.সা.গু  = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
বা, ২ × ৩৬০ = ১০ × ২য় সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (২ × ৩৬০)/১০ = ৭২

If the number is x then ৩৮১ - x = x - ৩০১
or, ২x = ৩৮১ + ৩০১
or, x = ৩৪১

ধরি, খুটির দৈর্ঘ্য x মিটার
তাহলে, মাটির নিচে ও পানির উপরে আছে (১/২+১/৩)x অংশ = (৫/৬)x অংশ।
এবং পানির উপরে আছে (১ - ৫/৬)x বা (১/৬)x বা x/৬ অংশ।
প্রশ্নমতে,
x/৬ = ২
∴ x = 12

√মৌলিক সংখ্যা = অমূলদ সংখ্যা। অতএব, √q= অমূলদ সংখ্যা

প্রশ্নমতে,
z = 15 × 28 × 33
বা, z = 13860
এখানে z/24 = 13860/24 = 577.5

প্রশ্ন: ৪টি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৬, ১২, ১৮ ও ২৪ সেকেন্ড অন্তর অন্তর আবার বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পর তারা আবার একসাথে বাজবে?

সমাধান: 
৬, ১২, ১৮ ও ২৪ এর লসাগু হবে ঘণ্টা চারটি পরবর্তীতে একত্রে বাজার সময়।

৬ = ২ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২

অর্থাৎ, ৭২ সেকেন্ড = ৭২/৬০ মিনিট
= ১.২ মিনিট বা ১ মিনিট ১২ সেকেন্ড পর আবার একত্রে বাজবে।

যেহেতু বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩৬৫ ও ৪৬৩ কে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে ৫ ও ৭ থাকে, কাজেই নির্ণেয় সংখ্যাটিঃ
হবে (৩৬৫-৫) বা ৩৬০ এবং (৪৬৩-৭) বা ৪৫৬ এর গসাগু।
এখানে ৩৬০ ও ৪৫৬ এর গসাগু ২৪।
সুতরাং, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ২৪।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে। 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০ 

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু 
∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

a, a², a(a+b) এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) = a²(a+b)

প্রশ্ন:  = কত?

সমাধান:

4a² + 9b²
= (2a)² + 2.2a.3b + (3b)² - 12ab
= (2a + 3b)² - 12ab
অতএব, 4a² + 9b² রাশিটির সাথে 12ab যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে।

প্রশ্ন: একটি ড্রামের ৩/৪ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ এবং ড্রামটি থেকে ৩০ লিটার পানি বের করে নিলে ড্রামটির অর্ধেক পানি পূর্ণ থাকে। ড্রামটির মোট পানি ধারণ ক্ষমতা কত?

সমাধান:
মোট ড্রামের অংশ = ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
প্রথমে পূর্ণ ছিল = ৩/৪ অংশ
পানি বের করে নেওয়ার পর পূর্ণ থাকে = অর্ধেক বা ১/২ অংশ

∴ পানি বের করে নেওয়া হয়েছে = (৩/৪ - ১/২) অংশ
= (৩ - ২)/৪ অংশ
= ১/৪ অংশ

শর্তমতে,
১/৪ অংশ = ৩০ লিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৩০ ÷ (১/৪) লিটার
= ৩০ × ৪ লিটার
= ১২০ লিটার

∴ ড্রামটির মোট পানি ধারণ ক্ষমতা ১২০ লিটার।

x² - 11x + 30
= x² - 5x -6x + 30
= x(x - 5) - 6(x - 5)
= (x - 5)(x - 6)
এবং
x³ - 4x² - 2x -15
= x²(x - 5) + x(x - 5) + 3(x - 5)
= (x - 5)(x² + x + 3)

∴ গ. সা.গু. = x - 5

প্রশ্ন: কোনো ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৩ অংশ স্ত্রীকে, ১/৪ অংশ পুত্রকে, ও ১/৫ অংশ মেয়েকে দান করলেন। তাঁর অবশিষ্ট সম্পত্তির মূল্য ৭৮,০০০ টাকা। মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোনো ব্যক্তি তার স্ত্রীকে দিলেন সম্পত্তির ১/৩ অংশ
কোনো ব্যক্তি তার পুত্রকে দিলেন সম্পত্তির ১/৪ অংশ
কোনো ব্যক্তি তার মেয়েকে দিলেন সম্পত্তির ১/৫ অংশ

∴ কোনো ব্যক্তি তার সম্পত্তির মোট দান করলেন = {(১/৩) + (১/৪) + (১/৫)} অংশ
= (২০ + ১৫ + ১২)/৬০ অংশ
= (৪৭/৬০) অংশ

∴ অবশিষ্ট রইলো = ১ - (৪৭/৬০) অংশ
= (৬০ - ৪৭)/৬০  অংশ
= ১৩/৬০ অংশ

এখন,
(১৩/৬০) অংশ সম্পত্তির মূল্য = ৭৮,০০০ টাকা
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ সম্পত্তির মূল্য (৭৮,০০০ × ৬০)/১৩ টাকা
= (৬০০০ × ৬০) টাকা
= ৩৬০০০০ টাকা

∴ মোট সম্পত্তির মূল্য ৩৬০০০০ টাকা।

৭, ১১, ২১ ও ২৩ এর লসাগু ৫৩১৩
অপশনগুলোর মধ্যে শুধু ৯৫৬৩৪-ই ৫৩১৩ দ্বারা বিভাজ্য। 

প্রশ্ন:

সমাধান: