বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: ১০ টি সংখ্যার গড় ২০। একটি সংখ্যা আরও যোগ করলে গড় হয় ২২, নতুন সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
১০ টি সংখ্যার গড় = ২০
∴ ১০ টি সংখ্যার যোগফল = ২০ × ১০ = ২০০

নতুন সংখ্যা যুক্ত করার পর ১১ টি সংখ্যার গড় = ২২
∴ ১১ টি সংখ্যার যোগফল = ২২ × ১১ = ২৪২

∴ নতুন সংখ্যাটি = ২৪২ - ২০০
= ৪২

প্রশ্ন: নয়টি সংখ্যার গড় ৮। যদি প্রত্যেকটি সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করা হয় তবে নতুন সংখ্যাগুলোর গড় কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
নয়টি সংখ্যার গড় ৮
৯ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৯ × ৮ = ৭২ 

আবার, 
প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করলে নতুন নয়টি সংখ্যার সমষ্টি হবে = ৭২ - (৯ × ৪) = ৭২ - ৩৬ = ৩৬ 

∴ নতুন নয়টি সংখ্যার গড় = ৩৬ ÷ ৯ = ৪ 

৬, ৮ , ১০ ও ১৪ এর লসাগু = ৮৪০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯
৮৪০| ৯৯৯৯৯ |১১৯
         ৮৪০
       ^________
         ১৫৯৯
           ৮৪০
         ^________  
            ৭৫৯৯
            ৭৫৬০
           ________
                ৩৯
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৮৪০ - ৩৯ = ৮০১

ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
2x + 2 = 88
∴ x = 43

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৮, ১২, ১৮ ও ২৪ মিনিট পরপর বাজে। যদি সকাল ১১ : ০০ টায় ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজে, তাহলে ঘণ্টাগুলো পুনরায় কখন একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৮, ১২, ১৮ ও ২৪ এর ল.সা.গু সমান সময়ের পর আবার একত্রে বাজবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক:
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ৭২ মিনিট

৭২ মিনিট = ১ ঘণ্টা ১২ মিনিট

সুতরাং, পরবর্তীতে একত্রে বাজবে:
১১ : ০০ + ১ ঘণ্টা ১২ মিনিট = ১২ : ১২ টায়

প্রশ্ন:

সমাধান:

ল.সা.গু. = a²b(a + b)
গ.সা.গু. = a + b
১ম সংখ্যা = a³ + a²b
= a²(a + b)
∴ ২য় সংখ্যা = ?
এখন,
১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
বা, ২য় সংখ্যা = (ল.সা.গু. × গ.সা.গু.)/১ম সংখ্যা
= {a²b(a + b) × (a + b)}/a²(a + b)
= b(a + b)

৫৬ থেকে ১০০ পর্যন্ত কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে ৯ টি।
সংখ্যাগুলো হচ্ছে - ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭ 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৬৪২ থেকে যত বড়, ৭০২ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৬৪২ = ৭০২ - ক
⇒ ক + ক = ৭০২ + ৬৪২
⇒ ২ক = ১৩৪৪
⇒ ক = ১৩৪৪/২
∴ ক = ৬৭২

অতএব, সংখ্যাটি ৬৭২

প্রশ্ন: কোনো কারখানায় যদি আরো ১০ টি মেশিন যোগ করা হয়, তবে মেশিনগুলোকে ১২, ১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ সংখ্যক সারিতে সাজানো সম্ভব হবে। কারখানায় শুরুতে কতটি মেশিন ছিল?

সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৫ = ৫ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫ = ৩০০

অর্থাৎ, মেশিন সংখ্যা = ৩০০ - ১০ = ২৯০

∴ কারখানায় শুরুতে ২৯০ টি মেশিন ছিল।

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৮/৫৫। যদি একটি ৩/১১ হয়, তবে অপর ভগ্নাংশ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল = ১৮/৫৫
এদের একটি = ৩/১১

∴ অপর ভগ্নাংশ = গুণফল/প্রথম ভগ্নাংশ
= (১৮/৫৫)/(৩/১১)
= (১৮/৫৫) × (১১/৩)
= (১৮ × ১১)/(৫৫ × ৩)
= ৬/৫ 

সুতরাং, অপর ভগ্নাংশ = ৬/৫

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ২/৭ অংশ ৬৪ এর সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

শর্তমতে, 
ক এর ২/৭ = ৬৪
বা, ক = ৬৪ এর ৭/২
বা, ক = ২২৪

প্রশ্ন: A = x³ - 3x² - 10x, B = x³ + 6x² + 8x হলে, A ও B এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

∴ A = x³ - 3x² - 10x
= x(x² - 3x - 10)
= x(x² - 5x + 2x - 10)
= x{x(x - 5) + 2(x - 5)}
= x(x + 2)(x - 5)

∴ B = x³ + 6x² + 8x
= x(x² + 6x + 8)
= x(x² + 4x + 2x + 8)
= x{x(x + 4) + 2(x + 4)}
= x(x + 2)(x + 4)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x(x + 2)

প্রশ্ন: একটি  ধনাত্মক সংখ্যার তিনগুণের বর্গের সাথে 19 যোগ করলে 100 হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি x
⇒ (3x)² + 19 = 100
⇒ 9x² = 81
⇒ x² = 9 
⇒ x = 3

দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু - ২, ল.সা.গু ৩৬০ এবং একটি সংখ্যা ২০।
আমরা জানি, গ.সা.গু × ল.সা.গু = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
বা, ২ × ৩৬০ = ২০ × ২য় সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (২ × ৩৬০)/২০ = ৩৬ 

• 1 থেকে 69 পর্যন্ত 3 দ্বারা বিভাজ্য এমন পদসংখ্যা = 23 (69/3)
• আবার, 1 থেকে 12 পর্যন্ত 3 দ্বারা বিভাজ্য এমন পদসংখ্যা = 4 (12/3)
• সুতরাং 15 থেকে 69 পর্যন্ত 3 দ্বারা বিভাজ্য পদসংখ্যা = 23 - 4
= 19

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ৬ এবং ল.সা.গু ৭২। যদি একটি সংখ্যা ২৪ হয়, তবে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = ৬ এবং ল.সা.গু = ৭২
একটি সংখ্যা = ২৪
অপর সংখ্যা = ?

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু × ল.সা.গু = প্রথম সংখ্যা × অপর সংখ্যা
⇒ ৬ × ৭২ = ২৪ × অপর সংখ্যা
⇒ অপর সংখ্যা = (৬ × ৭২)/২৪
⇒ অপর সংখ্যা = ৪৩২/২৪
∴ অপর সংখ্যা = ১৮

৩৬ + ১২ = ৪৮
৩৬ X ১২ = ৪৩২
∴ বড় সংখাটি = ৩৬।

এখানে,
লবগুলো (৩, ৪ ও ৫) এর গ.সা.গু. = ১ এবং
হরগুলো (৪, ৫ ও ৬) এর ল.সা.গু. = ৬০
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = লবগুলোর গ.সা.গু./ হরগুলোর ল.সা.গু.
= ১/৬০

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
সংখ্যাটি হবে ১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ২ কম। 
১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু = ৭২ 

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭২ - ২
 = ৭০ ।

সরল করুন: ৮ + [{৫৫ ÷ ১১ + ৩} × {(১১ - ৬) × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩

সমাধান:
৮ + [{৫৫ ÷ ১১ + ৩} × {(১১ - ৬) × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৮ + [{৫ + ৩} × {৫ × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৮ + [৮ × {১০ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৮ + [৮ × ৫ - ১] ÷ ১৩
= ৮ + [৪০ - ১] ÷ ১৩
= ৮ + ৩৯ ÷ ১৩
= ৮ + ৩
= ১১

প্রশ্ন: কোনো লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮, ও ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যাটি ১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু. থেকে ৩ কম হবে।
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২৪ = ২^৩ × ৩
∴ ল.সা.গু. = ২^৩ × ৩^২ = ৭২

∴ সংখ্যাটি = ৭২ - ৩ = ৬৯

প্রশ্ন: ৫ এর তিনটি ক্রমিক গুণিতকের যোগফল যদি ১০৫ হয় তাহলে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সবচেয়ে ছোট গুণিতকটি = ৫ক
২য় গুণিতকটি = ৫(ক + ১)
৩য় গুণিতকটি = ৫(ক + ২)

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৫(ক + ১) + ৫(ক + ২) = ১০৫
⇒ ৫ক + ৫ক + ৫ + ৫ক + ১০ = ১০৫
⇒ ১৫ক + ১৫ = ১০৫
⇒ ১৫ক = ১০৫ - ১৫
⇒ ১৫ক = ৯০
⇒ ক = ৯০/১৫
⇒ ক = ৬

∴ সবচেয়ে ছোট গুণিতকটি = ৫ × ৬ = ৩০

প্রশ্ন: একটি লাঠি ২৪ ইঞ্চি লম্বা, এটি দুটি অংশে ভাগ করা হয়েছে যাতে ছোট অংশটি বড় অংশের ১/৩ হয়। ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট অংশটি = ক ইঞ্চি
তাহলে, বড় অংশটি = ৩ক  ইঞ্চি

শর্তমতে,
ক + ৩ক = ২৪ ইঞ্চি
⇒ ৪ক = ২৪ ইঞ্চি
⇒ ক  = ২৪/৪ ইঞ্চি
∴ ক = ৬ ইঞ্চি

অতএব, ছোট অংশটি ৬ ইঞ্চি লম্বা।

আমরা জানি,
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে.মি.
∴ ৬ ইঞ্চি = ৬ × ২.৫৪ = ১৫.২৪ সে.মি.

অতএব, ছোট অংশটি ১৫.২৪ সে.মি. লম্বা।

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৫০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান: 
৩০ থেকে ৫০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৪৭
৩০ থেকে ৫০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৩১

∴ সমষ্টি = ৪৭ + ৩১ 
= ৭৮

∴ ৩০ থেকে ৫০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি ৭৮

প্রশ্ন: ৬০ থেকে বড় এবং ৭০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
৬০ থেকে বড় এবং ৭০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৬১ ও ৬৭ 
∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ৬১ + ৬৭ 
= ১২৮। 

a = 3,
b = 1 হলে
a + b,
a² + b²,
ab + 1 জোড় সংখ্যা
এবং a²b² বিজোড় সংখ্যা 

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ১৫, ২০ ও ২৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৭, ১২ ও ১৭ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
১৫ - ৭ = ৮
২০ - ১২ = ৮
২৫ - ১৭ = ৮
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৮ কম।

১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু বের করি,
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৫ = ৫ × ৫
এখন, ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫ = ৩০০

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ৩০০ - ৮ = ২৯২

প্রশ্ন: ১৫, ২০ এবং ৩০ এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ৪ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫ 
তিনটি সংখ্যার মধ্যে শুধু ৫-ই একটি মাত্র সাধারণ গুণনীয়ক 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৫ 

৪০০০০ পিনের ওজন ৮৪ কেজি বা ৮৪০০০ গ্রাম
∴ ১ টি পিনের ওজন = ৮৪০০০/৪০০০০ = ২.১ গ্রাম = ০.০০২১ কিলো গ্রাম 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ২৪০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬

ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ৬ক
∴ তাদের ল.সা.গু. = ৩০ক

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ২৪০
⇒ ক = ২৪০/৩০
∴ ক = ৮

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৬ × ৮ = ৪৮

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
- মূলদ সংখ্যা (Rational Number) হলো এমন সংখ্যা, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়। p/q, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা এবং q ≠ 0.
- যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না তা অমূলদ সংখ্যা। সাধারণত পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ হয়।

ক) √১৬ = ৪; এটি একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই মূলদ।

খ) √(২৫/৯) = ৫/৩; এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই মূলদ।

গ) √১২ = √(৪ × ৩) = ২√৩; যেহেতু ৩ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই এর বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, √১২ একটি অমূলদ সংখ্যা।

ঘ) ০.৭৫ = ৭৫/১০০ = ৩/৪; এটি একটি সসীম দশমিক সংখ্যা এবং একে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

লব ক হলে হর ক+২,
সুতরাং, ভগ্নাংশটি ক/(ক+২)
প্রশ্নমতে, {(ক-৩)/(ক+২-৩)} + ১/৪ = ১
বা, (ক-৩)/(ক-১) = ১ - (১/৪) = ৩/৪
বা, ৪ক - ১২ = ৩ক - ৩
বা, ক = ৯
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ ৯/(৯+২) = ৯/১১

এখানে, ³√(8)/2 = 2/2 = 1 যা মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ৩/৫ অংশ সবুজ এবং বাকি অংশ হলুদ। খুঁটির সবুজ এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য ৮ মিটার হলে সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য = ১ অংশ

খুঁটির সবুজ অংশ = ৩/৫ অংশ
∴ খুঁটির হলুদ অংশ = ১ - (৩/৫) অংশ
= (৫-৩)/৫ অংশ
= ২/৫ অংশ

সবুজ এবং হলুদ অংশের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য = (৩/৫) - (২/৫) অংশ
= (৩ - ২)/৫ অংশ
= ১/৫ অংশ

প্রশ্নমতে,
১/৫ অংশ = ৮ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = (৫ × ৮)/১ মিটার
= ৪০ মিটার

প্রশ্ন: ৭২ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান: 
প্রথমে ৭২ এর মৌলিক গুণনীয়ক রূপ,
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
৭২ = ২^৩ × ৩^২
এখানে ২ এর সূচক ৩ ও ৩ এর সূচক ২।

ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র:
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে সেটিই ভাজক সংখ্যা।  
ভাজক সংখ্যা:
(৩ + ১)(২ + ১) = ৪ × ৩ = ১২

∴ ৭২ এর মোট ১২টি ভাজক আছে।