বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

PrepBank · পাতা ৩৪ / ৬৪ · ৩,৩০১–৩,৪০০ / ৬,৪০৪

৩,৩০১.

নিচের কোন সংখ্যাটির ভাজক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি?

ক
88
খ
91
গ
95
ঘ
96

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটির ভাজক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি?

সমাধান:
কোনো সংখ্যার ভাজক সংখ্যা বের করার জন্য প্রথমে সেটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়।
যদি n = p₁^a . p₂^b . ... . p_k^m হয়, তবে ভাজক সংখ্যা = (a + 1)(b+1).....(m + 1)।
অর্থাৎ, প্রত্যেক উৎপাদকের সূচকের মানের সাথে 1 যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

অপশন (ক): 88 = 2³ × 11¹
ভাজকের সংখ্যা = (3 + 1)(1 + 1) = 4 × 2 = 8 টি

অপশন (খ): 91 = 7¹ × 13¹
ভাজকের সংখ্যা = (1 + 1)(1 + 1) = 2 × 2 = 4 টি

অপশন (গ): 95 = 5¹ × 19¹
ভাজকের সংখ্যা = (1 + 1)(1 + 1) = 2 × 2 = 4 টি

অপশন (ঘ): 96 = 2⁵ × 3¹
ভাজকের সংখ্যা = (5 + 1)(1 + 1) = 6 × 2 = 12 টি

সুতরাং, যেহেতু 96 এর ভাজকের সংখ্যা (12টি) সবচেয়ে বেশি, তাই সঠিক উত্তর হলো 96।

সঠিক উত্তর: ঘ) 96

৩,৩০২.

০.০৪ × .০০৫ × .০০০৫ = ?

ক
.০০০০০০২
খ
.০০০০৫
গ
.০০০০০০১
ঘ
১০০.০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০.০৪ × .০০৫ × .০০০৫ = ?

সমাধান:
০.০৪ × .০০৫ × .০০০৫ = ০.০০০০০০১

৩,৩০৩.

৬টি সংখ্যার গড় ৮.৫। একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় হ্রাস পেয়ে ৭.২ হয়। বাদ দেয়া সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৭
খ
খ) ১৫
গ
গ) ১০
ঘ
ঘ) ১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬টি সংখ্যার গড় ৮.৫। একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় হ্রাস পেয়ে ৭.২ হয়। বাদ দেয়া সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
৬ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৮.৫ × ৬ = ৫১
এবং ১ টি বাদে বাকি ৫ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭.২ × ৫ = ৩৬
বাদ দেয়া সংখ্যাটি = ৫১ - ৩৬
= ১৫

৩,৩০৪.

কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

ক
ক) ৮৯
খ
খ) ৭০
গ
গ) ১৭০
ঘ
ঘ) ১৪২

ব্যাখ্যা

১২, ১৮, ২৪ এর লসাগু = ৭২
সুতরাং, নির্ণেয় লঘিষ্ট সংখ্যা = ৭২ - ২ = ৭০

৩,৩০৫.

নিচের কোন সংখ্যাটির মান সবচেয়ে কম

ক
০.১০
খ
০. ১১
গ
০.৩২৫
ঘ
০.০৯১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটির মান সবচেয়ে কম?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
০.১০ , ০.১১ , ০.৩২৫ , ০.০৯১

∴ দশমিক সংখ্যাগুলোর মান তুলনা করি।
০.১০ = ০.১০০
০.১১ = ০.১১০
০.৩২৫ = ০.৩২৫
০.০৯১ = ০.০৯১

দেখা যাচ্ছে,
০.০৯১ < ০.১০ < ০.১১ < ০.৩২৫

অতএব, সবচেয়ে কম মানের সংখ্যা হলো ০.০৯১

সঠিক উত্তর:
ঘ) ০.০৯১

৩,৩০৬.

একটি সংখ্যা ৯৯৯ থেকে যত ছোট ৭৯৭ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

ক
৮৯৭
খ
৮৯৮
গ
৮৯৯
ঘ
৯০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৯৯৯ থেকে যত ছোট ৭৯৭ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে
৯৯৯ - ক = ক - ৭৯৭
বা, ক + ক = ৯৯৯ + ৭৯৭
বা, ২ক = ১৭৯৬
বা, ক = ১৭৯৬/২
∴ ক = ৮৯৮

৩,৩০৭.

কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ হবে?

ক
ক) ১০
খ
খ) ১২
গ
গ) ১৪
ঘ
ঘ) ১৬

ব্যাখ্যা

নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে (২৭ - ৩) = ২৪, (৪০-৪) = ৩৬, (৬৫ - ৫) = ৬০ এর গসাগু।
২৪ = ২×২×২×৩
৩৬ = ২×২×৩×৩
৬০ = ২×২×৩×৫
সুতরাং, নির্ণেয় গসাগু = ২×২×৩ = ১২

৩,৩০৮.

নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাকে ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২ এবং ৩ অবশিষ্ট থাকে?

ক
৫৯
খ
৫৮
গ
৫৭
ঘ
৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাকে ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২ এবং ৩ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
এখানে,
৪ - ১ = ৩
৫ - ২ = ৩
৬ - ৩ = ৩

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৪, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ কম।
৪, ৫, ৬ - এর ল.সা.গু = ৬০

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = (৬০ - ৩) = ৫৭

৩,৩০৯.

কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪১ ও ৬৭ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭ ভাগশেষ থাকবে?

ক
১০
খ
৮
গ
১২
ঘ
১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪১ ও ৬৭ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
২৭ - ৩ = ২৪
৪১ - ৫ = ৩৬
৬৭ - ৭ = ৬০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গসাগু
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫

∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গসাগু = ২ × ২ × ৩
= ১২

৩,৩১০.

১ - ১০০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

ক
ক) ২৩
খ
খ) ২৪
গ
গ) ২৫
ঘ
ঘ) ২৬

ব্যাখ্যা

১ - ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২, ৩, ৫, ৭ = ৪টি।
১০ - ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ১১, ১৩, ১৭, ১৯ = ৪টি।
২০ - ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৩, ২৯ = ২টি।
৩০ - ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৩১, ৩৭ = ২টি।
৪০ - ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৪১, ৪৩, ৪৭ = ৩টি।
৫০ - ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৫৩, ৫৯ = ২টি।
৬০ - ৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৬১, ৬৭ = ২টি।
৭০ - ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৭১, ৭৩, ৭৯ = ৩টি।
৮০ - ৯০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৮৩, ৮৯ = ২টি।
৯০ - ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৯৭ = ১টি।

∴ ১ - ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা গুলোর মধ্যে ২৫টি মৌলিক সংখ্যা।

৩,৩১১.

a + b, a - b, a²- b² এর গ.সা.গু কত?

ক
ক) 1
খ
খ) a + b
গ
গ) a - b
ঘ
ঘ) a²- b²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b, a - b, a²- b² এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = a + b
২য় রাশি = a - b
৩য় রাশি = a² - b²
= (a + b)(a - b)

নির্ণেয় গ.সা.গু = 1

৩,৩১২.

একজন শিক্ষকের কাছে ১১০০ টাকা আছে। এতে কমপক্ষে আরো কত টাকা যোগ করা হলে তা ৩, ৪ অথবা ৬ জন ছাত্রের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?

ক
৪ টাকা
খ
৬ টাকা
গ
৮ টাকা
ঘ
১১ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন শিক্ষকের কাছে ১১০০ টাকা আছে। এতে কমপক্ষে আরো কত টাকা যোগ করা হলে তা ৩, ৪ অথবা ৬ জন ছাত্রের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?

সমাধান:
৩, ৪ এবং ৬ এর ল.সা.গু. = ১২
১০০০ ÷ ১২ = ভাগফল ৯১, ভাগশেষ ৮

অর্থাৎ, আরো ১২ - ৮ = ৪ টাকা যোগ করলে ৩, ৪, অথবা ৬ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে
দেয়া যাবে।

৩,৩১৩.

কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৭, ১১ ও ১৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৭ ও ১১ অবশিষ্ট থাকবে?

ক
১১৫৯
খ
১১৩৬
গ
১১৫১
ঘ
১১৯৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৭, ১১ ও ১৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৭ ও ১১ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৭ - ৩ = ৪
১১ - ৭ = ৪
১৫ - ১১ = ৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৭, ১১ ও ১৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।

৭ = ১ × ৭
১১ = ১ × ১১
১৫ = ৩ × ৫

এখন, ৭, ১১ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ১ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১
= ১১৫৫

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ১১৫৫ - ৪
= ১১৫১

৩,৩১৪.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 5 এবং তাদের ল.সা.গু 140 হলে সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

ক
4
খ
12
গ
6
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত 5 : 7 এবং তাদের ল.সা.গু 140 হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে, 5x ও 7x হলে,
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = 35x এবং
সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = x

প্রশ্নমতে,
35x = 140
বা, x = 140/35
∴ x = 4

∴সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = 4

৩,৩১৫.

পূর্ণবর্গ সংখ্যার একক স্থানে কোন অঙ্ক বসতে পারে?

ক
২
খ
৩
গ
৭
ঘ
৯

ব্যাখ্যা

পূর্ণবর্গ সংখ্যার একক স্থানে ০, ১, ৪, ৫, ৬ বা ৯ বসতে পারে।
যেমন - ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬, ২২৫, ২৫৬ ইত্যাদি।

পূর্ণ বর্গ সংখ্যার একক স্থানে কখনোই ২, ৩, ৭ বা ৮ বসতে পারবে না।
কিন্তু যে সংখ্যাগুলো বর্গ সংখ্যা নয় তাদের একক স্থানে ২, ৩, ৭ বা ৮ অবশ্যই বসবে।

৩,৩১৬.

x² + 5x, x² - 25, x² + 7x + 10 এর ল.সা.গু কত?

ক
ক) x(x² - 25)(x + 2)
খ
খ) (x² - 25)(x + 2)
গ
গ) x(x + 5)(x - 5)(x + 2)
ঘ
ঘ) ক ও গ উভয়ই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 5x, x² - 25, x² + 7x + 10 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x² + 5x
= x(x + 5)
২য় রাশি = x² - 25
= x² - 5²
= (x + 5)(x - 5)
৩য় রাশি = x² + 7x + 10
= x² + 5x + 2x + 10
= x(x + 5) + 2(x + 5)
= (x + 5)(x + 2)

নির্ণেয় ল.সা.গু = x(x + 5)(x - 5)(x + 2)
= x(x² - 25)(x + 2)

৩,৩১৭.

নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

ক
১/২
খ
√১৬৯
গ
৬/৫
ঘ
√৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:
যে সকল সংখ্যাকে দুইটি অখণ্ড সংখ্যা p ও q এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: ৩/২, ৩/৪, ১.৩৩৩৩... ইত্যাদি

অমূলদ সংখ্যা:
- যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √২, √৩, π ... ইত্যাদি।

এখানে,
ক) ১/২ → এটি দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত, তাই এটি একটি মূলদ সংখ্যা।
খ) √১৬৯ → √১৬৯ = ১৩, একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই মূলদ।
গ) ৬/৫ → এটি একটি ভগ্নাংশ যা মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √৩ = ১.৭৩২০৫০.........এটাকে ভগ্নাংশ p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না।

∴ √৩ অমূলদ সংখ্যা।

৩,৩১৮.

৪৫ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার গড় নির্ণয় করুন।

ক
ক) ৪৭
খ
খ) ৫১
গ
গ) ৫৩
ঘ
ঘ) ৫৭

ব্যাখ্যা

• ৪৫ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৩টি।
• ৪৭, ৫৩, ৫৯ মৌলিক সংখ্যা।
এদের গড় = (৪৭ + ৫৩ + ৫৯)/৩ = ৫৩

৩,৩১৯.

দুটি সংখ্যার অনুপাত 2 : 3 এবং ল.সা.গু 30 হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

ক
15
খ
12
গ
10
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত 2 : 3 এবং ল.সা.গু 30 হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি 2x এবং 3x
2x এবং 3x এর ল.সা.গু = 6x

প্রশ্নমতে,
6x = 30
∴ x = 5

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = 2 × 5 = 10

৩,৩২০.

কোনো একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাকে ৭ দিয়ে ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে। যদি সেই সংখ্যাটির তিন গুণকে ৭ দিয়ে ভাগ করা হয়, তাহলে কত অবশিষ্ট থাকবে?

ক
১
খ
২
গ
৩
ঘ
৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাকে ৭ দিয়ে ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে। যদি সেই সংখ্যাটির তিন গুণকে ৭ দিয়ে ভাগ করা হয়, তাহলে কত অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
ধরি,
মূল সংখ্যাটি p = ৭ক + ৩

তাহলে,
৩p = ৩(৭ক + ৩)
⇒ ৩p = ২১ক + ৯
⇒ ৩p = ৭(৩ক + ১) + ২
⇒ ৩p = ৭(৩ক + ১) + ২

সুতরাং ৩p কে ৭ দ্বারা ভাগ করলে ২ অবশিষ্ট থাকবে।

৩,৩২১.

৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে-

ক
ক) ৯টি
খ
খ) ১০টি
গ
গ) ১১টি
ঘ
ঘ) ১২টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে?

সমাধান:
নিয়ম-১ঃ
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ২৩ × ৩২
৭২ সংখ্যাটির ভাজক = (৩ + ১) × (২ + ১) = ১২টি

নিয়ম-২ঃ
৭২ = ১ × ৭২
= ২ × ৩৬
= ৩ × ২৪
= ৪ × ১৮
= ৬ × ১২
= ৮ × ৯

৭২ সংখ্যাটির ভাজক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪,৩৬, ৭২
=১২ টি।

৩,৩২২.

কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ১৫, ১৮ ও ৩০ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

ক
৭৫
খ
৮৫
গ
৯০
ঘ
৯৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ১৫, ১৮ ও ৩০ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১৫, ১৮ ও ৩০ এর ল.সা.গু. থেকে ৫ কম।

এখন,
১৫ = ৩ × ৫
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫
∴ ১৫, ১৮ ও ৩০ এর ল.সা.গু. = ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ৯০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (৯০ - ৫)
= ৮৫

৩,৩২৩.

একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৯ ও ১২১ হলে, মধ্য সমানুপাতী কত হবে?

ক
৩৩
খ
১১
গ
৩৬
ঘ
৭২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৯ ও ১২১ হলে, মধ্য সমানুপাতী কত হবে?

সমাধান:
তিনটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে।
রাশি তিনটিকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।

ক্রমিক সমানুপাতে,
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
বা, (মধ্য রাশি)^২ = ৯ × ১২১
বা, (মধ্য রাশি)^২ = ১০৮৯
বা, মধ্য রাশি = √১০৮৯
∴ মধ্য রাশি = ৩৩

৩,৩২৪.

কোন লঘিষ্ট সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ২৪,৩৬ ও ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

ক
ক) ৮৯
খ
খ) ১৪১
গ
গ) ২৪৮
ঘ
ঘ) ১৭০

ব্যাখ্যা

২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল. সা. গু = ১৪৪
∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ১৪৪ - ৩ = ১৪১

৩,৩২৫.

২/৩, ৩/৪, ৪/৫ ও ৫/৬ এর ল.সা.গু কত?

ক
২৮
খ
৩০
গ
৪০
ঘ
৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২/৩, ৩/৪, ৪/৫ ও ৫/৬ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
লবগুলোর ল.সা.গু = ৬০
হরগুলোর গ.সা.গু = ১

∴ ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু
∴ ল.সা.গু = ৬০/১ = ৬০

৩,৩২৬.

যদি, তিনটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার যোগফল 27 হয় তবে, তাদের বর্গের সমষ্টি কত?

ক
245
খ
260
গ
285
ঘ
290

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি, তিনটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার যোগফল 27 হয় তবে, তাদের বর্গের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
তিনটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যা যথাক্রমে x -1, x, x + 1

প্রশ্নমতে,
x -1 + x + x + 1 = 27
⇒ 3x = 27
∴ x = 9

∴ ২য় সংখ্যাটি = 9
∴ ১ম সংখ্যাটি = 9 - 1 = 8
∴ ৩য় সংখ্যাটি = 9 + 1 = 10

∴ তাদের বর্গের সমষ্টি = 8² + 9² + 10²
= 64 + 81 + 100
= 245

৩,৩২৭.

নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?

ক
৩/৫
খ
৪/৭
গ
৬/১১
ঘ
৫/৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?

সমাধান:
৩/৫ = ০.৬
৪/৭ = ০.৫৭১
৬/১১ = ০.৫৪৫
৫/৮ = ০.৬২৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৫/৮।

৩,৩২৮.

তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল 33 হলে তাদের গুণফল কত?

ক
ক) 1200
খ
খ) 1320
গ
গ) 1210
ঘ
ঘ) 1440

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল 33 হলে তাদের গুণফল কত?

সমাধান:
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা x - 1, x এবং x + 1

প্রশ্নমতে
x - 1 + x + x + 1 = 33
⇒ 3x = 33
∴ x = 11

∴ সংখ্যা তিনটির গুণফল = 10 × 11 × 12 = 1320

৩,৩২৯.

x² + 2x, x³ + 8 এবং x² - 4 রাশি তিনটির গ.সা.গু নিচের কোনটি?

ক
x + 2
খ
x - 2
গ
x (x + 2) (x - 2)
ঘ
x² - 4x + 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x²+ 2x, x³ + 8 এবং x²- 4 রাশি তিনটির গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² + 2x = x(x + 2)
x³+ 8 = x³+ 2³ = (x +2) (x² -2x + 4)
x² - 4 = (x - 2) (x + 2)

∴ x² + 2x, x³+ 8 এবং x² - 4 রাশি তিনটির গ.সা.গু = x + 2

৩,৩৩০.

নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?

ক
৯১
খ
৮৭
গ
৬৩
ঘ
৫৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
৯১ = ১ × ৭ × ১৩
৮৭ = ১ × ৩ × ২৯
৬৩ = ১ × ৩ × ২১
৫৯ = ১ × ৫৯
এখানে ৫৯ সংখ্যাটি ১ এবং ৫৯ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য নয়। সুতরাং, ৫৯ মৌলিক সংখ্যা।

৩,৩৩১.

নিচের কোন সংখ্যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে ১ কম?

ক
ক) ৪৪৯৪১
খ
খ) ৯৮৫৯৪
গ
গ) ১৬৮৯৯
ঘ
ঘ) ৭৫৪৩২

ব্যাখ্যা

১৬৮৯৯ + ১ = ১৬৯০০ এর বর্গমূল ১৩০।
∴ ১৬৮৯৯ সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে ১ কম।

৩,৩৩২.

নিচের কোন সংখ্যাটি মৌলিক নয়?

ক
ক) ৯১
খ
খ) ৫৩
গ
গ) ২৩
ঘ
ঘ) ৮৩

ব্যাখ্যা

মৌলিক সংখ্যা বের করার সহজ নিয়মঃ
1) সংজ্ঞাঃ যে সকল সংখ্যাকে কেবল ঐ সংখ্যা এবং 1 ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না তাদেরকে মৌলক সংখ্যা বলে।
2) সূত্রঃ 6n ± 1 = মৌলিক সংখ্যা (ব্যতিক্রম- 01 এবং 02 দেখুন)।
6X1 ± 1 = 5, 7
6X2 ± 1 = 11, 13
6X3 ± 1 = 17, 19
6X4 ± 1 = 23
6X5 ± 1 = 29, 31
6X6 ± 1 = 37
6X7 ± 1 = 41, 43
6X8 ± 1 = 47
6X9 ± 1 = 53
6X10 ± 1 = 59, 61
6X11 ± 1 = 67
6X12 ± 1 = 71, 73
6X13 ± 1 = 79
6X14 ± 1 = 83
6X15 ± 1 = 89
6X16 ± 1 = 97
ব্যতিক্রম-01: সূত্রের সাথে কোন ধরণের সামঞ্জস্যা না থাকলেও 2 এবং 3 মৌলিক সংখ্যা। এই দুইটি মৌলিক সংখ্যা সহ 1-100 পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা 25 টি।
ব্যতিক্রম-02: 25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91 এবং 95 প্রভৃতি সূত্রটির আওতাভুক্ত হলেও এরা মৌলিক সংখ্যা নয় অর্থাৎ এরা যৌগিক সংখ্যা।

৩,৩৩৩.

5, 8, 12 এবং 15 এর যোগফল 3, 4, x এবং x + 3 এর যোগফলের সমান হলে x এর মান কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 12
গ
গ) 15
ঘ
ঘ) 20

ব্যাখ্যা

5, 8, 12 এবং 15 এর যোগফল = 5 + 8 + 12 + 15 = 40
3, 4, x এবং x + 3 এর যোগফল = 3 + 4 + x + x + 3 = 10 + 2x
প্রশ্নমতে,
10 + 2x = 40
⇒ 2x = 40 - 10
⇒ 2x= 30
⇒ x = 15

৩,৩৩৪.

১ হতে ১০০ পর্যন্ত ৯ বিশিষ্ট সংখ্যা কয়টি?

ক
২০টি
খ
১৮টি
গ
২১টি
ঘ
১৯টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ হতে ১০০ পর্যন্ত ৯ বিশিষ্ট সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সখ্যার মাঝে ৯ অংকটি আছে: ৯, ১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯, ৫৯, ৬৯, ৭৯, ৮৯, ৯০,৯১, ৯২, ৯৩, ৯৪, ৯৫, ৯৬, ৯৭, ৯৮, ৯৯,।
১ হতে ১০০ পর্যন্ত ৯ বিশিষ্ট সংখ্যা ১৯টি

[প্রশ্নে কতটি ৯ আছে তা জানতে চাওয়া হয় নি, ৯ বিশিষ্ট সংখ্যা অর্থাৎ ৯ আছে এমন কতটি সংখ্যা আছে তা জানতে চাওয়া হয়েছে।]

৩,৩৩৫.

একটি সংখ্যা ৩১ থেকে যত বেশি ৫৫ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৩৯
খ
খ) ৪৩
গ
গ) ৪১
ঘ
ঘ) ৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩১ থেকে যত বেশি ৫৫ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - ৩১ = ৫৫ - x
বা, x + x = ৫৫ + ৩১
বা, ২x = ৮৬
বা, x = ৮৬/২
∴ x = ৪৩

∴ সংখ্যাটি = ৪৩ ।

৩,৩৩৬.

নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?

ক
ক) ১
খ
খ) ২
গ
গ) ১১৯
ঘ
ঘ) ৫১

ব্যাখ্যা

যে সংখ্যাগুলোকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ভিন্ন অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ২ সংখ্যাটিকে ১ এবং ২ ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না তাই ২ মৌলিক সংখ্যা।
মৌলিক সংখ্যার মধ্যে একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা হল ২।
১ মৌলিক বা যৌগিক সংখ্যা কোনটিই নয়।

৩,৩৩৭.

একটি বড় বাক্সের মধ্যে ৫টি বাক্স আছে ও তার প্রত্যেকটির ভেতর ৫টি করে ছোট বাক্স আছে। মোট বাক্সের সংখ্যা কত?

ক
ক) ৩১ টি
খ
খ) ২৩ টি
গ
গ) ২১ টি
ঘ
ঘ) ১৮ টি

ব্যাখ্যা

বড় বাক্স = ১ টি।
মাঝারি বাক্স = ৫ টি।
এবং ছোট বাক্স = ৫ X ৫ = ২৫ টি।
সুতরাং মোট বাক্স আছে = ১+৫+২৫ = ৩১ টি।

৩,৩৩৮.

দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৮১ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

ক
৫১
খ
৬১
গ
৪১
ঘ
৩১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৮১ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৮১
বা, ক^২+ ২ক + ১ - ক^২ = ৮১
বা, ২ক = ৮১ - ১
বা, ২ক = ৮০
বা, ক = ৪০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১ = ৪০ + ১ = ৪১

৩,৩৩৯.

পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪ এবং ৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

ক
১৯
খ
২১
গ
২৩
ঘ
২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪ এবং ৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
২, ৩, ৪, ৫ এর ল.সা.গু = ৬০
তাহলে, (৯৯৯৯৯ ÷ ৬০) ⇒
ভাগফল = ১৬৬৬
এবং ভাগশেষ = ৩৯

∴ ৯৯৯৯৯ এর সাথে = ৬০ - ৩৯ = ২১ সংখ্যাটি যোগ করলে, যোগফল প্রদত্ত অঙ্কগুলো দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

৩,৩৪০.

পিতা ও তিন পুত্রের বয়স অপেক্ষা মাতা ও ঐ তিন পুত্রের বয়সের গড় ২ বছর কম । পিতার বয়স ৩২ বছর হলে মাতার বয়স কত?

ক
ক) ২১ বছর
খ
খ) ২৪ বছর
গ
গ) ২৬ বছর
ঘ
ঘ) ২৭ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা ও তিন পুত্রের বয়স অপেক্ষা মাতা ও ঐ তিন পুত্রের বয়সের গড় ২ বছর কম । পিতার বয়স ৩২ বছর হলে মাতার বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পিতা ও তিন পুত্রের গড় বয়স = ক বছর
∴ পিতা ও তিন পুত্রের মােট বয়স ( ক × ৪) = ৪ক বছর

প্রশ্নমতে,
মাতা ও তিন পুত্রের বয়সের গড় (ক - ২) বছর
∴ মাতা ও তিন পুত্রের মােট বয়স = ৪( ক - ২) বছর
= (৪ক - ৮) বছর

যেহেতু পিতার বয়স = ৩২ বছর

∴ তিন পুত্রের মােট বয়স = (৪ক - ৩২) বছর

∴ মাতার বয়স = (৪ক - ৮ - ৪ক + ৩২)
= ২৪ বছর

৩,৩৪১.

a একটি জোড় পূর্ণসংখ্যা এবং b একটি বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোন রাশিটি জোড় সংখ্যা হবে?

ক
ক) 3a + 2b
খ
খ) a + 3b
গ
গ) a + b + 2
ঘ
ঘ) ab + 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a একটি জোড় পূর্ণসংখ্যা এবং b একটি বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোন রাশিটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
ধরি
a = 2 এবং b = 3
অপশন ক : 3a + 2b = 3 × 2 + 2 × 3 = 12 [যা জোড় সংখ্যা]
অপশন খ : a + 3b = 2 + 3 × 3 = 11 [যা বিজোড় সংখ্যা]
অপশন গ : a + b + 2 = 2 + 3 + 2 = 7 [যা বিজোড় সংখ্যা]
অপশন ঘ : ab + 1 = 2 × 3 + 1 = 7 [যা বিজোড় সংখ্যা]

৩,৩৪২.

তিনটি ঘড়ি যথাক্রমে ২ ঘণ্টা, ৩ ঘণ্টা ও ৪ ঘণ্টা অন্তর অন্তর বাজতে লাগলো। কত সময় পর পর ঘড়িগুলো একত্রে বাজবে?

ক
১০ ঘণ্টা
খ
৭ ঘণ্টা
গ
১১ ঘণ্টা
ঘ
১২ ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ঘড়ি যথাক্রমে ২ ঘণ্টা, ৩ ঘণ্টা ও ৪ ঘণ্টা অন্তর অন্তর বাজতে লাগলো। কত সময় পর পর ঘড়িগুলো একত্রে বাজবে?

সমাধান:
এখানে, ২, ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২।

সুতরাং, ১২ ঘণ্টা পর পর ঘড়ি গুলো একত্রে বাজবে।

৩,৩৪৩.

০.২ × ০.০২ × ০.০০২ × ০.০০০২ = কত?

ক
০.০০০০০০০০১৬
খ
০.০০০০০০০১৬
গ
০.০০০০০০১৬
ঘ
০.০০০০০১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০.২ × ০.০২ × ০.০০২ × ০.০০০২ = কত?

সমাধান:
০.২ × ০.০২ × ০.০০২ × ০.০০০২
= ০.০০০০০০০০১৬

৩,৩৪৪.

নিচের কোন ক্রমজোড়টি সহমৌলিক?

ক
(৬, ১৩)
খ
(৯, ১২)
গ
(৪, ২২)
ঘ
(৬, ৯)

ব্যাখ্যা

প্র্রশ্ন: নিচের কোন ক্রমজোড়টি সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
৬ ও ১৩ ক্রমজোড়টি সহমৌলিক
৬ = ১ × ২ × ৩
১৩ = ১ × ১৩

কারণ, (৬, ১৩) ক্রমজোড়টির সাধারণ গুণনীয়ক ১,
∴ (৬, ১৩) ক্রমজোড়টি সহমৌলিক

৩,৩৪৫.

0.04, 0.8, 0.016 এর গ.সা.গু কত?

ক
0.0008
খ
0.008
গ
0.08
ঘ
0.8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.04, 0.8, 0.016 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
এখানে,
0.04 = 4/100 = 1/25
0.8 = 8/10 = 4/5
0.016 = 16/1000 = 2/125

এখন,
1, 4 ও 2 এর গ.সা.গু = 1
25, 5 ও 125 এর ল.সা.গু = 125

1/25, 4/5 ও 2/125 এর গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু./হরগুলোর ল.সা.গু.
= 1/125
= 0.008

৩,৩৪৬.

১ থেকে ২০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

ক
ক) ৭ টি
খ
খ) ৮টি
গ
গ) ৯টি
ঘ
ঘ) ১০ টি

ব্যাখ্যা

১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা আটটি । এগুলো হলোঃ ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯ ।

৩,৩৪৭.

৮ টি সংখ্যার গড় ১৩। একটি সংখ্যা বাতিল করলে গড় হয় ১২। বাতিলকৃত সংখ্যাটি কত ?

ক
২২
খ
১৮
গ
২৪
ঘ
২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮ টি সংখ্যার গড় ১৩। একটি সংখ্যা বাতিল করলে গড় হয় ১২। বাতিলকৃত সংখ্যাটি কত ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৮ টি সংখ্যার গড় ১৩
∴ ৮ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৮ × ১৩ = ১০৪

আবার,
একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় হয় = ১২
∴ বাকি ৭টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ১২ = ৮৪

∴ বাতিলকৃত সংখ্যাটি = ১০৪ - ৮৪ = ২০

৩,৩৪৮.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ. সা. গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু কত?

ক
ক) ১৩০
খ
খ) ১৫০
গ
গ) ১১০
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

অনুপাত ও গ.সা.গু দেওয়া থাকলে,
ল.সা.গু = অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু
= ৫ × ৬ × ৪
= ১২০

৩,৩৪৯.

দু'টি সংখ্যার গ.সা.গু. ৪ এবং ল.সা.গু.৪৮। একটি সংখ্যা ১৬ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ১২
খ
খ) ১৮
গ
গ) ৩২
ঘ
ঘ) ৩৬

ব্যাখ্যা

অপর সংখ্যাটি n হলে,
১৬ × n = ৪ × ৪৮
বা, n = (৪ × ৪৮)/১৬
= ১২

৩,৩৫০.

তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা কত?

ক
১০০
খ
০০১
গ
১১১
ঘ
৯৯৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা কত?

সমাধান:

তিন অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯

তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০

চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯

চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০

৩,৩৫১.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ১১ঃ১২ এবং গ.সা.গু. ৩ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৩৩
খ
খ) ৩৬
গ
গ) ২২
ঘ
ঘ) ৪৮

ব্যাখ্যা

সংখ্যা দুইটি ১১ক ও ১২ক হলে, এদের গ.সা.গু. ক।
প্রশ্নানুসারে, ক = ৩
বৃহত্তম সংখ্যাটি ১২ক = ১২ × ৩ বা ৩৬

৩,৩৫২.

a = 7 এবং b ও c এর মানের গড় 13 হলে ‍a, b এবং c এর গড় মান কত হবে?

ক
11
খ
12
গ
13
ঘ
14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 7 এবং b ও c এর মানের গড় 13 হলে ‍a, b এবং c এর গড় মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 6
b ও c এর মানের গড় = 13
b ও c এর মানের সমষ্টি = (13 × 2)
= 26

∴ a, b এবং c এর মানের গড় = (26 + 7)/3
= 33/3
= 11

৩,৩৫৩.

Given that √574.6 = 23.97, √5746 = 75.8 then √0.00005746 = ?

ক
ক) 0.002394
খ
খ) 0.0002397
গ
গ) 0.0007580
ঘ
ঘ) 0.00758
ঙ
ঙ) 0.002393

ব্যাখ্যা

According to question,
√0.00005746
⇒ √5746100000000
⇒ 75.8/10000
⇒ 0.00758

৩,৩৫৪.

২ এবং ৩২ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

ক
১১টি
খ
৯টি
গ
৮টি
ঘ
১০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২ এবং ৩২ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
• ২ এবং ৩২ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ১০টি।
• সংখ্যাগুলো হলো: ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১।
• কিন্তু যদি বলা হতো ২ থেকে ৩২ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা তাহলে ২ অন্তর্ভূক্ত হতো এবং সংখ্যা হতো ১১টি।

৩,৩৫৫.

একটি ধনাত্মক সংখ্যার দ্বিগুণের বর্গের সঙ্গে ১৫ যোগ করলে ৪১৫ হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
১০
খ
১১
গ
১৫
ঘ
১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ধনাত্মক সংখ্যার দ্বিগুণের বর্গের সঙ্গে ১৫ যোগ করলে ৪১৫ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = a

প্রশ্নমতে,
(২a)^২ + ১৫ = ৪১৫
বা, ৪a^২ + ১৫ = ৪১৫
বা, ৪a^২ = ৪১৫ - ১৫
বা, ৪a^২ = ৪০০
বা, a^২ = ৪০০/৪
বা, a^২ = ১০০
বা, a^২ = ১০^২
∴ a = ১০

∴ সংখ্যাটি = ১০ ।

৩,৩৫৬.

দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৫ হলে সংখ্যা দুইটি কত?

ক
২০, ২১
খ
২১, ২২
গ
২২, ২৩
ঘ
২৩, ২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৫ হলে সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক সংখ্যা দুইটি = ক এবং (ক + ১)

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২= ৪৫
ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৪৫
২ক + ১ = ৪৫
২ক = ৪৫ - ১
২ক = ৪৪
ক = ২২

সংখ্যা দুইটি = ২২, ২৩

৩,৩৫৭.

একটি সংখ্যা ৩১ থেকে যত বেশি ৫৫ থেকে তত কম, সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৩০
খ
খ) ৪৩
গ
গ) ১২
ঘ
ঘ) ২৪

ব্যাখ্যা

ধরি,
সংখ্যাটি =ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৩১ = ৫৫ - ক
ক + ক = ৫৫ + ৩১
২ক = ৮৬
ক = ৪৩

৩,৩৫৮.

তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা হতে দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল কত হবে?

ক
৮৮৯
খ
৮৯৯
গ
৯৮৯
ঘ
৯৯৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা হতে দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল কত হবে?

সমাধান:
তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা হলো = ৯৯৯
এবং দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০

∴ সংখ্যাদ্বয়ের বিয়োগফল = ৯৯৯ - ১০ = ৯৮৯

৩,৩৫৯.

ছয় সন্তানের বয়সের গড় ৮ বছর। পিতাসহ তাদের বয়সের গড় ১২ বছর। পিতার বয়স কত?

ক
৩২ বছর
খ
৩৪ বছর
গ
৩৬ বছর
ঘ
৩৮ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ছয় সন্তানের বয়সের গড় ৮ বছর। পিতাসহ তাদের বয়সের গড় ১২ বছর। পিতার বয়স কত?

সমাধান:
ছয় সন্তানের বয়সের গড় ৮ বছর
ছয় সন্তানের বয়সের সমষ্টি= ৮ × ৬ বছর
= ৪৮ বছর

পিতাসহ তাদের বয়সের গড় ১২ বছর
পিতাসহ তাদের বয়সের সমষ্টি = ১২ × ৭ বছর
= ৮৪ বছর

পিতার বয়স = ৮৪ - ৪৮ বছর
= ৩৬ বছর

৩,৩৬০.

যদি তিনটি ক্রমিক সংখ্যার সমষ্টি বিজোড় হয়, তাহলে প্রথম ও শেষ সংখ্যা অবশ্যই কী হবে?

ক
ক) জোড়, বিজোড়
খ
খ) বিজোড়, বিজোড়
গ
গ) জোড়, জোড়
ঘ
ঘ) বিজোড়, জোড়

ব্যাখ্যা

২ + ৩ + ৪ = ৯

৩,৩৬১.

৩৬ সংখ্যাটির মোট কতগুলো ভাজক রয়েছে?

ক
ক) ৯ টি
খ
খ) ১০ টি
গ
গ) ১১ টি
ঘ
ঘ) ১২ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩৬ সংখ্যাটির মোট কতগুলো ভাজক রয়েছে?

নিয়ম-১ঃ
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ২^২× ৩^২
৩৬ সংখ্যাটির ভাজক = (২ + ১) × (২ + ১) = ৯টি।

নিয়ম-২ঃ
৩৬ = ১ × ৩৬
= ২ × ১৮
= ৩ × ১২
= ৪ × ৯
= ৬ × ৬

৩৬ সংখ্যাটির ভাজক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮, ৩৬,
=৯ টি।

৩,৩৬২.

১০০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে গড় নম্বর ৭০। এদের মধ্যে ৬০ জন ছাত্রীর গড় নম্বর ৭৫ হলে ছাত্রদের গড় নম্বর কত?

ক
৬০.৫
খ
৬৫.৫
গ
৬২.৫
ঘ
৫৫.৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে গড় নম্বর ৭০। এদের মধ্যে ৬০ জন ছাত্রীর গড় নম্বর ৭৫ হলে ছাত্রদের গড় নম্বর কত?

সমাধান:

১০০ জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর = ৭০

∴ ১০০ জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে মোট নম্বর = (৭০ × ১০০)

= ৭০০০

আবার,

৬০ জন ছাত্রীর গড় নম্বর = ৭৫

∴ ৬০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (৭৫ × ৬০)

= ৪৫০০

এখন,

(১০০ - ৬০) বা ৪০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৭০০০ - ৪৫০০)

= ২৫০০

∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = ২৫০০/৪০

= ৬২.৫

৩,৩৬৩.

একটি স্বাভাবিক সংখ্যা যখন ১২ বৃদ্ধি পায়, এর ব্যস্তানুপাতিক ১৬০ গুণ হয় । সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৮
খ
খ) ৬
গ
গ) ১০
ঘ
ঘ) ১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্বাভাবিক সংখ্যা যখন ১২ বৃদ্ধি পায়, এর ব্যস্তানুপাতিক ১৬০ গুণ হয় । সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক + ১২ = (১/ক) x ১৬০
বা, ক^২ + ১২ক = ১৬০
বা, ক^২ + ১২ক - ১৬০ = ০
বা, ক^২ + ২০ক - ৮ক - ১৬০ = ০
বা, ক(ক + ২০) - ৮(ক - ২০) = ০
বা, (ক + ২০) (ক - ৮) = ০

হয়,
ক + ২০ = ০
ক = - ২০ [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

অথবা,
ক - ৮ = ০
ক = ৮

∴ সংখ্যাটি ৮

৩,৩৬৪.

একটি ভগ্নাংশের হর তার লবের চেয়ে ৩ বেশি। যদি লব ও হরের সাথে ৪ যোগ করা হয় তাহলে ভগ্নাংশটি ৪/৫ হয়। ভগ্নাংশটি কত?

ক
৭/১২
খ
৮/১১
গ
১০/১৩
ঘ
৪/১৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের হর তার লবের চেয়ে ৩ বেশি। যদি লব ও হরের সাথে ৪ যোগ করা হয় তাহলে ভগ্নাংশটি ৪/৫ হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
মনেকরি
ভগ্নাংশের লব x
∴ ভগ্নাংশের হর x + ৩

∴ ভগ্নাংশটি = x/(x + ৩)

প্রশ্নমতে,
(x + ৪)/(x + ৩ + ৪) = ৪/৫
⇒ (x + ৪)/(x + ৭) = ৪/৫
⇒ ৫x + ২০ = ৪x + ২৮
⇒ ৫x - ৪x = ২৮ - ২০
∴ x = ৮

ভগ্নাংশটি = ৮/(৮ + ৩)
= ৮/১১

৩,৩৬৫.

চার অংকের কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩০ এবং ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায়?

ক
৯৯৯৯
খ
৯৩৬৩
গ
৯৩৬১
ঘ
৯৩৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চার অংকের কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩০ এবং ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায়?

সমাধান:
চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯
আবার,
১৬, ২৪, ৩০, ৩৬ এর ল.সা.গু = ৭২০

৯৯৯৯ কে ৭২০ দ্বারা ভাগ করলে ৬৩৯ অবশিষ্ট থাকে।

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৯৯৯৯ - ৬৩৯ = ৯৩৬০

৩,৩৬৬.

২ থেকে শুরু করে ১০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলোর গড় কত?

ক
ক) ৫
খ
খ) ৬
গ
গ) ৭
ঘ
ঘ) ৮

ব্যাখ্যা

২ থেকে শুরু করে ১০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলো হলো = ২, ৪, ৬, ৮, ১০
জোড় সংখ্যাগুলোর যোগফল = ২ + ৪ + ৬ + ৮ + ১০ = ৩০

নির্ণেয় গড় = ৩০/৫ = ৬

৩,৩৬৭.

৯টি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার পঞ্চম সংখ্যাটি হলো - ১৫। সবগুলো সংখ্যার সমষ্টি কত?

ক
১৩৫
খ
- ১২৫
গ
১২৮
ঘ
- ১৩৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯টি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার পঞ্চম সংখ্যাটি হলো - ১৫। সবগুলো সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
যেহেতু, ৯টি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার পঞ্চম সংখ্যাটি হলো - ১৫
তাই ধারাবাহিক সংখ্যাগুলো হলো, - ৭, - ৯, - ১১, - ১৩, - ১৫, - ১৭, - ১৯, - ২১, - ২৩,

৯টি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = (- ৭) + (- ৯) + (- ১১) + (- ১৩) + (- ১৫) + (- ১৭) + (- ১৯) + (- ২১) + (- ২৩)
= - ১৩৫

৩,৩৬৮.

কোন সংখ্যার বর্গের সাথে ১৭ যোগ করলে যোগফল ৯ এর বর্গ হবে?

ক
৬
খ
৭
গ
৮
ঘ
৯

ব্যাখ্যা

সংখ্যাটি ক হলে,
ক^২ + ১৭ = ৯^২
বা, ক^২ = ৮১ - ১৭
বা, ক^২ = ৬৪
বা, ক^২ = ৮^২
∴ ক = ৮

৩,৩৬৯.

একটি খুঁটির 1/3 অংশ মাটির নিচে পুঁতে রাখা আছে। মাটির নিচে যতটুকু আছে তার 1/2 অংশ পানিতে আছে এবং বাকি অংশ পানির উপরে আছে। যদি পানির উপরে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য 12 ফুট হয়, পানিতে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য কত

ক
3 ফুট
খ
4 ফুট
গ
5 ফুট
ঘ
6 ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খুঁটির 1/3 অংশ মাটির নিচে পুঁতে রাখা আছে। মাটির নিচে যতটুকু আছে তার 1/2 অংশ পানিতে আছে এবং বাকি অংশ পানির উপরে আছে। যদি পানির উপরে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য 12 ফুট হয়, পানিতে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
খুঁটির দৈর্ঘ্য = r মিটার
মাটির নিচে আছে খুঁটিটির = r × (1/3) = r/3 অংশ
পানিতে আছে খুঁটিটির = (r/3) × (1/2) = r/6 অংশ
বাকি অংশ বা পানির উপরে আছে = r - (r/3) - (r/6)
= (6r - 2r - r)/6
= 3r/6
= r/2

প্রশ্নমতে,
r/2 = 12
∴ r = 24 ফুট
অতএব, খুঁটিটির পানিতে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য = 24/6 = 4 ফুট

৩,৩৭০.

একজন মালি সারি ও কলামে গাছ লাগিয়েছেন, যেখানে সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার চেয়ে পাঁচ বেশি। যদি মোট সারি ও কলামের সংখ্যা ১০৫ হয়, তবে মোট গাছের সংখ্যা কত?

ক
২৭০০
খ
২৭৫০
গ
২৬৫০
ঘ
২২২০
ঙ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন মালি সারি ও কলামে গাছ লাগিয়েছেন, যেখানে সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার চেয়ে পাঁচ বেশি। যদি মোট সারি ও কলামের সংখ্যা ১০৫ হয়, তবে মোট গাছের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
কলামের সংখ্যা = x
সারির সংখ্যা = x + ৫

শর্তানুসারে,
x + x + ৫ = ১০৫
⇒ 2x + 5 = ১০৫
⇒ 2x = ১০৫
∴ x = ৫০

অতএব, কলামের সংখ্যা = ৫০
অতএব, সারির সংখ্যা = ৫০ + ৫ = ৫৫
অতএব, গাছের মোট সংখ্যা = ৫৫ × ৫০ = ২৭৫০

৩,৩৭১.

১ - [২ - {৩ - (৪ - ৫) + ৬} + ৭] =?

ক
১
খ
৩
গ
-১
ঘ
-৩
ঙ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ - [২ - {৩ - (৪ - ৫) + ৬} + ৭] =?

সমাধান:
১ - [২ - {৩ - (৪ - ৫) + ৬} + ৭]
= ১ - [২ - {৩ - (-১) + ৬} + ৭]
= ১ - [২ - {৩ + ১ + ৬} + ৭]
= ১ - [২ - {১০} + ৭]
= ১ - [২ - ১০ + ৭]
= ১ - [-১]
= ১ + ১
= ২

৩,৩৭২.

একজন বোলার গড়ে ২২ রান দিয়ে ৬টি উইকেট পান। পরবর্তী খেলায় গড়ে ১৪ রান দিয়ে ৪টি উইকেট পান। তিনি গড়ে উইকেটপ্রতি কত রান দিয়েছেন?

ক
ক) ১৪.০
খ
খ) ১৬.০
গ
গ) ১৮.০
ঘ
ঘ) ১৮.৮

ব্যাখ্যা

একজন বোলার ৬ উইকেট পান = ৬×২২ = ১৩২ রানের বিনিময়ে
পরবর্তী খেলায় ৪ উইকেট পান = ৪×১৪ = ৫৬ রানের বিনিময়ে।
সুতরাং, তিনি গড়ে উইকেট প্রতি = (১৩২+৫৬)/১০ = ১৮.৮ রান দিয়েছে।

৩,৩৭৩.

নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?

ক
৩/৫
খ
৬/১১
গ
৫/৮
ঘ
৪/৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?

সমাধান:
৩/৫ = ০.৬ (ক্ষুদ্রতম),
৬/১১ = ০.৫৪ (ক্ষুদ্রতম),
৫/৮ = ০.৬২ (বৃহত্তম) এবং
৪/৭ = ০.৫৭ (ক্ষুদ্রতম)

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৫/৮।

৩,৩৭৪.

একজন দোকানদার ১২ দিনে ৫০৪ টাকা আয় করেন। প্রথম ৪ দিনে তার গড় আয় ৪০ টাকা হলে বাকি দিনগুলোতে তার গড় আয় কত টাকা?

ক
ক) ৪০ টাকা
খ
খ) ৪১ টাকা
গ
গ) ৪৩ টাকা
ঘ
ঘ) ৪৭ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ১২ দিনে ৫০৪ টাকা আয় করেন। প্রথম ৪ দিনে তার গড় আয় ৪০ টাকা হলে বাকি দিনগুলোতে তার গড় আয় কত টাকা?

সমাধান:
প্রথম ৪ দিনের গড় আয় = ৪০ টাকা
∴ প্রথম ৪ দিনের মোট আয় = (৪০ × ৪) টাকা
= ১৬০ টাকা

∴ অবশিষ্ট টাকা = (৫০৪ - ১৬০) টাকা
= ৩৪৪ টাকা
এবং অবশিষ্ট সময় = (১২ - ৪) দিন
= ৮ দিন

∴ বাকি দিনগুলোর গড় আয় = ৩৪৪/৮ টাকা
= ৪৩ টাকা

৩,৩৭৫.

দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৯৬ এবং গ.সা.গু ১৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ১.৫ গুণ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
৩৬
খ
২০
গ
৩২
ঘ
৪২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৯৬ এবং গ.সা.গু ১৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ১.৫ গুণ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যা = ১.৫ক
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ১.৫ক^২

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১.৫ক^২ = ৯৬ × ১৬
⇒ ১.৫ক^২ = ১৫৩৬
⇒ ক^২ = ১৫৩৬/১.৫
⇒ ক^২ = ১০২৪
⇒ ক = √১০২৪
∴ ক = ৩২

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩২

৩,৩৭৬.

কতজন শিশুর মধ্যে কোন ফল না ভেঙে ১১৫ টি কলা ও ১৫০ টি কমলা ভাগ করে দেয়া যায়?

ক
৩ জন
খ
৫ জন
গ
১০ জন
ঘ
১৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কতজন শিশুর মধ্যে কোন ফল না ভেঙে ১১৫ টি কলা ও ১৫০ টি কমলা ভাগ করে দেয়া যায়?

সমাধান:
শিশুর সংখ্যা হবে ১১৫ এবং ১৩৫ এর গ.সা.গু
১১৫ ও ১৩৫ এর গ.সা.গু = ৫

শিশুর সংখ্যা ৫ জন

৩,৩৭৭.

তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল ১৯৪ হলে সংখ্যা তিনটির যোগফল কত হবে?

ক
২০
খ
২৪
গ
২৭
ঘ
২৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল ১৯৪ হলে সংখ্যা তিনটির যোগফল কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম সংখ্যাটি = ক - ১
দ্বিতীয় সংখ্যা = ক
তৃতীয় সংখ্যা = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক - ১)^২ + ক^২ + (ক + ১)^২ = ১৯৪
বা, ক^২ - ২ক + ১ + ক^২ + ক^২ +২ক + ১ = ১৯৪
বা, ৩ক^২ + ২ = ১৯৪
বা, ৩ক^২ = ১৯৪ - ২
বা, ৩ক^২ = ১৯২
বা, ক^২ = ১৯২/৩
বা, ক^২ = ৬৪
বা, ক = ৮ [ বর্গমূল করে]

এখন,
প্রথম সংখ্যাটি = (৮ - ১) = ৭
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৮
তৃতীয় সংখ্যা = (৮ + ১) = ৯

∴ সংখ্যা তিনটির যোগফল = ৭ + ৮ + ৯ = ২৪

৩,৩৭৮.

দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের লসাগু ১২০ হলে সংখ্যা দুটির সমষ্টি কত?

ক
ক) ৩০
খ
খ) ৪০
গ
গ) ৬০
ঘ
ঘ) ৭০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের লসাগু ১২০ হলে সংখ্যা দুটির সমষ্টি কত?

সমাধান-
মনে করি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক এবং ৪ক
∴ লসাগু = ১২ক

প্রশ্নমতে,
১২ক = ১২০
⇒ ক = ১০

∴ সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ × ১০ = ৩০ এবং ৪ × ১০ = ৪০

সংখ্যা দুটির সমষ্টি = ৩০ + ৪০ = ৭০

৩,৩৭৯.

দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। যদি একটি সংখ্যা অপরটির দুই-তৃতীয়াংশ হয়, তবে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

ক
৩০
খ
৩৫
গ
২০
ঘ
২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। যদি একটি সংখ্যা অপরটির দুই-তৃতীয়াংশ হয়, তবে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৩ক
ছোট সংখ্যাটি = ২ক

এখন,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩ক × ২ক = ৬০ × ১০
⇒ ৬ক^২= ৬০০
⇒ ক^২= ৬০০/৬
⇒ ক^২= ১০০
∴ ক = ১০

বড় সংখ্যাটি = ৩ × ১০ = ৩০

৩,৩৮০.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যাকে অঙ্কদ্বয়ের গুণফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল 3 হয় এবং সংখ্যাটির সাথে 18 যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

ক
15
খ
24
গ
36
ঘ
48

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যাকে অঙ্কদ্বয়ের গুণফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল 3 হয় এবং সংখ্যাটির সাথে 18 যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্ক ক এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক খ

∴ সংখ্যাটি = ( ১০খ + ক)
প্রথম শর্তমতে,
(১০খ + ক) /কখ = ৩ ................ (১)

দ্বিতীয় শর্তমতে,
১০খ + ক + ১৮ = ১০ক + খ
বা, ৯ক = ৯খ + ১৮
ক = খ + ২ .................. (২)

ক এর মান (১) নং সমীকরনে বসিয়ে পাই,
(১০খ + খ + ২)/{খ(খ + ২)} = ৩
বা, ১১খ + ২/খ^২ + ২খ = ৩
বা, ৩খ^২ + ৬খ = ১১খ + ২
বা, ৩খ^২ - ৫খ - ২ = ০
বা, ৩খ^২ - ৬খ + খ - ২ = ০
বা, ৩খ(খ - ২) + ১ (খ - ২) = ০
বা, (খ - ২) (৩খ + ১) = ০
হয়, খ - ২ = ০
খ = ২,

অথবা,
৩খ + ১ = ০
বা, খ = - ১/৩ [ - ১/৩ গ্রহণযোগ্য নয় ]

খ = ২ হলে,
ক = ২ + ২ = ৪

নির্ণয়ে সংখ্যাটি = (১০ × ২) + ৪ = ২৪

৩,৩৮১.

নিচের কোন সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম?

ক
ক) ৩/৫
খ
খ) ৭/২৫
গ
গ) ৪/১৫
ঘ
ঘ) ৩/২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
৫, ১৫, ২০, ২৫ এর ল. সা. গু = ৩০০

(৩/৫) = (৩ × ৬০)/ (৫ × ৬০) = ১৮০/৩০০
(৪/১৫) = (৪ × ২০)/(১৫ × ২০) = ৮০/৩০০
(৩/২০) = (৩ × ১৫)/(২০ × ১৫) = ৪৫/৩০০
(৭/২৫) = (৭ × ১২)/(২৫ × ১২) = ৮৪/৩০০

∴ সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি ৩/২০

৩,৩৮২.

একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি ৫/২ হলে, সংখ্যাটি কত?

ক
২/৫
খ
৪/৩
গ
১/২
ঘ
১/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি ৫/২ হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সংখ্যাটি = ক
ক এর গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যা = ১/ক

এখন,
ক + (১/ক) = ৫/২
⇒ (ক^২ + ১)/ক = ৫/২
⇒ ২ক^২ - ৫ক + ২ = ০
⇒ ২ক^২ - ৪ক - ক + ২ = ০
⇒ ২ক(ক - ২) - ১(ক - ২) = ০
⇒ (২ক - ১)(ক - ২) = ০

হয় ২ক - ১ = ০ অথবা ক - ২ = ০
∴ ক = ১/২ অথবা ২

৩,৩৮৩.

নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

ক
5.5
খ
√3
গ
5/3
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
- যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন:√2 = 1.414213.........., √3 = 1.732 ........., √5 = 2.236..., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
- কোনাে অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

৩,৩৮৪.

নিচের কোন ভগ্নাংশটি বড়?

ক
ক) ৩/৭
খ
খ) ২/৫
গ
গ) ৪/৯
ঘ
ঘ) ১/৩

ব্যাখ্যা

৭, ৫, ৯, ৩ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ৩১৫
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৭ × ৩১৫ = ৩ × ৪৫ = ১৩৫
আবার, ২/৫ × ৩১৫ = ২ × ৬৩ = ১২৬
আবার, ৪/৯ × ৩১৫ = ৪ × ৩৫ = ১৪০
এবং ১/৩ × ৩১৫ = ১ × ১০৫ = ১০৫
সুতরাং সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ৪/৯।
আবার ভগ্নাংশগুলোর হর দ্বারা লবকে ভাগ করেও ফলাফল পাওয়া যাবে।

৩,৩৮৫.

(০.০২/১০)^২ =?

ক
০.০০০৪
খ
০.০০০০৪
গ
০.০০৪
ঘ
০.০০০০০৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (০.০২/১০)^২ =?

সমাধান:
(০.০২/১০)^২
= (০.০০২)^২
= ০.০০০০০২

৩,৩৮৬.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ১০ এবং তাদের ল.সা.গু ২১০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

ক
৪২
খ
৩৫
গ
৪৫
ঘ
৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ১০ এবং তাদের ল.সা.গু ২১০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৭ক ও ১০ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = (৭ × ১০)ক = ৭০ক

প্রশ্নমতে,
৭০ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৭০
⇒ ক = ৩

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১০ × ক = ১০ × ৩ = ৩০

৩,৩৮৭.

(২^৩)^২ - ১ এর সবচেয়ে বড় মৌলিক উৎপাদক কত?

ক
৭
খ
৩
গ
৫
ঘ
৬৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (২^৩)^২ - ১ এর সবচেয়ে বড় মৌলিক উৎপাদক কত?

সমাধান:
(২^৩)^২ - ১
= (২^৩ + ১) (২^৩ - ১)
= ৯ × ৭
= ৩ × ৩ × ৭

∴ সবচেয়ে বড় মৌলিক উৎপাদক হলো ৭

৩,৩৮৮.

নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

ক
৭/৩
খ
৫/৪
গ
৭/২
ঘ
৩/২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?
(৩/২), (৭/৩), (৫/৪), (৭/২)

সমাধান:
(৩/২) = ১.৫

(৭/৩) = ২.৩৩.........

(৫/৪) = ১.২৫

(৭/২) = ৩.৫

যেহেতু ১.২৫< ১.৫ < ২.৩৩...... < ৩.৫
∴ (৫/৪) < (৩/২) < (৭/৩) < (৭/২)

∴ বৃহত্তম ভগ্নাংশ = (৭/২)

৩,৩৮৯.

(৩ + √৫) হলো-

ক
অমূলদ সংখ্যা
খ
মূলদ সংখ্যা
গ
অবাস্তব সংখ্যা
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (৩ + √৫) হলো-

সমাধান: (৩ + √৫) হলো অমূলদ সংখ্যা।
কারণ একটি মূলদ (৩) ও একটি অমূলদ (√৫) সংখ্যার যোগফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা।

৩,৩৯০.

একটি বাঁশের ১/৪ অংশ কাঁদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ৩ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
১২ মিটার
খ
১৮ মিটার
গ
২০ মিটার
ঘ
২৪ মিটার

ব্যাখ্যা

কাঁদায় ও পানিতে আছে = বাঁশটির (১/৪ + ৩/৫) অংশ বা ১৭/২০ অংশ।
অবশিষ্ট থাকে = (১ - ১৭/২০) অংশ বা ৩/২০ অংশ

প্রশ্নানুসারে,
বাঁশটির ৩/২০ অংশ = ৩ মিটার
বাঁশটির সম্পূর্ণ অংশের দৈর্ঘ্য = ৩ ×২০/৩ মিটার বা ২০ মিটার

৩,৩৯১.

৩/৫ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু কোনটি?

ক
১২
খ
১৬
গ
২০
ঘ
৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩/৫ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু কোনটি?

সমাধান:
লব (৩ ও ৪) গুলোর ল.সা.গু = ১২
হর (৫ ও ৭) গুলোর গ.সা.গু = ১

∴ ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব গুলোর ল.সা.গু/হর গুলোর গ.সা.গু
= ১২/১
= ১২

৩,৩৯২.

একটি সৈন্যদলকে ৫, ৬, ৯ সারিতে সাজানো যায় কিন্তু বর্গাকারে সাজানো যায় না। সৈন্যসংখ্যাকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে বর্গাকারে সাজানো যাবে?

ক
ক) ৫
খ
খ) ৬
গ
গ) ১০
ঘ
ঘ) ১২

ব্যাখ্যা

এখানে,
৫ = ১ × ৫
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩

৫, ৬, ৯ এর ল.সা.গু = ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ৯০ যা বর্গাকারে সাজানো সম্ভব নয়।

২ × ৩ × ৩ × ৫ কে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে কমপক্ষে (২ × ৫) বা ১০ দ্বারা গুণ করতে হবে।

৩,৩৯৩.

ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৭, ১৩ এবং ১৯ ভাগশেষ থাকবে?

ক
৬৭
খ
৭৯
গ
৭০
ঘ
৮৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৭, ১৩ এবং ১৯ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
১২ - ৭ = ৫
১৮ - ১৩ = ৫
২৪ - ১৯ = ৫

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু. অপেক্ষা ৫ কম।

১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু. = ৭২

∴ সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে= ৭২ - ৫ = ৬৭

৩,৩৯৪.

৩০টি আম ও ৩৬টি লিচু সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যেতে পারে?

ক
৬ জন
খ
৫ জন
গ
৩ জন
ঘ
৪ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০টি আম ও ৩৬টি লিচু সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যেতে পারে?

সমাধান:
নির্ণেয় বালকের সংখ্যা হবে ৩০ ও ৩৬ এর গ. সা. গু
∴ ৩০ ও ৩৬ এর গ. সা. গু. = ৬

∴ নির্ণেয় বালকের সংখ্যা = ৬ জন।

৩,৩৯৫.

x³ - 1, x³ + 1, x⁴ + x² + 1 এর ল.সা.গু. কত?

ক
ক) x⁸ – 1
খ
খ) x⁷ – 1
গ
গ) x⁶ – 1
ঘ
ঘ) x⁵ – 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : x³ - 1, x³ + 1, x⁴ + x² + 1 এর ল.সা.গু. কত?

সমাধান :
১ম রাশি = x³ - 1 = (x - 1)(x²+ x +1)
২য় রাশি = x³ + 1 = (x + 1)(x²- x + 1)
৩য় রাশি = x²+x²+1
= (x²)²+2(x²)(1) + 1² − x²
= (x² + 1)² − x²
= (x²− x +1)(x²+ x +1)

সুতরাং, নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 1)(x²+ x +1)(x + 1)(x²- x + 1)
= (x³ - 1)(x³ + 1)
= (x³)² - (1)²
= x⁶ - 1

৩,৩৯৬.

নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?

ক
০.৩‌
খ
√০.৩
গ
১/৩
ঘ
২/৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?

সমাধান:
ক) ০.৩‌ = ০.৩
খ) √০.৩ = ০.৫৪৭
গ) ১/৩ = ০.৩৩৩
ঘ) ২/৫ = ০.৪

৩,৩৯৭.

একটি সংখ্যা ৩৫ থেকে যত বেশি ৭৫ থেকে তত কম। সংখ্যাটি কত?

ক
৫৫
খ
৪৮.৫
গ
৬০
ঘ
৭০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩৫ থেকে যত বেশি ৭৫ থেকে তত কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৩৫ = ৭৫ - ক
⇒ ক + ক = ৭৫ + ৩৫
⇒ ২ক = ১১০
⇒ ক = ১১০/২
⇒ ক = ৫৫

∴ সংখ্যাটি = ৫৫

শর্টকাট:
(৩৫ + ৭৫)/২
= ১১০/২
= ৫৫

৩,৩৯৮.

কোন সংখ্যাকে সাহায্যকারী সংখ্যা বলা হয়?

ক
০
খ
১০
গ
৯
ঘ
৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যাকে সাহায্যকারী সংখ্যা বলা হয়?

সমাধান:
যে সংখ্যার নিজস্ব কোনো মান নেই, কিন্তু অন্য সংখ্যার মান বা স্থানীয় মান (place value) নির্ধারণে সাহায্য করে—তাকে সাহায্যকারী বা অভাবজ্ঞাপক সংখ্যা (Placeholder Digit) বলা হয়।

শূন্য (০) নিজে কোনো মান প্রকাশ করে না, কিন্তু ১০, ১০০, ১০০০ ইত্যাদি সংখ্যায় বসে সংখ্যার মান বহুগুণ বাড়িয়ে দেয়। তাই ০-কে সাহায্যকারী বা অভাবজ্ঞাপক সংখ্যা বলা হয়।

অন্যদিকে ৩, ৯ বা ১০—এগুলো প্রত্যেকটিরই নিজস্ব মান রয়েছে, তাই এগুলো সাহায্যকারী সংখ্যা নয়।

৩,৩৯৯.

একটি কারখানার মহিলা কর্মচারীদের দৈনিক গড় মজুরি ৩০ টাকা এবং পুরুষ কর্মচারীদের দৈনিক গড় মজুরী ৪২ টাকা। সকল কর্মচারীর গড় মজুরী ৩৭ টাকা হলে পুরুষ ও মহিলা কর্মচারীর অনুপাত কত?

ক
৬ : ৫
খ
৫ : ৬
গ
৫ : ৭
ঘ
৭ : ৫
ঙ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কারখানার মহিলা কর্মচারীদের দৈনিক গড় মজুরি ৩০ টাকা এবং পুরুষ কর্মচারীদের দৈনিক গড় মজুরী ৪২ টাকা। সকল কর্মচারীর গড় মজুরী ৩৭ টাকা হলে পুরুষ ও মহিলা কর্মচারীর অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
পুরুষের সংখ্যা = ক
মহিলার সংখ্যা = খ

প্রশ্নমতে,
৪২ক + ৩০খ = ৩৭(ক + খ)
বা, ৪২ক - ৩৭ক = ৩৭খ - ৩০খ
বা, ৫ক = ৭খ
বা, ক/খ = ৭/৫
ক : খ = ৭ : ৫
∴ পুরুষ ও মহিলা ক‍‍র্মচারীর অনুপাত ৭ : ৫

৩,৪০০.

২৪ এর ০.৫ ÷ ০.২৫ = কত?

ক
৪৮
খ
৪০
গ
৬০
ঘ
৪২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৪ এর ০.৫ ÷ ০.২৫ = কত?

সমাধান:
২৪ এর ০.৫ ÷ ০.২৫
= ২৪ এর (৫/১০) ÷ ২৫/১০০
= ১২ ÷ ২৫/১০০
= ১২ × (১০০/২৫)
= ১২ × ৪
= ৪৮