বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

এখানে, ০.১০ বৃহত্তম।
অপশনের অন্যান্যগুলো ০.১০ থেকে ছোট।

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ২/৫ অংশ লাল, ১/৪ অংশ কাল ও ১/৩ সবুজ কাগজে আবৃত এবং অবশিষ্ট অংশ ৩ মিটার হলে, বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত ? 

সমাধান: 
মনে করি সম্পূর্ণ বাঁশটি ১ অংশ 

এখন, 
লাল, কাল ও সবুজ কাগজে আবৃত আছে = (২/৫ ) + (১/৪) + (১/৩) অংশ
= (২৪ + ১৫ + ২০)/৬০ 
= ৫৯/৬০ অংশ

∴ অবশিষ্ট রইল  = ১ - (৫৯/৬০) = ১/৬০ অংশ

প্রশ্নমতে,
১/৬০ অংশ = ৩ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৩ × ৬০ = ১৮০ মিটার

অতএব, বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য = ১৮০ মিটার।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ৬৪ এবং ভাগফল ৪ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: ধরি, বড় সংখ্যাটি ক এবং ছোট সংখ্যাটি খ 
শর্তমতে ক × খ = ৬৪ .....................(১)
এবং ক/খ = ৪
⇒ ক = ৪খ

সমীকরণ (১) থেকে,
ক × খ = ৬৪
⇒ ৪খ × খ = ৬৪
⇒ খ^২ = ১৬
⇒ খ = ৪
∴ ক = ৪ × ৪ = ১৬ 

∴ বড় সংখ্যাটি হচ্ছে ১৬

প্রশ্ন: ৫টি সংখ্যার সমষ্টি ১০০ যার প্রথম ৩টি সংখ্যার গড় ২০ এবং শেষ তিনটি সংখ্যার গড় ১৫ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাগুলো যথাক্রমে a, b, c, d, e
∴ a + b + c + d + e = ১০০

a + b + c = (২০ × ৩) = ৬০ 
​এবং, c + d + e = (১৫ × ৩) = ৪৫

∴ (a + b + c) + (c + d + e) - (a + b + c + d + e) = ৬০ + ৪৫ - ১০০
∴ c = ৫  

​অর্থাৎ তৃতীয় সংখ্যাটি = ৫

মনে করি,
একটি সংখ্যা = x
তাহলে অপর সংখ্যা = 8
শর্তমতে,
বা, 8²- x² = 15
বা, x² = 64 - 15
বা, x² = 49
বা, x = √49
∴x = 7

২ সের সয়াবিন তেলের দাম = ৩৬ × ২ = ৭২ টাকা
মিশ্রণের পর (২ + ১) বা ৩ সেরের মোট দাম = (৭২ + ২১) = ৯৩ টাকা।
সুতরাং মিশ্রিত তেলের প্রতি সেরের গড় মূল্য = ৯৩/৩
= ৩১ টাকা

প্রশ্ন: n একটি বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচের কোনটি অবশ্যই একটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
মনে করি, n = 3 (একটি বিজোড় সংখ্যা)

অপশন ক) 2n + 1 = (2 × 3) + 1 = 6 + 1 = 7 ⇒ বিজোড়
অপশন খ) n² = 3² = 9 ⇒ বিজোড়
অপশন গ) 3n + 1 = (3 × 3) + 1 = 9 + 1 = 10 ⇒ জোড়
অপশন ঘ) 3n = 3 × 3 = 9 ⇒ বিজোড়

সঠিক উত্তর: (গ) 3n + 1

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ১০, ১৫, ২০ ও ৩০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০।

১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫
= ৬০

১০০০ কে ৬০ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ৬০ = ১৬ (ভাগফল),
১৬ × ৬০ = ৯৬০
১০০০ - ৯৬০ = ৪০ (ভাগশেষ)

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ - ৪০ = ২০

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ২০ যোগ করলে যোগফল হবে ৬০ এর গুণিতক, যা ১০, ১৫, ২০ ও ৩০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে '৫' সংখ্যাটি কতবার আসে?

সমাধান:
এককের স্থানে ৫ আছে: ৫, ১৫, ২৫, ৩৫, ৪৫, ৫৫, ৬৫, ৭৫, ৮৫, ৯৫ (১০টি)
দশকের স্থানে ৫ আছে: ৫০, ৫১, ৫২, ৫৩, ৫৪, ৫৫, ৫৬, ৫৭, ৫৮, ৫৯ (১০টি)

৫৫ সংখ্যাটিতে ৫ অংকটি দুইবার (একক ও দশক উভয় স্থানে) আছে। উপরের তালিকা দুটিতে ৫৫ সংখ্যাটিকে অন্তর্ভুক্ত করার মাধ্যমে এর দুটি ৫-কেই গণনা করা হয়েছে।

∴ মোট ৫ আসার সংখ্যা = ১০ + ১০ = ২০ বার

p মৌলিক সংখ্যা বিধায় পূর্নবর্গ নয়, সুতরাং √p একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: কোনো ভাগ অঙ্কের ভাজক ৭৮, ভাগফল ২৫ এবং ভাগশেষ ০ হলে ভাজ্য কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ভাজক = ৭৮  
ভাগফল = ২৫  
ভাগশেষ = ০  

আমরা জানি, 
ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
ভাজ্য = ৭৮ × ২৫ + ০  
= ৭৮ × ২৫
= ১৯৫০

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে,
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০-১০) = ৯০ টাকা। এবং
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০+৫) = ১০৫ টাকা
দুই বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য (১০৫-৯০) = ১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴   〃     ৪৫০ 〃     〃   〃     〃 (১০০×৪৫০) / ১৫ টাকা
                                         = ৩০০০ টাকা

প্রশ্ন: কোনো একটি শ্রেণিতে ১৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৪ বছর। ৫ শিক্ষার্থী নতুন ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় হলো ১৩ বছর। নতুন ৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি কত বছর?

সমাধান:
১৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৪ বছর
∴ ১৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = (১৪ × ১৫) বছর = ২১০ বছর

২০ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৩ বছর
∴ ২০ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = (১৩ × ২০) বছর = ২৬০ বছর

∴ ৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = (২৬০ - ২১০) বছর
= ৫০ বছর

প্রশ্ন: ১৫৬ এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি ৬, ৮ এবং ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
সংখ্যাটি এমন হবে যাতে ১৫৬ এর সাথে যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ৬, ৮ এবং ১০ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৬, ৮ এবং ১০ এর ল.সা.গু বের করে ১৫৬ এর সাথে তার নিকটবর্তী গুণিতকের পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।
এখন, ৬, ৮ এবং ১০ এর ল.সা.গু = ১২০
১৫৬ কে ১২০ দ্বারা ভাগ করলে,
১২০ × ১ = ১২০ 

অবশিষ্ট = ১৫৬ - ১২০ = ৩৬
যেহেতু ১২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ১২০ - ৩৬ = ৮৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৮৪

প্রশ্ন: পরীক্ষায় সাকিবের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৭০, ৮৫ ও ৭৫। চতুর্থ পরীক্ষায় তাকে কত নম্বর পেতে হবে যেন তার গড় প্রাপ্ত নম্বর ৮০ হয়? 

সমাধান: 
ধরি,
চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ক

প্রশ্নমতে,
(৭০ + ৮৫ + ৭৫ + ক)/৪ = ৮০
বা, ২৩০ + ক = ৩২০
বা, ক = ৩২০ - ২৩০
∴ ক = ৯০

∴ চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ৯০।

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৫ অংশ কাদায়, ১/৩ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ১৪ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য = ক মিটার।
∴ কাদায় আছে = ক এর ১/৫ = ক/৫ মিটার
∴ পানিতে আছে = ক এর ১/৩ = ক/৩ মিটার

কাদায় ও পানিতে মোট আছে = (ক/৫ + ক/৩) মিটার
= (৩ক/১৫ + ৫ক/১৫) মিটার
= ৮ক/১৫ মিটার

∴ পানির উপরে অবশিষ্ট আছে = ক - (৮ক/১৫) মিটার
= (১৫ক - ৮ক)/১৫ মিটার
= ৭ক/১৫ মিটার

প্রশ্নমতে, পানির উপরে অবশিষ্ট অংশ = ১৪ মিটার
∴ ৭ক/১৫ = ১৪
⇒ ৭ক = ১৪ × ১৫
⇒ ক = (১৪ × ১৫)/৭
⇒ ক = ২ × ১৫
⇒ ক = ৩০

∴ বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল ২১০ হলে, সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, ধারাবাহিক সংখ্যাগুলো হলো পর্যায়ক্রমিক।

২১০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করি:
২১০ = ২ × ৩ × ৫ × ৭

এখন, এই উৎপাদকগুলো থেকে তিনটি ধারাবাহিক সংখ্যা তৈরি করি:
৫ × (২ × ৩) × ৭ = ২১০
⇒ ৫ × ৬ × ৭ = ২১০

এখানে সংখ্যা তিনটি হলো ৫, ৬ এবং ৭।

সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৫ + ৬ + ৭
∴ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১৮

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
যে সংখ্যাকে ১ ও সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭ ইত্যাদি। সবচেয়ে ক্ষুদ্র মৌলিক সংখ্যা হলো ২ ।

এখানে,
৯১ ÷ ৭ = ১৩ ; মৌলিক সংখ্যা নয়।
৮১ ÷ ৩ = ২৭ ; মৌলিক সংখ্যা নয়।
৮৯ ÷ ১ = ৮৯ ; মৌলিক সংখ্যা।
৭৭ ÷ ১১ = ৭ ; মৌলিক সংখ্যা নয়।

৮৯ কে ১ এবং ৮৯ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা ছাড়া ভাগ করা যায় না, তাই ৮৯ একটি মৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলো হলো –
২/৭ , ৩/৬ , ৫/২১ , ১/৩

হরগুলোর ল.সা.গু = ৪২

এখন সব ভগ্নাংশকে ৪২ সমহরে রূপান্তর করি—

২/৭ = (২×৬)/(৭×৬) = ১২/৪২
৩/৬ = (৩×৭)/(৬×৭) = ২১/৪২
৫/২১ = (৫×২)/(২১×২) = ১০/৪২
১/৩ = (১×১৪)/(৩×১৪) = ১৪/৪২

এখন ভগ্নাংশগুলো হলো—
১২/৪২ , ২১/৪২ , ১০/৪২ , ১৪/৪২

এখানে লবগুলোর মধ্যে ১০ সবচেয়ে ছোট।

অতএব ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ = ১০/৪২ = ৫/২১

২/৩ = ০.৬৭
৪/৫ = ০.৮
১৩/১৫ = ০.৮৭
২৩/৩০ = ০.৭৭

আমরা জানি, ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু।
এখানে, ৩, ১, ২ লবগুলোর ল.সা.গু = ৬ এবং ৫, ৪, ৩ হরগুলোর গ.সা.গু = ১।
সুতরাং ৩/৫, ১/৪, ২/৩ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬/১ = ৬।

প্রশ্ন: ৬/৫ এবং ৮/৭ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু

লব ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু = ২৪
হর ৫ ও ৭ এর গ.সা.গু = ১

অতএব, ৬/৫ এবং ৮/৭ এর ল.সা.গু = ২৪/১
= ২৪