বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন:
 


সমাধান:

সঠিক উত্তর: ক 

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১ হলে‌ অর্থাৎ ১ ভিন্ন কোন সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে তাদেরকে একত্রে সহ-মৌলিক সংখ্যা বলে।
যেমন- (৩, ৪), (৮, ৯), (৬, ১৩) (৯,১৬), (১৬, ২৫) ইত্যাদি।
এখানে, ৩ = ১ × ৩
৪ = ১ × ২ × ২
যেহেতু ১ ভিন্ন কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই সুতরাং (৩, ৪) পরস্পর সহ-মৌলিক।

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩২ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৮ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু।
সুতরাং ১২, ১৮, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু এর সাথে ভাগশেষ ৮ যোগ করলে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২৪ = ২^৩ × ৩
৩২ = ২^৫

ল.সা.গু = ২^৫ × ৩^২ = ২৮৮

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু + ভাগশেষ
= ২৮৮ + ৮
= ২৯৬

প্রশ্ন: চারটি সাইরেন একত্রে বেজে যথাক্রমে ২৫, ৩০, ৪০ ও ৪৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২৫ = ৫^২
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২^৩ × ৫
৪৫ = ৩^২ × ৫

∴ ল.সা.গু. = ২^৩ × ৩^২ × ৫^২
= ১৮০০ সেকেন্ড

আমরা জানি, ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।
∴ সময় = ১৮০০/৬০ মিনিট = ৩০ মিনিট।

∴ ৩০ মিনিট পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: যদি ২০ জন ছাত্র গণিতে গড়ে ৭৫ নম্বর পায় এবং ৩০ জন ছাত্র গড়ে ৮৫ নম্বর পায়, তাহলে মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
২০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৭৫ × ২০) = ১৫০০
৩০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৮৫ × ৩০) = ২৫৫০
মোট ছাত্র সংখ্যা = ২০ + ৩০ = ৫০
মোট প্রাপ্ত নম্বর = ১৫০০ + ২৫৫০ = ৪০৫০

সুতরাং, ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর = ৪০৫০/৫০
= ৮১

অতএব, মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর ৮১।

সংখ্যাটি, (৬৫০+৮২০)/২ = ৭৩৫

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১৫৯ হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বর্গের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা:
ক,  ক + ১, ক + ২

তাদের যোগফল দেওয়া আছে:
ক,  ক + ১, ক + ২ = ১৫৯
⇒ ৩ক + ৩ = ১৫৯
⇒ ৩ক = ১৫৬
⇒ ক = ১৫৬/৩
⇒ ক = ৫২

সংখ্যাগুলো:
৫২, ৫৩, ৫৪

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বর্গের পার্থক্য:
৫৪^২ - ৫২^২
= (৫৪ + ৫২)(৫৪ - ৫২) [a² - b² = (a + b)(a - b) সূত্র ব্যবহার করে]
= ১০৬ × ২
= ২১২

প্রশ্ন: কতজন শিশুর মধ্যে কোনো ফল না ভেঙ্গে ১১৫টি কমলা এবং ১৩৫টি কলা ভাগ করে দেয়া যায়?

সমাধান: 
১১৫ এর গুণিতক ৫, ২৩
এবং ১৩৫ এর গুণিতক ৫, ২৭

∴ ১১৫ ও ১৩৫ এর গ.সা.গু = ৫

অতএব, ৫ জন শিশুর মধ্যে ভাগ করে দেয়া যাবে।

৬ দ্বারা বিভাজ্য প্রথম তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা ১০২ এবং শেষ তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা ৯৯৬।
শেষ তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা ৯৯৬ হবে এটা বোঝার উপায় হচ্ছে  শেষ তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা ৯৯৯ কে ৬ দ্বারা ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে।
কাজেই ৯৯৯ থেকে ৩ বাদ দিলে ৯৯৬ পাওয়া যায়।

সুতরাং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে মোট সংখ্যা
= {(৯৯৬ - ১০২)/৬ + ১} টি
= ১৫০ টি।
এই ১৫০ টির প্রতিটি জোড় সংখ্যা।
সুতরাং, জোড় সংখ্যাগুলো বাদ রেখে তিন অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে -
= (১৫০ - ১৫০) টি
= ০ টি

(৭৩৮ + ৮৩৪)/২
= ৭৮৬ যেখানে,
৭৮৬ - ৭৩৮ = ৮৩৪ - ৭৮৬
= ৪৮

ধরি, সংখ্যাটি x
শর্তমতে,
3x + 2x = 90
⇒ 5x = 90
∴ x = 18

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৯৫। বৃহত্তম সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ ৩৫ অপেক্ষা যত কম ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির চারগুণ ৭০ অপেক্ষা তত বেশি। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, বৃহত্তম সংখ্যা = x
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - x

প্রশ্নমতে,
৩৫ - (x/৩) = ৪(৯৫ - x) - ৭০
⇒ (১০৫ - x)/৩ = ৩৮০ - ৪x - ৭০
⇒ (১০৫ - x)/৩ = ৩১০ - ৪x
⇒ ১০৫ - x = ৩(৩১০ - ৪x)
⇒ ১০৫ - x = ৯৩০ - ১২x
⇒ ১২x - x = ৯৩০ - ১০৫
⇒ ১১x = ৮২৫
⇒ x = ৮২৫/১১
∴ x = ৭৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - ৭৫ = ২০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৭৫ এবং ২০

প্রশ্ন: কোন সংখ্যাটি ৩ এবং ৭ উভয়ই দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
৩ ও ৭ এর ল.সা.গু = ২১ 
২১ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটিই ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। 

অপশন টেস্ট অনুযায়ী, 
৩৯৯/২১= ১৯
∴ ৩৯৯ সংখ্যাটি ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

অন্যদিকে,
৩০৩,৩৪১ ও ৪০৬ সংখ্যাগুলো ২১ দ্বারা বিভাজ্য বিভাজ্য নয়।

প্রশ্ন: (২/৩), (৪/৫), (৫/৬) ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
(২/৩), (৪/৫), (৫/৬) ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু = লব গুলোর গ.সা.গু/হর গুলোর ল.সা.গু

এখন,
২, ৪ ও ৫ এর গ.সা.গু = ১
৩, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৩০

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ১/৩০।

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৭ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ ও ৩০ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১২, ১৮ ও ৩০ এর ল.সা.গু. থেকে ৭ কম।
সবগুলো সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ১২, ১৮ ও ৩০ এর ল.সা.গু = ২^২ × ৩^২ × ৫ = ১৮০ 

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = (১৮০ - ৭) = ১৭৩

মনে করি,
ভগ্নাংশটি x/y
∴ x + y = 5 ............. (1)
∴ x - y = 1 ............. (2)
(1)নং + (2)নং থেকে পাই,
2x = 6
∴ x = 3
(1) নং থেকে পাই,
y = 2

∴ ভগ্নাংশটি = 3/2

প্রশ্ন: ৯০০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:

৯০০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫
= ২^২ × ৩^২ × ৫^২

এখানে,
২ এর সূচক = ২
৩ এর সূচক = ২
৫ এর সূচক = ২

কোনো সংখ্যার মোট ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র হলো, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাতের সাথে ১ যোগ করে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলো গুণ করা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (২ + ১) × (২ + ১)
= ৩ × ৩ × ৩
= ২৭

∴ ৯০০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা হলো ২৭।

প্রশ্ন: প্রথম ১০টি ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম সংখ্যা = ১
শেষ সংখ্যা = ১০
পদ সংখ্যা = ১০

সমষ্টি = {(১ম পদ + শেষ পদ) × পদ সংখ্যা}/২
= {(১ + ১০) × ১০}/২
= (১১ × ১০)/২
= ৫৫

∴ প্রথম ১০টি সংখ্যার গড় = ৫৫ ÷ ১০
= ৫.৫

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
√x + ১০ = ১৬ 
বা, √x = ১৬ - ১০ 
বা, √x = ৬ 
বা, (√x)^২ = (৬)^২ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]
∴ x = ৩৬ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৬ । 

2/11 = 0.18
3/11 = 0.27
2/13 = 0.15
4/15 = 0.27

 সবচেয়ে ছোট = 2/13

প্রশ্ন: x² - 3x, x² - 9, x² - 4x + 3 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 3x
= x(x - 3)

২য় রাশি = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3)(x - 3)
               
৩য় রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

নির্ণেয় ল.সা.গু = x(x - 3)(x - 1)(x + 3)
= x(x² - 9) (x - 1)

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৮০ ও ২৫২ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১২  ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান: 
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (১৮০ - ১২) = ১৬৮ এবং (২৫২ - ১২) = ২৪০ এর গ.সা.গু এর সমান।

∴ ১৬৮ এবং ২৪০ এর গ.সা.গু হলো = ২৪

∴  নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও ৭ পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন √২ = ১.৪১৪২১৩....., √৩ = ১.৭৩২....... ইত্যাদি। 

এখন, অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) ১৬/২৫ = ০.৬৪
এটি একটি ভগ্নাংশ, এবং এটি মূলদ সংখ্যা। 

খ) √১২১ = ১১ ; এটি মূলদ সংখ্যা।

গ) ৩√৪/২
= (৩ × ২)/২
= ৩  ; এটি মূলদ সংখ্যা
অর্থাৎ, এখানে কোন অমূলদ সংখ্যা নাই। 

সুতরাং, সঠিক উত্তর কোনটিই নয়। 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
√x + ১০ = ১৬ 
বা, √x = ১৬ - ১০ 
বা, √x = ৬ 
বা, (√x)^২ = (৬)^২ 
∴ x = ৩৬ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৬ । 

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদাই নিচের কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদা 6 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

কারণ হলো:
2 দ্বারা বিভাজ্যতা: পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে অন্তত একটি জোড় সংখ্যা থাকে, যা 2 দ্বারা বিভাজ্য।  
3 দ্বারা বিভাজ্যতা: পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে অন্তত একটি সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য।  
6 দ্বারা বিভাজ্যতা: যেহেতু গুণফলটি 2 এবং 3 উভয় দ্বারাই বিভাজ্য, তাই এটি 2 × 3 = 6 দ্বারাও বিভাজ্য হবে।  
 
যেমন:
1 × 2 × 3 = 6 (যা 6 দ্বারা বিভাজ্য)
2 × 3 × 4 = 24 (যা 6 দ্বারা বিভাজ্য)
3 × 4 × 5 = 60 (যা 6 দ্বারা বিভাজ্য)

সুতরাং, তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদা 6 দ্বারা বিভাজ্য হয়। 

যখন ৪ ফুট ছায়া হয় তখন বাশের উচ্চতা = ৬ ফুট
সুতরাং, যখন ৬৪ ফুট ছায়া হয় তখন বাশের উচ্চতা = (৬ × ৬৪) / ৪ = ৯৬ ফুট

প্রশ্ন: x² - 8x + 15,  x² - 25, x² + 2x - 15 এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 8x + 15
= x² - 8x + 15
= x² - 3x - 5x + 15
= x(x - 3) - 5(x - 3)
= (x - 3) (x - 5)

২য় রাশি = x² - 25
= x² - 5²
= (x - 5) (x + 5)

৩য় রাশি = x² + 2x - 15
= x² + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x + 5) (x - 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = 1