বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

১৪৩ = ১১×১৩,
৬৩ = ৩×২১,
২৫৩ = ১১×২৩,
২৪১ = ১×২৪১

৩০ থেকে ৯০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে ৮৯ ও ৩১
এদের অন্তর = ৮৯ - ৩১ = ৫৮।

প্রশ্ন: ২ হতে ৪০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে? 

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যার শুধুমাত্র দুটি গুণনীয়ক ১ এবং সংখ্যাটি নিজেই।

এখন, 
২ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো - ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭ = ১২টি।

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার গড় ৫৬। প্রথম চারটি সংখ্যার গড় ৭৫ এবং শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ৪০। পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১০টি সংখ্যার গড় = ৫৬
∴ ১০টি সংখ্যার সমষ্টি (৫৬ × ১০) = ৫৬০

প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় = ৭৫
প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = (৭৫ × ৪) = ৩০০

শেষ ৫টি সংখ্যার গড় = ৪০
শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (৫ × ৪০) = ২০০

এখন,
১০টি সংখ্যার মোট সমষ্টি = (প্রথম ৪টির সমষ্টি + পঞ্চম সংখ্যা + শেষ ৫টির সমষ্টি)

∴ পঞ্চম সংখ্যা = (মোট সমষ্টি -  প্রথম ৪টির সমষ্টি - শেষ ৫টির সমষ্টি)
= ৫৬০ - ৩০০ - ২০০
= ২৬০ - ২০০
= ৬০

অতএব, পঞ্চম সংখ্যাটি হলো ৬০।

√(x²) = x

সমীকরণের চলকের ক্ষেত্রে যেকোনো চলকের বর্গমূল ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক দুইটাই ধরা হয়ে থাকে। তবে, যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার মূল (Principal Square Root) সর্বদা ধনাত্মক হবে।
অর্থাৎ,
√(x²) এর মান হবে x

(√x)² = ±x

এক্ষেত্রে, x এর মান ঋণাত্মক হলে জটিল সংখ্যা চলে আসবে।
x = -3 হলে,
(√-1)²  (√3)²
= (i)² (√3)²
= -1 (√3)²
= -3
অর্থাৎ,
(√x)² এর মান x বা -x যেকোনো একটা হতে পারে।

গ.সা.গু. = লবগুলোর গ.সা.গু./হরগুলোর ল.সা.গু.
= ২, ২, ৬ এর গ.সা.গু./৩, ৫, ২০ এর ল.সা.গু.
= ২/৬০
= ১/৩০

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?

সমাধান:
যদি দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক না থাকে, তাহলে সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে, ৯ ও ১৬ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
অতএব ৯ ও ১৬ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

পদসংখ্যা= {(শেষ পদ-প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
               ={(৯৬ - ১২)/৪} + ১
               = (৮৪/৪) + ১
               =২১ + ১
               = ২২

মনে করি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে, ক - ১৭৫ + ১৩০ = ২৯৭
বা, ক = ২৯৭ + ১৭৫ - ১৩০
∴ ক = ৩৪২

প্রশ্ন: একটি খুঁটির অর্ধাংশ মাটির নীচে, এক তৃতীয়াংশ পানি মধ্যে এবং ১২ ফুট পানির উপরে আছে, খুঁটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = ক ফুট।

প্রশ্ন অনুযায়ী,
মাটির নিচে = ১/২ ক
পানির মধ্যে = ১/৩ ক
পানির উপরে = ১২ ফুট

সব অংশ যোগ করলে মোট দৈর্ঘ্য হবে,
ক = ১/২ক + ১/৩ক + ১২
⇒ ক - ৫/৬ক = ১২
⇒ ১/৬ক = ১২
⇒ ক = ১২ × ৬
ক = ৭২

∴ খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = ৭২ ফুট।

ধরি,
খালেকের বয়স - ক
সুতরাং, তার বাবার বয়স = ক + ২৮
প্রশ্নমতে, ক + ক + ২৮ = ৪০
২ক = ১২
ক = ৬
অর্থাৎ, খালেকের বয়স = ৬ ও তার বাবার বয়স = (৪০ - ৬) = ৩৪
১৩ বছর পর তাদের বয়স হবে, (৬ +১৩) + (৩৪ + ১৩)
= ৬৬
--------
অন্যভাবে করলে,
১৩ বছর পরে দুইজনেরই বয়স ১৩ X ২ = ২৬ বছর বাড়বে।
অর্থাৎ, ১৩ বছর পরে বয়সের সমষ্টি হবে (৪০+২৬) = ৬৬ বছর।

প্রশ্ন: একজন ব্যাটসম্যান প্রথম তিনটি T-20 খেলায় ৮২, ৮৫ ও ৯২ রান করেন। চতুর্থ খেলায় কত রান করলে, তার গড় রান ৮৭ হবে?

সমাধান: 
তিনটি খেলায় মোট রান = ৮২ + ৮৫ + ৯২ = ২৫৯
চারটি খেলায় মোট রান = ৮৭ × ৪ = ৩৪৮

∴ চতুর্থ খেলায় রান করতে হবে = ৩৪৮ - ২৫৯ = ৮৯

সুতরাং, চতুর্থ খেলায় ৮৯ রান করতে হবে। 

প্রশ্ন: ১০৮০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।

১০৮০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^৩ × ৫^১

এখানে ২ এর ঘাত ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৫ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
তাই ২ × ৩ × ৫ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১০৮০ × ৩০ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটিকে ৩০ দ্বারা গুণ করতে হবে।

পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা হয়।
যেহেতু √৪ = ২
সুতরাং √৪ একটি মূলদ সংখ্যা।
আর পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা হয়।

পিতা, মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি = ৩২ × ৩ = ৯৬ বছর
মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি = ২৬ × ২ = ৫২ বছর
∴ পিতার বয়স = ৯৬ - ৫২ = ৪৪ বছর 

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০,০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯,৯৯৯
∴ পার্থক্য = ১০০,০০০ - ৯৯,৯৯৯ = ১

প্রশ্ন: ৪/৯, ২/৫ ও ৪/৯ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.)/(হর গুলোর ল.সা.গু.)
এখানে,
লব ৪, ২ ও ৪ এর গ.সা.গু. = ২
এবং হর ৯, ৫ ও ৯ এর ল.সা.গু. = ৪৫

∴ গ.সা.গু. = ২/৪৫

(০.১)^২
= (১ / ১০)^২
= ১ / ১০০

প্রশ্ন: তিন অঙ্কের দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৭ এবং ল.সা.গু ৭১৪ হলে, সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?  

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১৭ক এবং ১৭খ  ; [কারণ গ.সা.গু = ১৭]

তাহলে,
১৭কখ = ৭১৪ 
⇒ কখ = ৭১৪/১৭ 
⇒ কখ = ৪২ 

এখন ৪২-এর সহমৌলিক গুণনীয়ক জোড়াগুলো, 
(১, ৪২), (২, ২১), (৩, ১৪), (৬, ৭)

∴ তিন অঙ্কের সংখ্যা গুলো হলো,
১৭ × ৬ = ১০২ এবং ১৭ × ৭ = ১১৯ 

∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ১০২ + ১১৯ = ২২১ 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-ষষ্ঠাংশের এক-চতুর্থাংশ ১২ হলে, সংখ্যাটির অর্ধেকের তিন-অষ্টমাংশ কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
(১/৬) × (১/৪) × ক = ১২
⇒ ক/২৪ = ১২
⇒ ক = ১২ × ২৪
∴ ক = ২৮৮

∴ সংখ্যাটি = ২৮৮
∴ সংখ্যাটির অর্ধেক = ২৮৮/২ = ১৪৪

∴ ১৪৪ এর তিন-অষ্টমাংশ = ১৪৪ × (৩/৮)= ৫৪

 ∴ সংখ্যাটির অর্ধেকের তিন-অষ্টমাংশ = ৫৪

প্রশ্ন: এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা নির্ণয় করুন, যা তার বর্গের থেকে ৭২ কম।

 সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x² - x = 72
⇒ x² - x - 72 = 0
⇒ x² - 9x + 8x - 72 = 0 
⇒ x(x - 9) + 8(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x + 8) = 0
হয়, 
x - 9 = 0
∴ x = 9   ; [ধনাত্মক সংখ্যা]
অথবা,
x + 8 = 0
∴ x = - 8   ;[যা গ্রহণযোগ্য নয়] 

∴ সংখ্যাটি হলো 9।

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের এক-চতুর্থাংশ। ভাগফল ৭২ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
ভাজক = ভাগফলের একতৃতীয়াংশ = ৭২/৩ = ২৪
ভাগশেষ = ভাজকের একচতুর্থাংশ = ২৪/৪ = ৬

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২৪ × ৭২) + ৬
= ১৭২৮ + ৬
= ১৭৩৪

সুতরাং, ভাজ্য = ১৭৩৪।

3/x = 1 এবং y/4 = 3
∴ x = 3 এবং y = 12
∴ (3+y)/(x+2) = (3+12)/(3+2)
= 15/5
= 3

প্রশ্ন: ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু) 
এখানে,
২, ৩, ৫ লবগুলোর ল.সা.গু = ৩০
এবং
৫, ৪, ৭ হরগুলোর গ.সা.গু = ১ 

∴ ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = ৩০/১ 
= ৩০ ।

৯৬ এর বর্গ = ৯২১৬
তাহলে সৈন্য সরাতে হবে = (৯২২২ - ৯২১৬) জন
= ৬ জন।

৭, ৫, ৯, ৩ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ৩১৫
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৭ × ৩১৫
= ৩ × ৪৫
= ১৩৫
আবার,
২/৫ × ৩১৫ = ২ × ৬৩
= ১২৬
আবার, ৪/৯ × ৩১৫ = ৪ × ৩৫
= ১৪০ এবং ২/৩ × ৩১৫
= ২ × ১০৫
= ২১০
সুতরাং সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ২/৩।

প্রশ্ন: ৩৬০ সংখ্যাটির কতগুলো ভাজক আছে?

সমাধান:
৩৬০-কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
৩৬০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^২ × ৫^১

কোনো সংখ্যার ভাজক সংখ্যা বের করার জন্য, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাতের সাথে ১ যোগ করে গুণ করতে হয়।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১)(২ + ১)(১ + ১)
= ৪ × ৩ × ২
= ২৪

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ৩০০ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক এবং ৬ক।
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৫ × ৬) × ক = ৩০ক

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ৩০০
⇒ ক = ১০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৬ক = ৬ × ১০ = ৬০

প্রশ্ন: ৮/১৫, ১২/২৫ ও ১৬/৩৫ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লব গুলোর গ.সা.গু)/(হর গুলোর ল.সা.গু)

লব ৮, ১২ ও ১৬ এর গ.সা.গু নির্ণয়:
৮ = ২^৩
১২ = ২^২ × ৩
১৬ = ২^৪
∴ গ.সা.গু = ২^২ = ৪

হর ১৫, ২৫ ও ৩৫ এর ল.সা.গু নির্ণয়:
১৫ = ৩ × ৫
২৫ = ৫^২
৩৫ = ৫ × ৭
∴ ল.সা.গু = ৩ × ৫^২ × ৭ = ৫২৫

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ৪/৫২৫

প্রশ্ন: ৭৫ থকে ১২০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
৭৫ থকে ১২০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭, ১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯, ১১৩ ।

অর্থাৎ,  ৭৫ থেকে ১২০ এর মধ্যে মোট ৯টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৬০ হলে ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫

মনেকরি
একটি সংখ্যা = ৪ক
অপর সংখ্যা = ৫ক
৪ক ও ৫ক এর ল.সা.গু. = ২০ক

প্রশ্নমতে
২০ক = ১৬০
বা, ক = ১৬০/২০
ক = ৮

ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি = ৪ × ৮ = ৩২ 

সংখ্যাটি = (৫৭০+৭৫০)/২ = ৬৬০

১৫, ২৭, ৪৫ এর ল.সা.গু. = ১৩৫
∴ লঘিষ্ট সংখ্যাটি = ১৩৫ - ৫
= ১৩০

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৯৯৯ থেকে যত ছোট, ৭৭৭ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
৯৯৯ - ক = ক - ৭৭৭
⇒ ৯৯৯ + ৭৭৭ = ক + ক
⇒ ১৭৭৬ = ২ক
⇒ ক = ১৭৭৬/২
∴ ক = ৮৮৮

অতএব, সংখ্যাটি = ৮৮৮

1/y - 1/x = 3
বা, (x - y)/xy = 3
∴ xy/(x - y) = 1/3

পূর্ণবর্গ সংখ্যার একক স্থানে ০, ১, ৪, ৫, ৬ বা ৯ বসতে পারে।
যেমন - ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬, ২২৫, ২৫৬ ইত্যাদি।
পূর্ণ বর্গ সংখ্যার একক স্থানে কখনোই ২, ৩, ৭ বা ৮ বসতে পারবে না।
কিন্তু যে সংখ্যাগুলো বর্গ সংখ্যা নয় তাদের একক স্থানে ২, ৩, ৭ বা ৮ অবশ্যই বসবে।

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ২৪/৩৫। এদের একটি ৮/৫ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল = ২৪/৩৫
একটি ভগ্নাংশ = ৮/৫

∴ অপর ভগ্নাংশ = ভগ্নাংশ দুটির গুণফল ÷ একটি ভগ্নাংশ
= (২৪/৩৫) ÷ (৮/৫)
= (২৪/৩৫) × (৫/৮)
= ৩/৭

ধরি সংখ্যাটি ক
শর্তমতে, ৩ক + ২ক = ৯০
বা, ৫ক = ৯০
∴ ক = ১৮

যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর বড় তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব < হর
যেমন: ৩/৪, ৭/১৮
সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশ < ১

এবং, যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর ছোট তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ অপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব > হর
যেমন: ৪/৩, ১৮/৭
সুতরাং, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ > ১

প্রশ্ন: ১০৮০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
১০৮০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^৩ × ৫^১

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।
এখানে ২ এর ঘাত ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৫ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।

তাই ২ × ৩ × ৫ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১০৮০ × ৩০ পূর্ণবর্গ হবে।
∴ সংখ্যাটি ৩০ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৭৫। বৃহত্তম সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ ৩০ অপেক্ষা যত কম ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির চারগুণ ৫০ অপেক্ষা তত বেশি। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
বৃহত্তম সংখ্যা = ক 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭৫ - ক 

প্রশ্নমতে, 
৩০ - (ক/৩) = ৪(৭৫ - ক) - ৫০ 
⇒ (৯০ - ক)/৩ = ৩০০ - ৪ক - ৫০ 
⇒ ৯০ - ক = ৩(২৫০ - ৪ক)
⇒ ৯০ - ক = ৭৫০ - ১২ক 
⇒ ১১ক = ৬৬০ 
⇒ ক = ৬৬০/১১ 
∴ ক = ৬০ 

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৬০  
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭৫ - ক = ৭৫ - ৬০ = ১৫ 

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৬০ এবং ১৫

প্রশ্ন: ১০/৩ এবং ১৫/৪ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

লব  ১০ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ৩০
হর ৩ ও ৪ এর গ.সা.গু = ১

∴ ১০/৩ এবং ১৫/৪ এর ল.সা.গু = ৩০/১
= ৩০