বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বড়?

সমাধান:
ক) √০.৩ = ০.৫৪৭৭

খ) ০.৩ = ০.৩

গ) ০.২ = ০.২

ঘ) √০.২ = ০.৪৪৭২

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = √০.৩

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ এবং ল.সা.গু ৯০০। একটি সংখ্যা ৭৫ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৭৫ × অপর সংখ্যা = ৯০০ × ১৫
⇒ অপর সংখ্যা = (৯০০ × ১৫)/৭৫
⇒ অপর সংখ্যা = ৯০০/৫ 
⇒ অপর সংখ্যা = ১৮০

∴ অপর সংখ্যাটি হলো ১৮০।

প্রশ্ন: x² - 4x + 3 এবং x² - 5x + 6 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

২য় রশি = x² - 5x + 6
= x² - 2x - 3x + 6
= x(x - 2) - 3(x - 2)
= (x - 2)(x - 3)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

প্রশ্ন: ৩০, ৭০ ও ৩৮৫ এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
৩০ = ১ × ২ × ৩ × ৫
৫০ = ১ × ২ × ৫ × ৭
৩৮৫ = ১ × ৫ × ৭ × ১১

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ১ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১
= ৬ × ৫ × ৭ × ১১
= ৩০ × ৭ × ১১
= ২১০ × ১১
= ২৩১০

HCF = 17
Let numbers are = 17x, 17y
LCM = 17xy = 714 (given)
xy = 42
Possible pairs are (1, 42), (2, 21), (3, 14), (6, 7)
Possible numbers are (17, 714), (34, 357), (51, 238), (102, 119)
but given that both numbers are of three digits
∴ numbers are = (102, 119)
∴ sum of numbers = 102 + 119 = 221

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক-চতুর্থাংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের এক-তৃতীয়াংশ। ভাগফল ৯৬ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
ভাজক = ভাগফলের এক চতুর্থাংশ = ৯৬/৪ = ২৪
ভাগশেষ = ভাজকের এক-তৃতীয়াংশ = ২৪/৩ = ৮

আমরা জানি, 
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২৪ × ৯৬) + ৮
= ২৩০৪ + ৮ 
= ২৩১২

এখানে,
৫১ = ৩ × ১৭,
৮৫ = ৫ × ১৭,
১৫৩ = ৯ × ১৭
এবং ১৮৭ = ১১ × ১৭
∴ গ.সা.গু = ১৭

প্রশ্ন: একটি ভ্রমণকারী দলের ৫ জনের গড় বয়স ২৫ বছর। ঐ দলে নতুন ১ জন যোগ দিলে দলের সদস্যদের গড় বয়স হয় ২৭ বছর। ষষ্ঠ জনের বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৫ জনের গড় বয়স = ২৫ বছর
∴ ৫ জনের মোট বয়স = (৫ × ২৫) বছর = ১২৫ বছর

মনে করি, ষষ্ঠ জনের বয়স = ক বছর
ষষ্ঠ জন যোগ দিলে ৬ জনের মোট বয়স = (১২৫ + ক) বছর

প্রশ্নমতে,
(১২৫ + ক)/৬ = ২৭
বা, ১২৫ + ক = ১৬২
বা, ক = ১৬২ - ১২৫
বা, ক = ৩৭

∴ ষষ্ঠ জনের বয়স = ৩৭ বছর

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
• কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে তা অবশ্যই ২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

ক) ১২০৪৫৮: শেষ অঙ্ক ৮, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ০ + ৪ + ৫ + ৮ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

খ) ১৩৫৭৯২: শেষ অঙ্ক ২, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৩ + ৫ + ৭ + ৯ + ২ = ২৭, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ১৩৫৭৯২ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

গ) ১৪৮৬১০: শেষ অঙ্ক ০, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৪ + ৮ + ৬ + ১ + ০ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

ঘ) ১৬২৮৪৪: শেষ অঙ্ক ৪, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৬ + ২ + ৮ + ৪ + ৪ = ২৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ অপশন (খ) ১৩৫৭৯২ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

প্রশ্ন: P = x² - 16, Q = x² + 7x + 12, R = 4x + 16 হলে, P, Q ও R এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x² - 16
Q = x² + 7x + 12
R = 4x + 16

∴ P = x² - 16
= x² - 4²
= (x + 4) (x - 4)

∴ Q = x² + 7x + 12
= x² + 4x + 3x + 12
= x(x + 4) + 3(x + 4)
= (x + 4) (x + 3)

∴ R = 4x + 16
= 4(x + 4)

∴ P, Q ও R এর গ.সা.গু = (x + 4)

প্রশ্নমতে, ২x/৩ - x/৩=১৫০০
বা, (২x - x)/৩ = ১৫০০
∴ x= ৪৫০০ টাকা

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (২১৩ - ৫), এবং (৯৪১ - ৫) এর গ.সা.গু.
অর্থাৎ ২০৮, ৯৩৬ এর গ.সা.গু.

এখন, ২০৮)৯৩৬(৪
                  ৮৩২
                 -------
                  ১০৪)২০৮(২
                          ২০৮
                         ------
                            ×

 ∴ গ.সা.গু. ১০৪।

√(x²) = x

সমীকরণের চলকের ক্ষেত্রে যেকোনো চলকের বর্গমূল ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক দুইটাই ধরা হয়ে থাকে। তবে, যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার মূল (Principal Square Root) সর্বদা ধনাত্মক হবে।
অর্থাৎ,
√(x²) এর মান হবে x

(√x)² = ±x

এক্ষেত্রে, x এর মান ঋণাত্মক হলে জটিল সংখ্যা চলে আসবে।
x = -3 হলে,
(√-1)²  (√3)²
= (i)² (√3)²
= -1 (√3)²
= -3
অর্থাৎ,
(√x)² এর মান x বা -x যেকোনো একটা হতে পারে।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ ও এক-চতুর্থাংশের পার্থক্য ৩.৫?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

শর্তমতে, 
ক/৩ - ক/৪ = ৩.৫
বা, (৪ক - ৩ক)/১২ = ৩.৫
বা, ক/১২ = ৩.৫
বা, ক = ৩.৫ × ১২
∴ ক = ৪২

৫২, ৯৭ এর গ.সা.গু. = ১
∴ সংখ্যাদ্বয় সহমৌলিক।

প্রশ্ন: একটি ৪৫ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-সপ্তমাংশ হয়। ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = ক এর (২/৭) ফুট
 = ২ক/৭ ফুট

প্রশ্নমতে,
ক + (২ক/৭) = ৪৫
⇒ (৭ক + ২ক)/৭ = ৪৫
⇒ ৯ক = ৪৫ × ৭
⇒ ক = (৪৫ × ৭)/৯
⇒ ক = ৩৫

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২/৭) × ৩৫ = ১০ ফুট

প্রশ্ন: প্রদত্ত

সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৩ এবং তাদের ল.সা.গু ৫২০। একটি সংখ্যা ৬৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ৫২০ × ১৩
বা, ৬৫ × অপর সংখ্যা = ৫২০ × ১৩
বা, অপর সংখ্যা = (৫২০ × ১৩)/৬৫

∴ অপর সংখ্যা = ৫২০/৫ = ১০৪

প্রশ্ন: 

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, x এর ৩/৭ = ৫৪
∴ x = (৫৪ × ৭)/৩ = ১২৬

প্রশ্ন: ৮টি কলম ও ১২টি পেন্সিল সমানসংখ্যক করে প্যাকেটে রাখতে হলে কতটি প্যাকেট বানানো যাবে?

সমাধান:
নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা হবে ৮ ও ১২ এর গ.সা.গু এর সমান।

এখন,
৮ ও ১২ এর গ.সা.গু = ৪

∴ নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা = ৪ টি

২৩/৩০ = ০.৭৭
১৩/১৫ = ০.৮৭
৪/৫ = ০.৮
২/৩ = ০.৬৭
সুতরাং বৃহত্তম ভগ্নাংশটি = ১৩/১৫।

(১২ + ৭ + ১৫)/৩
= ১১.৩৩

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ১২০ এবং অনুপাত ৩ : ৫। সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ১২০
সংখ্যা দুটির অনুপাত = ৩ : ৫

ধরি, সংখ্যা দুটি = ৩x এবং ৫x
এখন, ৩x এবং ৫x এর ল.সা.গু. = ১৫x

প্রশ্নমতে, 
১৫x = ১২০ 
বা, x = ১২০/১৫
∴ x = ৮ 

এখন সংখ্যা দুটি হলো, 
৩x = ৩ × ৮ = ২৪ এবং ৫x = ৫ × ৮ = ৪০

∴ যোগফল = ২৪ + ৪০ = ৬৪

প্রশ্ন: কোন শ্রেণীতে ১০ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৬ ইঞ্চি। এর মধ্যে ৯ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৫ ইঞ্চি হলে ১০ম ছাত্রের উচ্চতা কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
১ ফুট = ১২ ইঞ্চি

সুতরাং,
৫ ফুট ৬ ইঞ্চি = (৫ × ১২) + ৬ = ৬৬ ইঞ্চি
এবং, ৫ ফুট ৫ ইঞ্চি = (৫ × ১২) + ৫ = ৬৫ ইঞ্চি

এখন, 
১০ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা = ৬৬ ইঞ্চি
∴ ১০ জন ছাত্রের মোট উচ্চতা = ৬৬ × ১০ = ৬৬০ ইঞ্চি

আবার, 
৯ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা = ৬৫ ইঞ্চি
∴ ৯ জন ছাত্রের মোট উচ্চতা = ৬৫ × ৯ = ৫৮৫ ইঞ্চি

∴ ১০ম ছাত্রের উচ্চতা = ৬৬০ - ৫৮৫ = ৭৫ ইঞ্চি
 = ৬ ফুট ৩ ইঞ্চি

সুতরাং, ১০ম ছাত্রের উচ্চতা = ৬ ফুট ৩ ইঞ্চি

নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৬৬০ থেকে ৭২০ এর মধ্যবর্তী সংখ্যা অর্থাৎ তাদের গড়।
সুতরাং গড় = (৬৬০ + ৭২০) / ২
= ১৩৮০ / ২
= ৬৯০