বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 31 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা x
অপর সংখ্যাটি x + 1

প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 31
⇒ (x + 1 + x)(x + 1 - x) = 31
⇒ 2x + 1 = 31 
⇒ 2x = 30
⇒ x = 15

∴ একটি সংখ্যা= 15 এবং অপর সংখ্যাটি = x + 1 = 15 + 1 = 16

শর্টকাট:
বড় সংখ্যাটি = (সংখ্যাদ্বয়ের বর্গের পার্থক্য + 1)/2
ছোট সংখ্যাটি = (সংখ্যাদ্বয়ের বর্গের পার্থক্য - 1)/2

∴ বড় সংখ্যাটি = (31 + 1)/2 = 16 এবং ছোট সংখ্যাটি = (31 - 1)/2 = 15

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ২৪, ৩৬ ও ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ কম। 
এখন, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু = ১৪৪ 
∴ সংখ্যাটি = (১৪৪ - ৩)
= ১৪১ । 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা এমন যে, এটি ৮৯০ থেকে যত ছোট, ৬৭০ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৬৭০ = ৮৯০ - ক
⇒ ক + ক = ৮৯০ + ৬৭০
⇒ ২ক = ১৫৬০
⇒ ক = ১৫৬০ ÷ ২
∴ ক = ৭৮০ 

প্রশ্ন: যদি n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
যেহেতু n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, সুতরাং 2n অবশ্যই জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হবে। 

∴ 2n + 1 হবে বিজোড় পূর্ণসংখ্যা। 

উদাহরণ:
2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7
2 × 4 + 1 = 8 + 1 = 9

ধরি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ‘ক’
বৃহত্তম সংখ্যা ‘ক+২’
ক×(ক+২)=২৪
ক^২+২ক=২৪
ক^২+২ক-২৪=০
(ক+৬)(ক-৪)=০
ক=৪;-৬

সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ১ কম।
এখন, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু = ১৪৪
∴ লঘিষ্ট সংখ্যাটি হচ্ছে = ১৪৪ - ১ = ১৪৩

প্রশ্ন: মাতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৮ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২২ বছর হলে মাতার বয়স কত?

সমাধান:
মাতা ও দুই সন্তানের মোট বয়স = (৩ × ২৮) বছর
= ৮৪ বছর
দুই সন্তানের মোট বয়স = (২ × ২২) বছর
= ৪৪ বছর 
∴ মাতার বয়স (৮৪ – ৪৪) বছর = ৪০ বছর

সরল করুন: {(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(২৮/৭) ÷ (১৬/৪)}

সমাধান:
{(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(২৮/৭) ÷ (১৬/৪)}
= {(১/২) ÷ (১/২)} × (৪ ÷ ৪)
= {(১/২) × (২/১)} × ১
= ১ × ১
= ১

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ২/৩ অংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৩ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ২ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ ৩ক × ২ক = ৬০ × ১০
⇒ ৬ক^২ = ৬০০
⇒ ক^২ = ১০০
∴ ক = ১০

অতএব,
ছোট সংখ্যাটি = ২ × ১০ = ২০

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৬০% এর সাথে ৩৬ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যাটির সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৬০% + ৩৬ = ক
⇒ ক × (৬০/১০০) + ৩৬ = ক
⇒ (৩ক/৫) + ৩৬ = ক
⇒ ৩৬ = ক - (৩ক/৫)
⇒ ৩৬ = (৫ক - ৩ক)/৫
⇒ ৩৬ = ২ক/৫
⇒ ২ক = ৩৬ × ৫
⇒ ক = ১৮০/২
∴ ক = ৯০

প্রশ্ন: কতজন বালিকাকে ১২৫টি কমলালেবু এবং ১৪৫টি আপেল সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
এখানে আমরা এমন সংখ্যা খুঁজছি যা ১২৫ এবং ১৪৫ উভয়কেই সমানভাবে ভাগ করতে পারে। অর্থাৎ, আমাদের খুঁজতে হবে ১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু.।

১২৫ এর গুণক: ১, ৫, ২৫, ১২৫
১৪৫ এর গুণক: ১, ৫, ২৯, ১৪৫

সাধারণ গুণক: ১, ৫
সর্বাধিক সাধারণ গুণক / গ.সা.গু. = ৫

∴ ৫ জন বালিকাকে সমানভাবে ভাগ করা যাবে।

এখানে, ৩, ১, ২ লবগুলোর ল.সা.গু = ৬।
এবং ৫, ৪, ৩ হরগুলোর গ.সা.গু = ১
আমরা জানি, ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু।
সুতরাং ৩/৫, ১/৪, ২/৩ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬/১
= ৬

43, 23, 19 এই সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা। 
16 মৌলিক সংখ্যা নয়। 

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশের মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশের মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটির লব = x এবং হর = y

দেওয়া আছে,
লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশের মান 2 হয়
⇒ (x + 7)/y = 2

এবং,
হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশের মান 1 হয়
⇒ x/(y - 2) = 1

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে পাই,
x = y - 2

এখন প্রথম সমীকরণে x এর মান বসাই,
(x + 7)/y = 2
⇒ (y - 2 + 7)/y = 2
⇒ (y + 5)/y = 2
⇒ y + 5 = 2y
⇒ y = 5

∴ x = y - 2
= 5 - 2
= 3

অতএব, ভগ্নাংশটি = 3/5

সঠিক উত্তর:
ক) 3/5

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৩। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৩৩
বা, ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৩৩
বা, ২ক + ১ = ৩৩
বা, ২ক = ৩৩ - ১
বা, ২ক = ৩২
বা, ক = ৩২/২
∴ ক = ১৬

∴ বড় সংখ্যাটি = ১৬ + ১ = ১৭

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
ক্রমিক সংখ্যার গড় নির্ণয়ের সূত্র:
গড় = (প্রথম পদ + শেষ পদ)/২

এখানে, প্রথম পদ = ১, শেষ পদ = ১০০

অতএব, গড় = (১ + ১০০)/২
= ১০১/২
= ৫০.৫

∴ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় হল ৫০.৫

যে সকল সংখ্যাকে ঐ সংখ্যা এবং এক(১) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
এবং অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয় না সেগুলো মৌলিক সংখ্যা।

এক মাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা হলো ২।

ধরি, 
সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে , 
৪x + ২x = ৯৬
বা, ৬x = ৯৬ 
বা, x = ৯৬ / ৬ 
x = ১৬ 

সংখ্যাটি ১৬ 

এখানে, ২+৭ = ৯, ৭২ - ২৭ = ৪৫

প্রশ্ন: i¹²¹ এর মান কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
i¹ = i, i² = - 1, i³ = - i, i⁴ = 1

প্রদত্ত রাশি, 
i¹²¹ 
= i^{(4 × 30) + 1}
= i^{(4 × 30)} × i¹
= (i⁴)³⁰ × i¹
= 1 × i¹ ; [i⁴ = 1 , 1³⁰ = 1]
= i

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর ৯২ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
​ছোট সংখ্যাটি = ক
​বড় সংখ্যাটি = ক + ২
​
​প্রশ্নমতে,
​(ক + ২)^২ - ক^২ = ৯২
​⇒ ক^২ + ৪ক + ৪ - ক^২ = ৯২
​⇒​ ৪ক = ৯২ - ৪
​​⇒ ৪ক = ৮৮
​⇒ ​ক = ৮৮/৪
​⇒ ​ক = ২২
​
∴ ​ছোট সংখ্যাটি = ২২
​এবং বড় সংখ্যাটি = ২২ + ২ = ২৪

প্রশ্ন: ৭৫৬ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
৭৫৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^২ × ৩^৩ × ৭^১

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

এখানে ২ এর ঘাত ২ (জোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৭ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
তাই ৩ × ৭ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।

অর্থাৎ, ৭৫৬ × ২১ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটি ২১ দ্বারা গুণ করতে হবে।

মোট সৈন্য সংখ্যা = ৫৬৭২৮
এর বর্গমূলঃ
       ৫৬৭২৮ । ২৩৮
       ৪
       ^__________
  ৪৩। ১৬৭
       । ১২৯
        ^__________
৪৬৮।৩৮২৮
        ।৩৭৪৪
       ^___________
        ।    ৮৪
৮৪ অবশিষ্ট থাকে।
সুতরাং, ৮৪ জন সৈন্যকে সরিয়ে রাখলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে

রোমান প্রতীকঃ
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১১। লব থেকে ১ বিয়োগ এবং হরের সাথে ২ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান ১/৫ হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১১
লব থেকে ১ বিয়োগ এবং হরের সাথে ২ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান হয় ১/৫

মনে করি,
ভগ্নাংশের লব ক
ভগ্নাংশের হর খ

∴ ভগ্নাংশটি = ক/খ

শর্ত মতে,
 ক + খ = ১১................. (১)

আবার,
 (ক - ১)/(খ + ২) = ১/৫
বা , ৫ক  - ৫ = খ + ২
বা, ৫ক  - খ = ৭ .................(২)

সমীকরণ (১) ও সমীকরণ (২) যোগ করে পাই,
ক + খ + ৫ক  - খ  = ১১ + ৭
বা, ৬ক = ১৮
বা, ক = ১৮/৬
∴ ক = ৩

ক এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে পাই,
৩ + খ = ১১
বা, খ = ১১ - ৩
∴ খ = ৮

∴ ভগ্নাংশটি = ৩/৮ ।