বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার গুণ। সংখ্যা দুটির গুণফল 4 হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় তাই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, সে সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেখানে p এবং q উভয়ই পূর্ণসংখ্যা এবং q শূন্য নয় এমন সংখ্যা।

ক) √৭/৩; ⇒ যেহেতু, √৭ একটি অমূলদ সংখ্যা, তাই এই ভগ্নাংশটি অমূলদ।

খ) √২৫/√৮১ = ৫/৯; ⇒ এটিকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে ৫ ও ৯ উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা। ∴ এটি একটি মূলদ সংখ্যা।

গ) √৫/৪; ⇒ যেহেতু √৫ একটি অমূলদ সংখ্যা, তাই এই ভগ্নাংশটি অমূলদ।

ঘ) √২; ⇒ এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

অতএব, √২৫/√৮ হলো মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৮০ ও ২৫২ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১২  ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান: 
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (১৮০ - ১২) = ১৬৮ এবং (২৫২ - ১২) = ২৪০ এর গ.সা.গু এর সমান।

∴ ১৬৮ এবং ২৪০ এর গ.সা.গু হলো = ২৪

∴  নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ২৪

• ৪৩ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪টি।
• ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ মৌলিক সংখ্যা।
• ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫টি।

মনে করি,
সংখ্যা দুটি ৩৭ক এবং ৩৭খ
তাহলে, ৩৭ক × ৩৭খ = ৪১০৭
=> কখ = ৩
অর্থাৎ, ক = ১ এবং খ = ৩
সংখ্যা দুটি, ৩৭ এবং ১১১

১০০ টাকার ১২ মাসের সুদ ৬ টাকা
১০০    〃   ৯    〃   〃 (৬×৯)/১২=৯/২ টাকা
∴ ১০,০০০〃 ৯  〃   〃 (৯×১০০০০)/(২×১০০) টাকা
                            = ৪৫০ টাকা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২৫ ও ৩৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫ ও ১৫ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান: 
২৫ - ৫ = ২০
৩৫ - ১৫ = ২০

২৫ = ৫ × ৫
৩৫ = ৫ × ৭ 
∴ ২৫ ও ৩৫ এর লসাগু = ৫ × ৫ × ৭ = ১৭৫

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৭৫ - ২০ = ১৫৫

প্রশ্ন:

সমাধান:

যেকোনো দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় জোড় হয় এবং গুণফল বিজোড় হয়।
বিজোড়ের সাথে বিজোড় সংখ্যা যোগ করলে সেটা জোড় সংখ্যা হয়ে যায়।
বিজোড়ের সাথে জোড় সংখ্যা যোগ করলে সেটা বিজোড় সংখ্যা হয়।
সুতরাং, এখানে উত্তর হবে xy + 2

1 থেকে 99 পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n+1)/2
= (99 X 100)/2
= 4950

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বড়?

সমাধান: 
১৫/১৫ = ১
১/১৫ = ০.৬৭ 
১.২৫ = ১.২৫
০.৯৫ = ০.৯৫

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৫/৮ হতে বড়?

সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশ: ৫/৮ = ০.৬২৫

এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
৩/৫ = ০.৬
১১/২০ = ০.৫৫
৭/১০ = ০.৭
২১/৪০ = ০.৫২৫

এখানে দেখা যাচ্ছে যে, ০.৭ > ০.৬২৫
অর্থাৎ, ৭/১০ ভগ্নাংশটি ৫/৮ হতে বড়।

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৮, ১০, ১৫ ও ২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
৮ = ২ × ২ × ২ = ২^৩
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫ = ২^২ × ৫

∴ ৮, ১০, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু = ২^৩ × ৩ × ৫
= ৮ × ৩ × ৫ = ১২০

এখন ১০০০ কে ১২০ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ১২০ = ৮ ভাগফল
১২০ × ৮ = ৯৬০
∴ ভাগশেষ = ১০০০ - ৯৬০ = ৪০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২০ - ৪০ = ৮০

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ৮০ যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা (১০৮০) ১২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

১০০ টাকায় লাভ হয় ৮ টাকা
∴ ৫০০ টাকায় লাভ হয় (৮×৫০০)/১০০ টাকা
                     = ৪০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য (৫০০ + ৪০) টাকা
             = ৫৪০ টাকা

প্রশ্ন: ৪০০০ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৪, ৬, ৮, ১২  দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৪, ৬, ৮, ১২ এর ল. সা. গু = ২৪

২৪ দ্বারা ৪০০০ কে ভাগ করলে ভাগশেষ ১৬ হয়।
ভাগশেষ ও ভাজকের পার্থক্য নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে।

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২৪ - ১৬ = ৮

৫ এর ক% = ১৩
বা, ৫ক/১০০ = ১৩
বা, ক/২০ = ১৩
বা, ক = ২৬০

প্রশ্ন: m একটি জোড় সংখ্যা এবং n একটি বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচের কোনটি সর্বদা একটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
মনে করি, m = 2 (জোড়) এবং n = 3 (বিজোড়)।

অপশন ক) (m × n) + 1 = (2 × 3) + 1 = 6 + 1 = 7 ⇒ বিজোড়
অপশন খ) mⁿ - 1 = 2³ - 1 = 8 - 1 = 7 ⇒ বিজোড়
অপশন গ) m × (n + 1) = 2 × (3 + 1) = 2 × 4 = 8 ⇒ জোড়
অপশন ঘ) n² + 2 = 3² + 2 = 9 + 2 = 11 ⇒ বিজোড়

দেখা যাচ্ছে, শুধুমাত্র 'গ' অপশনটি সর্বদা জোড় সংখ্যা প্রদান করে।
∴ সঠিক উত্তর: গ) m × (n + 1)

প্রশ্ন: ৩√২ কোন ধরনের সংখ্যা?

সমাধান:
৩√২ হলো অমূলদ সংখ্যা।

ক) মূলদ সংখ্যা (Rational Number): এমন সংখ্যা যা দুইটি পূর্ণ সংখ্যার ভাগফলে প্রকাশ করা যায় p/q যেখানে q ≠ 0। দশমিক রূপ শেষ হয় বা পুনরাবৃত্তি হয়।
যেমনঃ ১/২, ০.৭৫, ৪, - ২ ইত্যাদি।

খ) জটিল সংখ্যা (Complex Number): যে সংখ্যা বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ নিয়ে গঠিত হয়, অর্থাৎ a+bi যেখানে i = √-১ ,যদি কোনো সংখ্যায় থাকে, তবে তা জটিল।
যেমনঃ ৩ + ২i, - ৪i, ৭ + ২i

গ) অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): ৩√২ হলো অমূলদ সংখ্যা (irrational number), কারণ এর দশমিক মান অসীম এবং পুনরাবৃত্তিহীন। ৩√২ হলো একটি অমূলদ সংখ্যার সাথে একটি মূলদ সংখ্যার গুণফল।
অমূলদ সংখ্যা = মূলদ সংখ্যা × অমূলদ সংখ্যা

প্রশ্ন: ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু
এখানে,
২, ৩, ৫ লবগুলোর ল.সা.গু = ৩০
এবং
৫, ৪, ৭ হরগুলোর গ.সা.গু = ১ 

∴ ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = ৩০/১ 
= ৩০ ।

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত?

সমাধান: 
ক) ৭৭/১৪৩ = (৭ × ১১)/(১১ × ১৩) = ৭/১৩ 

খ) ১০২/২৮৯ = (২ × ৩ × ১৭)/(১৭ × ১৭) = (২ × ৩)/১৭ 

গ) = ১১৩/৩৫৫
১১৩ = মৌলিক
এবং ৩৫৫ = ৫ × ৭১ 
কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই অর্থাৎ গ.সা.গু = ১
∴ যা লঘিঠ আকারে প্রকাশিত। 

ঘ) ৩৪৩/১০০১ = (৭ × ৭ × ৭)/(৭ × ১৪৩) = (৭ × ৭)/১৪৩ 

সুতরাং, সঠিক উত্তর গ) ১১৩/৩৫৫

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট?
 
সমাধান:
এখানে,
৩/৫ = ০.৬
এবং ৬/৭ = ০.৮৫৭

১/৩ = ০.৩৩৩
১/২ = ০.৫
৭/৮ = ০.৮৭৫
২/৩ = ০.৬৬৭

উপরের মান গুলো হতে দেখা যায় যে, ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট ভগ্নাংশটি ২/৩।

প্রশ্ন: ২০ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১০ বছর। যদি শিক্ষকের বয়স অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে গড় ২ বৃদ্ধি পায়। শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
২০ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১০ বছর
২০ জন শিক্ষার্থীর মোট বয়স (১০ × ২০) = ২০০ বছর

যদি শিক্ষকের বয়স অন্তর্ভুক্ত করা হয়,
তাহলে, ২০ জন শিক্ষার্থী + ১ জন শিক্ষক = ২১ জন

২১ জনের গড় বয়স ১২ বছর
২১ জনের মোট বয়স = (২১ × ১২) = ২৫২ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = (২৫২ - ২০০) = ৫২ বছর

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু = ৮৪০
এখন,
৮৪০/৬০ = ১৪ মিনিট

∴ ১৪ মিনিট পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

৪০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = (৪০০×৫) বা ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
৫০০ টাকার ৬ বছরের সুদ = (৫০০×৬) বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
∴ (২০০০+৩০০০) বা ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪৫০ টাক
∴ ১০০ টাকার ১বছরের সুদ (৪৫০×১০০)/৫০০০ টাকা
= ৯ টাকা

প্রশ্ন: ৬০০০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
৬০০০ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই,

৬০০০ = (২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫ × ৫)
= ২^৪ × ৩ × ৫^৩

পূর্ণবর্গ সংখ্যা পেতে প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের সূচক (power) জোড় হতে হবে।

এখানে, ৩ এবং ৫ এর সূচক বিজোড়।
তাই পূর্ণবর্গ করতে প্রয়োজন = ৩ × ৫ = ১৫

প্রশ্ন: ০.০০২৪০১ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

সমাধান:
√০.০০২৪০১
= √(২৪০১/১০০০০০০)
= √(৪৯^২/১০০০^২)
= ৪৯/১০০০
= ০.০৪৯

প্রশ্ন: নিচের কোন জোড়াটি সহমৌলিক নয়? 

সমাধান: 
সহমৌলিক সংখ্যা: দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

ক) ৩১ ও ৪৩
৩১ এবং ৪৩ উভয়ই মৌলিক সংখ্যা, তাই কোন সাধারণ উৎপাদক নেই।
∴ ৩১ ও ৪৩ সহমৌলিক

খ) ২৭ ও ৩৮
২৭ = ৩ × ৩ × ৩ 
৩৮ = ২ × ১৯
সাধারণ উৎপাদক নেই। 
২৭ ও ৩৮ সহমৌলিক

গ) ১৬ ও ২৮
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২ 
২৮ = ২ × ২ × ৭
সাধারণ উৎপাদক = ৪
১৬ ও ২৮ সহমৌলিক নয়। 

ঘ) ২১০, ১৪৩
২১০ = ২ × ৩ × ৫ × ৭
১৪৩ = ১১ × ১৩
কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই
২১০ ও ১৪৩ সহমৌলিক

সুতরাং, ১৬ ও ২৮ জোড়াটি সহমৌলিক নয়। 

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের দ্বিগুণ এবং ভাগশেষ ভাজকের এক-চতুর্থাংশ। ভাগফল ৩৬ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ভাগফল = ৩৬

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ভাগফল × ২ = ৩৬ × ২ = ৭২
এবং ভাগশেষ = ভাজক × (১/৪) = × (১/৪)
= ১৮

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ
= (৩৬ × ৭২) + ১৮
= ২৫৯২ + ১৮
= ২৬১০

প্রশ্ন: ০.০০১ × ০.০১ = কত?

সমাধান:
০.০০১ × ০.০১
= (১/১০০০) × (১/১০০)
= (১/১০০০০০)
= ০.০০০০১

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ১৪৪ এবং গ.সা.গু ১২। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৪/৩ অংশ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ৪ক/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু
⇒ ক × (৪ক/৩) = ১৪৪ × ১২
⇒ (৪/৩)ক^২ = ১৭২৮
⇒ ক^২ = ১৭২৮ × ৩/৪
⇒ ক^২ = ১২৯৬
⇒ ক = √১২৯৬
∴ ক = ৩৬

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩৬
∴ বড় সংখ্যাটি = (৩৬ × ৪)/৩ = ৪৮

সুতরাং সংখ্যা দুটি = ৩৬ এবং ৪৮

প্রশ্ন: ৫০ থেকে ৭০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত?

সমাধান: 
৫০ থেকে ৭০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা = ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭
∴ তাদের মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৬৭ 

আবার,
তাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৫৩ 

∴ সংখ্যাদ্বয়ের গড় = (৫৩ + ৬৭)/২ 
= ১২০/২ 
= ৬০  । 

১২৫ = ৫ × ৫ × ৫
এবং,
১৪৫ = ৫ × ২৯
∴ গ. সা. গু. = ৫

দুইটি সংখ্যার গুনফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু