বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

-ax² + ax + 1
= 4x² - 4x + 1 [যখন a = -4]
= (2x - 1)²
∴ a = -4

প্রশ্ন: 6a² + 3ab, 2a³ + 5a² - 12a এবং a⁴ - 8a এর গ.সা.গু. নির্ণয় করুন-

সমাধান: 
প্রথম রাশি, 
 6a² + 3ab
= 3a(2a + b)

দ্বিতীয় রাশি,
2a³ + 5a² - 12a
= a(2a² + 5a - 12)

তৃতীয় রাশি,
a⁴ - 8a
= a(a³ - 8)
= a(a³ - 2³)
= a(a - 2)(a² + 2a + 4)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = a

প্রশ্ন: ab + bc + ca = 26, a² + b² + c² = 29 হলে  a + b + c এর মান কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b²+ c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ (a + b + c)² = 29 + (2 × 26)
⇒ (a + b + c)² = 81
∴ a + b + c = 9

 (2x + 3y)³
= (2x)³ + 3(2x)²3y + 3.2x(3y)² + (3y)³
= 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³

প্রশ্ন: 4x² - 12x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4x² - 12x
= (2x)² - 2.2x.3 + 3² - 3²
= (2x - 2)² - 9
∴  4x² - 12x এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: যদি x - y = 3 হয়, তবে x³ - y³ - 9xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - y = 3

প্রদত্ত রাশি = x³ - y³ - 9xy
= (x - y)³ + 3xy(x - y) - 9xy
= (3)³ + (3xy × 3) - 9xy
= 27 + 9xy - 9xy
= 27

প্রশ্ন: p³ + ap + 5 = 0 এর একটি সমাধান যদি 1 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, p³ + ap + 5 = 0
যেহেতু সমীকরণটির একটি সমাধান 1, সেহেতু p = 1 দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

এখন, p = 1 বসিয়ে পাই,
(1)³ + a(1) + 5 = 0
⇒ 1 + a + 5 = 0
⇒ a + 6 = 0
∴ a = - 6
অতএব, a এর মান - 6

প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে, x⁴⁹⁹⁹ + x⁵⁰⁰⁰ এর মান কত ?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + (1/x) = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0 
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

এখন, x⁴⁹⁹⁹ + x⁵⁰⁰⁰
= 1⁴⁹⁹⁹ + 1⁵⁰⁰⁰
= 1 + 1
= 2

প্রশ্ন: যদি a = √5 + 2 এবং b = √5 - 2 হয়, তাহলে a³ + b³ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √5 + 2 এবং b = √5 - 2

এখন,
a + b = √5 + 2 + √5 - 2 = 2√5
ab = (√5 + 2)(√5 - 2)
= (√5)² - (2)²
= 5 - 4
= 1

আমরা জানি,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (2√5)³ - 3 × 1 × 2√5
= 8 × (√5)³ - 6√5
= 8 × 5√5 - 6√5
= 40√5 - 6√5
= 34√5

প্রশ্ন: a + b = 9 এবং ab = 20 হলে, a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 9
এবং ab = 20

আমরা জানি,
a³ + b³
= (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (9)³ - 3 × 20 × 9
= 729 - 540
= 189

সুতরাং, a³ + b³ এর মান হলো 189 ।

প্রশ্ন: x + y = 6 হলে x²y⁴ এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + y = 6

তাই,
x এর মান 1 হলে y এর মান 5 হয়।
∴ x²y⁴ = 625

x এর মান 2 হলে y এর মান 4 হয়।
∴ x²y⁴ = 4 × 256 = 1024

x এর মান 3 হলে y এর মান 3 হয়।
∴ x²y⁴ = 9 × 81 = 729

x এর মান 4 হলে y এর মান 2 হয়।
∴ x²y⁴ = 16 × 16 = 256

x এর মান 5 হলে y এর মান 1 হয়।
∴ x²y⁴ = 25 × 1 = 25

সুতরাং x²y⁴ এর বৃহত্তম মান 1024

প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a² + b² = 53 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 9
a² + b² = 53

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
বা, 81 = 53 + 2ab
বা, 2ab = 28
∴ ab = 14

আমরা জানি,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= 9³ - 3 × 14 × 9
= 729 - 378
= 351

a - (1/a) = 2
∴ a + (1/a) = √[{(a - (1/a)}² + 4.a.(1/a)}]
= √{(2)² + 4}
= √8
= 2√2 
∴ a⁴ + (1/a⁴) = (a²)² + (1/a²)²
= {a² + (1/a²)}² - 2.a².(1/a²)
= {a² + (1/a²)}² - 2
= {(a + 1/a)² - 2.a.(1/a)}² - 2
= {(2√2)² - 2}² - 2
= 36 - 2
= 34

প্রশ্ন: যদি x + y = 3 এবং xy = - 10 হয়, তবে, x⁴ + y⁴ - 3 (x³y + xy³) এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 4 হয়, তাহলে x⁴ + (1/x⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 4
⇒ (x + 1/x)² = 4² [উভয় পাশে বর্গ করে]
⇒ x² + 2 × x × (1/x) + 1/x² = 16
⇒ x² + (1/x²) = 16 - 2
⇒ x² + (1/x²) = 14

আবার,
⇒ {x² + (1/x²)}² = 14²
⇒ (x²)² + 2 × x² × (1/x²) + (1/x²)² = 196
⇒ x⁴ + 2 + (1/x⁴) = 196
⇒ x⁴ + (1/x⁴) = 196 - 2
∴ x⁴ + (1/x⁴) = 194

প্রশ্ন: p² + q² = 6 এবং p - 1 = √2 হলে, q + 1 এর মান কত?

সমাধান:
p - 1 = √2
⇒ p = 1 + √2

p² + q² = 6
⇒ (1 + √2)² + q² = 6
⇒ 1 +  2√2 + 2 + q² = 6
⇒ 3 + 2√2 + q² = 6
⇒ q² = 3 - 2√2
⇒ q² = 2 -  2√2 + 1
⇒ q² = (√2)² -  2√2 + 1²
⇒ q² = (√2  - 1)²
⇒ q = √2 - 1
∴ q + 1 = √2

(x² + y²)² = (x² - y²)² + ৪ . x² . y²
⇒ ১৩^২ = (x² - y²)² + ৪.৬^২
⇒ (x² - y²)² = ১৬৯ - ১৪৪
= ২৫
∴ x² - y² = 5

∴ x² - y² = ৫ …… (১)
x² + y² = ১৩ …… (২)

(১) নং + (২) নং দ্বারা পাই,
2x² = ১৮
বা, x² = ৯
∴ x = ±৩

(২) নং - (১)নং দ্বারা পাই,
2y² = ৮
বা, y² = ৪
∴ y = ±২
∴ xy > 0

∴ x, y একই চিহ্ন বিশিষ্ট হবে।

প্রশ্ন:  যদি x = √5 + √3 হয়, তবে এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: x²y³z, x³y²z⁴ এবং xy⁴z² এই তিনটি রাশির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x²y³z = x. x. y. y. y. z
২য় রাশি = x³y²z⁴ = x. x. x. y. y. z. z. z. z
৩য় রাশি = xy⁴z² = x. y. y. y. y. z. z

এখানে,
x, y এবং z গুণনীয়ক সমূহের সর্বোচ্চ ঘাত যথাক্রমে x³, y⁴ এবং z⁴

∴ ল.সা.গু = x³y⁴z⁴

a³ - 3a²b + 3ab² - b³
= (a - b)³
সুতরাং (a - b)³ এর ঘনমূল {(a - b)³}^1/3
= (a - b)^(3×1/3)
= a - b

প্রশ্ন: যদি p + q = 7n এবং pq = 10n² হয়, তবে (p - q) এর মান কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে
p + q = 7n
pq = 10n²

আমরা জানি,
(p - q)² = (p + q)² - 4pq
⇒ (p - q)² = (7n)² - 4 × 10n²
⇒ (p - q)² = 49n² - 40n2
⇒ (p - q)² = 9n²
⇒ p - q = ±√(9n²)
∴  p - q = ± 3n

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 এবং a² + ab + b² = 3 হলে 2(a² + b²) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 ......(1)
এবং a² + ab + b² = 3 ......(2) 

এখন, (1) নং হতে পাই, 
⇒ a⁴ + a²b² + b⁴ = 3
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 3
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 3
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 3
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 3
⇒ 3 × (a² - ab + b²) = 3
⇒ (a² - ab + b²) = 3/3
∴ (a² - ab + b²) = 1 .....(3)

এখন, (2) + (3) করে পাই, 
a² + ab + b² = 3
a² - ab + b² = 1
⇒ 2a² + 2b² = 4
∴ 2(a² + b²) = 4

সুতরাং, 2(a² + b²) = 4

প্রশ্ন: x + 2/x = 5 হলে x³ + 8/x³ এর মান কত?
 
সমাধান: 
x³ + 8/x³
= (x)³ + (2/x)³
= (x + 2/x)³ - 3.x.(2/x).(x + 2/x)
= (5)³ - 3 × 2 × 5
= 125 - 30
= 95

প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 4 হয়, তবে x/(x² + x + 1) -এর মান কত?    

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 4
⇒ (x² + 1)/x = 4
⇒ x² + 1 = 4x
⇒ x² = 4x - 1

এখন,
x/(x² + x +1)
= x/[(4x - 1) + x + 1]
= x/5x
= 1/5

প্রশ্ন: যদি x + y = 10 এবং xy = 16 হয়, তবে x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 10 এবং xy = 16

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= 10² - (4×16)
= 100 - 64
= 36
⇒ (x - y) = √36
∴ x - y = 6