লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

মোট প্রশ্ন৩,৪০১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

PrepBank · পাতা ৫ / ৩৪ · ৪০১–৫০০ / ৩,৪০১

৪০১.
যদি a + b = 11 এবং a2 + b2 = 85 হয়, তবে ab এর মান কত?
  1. ক
    18
  2. খ
    36
  3. গ
    21
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 11 এবং a2 + b2 = 85 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 11
a2 + b2 = 85

আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
⇒ 112 = 85 + 2ab
⇒ 121 = 85 + 2ab
⇒ 2ab = 121 - 85
⇒ 2ab = 36
∴ ab = 18

৪০২.
9x2 + 30x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফলটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    4
  2. খ
    9
  3. গ
    16
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9x2 + 30x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান :
 9x2 + 30x
= (3x)2 + 2.3x.5 + 52 - 52
= (3x + 5)2 - 25
∴   9x2 + 30x এর সাথে 25 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
৪০৩.
x + 1/x = 1 হলে x2 + 1/x = ?
  1. ক
    -1
  2. খ
    0
  3. গ
    2x
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
x + 1/x = 1
বা, x2 + 1 = x
∴ x2 = x - 1
আবার,
x + 1/x = 1
∴ 1/x = 1 - x
এখন,
x2 + 1/x
= x - 1 + 1 - x
= 0

৪০৪.
x2 + (1/x)2 এর কোন মানের জন্য x3+ (1/x)3 = 0 হবে?
  1. ক
    2
  2. খ
    0
  3. গ
    -2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + (1/x)2 এর কোন মানের জন্য x3+ (1/x)3 = 0 হবে?

সমাধান:
x3+ (1/x)3= 0
⇒ {x + (1/x)} {x2 - (x)(1/x) + (1/x)2} = 0
⇒ x2 - 1 + (1/x)2 = 0/{x + (1/x)} 
⇒ x2 - 1 + (1/x)2 = 0
⇒ x2 + (1/x)2 = 1 

অর্থাৎ x2 + (1/x)2 = 1 হলে x3+ (1/x)3 = 0 হবে।
৪০৫.
4(x + y), 10(x - y) এবং 12(x2 - y2) এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    x - y
  2. খ
    x + y
  3. গ
    12(x2 - y2)
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4(x + y), 10(x - y) এবং 12(x2 - y2) এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = 4(x + y)
২য় রাশি =10(x - y)  
৩য় রাশি =12(x2 - y2)
= 12(x - y)(x + y)

4, 10 ও 12 এর গ.সা.গু = 2
নির্ণেয় গ.সা.গু = 2
৪০৬.
a + (1/a) = 3 হলে, a6 + (1/a6) এর মান কত?
  1. ক
    322
  2. খ
    326
  3. গ
    330
  4. ঘ
    334
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (1/a) = 3 হলে, a6 + (1/a6) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 4

∴ প্রদত্ত রাশি = a6 + (1/a6)
= (a3)2 + (1/a3)2
= {a3 + (1/a3)}2 - 2 · a3 · (1/a3)
= [{a + (1/a)}3 - 3 · a · (1/a){a + (1/a)}]2 - 2
= {(3)3 - 3 · 3}2 - 2
= (27 - 9)2 - 2
= (18)2 - 2
= 324 - 2
= 322
৪০৭.
a - 1/a = √3 হলে, a2 - 1/a2 এর মান কত?
  1. ক
    √25
  2. খ
    √15
  3. গ
    √21
  4. ঘ
    √23
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে, a - 1/a = √3
আমরা জানি, (a+1/a)2 = (a-1/a)2+ 4.a.1/a
                                   = (√3)² + 4
                                   = 3+4
                                   = 7
∴ (a+1/a) = √7
এখন, a2- 1/a2= (a+1/a)(a-1/a)
                      = √3 × √7
                      = √21
৪০৮.
(1/a) + (1/b) + (1/c) = 0 হলে, (a + b + c)2 এর মান কত?
  1. ক
    a2  + b2  - c2 
  2. খ
    a2  - b2 + c2 
  3. গ
    a2  + b2 + c2 
  4. ঘ
    a + b+ c
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (1/a) + (1/b) + (1/c) = 0 হলে, (a + b + c)2 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
(1/a) + (1/b) + (1/c) = 0
বা, (bc + ca + ab)/abc = 0
বা, bc + ca + ab = 0
বা, 2(bc + ca + ab) = 0 × 2 
বা, 2bc + 2ca + 2ab = 0
বা, a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = a2 + b2 + c2
∴ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2
৪০৯.
a + b = √7 এবং a - b = √5 হলে, 8ab (a2 + b2) = কত?
  1. ক
    24
  2. খ
    12
  3. গ
    30
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = √7 এবং a - b = √5 হলে, 8ab (a2 + b2) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = √7 
এবং a - b = √5 

এখন,
8ab(a2 + b2)
= 4ab × 2(a2 + b2)
= {(a + b)2 - (a - b)2} × {(a + b)2 + (a - b)2}
= {(√7)2 - (√5)2} × {(√7)2 + (√5)2}
= (7 - 5) × (7 + 5)
= 2 × 12
= 24
৪১০.
x - (1/x) = 1 হলে x3 - (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 1 হলে x3 - (1/x3) এর মান কত?

সমাধান: 
x - 1/x = 1

x3 - (1/x3 ) = (x - 1/x)3 + 3.x .1/x.(x - 1/x)
= 13 + 3 . 1
= 1 + 3
= 4
৪১১.
x + y = 3, x² + y² = 5 হলে, x³ + y³ কত?
  1. ক
    ক) 11
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) 7
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 3, x² + y² = 5 হলে, x³ + y³ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + y = 3
x2 + y2 = 5

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
2xy = (x + y)2 - (x2 + y2)
2xy = 9 - 5
xy = 2

x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
= 33 - 3×2×3
= 27 - 18
= 9
৪১২.
x2 - 11x  + 30 এবং x3 - 4x2 - 2x - 15 এর গ.সা.গু. কত?
  1. ক
    x - 5
  2. খ
    x - 6
  3. গ
    x2 + x + 3
  4. ঘ
    x2 - x + 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 11x  + 30 এবং x3 - 4x2 - 2x - 15 এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x2 - 11x + 30
= x2 - 5x - 6x + 30
= x(x - 5) - 6(x - 5)
= (x - 5)(x - 6)

২য় রাশি = x3 - 4x2 - 2x - 15
ধরি
f(x) = x3 - 4x2 - 2x - 15
বা, f(5) = 53 - 4 × 52 - 2 × 5 - 15
বা, f(5) = 125 - 100 - 10 - 15
বা, f(5) = 125 - 125
∴ f(5) = 0

(x - 5), f(x) এর একটি উৎপাদক।
f(x) = x3 - 4x2 - 2x - 15
= x3 - 5x2 + x2 - 5x + 3x - 15
= x2(x - 5) + x (x - 5) + 3(x - 5)
= (x - 5)(x2 + x + 3)

নির্ণেয় গসাগু = (x - 5)
৪১৩.
x - 1/x = 2 হলে (x6 - 1)/x3 এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    8
  3. গ
    11
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 2 হলে (x6 - 1)/x3 এর মান কত?

সমাধান:
x - 1/x = 2

আমরা জানি,
(x6 - 1)/x3 = x6/x3 - 1/x3
= x3 - 1/x3 
= (x - 1/x)3 + 3.x.1/x(x - 1/x)
= 23 + 3 × 2
= 8 + 6
= 14
৪১৪.
x + (1/x) = 5 হলে, x/(x2 + x + 1) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1/6
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 1/3
  4. ঘ
    ঘ) 1/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 5 হলে, x/(x2 + x + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 5
বা, x2 +1 = 5x

এখন, 
 x/(x2 + x + 1)
= x/(x2 + 1 + x)
= x/(5x + x)
= x/6x 
= 1/6
৪১৫.
যদি a4 + a²b² + b4 = 3 এবং a² + ab + b² = 3 হয়, তাহলে a² + b² এর মান কত হবে?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা

a4 + a²b² + b4 = 3
বা, (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 3
বা, (a² + b²) – (ab)² = 3
বা, (a² + b² + ab) (a² + b² – ab) = 3
বা, 3 (a² + b² – ab) = 3 [মান বসিয়ে]
বা, (a² + b² – ab) = 1
(a² + b² + ab) = 3 এবং (a² + b² – ab) = 1 যোগ করে পাই-
বা, 2(a² + b²) = 4
বা, (a² + b²) = 2

৪১৬.
2x3 + 3x2 - 17x - 30 রাশিটির একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    (x + 3)
  2. খ
    (x - 1)
  3. গ
    (x - 2)
  4. ঘ
    (x - 3)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x3 + 3x2 - 17x - 30 রাশিটির একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x3 + 3x2 - 17x - 30
∴ f(3) = (2 × 33) + (3 × 32) - (17 × 3) - 30
= 54 + 27 - 51 - 30
= 81 - 81
= 0
∴ (x - 3), f(x) এর একটি উৎপাদক।

৪১৭.
যদি a + 1/a = 5 হয়, তাহলে a2 + 1/a2 = কত?
  1. ক
    ক) 22
  2. খ
    খ) 23
  3. গ
    গ) 26
  4. ঘ
    ঘ) 19
ব্যাখ্যা

a2 + 1/a2
= (a + 1/a)2 - 2 . a . 1/a
= (5)2 - 2
= 25 - 2
= 23

৪১৮.
x4 + 2x2 + 1 = 5x2 হলে, x + (1/x) = কত?
  1. ক
    5√2
  2. খ
    √3
  3. গ
    √5
  4. ঘ
    2√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 + 2x2 + 1 = 5x2 হলে, x + (1/x) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x4 + 2x2 + 1 = 5x2
বা, (x2)2 + 2.x2.1 + (1)2 = 5x2
বা, (x2 + 1)2 = 5x2
বা, x2 + 1 = √(5x2)   [উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে] 
বা, x2 + 1 = √5 x 
বা, (x2/x) + 1/x = (√5 x)/x    [উভয়পক্ষকে x দিয়ে ভাগ করে] 
∴ x + (1/x) = √5
৪১৯.
a + a- 1 = 3 হলে, a4 + (a- 1)4 এর মান কত?
  1. ক
    30
  2. খ
    36
  3. গ
    39
  4. ঘ
    47
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + a- 1 = 3 হলে, a4 + (a- 1)4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + a- 1 = 3
⇒ a + (1/a) = 3

প্রদত্ত রাশি, a4 + (a- 1)4
= a4 + (1/a)4
= (a2)2 + (1/a2)2
= {a2 +(1/a2)}2 - 2 · a2 ·(1/a2)
= {(a + (1/a)2 - 2 · a · (1/a)}2 - 2
= {(3)2 - 2}2 - 2
= (9 - 2)2 - 2
= 72 - 2
= 47
৪২০.
x + (1/x) = 7 হলে {x - (1/x)}2 এর মান কত?
  1. ক
    45
  2. খ
    49
  3. গ
    53
  4. ঘ
    57
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + (1/x) = 7 হলে {x - (1/x)}2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 7

∴ {x - (1/x)}2 = {x + (1/x)}2 - 4 . x . (1/x)
= 72 - 4
= 49 - 4
= 45

৪২১.
  1. ক
    84
  2. খ
    90
  3. গ
    110
  4. ঘ
    155
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৪২২.
2x + 2/x = 3 হলে x2 + 1/x2 = ?
  1. ক
    ক) 1/4
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 1/6
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

2x + 2/x = 3
বা, x + 1/x = 3/2
আমরা জানি,
a2 + 1/b2 = (a + 1/b)2 - 2ab
∴ x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2.x.1/x
= (3/2)2 - 2
= 9/4 - 2
= 9/4 - 8/4
= 1/4

৪২৩.
3x2 + 9, x4 - 9 এবং x4 + 6x2 + 9 এর ল. সা. গু. কত?
  1. ক
    (x + 3)2
  2. খ
    (x2 + 3)2
  3. গ
    x + 9
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x2 + 9, x4 - 9 এবং x4 + 6x2 + 9 এর ল. সা. গু. কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = 3x2 + 9 
= 3 (x2 + 3) 

২য় রাশি = x4 - 9 
= (x2)2 - (3)2 
= (x2 + 3) (x2 - 3) 

এবং ৩য় রাশি = x4 + 6x2 + 9 
= (x2)2 + 2. x2. 3 + (3)2 
= (x2 + 3)2 
= (x2 + 3) (x2 + 3) 

∴ নির্ণেয় ল. সা. গু. = 3(x2 + 3)2(x2 - 3)
৪২৪.
x2 - 8x - 8y + 16 + y2 -এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    ক) -2xy
  2. খ
    খ) 8xy
  3. গ
    গ) 6xy
  4. ঘ
    ঘ) 2xy
ব্যাখ্যা
x2- 8x - 8y + 16 + y2
=x2 + y2 + 16 - 8x - 8y
=(x)2 + (y)2 + (- 4)2 + 2.x.y + 2.y.(- 4) + 2.(- 4).x - 2xy
=(x + y - 4)2 - 2xy

সুতরাং রাশিটির সাথে 2xy যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
৪২৫.
x + 1/x = 2 হলে, (x2 + 1/x2)(x4 + 1/x4) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, x + 1/x = 2  
⇒ x2 + 1/x2 + 2.x.1/x = 4
⇒ x2 + 1/x2 = 2
⇒ x4 + 1/x4 + 2.x2.1/x2 = 4
⇒ x4 + 1/x4 = 2

∴ (x2 + 1/x2)(x4 + 1/x4) = 2 × 2 = 4

৪২৬.
x - y = 3, xy = 4 হলে, x + y =?
  1. ক
    ক) ±2
  2. খ
    খ) ±3
  3. গ
    গ) ±4
  4. ঘ
    ঘ) ±5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 3, xy = 4 হলে, x + y =? 

সমাধান:
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
= 32 + (4 × 4)
= 9 + 16
= 25

∴ x + y = ±5
৪২৭.
যদি a + b + c = 10 এবং a2 + b2 + c2 = 24 হয়, তবে ab + bc + ca এর মান কত? 
  1. ক
    28
  2. খ
    24
  3. গ
    38
  4. ঘ
    42
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 10 এবং a2 + b2 + c2 = 24 হয়, তবে ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 10
এবং a2 + b2 + c2 = 24

আমরা জানি, 
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) 
বা, 2(ab + bc + ca) = {(10)2 - (24)}
বা, 2(ab + bc + ca) = (100 - 24)
বা, 2(ab + bc + ca) = 76
বা, (ab + bc + ca) = 76/2
∴ (ab + bc + ca) = 38

৪২৮.
x2 - 3x, x2 - 9 এবং x2 - 4x + 3 বীজগাণিতিক রাশির গ.সা.গু কত হবে?
  1. ক
    x - 4
  2. খ
    x + 3
  3. গ
    x - 3
  4. ঘ
    x - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 3x, x2 - 9 এবং x2 - 4x + 3 বীজগাণিতিক রাশির গ.সা.গু কত হবে?

সমাধান:
১ম রাশি = x2 - 3x
 = x(x - 3)

২য় রাশি = x2 - 9
= x2 - 32 
= (x + 3)(x - 3)

৩য় রাশি = x2 - 4x + 3
= x2 - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

নির্ণেয় গ.সা.গু = x - 3
৪২৯.
যদি a2 + ab + b2 = 7 এবং a2 - ab + b2 = 5 হয়, তবে a4 + a2b2 + b4 এর মান কত?
  1. ক
    44
  2. খ
    35
  3. গ
    36
  4. ঘ
    56
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a2 + ab + b2 = 7 এবং a2 - ab + b2 = 5 হয়, তবে a4 + a2b2 + b4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + ab + b2 = 7
a2 - ab + b2 = 5

সুতরাং সূত্রে বসালে পাই
a4 + a2b2 + b4
= (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2)
= 7 × 5
= 35

৪৩০.
যদি (x−y)2 = 12 এবং xy = 1 হয়, তবে x2 + y2 = কত?
  1. ক
    ক) 13
  2. খ
    খ) 14
  3. গ
    গ) 11
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, (x−y)2 = 12
⇒ x2 + y2 - 2xy = 12
∴ x2 + y2 = 12 + 2×1 = 14
৪৩১.
x2 + 3x + 2, x2 -1 এবং x2 + x - 2 এর ল.সা.গু. কত? 
  1. ক
    (x + 1)(x - 1)
  2. খ
    (x + 2)(x + 1)
  3. গ
    (x + 2)(x - 1)
  4. ঘ
    (x + 1)(x + 2)(x - 1) 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 + 3x + 2, x2 -1 এবং x2 + x - 2 এর ল.সা.গু. কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি, 
x2 + 3x + 2
= x2 + 2x + x + 2
= x(x + 2) + 1(x + 2)
= (x + 2)(x + 1)

২য় রাশি, 
x2 -1 
= (x + 1)(x - 1) 

৩য় রাশি, 
x2 + x - 2
= x2 + 2x - x - 2
= x(x + 2) - 1(x + 2)
= (x + 2)(x - 1) 

অতএব, ল.সা.গু = (x + 1)(x + 2)(x - 1) 

৪৩২.
x + 2y = 12 এবং xy = 18 হলে, x = কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    10
  3. গ
    5
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 12 এবং xy = 18 হলে, x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, xy = 18
⇒ y = 18/x

এখন,
x + 2y = 12
⇒ x + 2 × (18/x) = 12
⇒ x + 36/x = 12
⇒ x2 + 36 = 12x
⇒ x2 - 12x + 36 = 0
⇒ x2 - 2 . x . 6 + 62 = 0
⇒ (x - 6)2 = 0
⇒ (x - 6) = 0
⇒ x = 6
∴ x = 6

৪৩৩.
যদি x > 0 এবং (x2 + 1)2 = 5x2 হয়, তাহলে x3 + (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    2√5
  3. গ
    5√5
  4. ঘ
    12√3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x > 0 এবং (x2 + 1)2 = 5x2 হয়, তাহলে x3 + (1/x3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x2 + 1)2 = 5x2
বা, x2 + 1 = √5x  [উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে]
বা, (x2 + 1)/x = √5
∴ x + (1/x) = √5

এখন,
প্রদত্ত রাশি = x3 + (1/x3)
= {x + (1/x)}3 - 3 . x . (1/x) {x + (1/x)}
= (√5)3 - 3(√5)
= 5√5 - 3√5
= 2√5

৪৩৪.
x + 1/x = 2 হলে x3 + 1/x3 এর মান কোনটি?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) -2
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে x3 + 1/x3 এর মান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2

এখন,
x³ + 1/x³
= (x + 1/x)3 - 3 . x .1/x . (x + 1/x)
= (2)3 - 3 . 2
= 8 - 6
= 2
৪৩৫.
a4 + a2b2 + b4 = 3, a2 + ab + b2 = 3 হলে, 3(a2 - ab + b2) =?
  1. ক
    6
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a4 + a2b2 + b4 = 3, a2 + ab + b2 = 3 হলে, 3(a2 - ab + b2) =? 

সমাধান: 
a4 + a2b2 + b4 = 3
⇒ (a2)2 + a2b2 + (b2)2 = 3
⇒ (a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 - a2b2 = 3
⇒ (a2 + b2)2 - (ab)2 = 3
⇒  (a2 +ab + b2) (a2 - ab + b2) = 3
∴ 3(a2 - ab + b2) = 3
৪৩৬.
m - (1/m) = 3 হলে, m4 + (1/m)4 এর মান কত?
  1. ক
    121
  2. খ
    119
  3. গ
    115
  4. ঘ
    110
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m - (1/m) = 3 হলে, m4 + (1/m)4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ m - (1/m) = 3
⇒ {m - (1/m)}2 = 32
⇒ m2 - 2m(1/m) + (1/m)2 = 9
⇒ m2 + (1/m)2 = 9 + 2
⇒ {m2 + (1/m2)}2 = 112
⇒ (m2)2 - 2m2(1/m2) + (1/m2)2 = 121
⇒ m4 + (1/m)4 = 121 - 2
∴ m4 + (1/m)4 = 119
৪৩৭.
  1. ক
    ক) 27
  2. খ
    খ) 3√3
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 

সমাধান:
৪৩৮.
q - {q - (q + 1)} = কত?
  1. ক
    q + 1
  2. খ
    q
  3. গ
    q + 2
  4. ঘ
    q - 1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: q - {q - (q + 1)} = কত?
 
সমাধান:
q - {q - (q + 1)}
= q - {q - q - 1}
= q - { - 1}
= q + 1

৪৩৯.
a + 1/a = 5 হলে a2 + 1/a2 = কত?
  1. ক
    ক) 13
  2. খ
    খ) 17
  3. গ
    গ) 23
  4. ঘ
    ঘ) 27
ব্যাখ্যা

a2 + 1/a2
= (a + 1/a)2 - 2.a.1/a
= 52 - 2
= 23

৪৪০.
x2 - 1 - 4x = 0 হলে, (x2 + 1)2/ x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 25
  3. গ
    গ) 20
  4. ঘ
    ঘ) 21
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ x2 - 1 - 4x = 0 হলে, (x2 + 1)2/ x2 এর মান কত?
সমাধান :
     x2 - 1 - 4x = 0
⇒ x2 -  1 = 4x
⇒ (x2 - 1)/x = 4
⇒ x - 1/x = 4
 
(x2 + 1)2/ x2
= {(x2 + 1)/x}2
= {(x2/x) + (1/x)}2
= (x + 1/x)2
= (x - 1/x)2 + 4.x.(1/x)
= (4)2 + 4
= 16 + 4
= 20
৪৪১.
x + y = 7 এবং x - y = 1 হলে, xy এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    8
  3. গ
    24
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 7 এবং x - y = 1 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
(x + y = 7) এবং (x - y = 1)

আমরা জানি,
4xy = (x + y)2 - (x - y)2
= 72 - 12
= 49 - 1
= 48
⇒ 4xy = 48
⇒ xy = 48/4
∴ xy= 12

৪৪২.
(x2 + 2) এবং (x4 - 2x2 + 4) এর গুণফল নির্ণয় করুন-
  1. ক
    x6 - 4
  2. খ
    x6 - 8
  3. গ
    x6 + 4
  4. ঘ
    x6 + 8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x2 + 2) এবং (x4 - 2x2 + 4) এর গুণফল নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(x2 + 2)(x4 - 2x2 + 4)
= (x2 + 2){(x2)2 - x2 × 2 + 22}
= (x2)3 + (2)3
= x6 + 8

৪৪৩.
a + b + c = 15 এবং ab + bc + ca = 71 হলে, a2 + b2 + c2 এর মান কত?
  1. ক
    81
  2. খ
    87
  3. গ
    85
  4. ঘ
    83
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 15 এবং ab + bc + ca = 71 হলে, a2 + b2 + c2 এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
বা, (15)2 = a2 + b2 + c2 + 2 × 71   [মান বসিয়ে]
বা, 225 = a2 + b2 + c2 + 142
বা, a2 + b2 + c2 = 225 - 142  [রাশিগুলো পক্ষান্তর করে]
∴  a2 + b2 + c2 = 83
৪৪৪.
ab + bc + ca = 21 এবং a2 + b2 + c2 = 22 হলে, a + b + c = কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    17
  3. গ
    23
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ab + bc + ca = 21 এবং a2 + b2 + c2 = 22 হলে, a + b + c = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ab + bc + ca = 18
a2 + b2 + c2 = 22

এখন,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
বা, (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
বা, (a + b + c)2 = 22 + (2 × 21)
বা, (a + b + c)2 = 22 + 42
বা, (a + b + c)2 = 64
বা, a + b + c = √64
∴ a + b + c = 8
৪৪৫.
যদি x + y = 5 এবং xy = 6 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + y = 5 এবং xy = 6 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + y = 5 
xy = 6

এখন,
x - y = √{(x + y)2 - 4xy} 
= √(52 - 4×6)
= √(25 - 24)
= √1
= 1

x + y + x - y = 5 + 1
⇒ 2x = 6
∴ x = 3 
৪৪৬.
একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি √6 হলে, ঐ সংখ্যার ঘন ও ঘন-এর গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    2√6
  3. গ
    5√6
  4. ঘ
    3√6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি √6 হলে, ঐ সংখ্যার ঘন ও ঘন-এর গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = √6

এখন
x3 + (1/x)3 = (x + 1/x)3 - 3. x. (1/x)(x + 1/x)
= (√6)3 - 3√6
= 6√6 - 3√6
= 3√6

৪৪৭.
যদি p + p- 1 = 6 হয়, তবে p3 + p- 3 এর মান কত?
  1. ক
    184
  2. খ
    190
  3. গ
    198
  4. ঘ
    204
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি p + p- 1 = 6 হয়, তবে p3 + p- 3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + p- 1 = 6
⇒ p + (1/p) = 6
⇒ {p + (1/p)}3 = 63
⇒ p3 + (1/p3) + 3 · p · (1/p) {p + (1/p)} = 216
⇒ p3 + (1/p3) + 3 × 6 = 216
⇒ p3 + (1/p3) = 216 - 18
⇒ p3 + (1/p3) = 198
∴ p3 + p- 3 = 198
৪৪৮.
x2 - 3x + 1 = 0 হলে, (x2 - 1/x2) এর মান কত?
  1. ক
    5√3
  2. খ
    3√5
  3. গ
    4√5
  4. ঘ
    6√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 3x + 1 = 0 হলে, (x2 - 1/x2) এর মান কত?
 
সমাধান:
x2 - 3x + 1 = 0
⇒ x2 + 1 = 3x
⇒ (x2 + 1)/x = 3x/x
∴ x + 1/x = 3

সূত্রানুসারে,
(x - 1/x)2 = (x + 1/x)2 -  4.x.(1/x)
⇒ x - 1/x = √{(3)2 - 4}
∴ x - 1/x = √5

এখন,
(x2 - 1/x2)
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= 3√5
৪৪৯.
a2 - 2ab থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    - b2
  2. খ
    b
  3. গ
    b3
  4. ঘ
    - a
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 2ab থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে? 

সমাধান:
a2 - 2ab 
= a2 - 2ab - ( - b)2 - b2 
= a2 - 2ab + b2 - b2
= (a - b)2 - b2

অর্থাৎ a2 - 2ab থেকে  -b2 বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে।
৪৫০.
2x2 - x = 2 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    11/8
  2. খ
    5/2
  3. গ
    7/2
  4. ঘ
    13/8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 - x = 2 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত?

সমাধান: 
2x2 - x = 2
বা, 2x2 - 2 = x
বা, x2 - 1 = x/2
∴ x - 1/x = 1/2

প্রদত্ত রাশি: x3 - 1/x3
= (x)3 - (1/x)3
= (x - 1/x)3 + 3.x.1/x(x - 1/x)
= (1/2)3 + 3(1/2)
= 1/8 + 3/2
= 13/8
৪৫১.
a+b=7 এবং a-b=3 হলে, ab এর মান-
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা
ab = ((a+b)/2)2-((a-b)/2)2
=(7/2)2-(3/2)2
=10
৪৫২.
3x - [5y - {10z - (5x - 10y + 3z)}] = কত?
  1. ক
    ক) 2x + 5y + 7z
  2. খ
    খ) - 2x + 5y + 7z
  3. গ
    গ) - 2x + 5y - 7z
  4. ঘ
    ঘ) - 2x - 5y + 7z
ব্যাখ্যা
3x - [5y - {10z - (5x - 10y + 3z)}]
= 3x - [5y - {10z - 5x + 10y - 3z}]
= 3x - [5y - {7z - 5x + 10y}]
= 3x - [5y - 7z + 5x - 10y]
= 3x - [- 5y - 7z + 5x]
= 3x + 5y + 7z - 5x
= - 2x + 5y + 7z
৪৫৩.
a−(1/a) = 4 হলে a3−(1/a)3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 36
  2. খ
    খ) 48
  3. গ
    গ) 72
  4. ঘ
    ঘ) 76
ব্যাখ্যা
a3 – (1/a)3
= (a – 1/a)3 + 3.a.(1/a)(a-1/a)
= 43 + 3×4
= 76
৪৫৪.
a4 - 2a2 + 1 = 0 হলে a2 + 1/a2 এর মান কী হবে?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) - 2
  4. ঘ
    ঘ) - 1
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে, 
a4 - 2a2 + 1 = 0
(a4 - 2a2 + 1)/a2 = 0
a4/a2 - 2a2/a2 + 1/a2 = 0 
a2 - 2 + 1/a2 = 0 
a2 + 1/a2 = 2
৪৫৫.
x + 4 + (1/x) = 0 হলে, x3 + (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    - 48
  2. খ
    - 56
  3. গ
    - 52
  4. ঘ
    - 44
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 4 + (1/x) = 0 হলে, x3 + (1/x3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 4 + (1/x) = 0
⇒ x + (1/x) = - 4

প্রদত্ত রাশি = x3 + (1/x3)
= {x + (1/x)}3 - 3 · x · (1/x){x + (1/x)}
= (- 4)3 - 3 · (- 4)
= - 64 + 12
= - 52
৪৫৬.
x + y = √7 এবং y = x - √3 হলে xy এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা

y = x - √3
x-y = √3
4xy = (x+y)2 - (x-y)2
= (√7)2 - (√3)2
= 7-3
= 4
∴ xy = 1

৪৫৭.
x + 1/x = 7 হলে x3 + 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    322
  2. খ
    300
  3. গ
    310
  4. ঘ
    280
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 1/x = 7 হলে x3 + 1/x3 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 7

প্রদত্ত রাশি, 
x3 + 1/x3 = (x + 1/x)3 - 3x(1/x)(x + 1/x)
= 73 - (3 × 7)
= 343 - 21
= 322

∴ x3 + 1/x3 এর মান 322

৪৫৮.
x + y = 8 এবং x2 + y2 = 34 হলে, xy এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    10
  3. গ
    15
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 8 এবং x2 + y2 = 34 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 8
x2 + y2 = 34

আমরা জানি,
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
⇒ (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
⇒ (8)2 = 34 + 2xy
⇒ 64 = 34 + 2xy
⇒ 2xy = 64 - 34
⇒ 2xy = 30
∴ xy = 15
৪৫৯.
a - (1/a) = 4 হলে, (a4 + 1)/a2 এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    12
  3. গ
    16
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - (1/a) = 4 হলে, (a4 + 1)/a2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 4

প্রদত্ত রাশি, (a4 + 1)/a2
= (a4/a2) + (1/a2)
= a2 + (1/a2)
= {a - (1/a)}2 + 2 · a · (1/a)
= (4)2 + 2
= 16 + 2
= 18
৪৬০.
  1. ক
    ক) a
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) a/b
  4. ঘ
    ঘ) ab
ব্যাখ্যা

[{2a + b - 1(a + b)}/(a + b)]/[(a + b - b)/(a + b)]
[(2a + b - a - b)/(a + b)]/[a/(a + b)]
[a/(a + b)]/[a/(a + b)]
[a/(a + b)] ×[(a + b)/a]
= 1
৪৬১.
a + b = 4 এবং a - b = 2 হলে a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 11
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
a + b = 4 
a - b = 2

আমরা জানি 
2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
2(a2 + b2) = 42 + 22
2(a2 + b2) =16 + 4 
a2 + b2 = 20/2 
a2 + b2 = 10
৪৬২.
যদি a2 + 1/a2 = 51 হয়, তবে (a - 1/a) এর মান কত?
  1. ক
    ±9
  2. খ
    ±7
  3. গ
    ±5
  4. ঘ
    ±3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি a2 + 1/a2 = 51 হয়, তবে (a - 1/a) এর মান কত?

সমাধান :
a2 + 1/a2= 51
⇒ (a - 1/a)2 + 2.a.1/a = 51
⇒ (a - 1/a)2 = 49
∴ a - 1/a = ±7
৪৬৩.
x3 + 1/x3 = 2 হলে, x - (1/x) = ?
  1. ক
    -2
  2. খ
    -1
  3. গ
    1
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা

x3 + 1/x3 = 2
x6 + 1 = 2x3
x6 - 2x3 + 1 = 0
(x3 - 1)2 = 0
x3 - 1 = 0
x3 = 1
∴ x = 1
∴ x - (1/x)
= 1 - (1/1) = 1 - 1
= 0

৪৬৪.
x = √5 - 2 হলে x2 - 1/x2 = ?
  1. ক
    -2√5
  2. খ
    -8√5
  3. গ
    2√5
  4. ঘ
    8√5
ব্যাখ্যা

x = √5 - 2
∴ 1/x = √5 + 2
∴ x + 1/x = 2√5 এবং x - 1/x = -4
∴ x2 - 1/x2
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= 2√5(-4)
= -8√5

৪৬৫.
2x + (2/x) = 3 হলে x2 + (1/x2) = কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    2
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x + (2/x) = 3 হলে x2 + (1/x2) = কত?

সমাধান:
2x + 2/x = 3
বা, 2(x + 1/x) = 3
∴ x + 1/x = 3/2

এখন
x2 + 1/x2 = (x)2 + (1/x)2
= (x + 1/x)2 - 2.x.1/x
= (3/2)2 - 2
= (9/4) - 2
= (9 - 8)/4
= 1/4
৪৬৬.
a - √7 = - b এবং b = a - √3 হলে ab = ?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : a - √7 = - b এবং b = a - √3 হলে ab = ?
 
সমাধান :
   4ab 
= (a+b)2 - (a-b)2
= (√7)² - (√3)²
= 7 - 3 
= 4
 
ab = 4/4 = 1
৪৬৭.
যদি x + 1/x = √3 হয় তাহলে (x6 + 1)/x3 এর মান কত?
  1. ক
    2√3
  2. খ
    6√3
  3. গ
    3√3
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + 1/x = √3 হয় তাহলে (x6 + 1)/x3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = √3
এখন,
(x6 + 1)/x3
= x6/x3 + 1/x3
= x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3. x. (1/x)(x + 1/x)
= (√3)3 - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0
৪৬৮.
যদি, x + y = 12 এবং x - y = 2 হয়, তবে 4xy এর মান কত?
  1. ক
    140
  2. খ
    144
  3. গ
    152
  4. ঘ
    169
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি, x + y = 12 এবং x - y = 2 হয়, তবে 4xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 12
এবং x - y = 2

আমরা জানি,
4xy = (x + y)2 - (x - y)2
⇒ 4xy = (12)2 - (2)2
⇒ 4xy = 144 - 140
∴ 4xy = 140
৪৬৯.
xyz = 450 হলে, z এর মান নিচের কোনটি হতে পারবে না?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা

xyz = 450
xy = 450/z
এখানে, z = 0 হতে পারবে না। কারণ z এর মান শূন্য হলে xy অসঙ্গায়িত।

৪৭০.
x + y + z = 12 এবং x2 + y2 + z2 = 50 হলে, (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    6
  2. খ
    11
  3. গ
    7
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y + z = 12 এবং x2 + y2 + z2 = 50 হলে, (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y + z = 12 এবং x2 + y2 + z2 = 50

প্রদত্ত রাশি, 
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2
= (x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2yz + z2) + (z2 - 2zx + x2)
= 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2(xy + yz + zx)
= 2(x2 + y2 + z2) - {(x + y + z)2 - (x2 + y2 + z2)} ; [2(ab + bc + ac) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)]
= (2 × 50) - {(12)2 - 50}
= 100 - (144 - 50)
= 100 - 94
= 6

৪৭১.
x = 2 হলে 8x3 + 12x2 + 6x + 1 এর মান কত?
  1. ক
    81
  2. খ
    98
  3. গ
    112
  4. ঘ
    125
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 2 হলে 8x3 + 12x2 + 6x + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 2

∴ 8x3 + 12x2 + 6x + 1
= (2x)3 + 3 × (2x)2 × 1 + 3 × 2x × (1)2 + (1)3
= (2x + 1)3
= (2 × 2 + 1)3 ; [x = 2]
= 53
= 125

৪৭২.
x + y = 4 এবং x - y = 3 হলে, 8xy এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 7
  3. গ
    গ) 14
  4. ঘ
    ঘ) 17
ব্যাখ্যা
8xy
= 2.4xy
= 2{(x + y)2 - (x - y)2}
= 2(42 - 32)
= 2(16 - 9)
= 2 × 7
= 14
৪৭৩.
a + b = 14 ও a - b = 10 হলে, ab এর মান কত?
  1. ক
    7
  2. খ
    10
  3. গ
    9
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 14 ও a - b = 10 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 14 ..........…… (1)
a - b = 10..........……. (2)

আমরা জানি,
ab = {(a + b)/2}2 - {(a - b)/2}2
= (14/2)2 - (10/2)2
= 72 - 52
= 49 - 25
= 24
৪৭৪.
a2 - b2 = 20 এবং a - b = 2 হলে, ab এর মান কত?
  1. ক
    24
  2. খ
    18
  3. গ
    12
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - b2 = 20 এবং a - b = 2 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 - b2 = 20
বা, (a + b)(a - b) = 20
বা, (a + b) × 2 = 20
বা, a + b = 20/2
বা, a + b = 10

এখন, ab = {(a + b)2 - (a - b)2}/4
= (102 - 22)/4
= (100 - 4)/4
= 96/4
= 24
৪৭৫.
a + b = 5 এবং a - b = 3 হলে ab -এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 5 এবং a - b = 3 হলে ab -এর মান কত?

সমাধান:
a + b = 5 
a - b = 3 

দুটি সমীকরণ যোগ করে, a + b + a - b = 5 - 3
⇒ 2a = 2
∴ a = 1

b = 5 - 1 = 4

∴ ab = 4 × 1 = 4 
৪৭৬.
(৪৮)৫ ন্যূনতম কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    ক) ৩
  2. খ
    খ) ২
  3. গ
    গ) ৬
  4. ঘ
    ঘ) ৮
ব্যাখ্যা
৪৮ = ২X২X২X২X৩ = ২৪X৩
(৪৮)৫ = (২৪X৩)৫ = ২২০X৩৫
সুতরাং, ৩ দ্বারা গুন করলে সংখ্যাটি পুর্ণ বর্গ হবে
৪৭৭.
x + 1/x = √3 হলে x3 + 1/x3 এর মান কোনটি?
  1. ক
    ক) -3√3 
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 6√3 
  4. ঘ
    ঘ) 9√3 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = √3 হলে x3 + 1/x3 এর মান কোনটি?

সমাধান:
 x3 + 1/x3 
={x + (1/x)}3 - 3.x.(1/x).{x+(1/x)}
=(√3)3 - 3√3 [x + 1/x = √3]
=(√3)2( √3) -3√3
= 3√3 - 3√3
= 0
৪৭৮.
প্রশ্ন:
  1. ক
    35
  2. খ
    5
  3. গ
    - 1
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:


সমাধান:
৪৭৯.
x + y = 4 এবং x3 + y3 = 28 হলে xy এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    35
  3. গ
    5
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 4 এবং x3 + y3 = 28 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 4 এবং
x3 + y3 = 28

আমরা জানি,
x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
⇒ 28 = (4)3 - (3xy × 4)
⇒ 28 = 64 - 12xy
⇒ 12xy = 64 - 28 
⇒ 12xy = 36
⇒ xy = 36/12
⇒ xy = 3
৪৮০.
যদি x - y = 6 এবং xy = 91 হয়, তাহলে x + y = কত?
  1. ক
    15
  2. খ
    16
  3. গ
    20
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x - y = 6 এবং xy = 91 হয়, তাহলে x + y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 6
xy = 91

আমরা জানি,
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
⇒ (x + y)2 = 62 + 4 × 91
⇒ (x + y)2 = 36 + 364
⇒ (x + y)2 = 400
⇒ x + y = √400
∴ x + y = 20

৪৮১.
x + y = 8, x - y = 6 হলে, x2 + y2 এর মান-
  1. ক
    ক) 40
  2. খ
    খ) 60
  3. গ
    গ) 50
  4. ঘ
    ঘ) 80
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 8, x - y = 6 হলে, x2 + y2 এর মান-

সমধান:
x + y = 8
x - y = 6

2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2
2(x2 + y2) = 82 + 62
2(x2 + y2) = 64 + 36 
2(x2 + y2)= 100
x2 + y2 = 50

৪৮২.
(x + y)2 = 144 এবং xy = 27 হলে x - y এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + y)2 = 144 এবং xy = 27  হলে x - y এর মান কত?  

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x + y)2 = 144 এবং
xy = 27

এখন,
(x + y)2 = 144
বা, (x - y)2 + 4xy = 144
বা, (x - y)2 = 144 - 4xy
বা, (x - y)2 = 144 - (4 × 27)
বা, (x - y)2 = 144 - 108
বা,(x - y)2 = 36
বা, (x - y) = 6
৪৮৩.
x + y = 5, xy = 6 এবং x > y হলে, x3 - y3 - 3(x2 + y2) এর মান কত?
  1. ক
    30
  2. খ
    - 20
  3. গ
    10
  4. ঘ
    - 18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 5, xy = 6 এবং x > y হলে, x3 - y3 - 3(x2 + y2) এর মান কত?

সমাধান:
৪৮৪.
যদি x2 - 25 = 12 হয় এবং x + 5 = 4 হয় তবে x - 5 = কত?
  1. ক
    ক) - 6
  2. খ
    খ) - 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x2 - 25 = 12 হয় এবং x + 5 = 4 হয় তবে x - 5 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে 
 x + 5 = 4

এখন 
x2 - 25 = 12
⇒ x2  - 52 = 12
⇒ (x + 5)(x - 5) = 12
⇒ 4(x - 5) = 12
    x - 5 = 3 
৪৮৫.
যদি (x - 5) (a + x) = x2 - 25 হয় তবে 2a এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (x - 5) (a + x) = x2 - 25 হয় তবে 2a এর মান কত?

সমাধান:
(x - 5) (a + x) = x2 - 25
বা, (x - 5) (a + x) = (x - 5)(x + 5)
বা, a + x = x + 5
বা, a = 5 
∴ 2a = 10
৪৮৬.
2a + 2b = 14 এবং ab = 10 হলে, (a - b)2 এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    9
  3. গ
    10
  4. ঘ
    19
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a + 2b = 14 এবং ab = 10 হলে, (a - b)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + 2b = 14
⇒ a + b = 7

ab = 10

আমরা জানি,
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
= (7)2 - 4 × 10
= 49 - 40
= 9
৪৮৭.
যদি x - 1/x = 7 হলে, x4 + 1/x4 এর মান কত?
  1. ক
    2401
  2. খ
    2211
  3. গ
    2599
  4. ঘ
    2603
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x - 1/x = 7 হলে, x4 + 1/x4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = 7
⇒ (x - 1/x)2 = 72
⇒ x2 + 1/x2 - 2.x.(1/x) = 49
⇒ x2 + 1/x2 = 51
⇒ (x2 + 1/x2)2 = (51)2
⇒ x4 + 1/x4 + 2.x2.(1/x2) = 2601
∴ x4 + 1/x4 = 2599
৪৮৮.
x2 + 1/x2 = 98 হলে, (x + 1/x)3 =?
  1. ক
    729
  2. খ
    1331
  3. গ
    512
  4. ঘ
    1000
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 1/x2 = 98 হলে, (x + 1/x)3 =?

সমাধান:
x2 + 1/x2 = 98
⇒ (x + 1/x)2 - 2.x.(1/x) = 98
⇒ (x + 1/x)2 = 98 + 2
⇒ (x + 1/x)2 = 100
∴ x + 1/x = 10

∴ (x + 1/x)3 = (10)3 = 1000
৪৮৯.
a = 15 এবং b = 6 হলে 9a2 - 48ab + 64b2 এর মান কত? 
  1. ক
    6
  2. খ
    7
  3. গ
    8
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 15 এবং b = 6 হলে 9a2 - 48ab + 64b2 এর মান কত? 

সমাধান: 
9a2 - 48ab + 64b2 
= (3a)2 - 2. (3a). (8b) + (8b)2 
= (3a - 8b)2 
= {3 × (15) - 8 × (6)}2 
= (45 - 48)2 
= (- 3)2 
= 9

৪৯০.
যদি x + 1/x = 2 হয়, তাহলে x/(x2 - x + 1) = কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, x + 1/x = 2
বা, (x2 +1)/x = 2
বা, x2 +1 = 2x
এখন, x/(x2 - x +1)
= x/(x2 + 1 - x)
= x/(2x - x)
= x/x
= 1

৪৯১.
x2 - 9, x2 + 7x + 12, x3 + 27 বীজগাণিতিক রাশির ল.সা.গু. কত?
  1. ক
    (x3 + 27)
  2. খ
    (x + 4)(x - 3)(x3 + 27)
  3. গ
    (x - 4)(x3 + 27)
  4. ঘ
    (x - 4)(x - 3)(x3 + 9)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 9, x2 + 7x + 12, x3 + 27 বীজগাণিতিক রাশির ল.সা.গু. কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x2 - 9
= x2 - 32
= (x + 3)(x - 3)

২য় রাশি = x2 + 7x + 12
= x2 + 4x + 3x + 12
= x(x + 4) + 3(x + 4)
= (x + 4)(x + 3)

৩য় রাশি = x3 + 27
= x3 + 33
= (x + 3)(x2 + 3x + 9)

∴ ল.সা.গু. = (x + 4)(x - 3)(x + 3)(x2 + 3x + 9)
= (x + 4)(x - 3)(x3 + 27)
৪৯২.
a - b = 4, ab = 221 হলে, a2 + b2 = কত?
  1. ক
    624
  2. খ
    334
  3. গ
    458
  4. ঘ
    552
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = 4, ab = 221 হলে, a2 + b2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b = 4
এবং ab = 221

প্রদত্ত রাশি = a2 + b2
= (a - b)2 + 2ab
= (4)2 + 2 × 221
= 16 + 442
= 458
৪৯৩.
একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা। মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    11
  3. গ
    12
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা। মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
ডেকের যাত্রী ক জন
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৪৭ - ক জন 

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ৩০ × ২ টাকা 
= ৬০ টাকা  

প্রশ্নমতে, 
৩০ক + ৬০ (৪৭ - ক) = ১৬৮০ টাকা 
⇒ ৩০ক + ২৮২০ - ৬০ক = ১৬৮০ 
⇒ ২৮২০ - ৩০ক = ১৬৮০ 
⇒ ৩০ক = ২৮২০ - ১৬৮০ 
⇒ ৩০ক = ১১৪০
∴ ক = ৩৮ 

কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৪৭ - ৩৮ = ৯ জন
৪৯৪.
x2 + 5x, x2 - 25, x2 + 7x + 10 এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    x - 5
  2. খ
    x(x + 5)
  3. গ
    (x + 5)
  4. ঘ
    x(x - 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 5x, x2 - 25, x2 + 7x + 10 এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি, 
= x2 + 5x
= x(x + 5)

২য় রাশি,
= x2 - 25
= x2 - 52 
= (x + 5)(x - 5)

৩য় রাশি, 
=  x2 + 7x + 10
= x2 + 2x +5x + 10 
= x(x + 2) + 5(x + 2)
= (x + 2)(x + 5)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x + 5)  ।
৪৯৫.
2(a2 + b2) = কত?
  1. ক
    ক) (a - b)2 - (a + b)2
  2. খ
    খ) (a + b)2 - (a - b)2
  3. গ
    গ) (a + b)2 + (a - b)2
  4. ঘ
    ঘ) (a + b)2 - 4ab
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2(a2 + b2) = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
বা, a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
বা, a2 + b2 = {(a + b)2 + (a - b)2}/2
বা, 2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2 

∴ 2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2 
৪৯৬.
a - (1/a) = 4 হলে, a3 - (1/a3) = কত?
  1. ক
    - 76
  2. খ
    76
  3. গ
    - 79
  4. ঘ
    79
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - 1/a = 4 হলে, a3 - 1/a3 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a - 1/a = 4

এখানে
a3 - 1/a3 = a3 - (1/a)3
= (a - 1/a)3 + 3.a./a(a - 1/a)
= 43 + 3 × 4
= 64 + 12
= 76
৪৯৭.
a - 1/a = 2 হলে a4 + (1/a)4 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 40
  2. খ
    খ) 34
  3. গ
    গ) 32
  4. ঘ
    ঘ) 36
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, a - 1/a = 2
এখন, a2 + (1/a)2
= (a - 1/a)2 + 2. a. 1/a
= 22 + 2
= 4 + 2
∴ a2 + (1/a)2 = 6
বাঁ, {(a2 + (1/a)2}2= 62
বাঁ, a4 + 2.a2.1/a2 + (1/a)4 = 36
∴ a4 + (1/a)4 = 36 - 2 = 34

৪৯৮.
a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25 হলে ab এর মান কোনটি?
  1. ক
    12
  2. খ
    10
  3. গ
    6
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25 হলে ab এর মান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b = 7
a2 + b2 = 25

আমরা জানি
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
বা, 72 = 25 = 2ab
বা, 49 - 25 = 2ab
বা, 2ab = 24
∴ ab = 12
৪৯৯.
2a + (2/a) = 3 হলে, a2 + (1/a2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 1/3
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 1/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a + (2/a) = 3 হলে, a2 + (1/a2) এর মান কত? 

সমাধান:
2a + (2/a) = 3
⇒ a + (1/a) = 3/2

a2 + (1/a2)
= (a + 1/a)2 - 2.a.(1/a)
= (3/2)2 - 2
= (9/4) - 2
= (9 - 8)/4
= 1/4
৫০০.
4x2 - 24x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    4
  2. খ
    9
  3. গ
    25
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x2 - 24x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
 4x2 - 24x
= (2x)2 - 2.2x.6 + 62 - 62
= (2x - 6)2 - 36

∴ 4x2 - 24x এর সাথে 36 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।