লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

মোট প্রশ্ন৩,৪০১এই পাতা৬২প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

PrepBank · পাতা ৩৪ / ৩৪ · ৩,৩০১–৩,৩৬২ / ৩,৪০১

৩,৩০১.
x + y + z = 9 এবং x2 + y2 + z2 = 29 হলে, (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    10
  3. গ
    8
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y + z = 9 এবং x2 + y2 + z2 = 29 হলে, (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 এর মান কত?

সমাধান:
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2
= x2 - 2xy + y2 + y2 - 2yz + z2 + z2 - 2zx + x2   [∵ (a - b)² = a² - 2ab + b²]
= 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx
= 2(x2 + y2 + z2) - 2(xy + yz + zx)
= 2 · 29 - 2(xy + yz + zx)
= 58 - {(x + y + z)2 - (x2 + y2 + z2)} [∵ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)]
= 58 - (92 - 29)
= 58 - (81 - 29)
= 58 - 52
= 6
৩,৩০২.
F(x) = x3 - 1 হলে, F(-1) =?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) - 2
  4. ঘ
    ঘ) - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: F(x) = x3 - 1 হলে, F(-1) =?

সমাধান:
F(x) = x3 - 1

∴ F(-1) = (-1)3 - 1
= - 1 - 1
= - 2
৩,৩০৩.
m এর মান কত হলে 4x2 - mx + 49 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    24
  2. খ
    28
  3. গ
    30
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m এর মান কত হলে 4x2 - mx + 49 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
4x2 - mx + 49
= (2x)2 - 2.2x.7 + 72
= (2x - 7)2
অর্থাৎ, m এর মান 28 হলে রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে। 
৩,৩০৪.
x - 1/x = √5 হলে x3 - 1/x3 = কত?
  1. ক
    ক) 8√5
  2. খ
    খ) 10√5
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = √5 হলে x3 - 1/x3 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x - 1/x = √5

প্রদত্ত রাশি = x3 - 1/x3
= (x - 1/x)3 + 3x.(1/x)(x - 1/x)
= (√5)3 + 3√5
= 5√5 + 3√5
= 8√5
৩,৩০৫.
যদি a4 + a2b2 + b4 = 3 এবং a2 + ab + b2 = 3 হয়, তবে a2 - ab + b2 এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a4 + a2b2 + b4 = 3 এবং a2 + ab + b2 = 3 হয়, তবে a2 - ab + b2 এর মান কত?

সমাধান:
৩,৩০৬.
x + y = 17 এবং xy = 60 হলে, x - y = কত? 
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 17 এবং xy = 60 হলে, x - y = কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy 
বা, (x - y)2 = (17)2 - 4 × (60) 
বা, (x - y)2 = 289 - 240 
বা, (x - y)2 = 49 
বা, (x - y)2 = (7)2 
∴ x - y = 7 
৩,৩০৭.
(a + b + c)2 এর সম্প্রসারণ কী হবে?
  1. ক
    a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
  2. খ
    a2 + b2 + c2
  3. গ
    a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca
  4. ঘ
    a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a + b + c)2 এর সম্প্রসারণ কী হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

আবার,
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)
৩,৩০৮.
x4 - 5x2 + 1 = 0 হলে (x + 1/x)3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) - 7
  2. খ
    খ) 7
  3. গ
    গ) √7
  4. ঘ
    ঘ) 7√7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - 5x2 + 1 = 0 হলে (x + 1/x)3 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x4 - 5x2 + 1 = 0
x4 + 1 = 5x2
x4/x2 + 1/x2 = 5x2/x2
x2 + 1/x2 = 5
(x + 1/x)2 - 2x.1/x =5
(x + 1/x)2 - 2 = 5
(x + 1/x)2 = 5 + 2
(x + 1/x)2 = 7
(x + 1/x) = √7
(x + 1/x)3 = (√7)3
(x + 1/x)3 = 7√7
৩,৩০৯.
যদি x + 1/x = 3 হয়, তবে x2 + 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    11
  2. খ
    5
  3. গ
    7
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 3 হয়, তবে x2 + 1/x2 এর মান কত?

সমাধান:
x2 + 1/x2
= (x + 1/x)2 - 2. x .(1/x)
= (3)2 - 2
= 9 - 2
= 7
৩,৩১০.
(3x + 1) এর বর্গ কত?
  1. ক
    ক) 6x2 - 4x + 1
  2. খ
    খ) 6x2 + 4x + 1
  3. গ
    গ) 9x2 + 6x + 1
  4. ঘ
    ঘ) 9x2 - 6x + 1
ব্যাখ্যা
(3x + 1)2 = (3x)2 + 2. 3x. 1 + 12 
              = 9x2 + 6x + 1
৩,৩১১.
a এর মান কত হলে 4x2 + 20x + a রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    16
  2. খ
    20
  3. গ
    24
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে 4x2 + 20x + a রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?

 সমাধান:
4x2 + 20x + a রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে যদি এটি (2x + 5)2 আকারের হয়।

(2x + 5)2 = (2x)2 + 2 × (2x) × 5 + 52
= 4x2 + 20x + 25
প্রদত্ত রাশি 4x2 + 20x + a এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 25
∴ a এর মান 25 হলে প্রদত্ত রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে।

৩,৩১২.
x2 + 4x + 3 , x2 - 1 এবং x2 + 2x - 3 এর ল.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) (x + 1)(x + 2)(x - 1)
  2. খ
    খ) (x + 5)(x + 1)(x - 2)
  3. গ
    গ) (x + 2)(x + 1)(x - 2)
  4. ঘ
    ঘ) (x + 3)(x + 1)(x - 1)
ব্যাখ্যা
১ম রাশি  = x2 + 4x + 3
               = x2 + 3x + x + 3
               = x(x + 3) + 1 (x + 3)
               = (x + 3) (x + 1)

২য় রাশি = x2 - 1
             = x2 - 12
             = (x + 1) (x - 1)

৩য় রাশি  = x2 + 2x - 3
               = x2 + 3x - x - 3
               = x(x + 3) - 1 (x + 3)
               = (x + 3)(x - 1)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x + 3)(x + 1)(x - 1)
৩,৩১৩.
4x2 - 24x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফলটি পূর্ণ বর্ণ হবে?
  1. ক
    ক) 24
  2. খ
    খ) 49
  3. গ
    গ) 36
  4. ঘ
    ঘ) 64
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x2 - 24x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফলটি পূর্ণ বর্ণ হবে?

সমাধান: 
4x2 - 24x + 36 = (2x)2  - 2.2x.6 + 62
                      = (2x - 6)2

4x2 - 24x এর সাথে 36 যোগ করলে যোগফলটি পূর্ণ বর্ণ হবে
৩,৩১৪.
2(a2 + b2) = কত?
  1. ক
    (a + b)2 - 4ab
  2. খ
    (a + b)2 - (a - b)2
  3. গ
    (a - b)2 - (a + b)2
  4. ঘ
    (a + b)2 + (a - b)2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2(a2 + b2) = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
বা, a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
বা, a2 + b2 = {(a + b)2 + (a - b)2}/2
বা, 2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2 
∴ 2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
৩,৩১৫.
যদি a/b = 3/4 ও b/c = 5/6 হলে, (a + b)/(b + c) =?
  1. ক
    32
  2. খ
    35/44
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    1/11
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a/b = 3/4 ও b/c = 5/6 হলে, (a + b)/(b + c) =?

সমাধান: 
a/b = 3/4
⇒ (a/b) + 1 = (3/4) + 1
∴ (a + b)/b = 7/4

b/c = 5/6
⇒ c/b = 6/5
⇒ c/b + 1 =  6/5 + 1
∴ (b + c)/b = 11/5

{(a + b)/b}/{(b + c)/b} = (7/4)/(11/5)
⇒ (a + b)/(b + c) = (7 × 5)/(4 × 11)
∴ (a + b)/(b + c) = 35/44
৩,৩১৬.
(x + y)2 - (x - y)2 = কত?
  1. ক
    xy
  2. খ
    2xy
  3. গ
    3xy
  4. ঘ
    4xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + y)2 - (x - y)2 = কত?

সমাধান:
(x + y)2 - (x - y)2 = x2 + 2xy + y2 - (x2 - 2xy + y2)
= x2 + 2xy + y2 - x2 + 2xy - y2
= 4xy
৩,৩১৭.
x = √3 + √2 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত? 
  1. ক
    8√3
  2. খ
    18√3
  3. গ
    14√3
  4. ঘ
    15√3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?

সমাধান:
x = √3 + √2
∴ 1/x = 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
= (√3 - √2)/{(√3)2 - (√2)2}
= (√3 - √2)/(3 - 2)
= √3 - √2

x + 1/x
= √3 + √2 + √3 - √2
= 2√3

∴ x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (2√3)3 - (3 × 2√3)
= (8 × 3 × √3) - 6√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3

৩,৩১৮.
a3 = 19 + b3 এবং (- b) = 1 - a হলে, ab = কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 = 19 + b3 এবং (- b) = 1 - a হলে, ab = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a3 = 19 + b3
বা, a3 - b3 = 19

এবং
- b = 1 - a
বা, a - b = 1

এখন,
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
বা, 19 = (1)3 + 3 ⋅ ab ⋅ 1
বা, 19 = 1 + 3ab
বা, 3ab = 19 - 1
বা, ab = 18/3
∴ ab = 6
৩,৩১৯.
a2b - ab2 এবং a2 - ab রাশিগুলোর গ.সা.গু কত? 
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) a
  3. গ
    গ) a(a - b)
  4. ঘ
    ঘ) a - b
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2b - ab2 এবং  a2 - ab রাশিগুলোর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি, a2b - ab2 = ab(a - b) 
২য় রাশি, a2 - ab = a(a - b)  

∴ রাশিগুলোর গ.সা.গু, a(a - b)
৩,৩২০.
যদি a + b + c = 13, ab + bc + ca = 72 হয়, তবে (a2 + b2 + c2 )2 = কত?
  1. ক
    ক) 144
  2. খ
    খ) 784
  3. গ
    গ) 625
  4. ঘ
    ঘ) 225
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি a + b + c = 13, ab + bc + ca = 72 হয়, তবে (a2 + b2 + c2 )2= কত?
সমাধান : 
দেয়া আছে,
a + b + c = 13
ab + bc + ca = 72


আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
                      = 132 - 2 × 72
                       = 169 - 144
                        = 25
 
অতএব, (a2 + b2 + c2 )2 = (25)2 = 625
৩,৩২১.
x2 - 6x - 6y + 9 + y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    ক) 3xy
  2. খ
    খ) 2xy
  3. গ
    গ) - 2xy
  4. ঘ
    ঘ) - 3xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  x2 - 6x - 6y + 9 + y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
= x2 - 6x - 6y + y2 + 9
= (- x)2 + (- y)2 + 32 + 2.(- x).(- y) + 2.(- y).3 + 2.(- x).3 - 2xy
= (- x - y + 3)2 - 2xy
= (x + y - 3)2 - 2xy

সুতরাং প্রদত্তরাশির সাথে 2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
৩,৩২২.
9x2 + 16y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    ক) -12xy
  2. খ
    খ) 6xy
  3. গ
    গ) 24xy
  4. ঘ
    ঘ) 18xy
ব্যাখ্যা
9x² + 16y²
= (3x)² + (4y)² + 2.3x.4y - 24xy
= (3x + 4y)² - 24xy
অর্থাৎ, 24xy যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
৩,৩২৩.
a = 3 এবং b = 2 হলে, 8a3 - 6a2b + 4ab2 - 7b3 এর মান কত? 
  1. ক
    100
  2. খ
    120
  3. গ
    300
  4. ঘ
    1500
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 3 এবং b = 2 হলে, 8a3 - 6a2b + 4ab2 - 7b3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 3 এবং b = 2

প্রদত্ত রাশি
= 8a3 - 6a2b + 4ab2 - 7b3
= 8 × 33 - 6 × 322 + 4 × 3 × 22 - 7  × 23
= 216 - 108 + 48 - 56
= 264 - 164
= 100

৩,৩২৪.
3x - (3/x) = 9 হলে x2 - 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 11
  2. খ
    খ) 3√5
  3. গ
    গ) 3√13
  4. ঘ
    ঘ) 2√5
ব্যাখ্যা

3x - (3/x) = 9
বা, 3 (x - 1/x) = 9
∴ x - 1/x = 3
এখন, (x + 1/x)2 = (x - 1/x)2 + 4 . x . 1/x
= 9 + 4
= 13
∴ x + 1/x = √13
∴ x2 - 1/x2 = (x + 1/x)(x - 1/x)
= √13 . 3
= 3√13

৩,৩২৫.
a2 - 3a + 1 = 0 হলে, a4 + a- 4 এর মান কত?
  1. ক
    36
  2. খ
    47
  3. গ
    53
  4. ঘ
    62
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 3a + 1 = 0 হলে, a4 + a- 4 এর মান কত?

সমাধান: 
a2 - 3a + 1 = 0
⇒ a2 + 1 = 3a
⇒ (a2 + 1)/a = 3
⇒ a + (1/a) = 3

এখন,
a4 + a- 4 = a4 + (1/a4)
= (a2)2 + (1/a2)2
= {a2 + (1/a2)}2 - 2 ⋅ a ⋅ (1/a)
= [{a + (1/a)}2 - 2 ⋅ a ⋅ (1/a)]2 - 2
= (32 - 2)2 - 2
= 72 - 2
= 47
৩,৩২৬.
a + b + c = 15 এবং a2 + b2 + c2 = 83 হলে, ab + bc + ac এর মান কত?
  1. ক
    ক) 45
  2. খ
    খ) 61
  3. গ
    গ) 65
  4. ঘ
    ঘ) 71
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 15 এবং a2 + b2 + c2 = 83 হলে, ab + bc + ac এর মান কত?

সমাধান: 
(a + b + c)2 = (a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ac)
⇒ 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)
⇒ 2(ab + bc + ac) = (15)2 - 83
⇒ (ab + bc + ac) = 142/2 = 71
৩,৩২৭.
a3 - b3 = 37 এবং a - b = 1 হলে, ab = কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    9
  3. গ
    10
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - b3 = 37 এবং a - b = 1 হলে, ab = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
⇒ 37 = 13 + 3 · ab · 1
⇒ 3ab = 37 - 1
⇒ ab = 36/3
∴ ab = 12
৩,৩২৮.
x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2y/x হবে?
  1. ক
    ক) (2x2 + y2)/xy
  2. খ
    খ) (x2 - y2)/xy
  3. গ
    গ) (2y2 - x2)/xy
  4. ঘ
    ঘ) (x2 - 2y2)/xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2y/x হবে?

সমাধান:
যোগ করতে হবে = 2y/x - x/y 
= (2y2 - x2)/xy 
৩,৩২৯.
a + a- 1 = 2 হলে 2a/(a2 - a + 1)এর মান-
  1. ক
    1
  2. খ
    3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + a- 1 = 2 হলে 2a/(a2 - a + 1)এর মান-

সমাধান: 
a + a - 1 = 2
a + 1/a = 2
(a2 + 1)/a = 2
a2 +1 = 2a

প্রদত্ত রাশি = 2a/(a2 - a + 1)
= 2a/(a2 + 1 - a )
= 2a/(2a - a)
= 2a/a
= 2

৩,৩৩০.
y - [y - {y - (y + 1)}]=?
  1. ক
    - 1
  2. খ
    0
  3. গ
    1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: y - [y - {y - (y + 1)}] = ?

সমাধান:
y - [y - {y - (y + 1)}]
= y - [y - {y - y - 1}]
= y - [y - { - 1}]
= y - [y  + 1]
= y - y - 1
= - 1
৩,৩৩১.
x + y = 4 হলে, x3 + y3 + 12xy এর মান কত?
  1. ক
    64
  2. খ
    48
  3. গ
    32
  4. ঘ
    26
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 4 হলে, x3 + y3 + 12xy এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x + y = 4

প্রদত্ত রাশি,
x3 + y3 + 12xy 
= x3 + y3 + 3 × 4 × xy
= x3 + y3 + 3xy × 4
= x3 + y3 + 3xy × (x + y) [ x + y = 4 ]
= (x + y)3
= (4)3 [ x + y এর মান বসিয়ে ]
= 64
৩,৩৩২.
x + y = 3, x2 + y2 = 5 হলে, x3 + y3- এর মান কত?
  1. ক
    28
  2. খ
    43
  3. গ
    9
  4. ঘ
    17
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 3, x2 + y2 = 5 হলে, x3 + y3- এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 3
x2 + y2 = 5

এখানে,
x2 + y2 = 5
⇒ (x + y)2 - 2xy = 5
⇒ 32 - 2xy = 5
⇒ 2xy = 9 - 5
⇒ 2xy = 4
⇒ xy = 4/2
∴ xy = 2

∴ x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy (x + y)
= (3)3 - 3 × 2 × 3
= 27 - 18
= 9

৩,৩৩৩.
যদি x + y = a এবং x - y = b, তাহলে 2xy=?
  1. ক
    (a2 - b2)/2
  2. খ
    (b2 - a2)/2
  3. গ
    (a - b)/2
  4. ঘ
    (ab)/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + y = a এবং x - y = b, তাহলে 2xy=?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = a
x - y = b

আমরা জানি,
4xy = (x + y)2 - (x - y)2
⇒ 4xy = a2 - b2
⇒ (4xy)/2 = (a2 - b2)/2
∴ 2xy = (a2 - b2)/2
৩,৩৩৪.
a + 1/a = 6 হলে, a3 + 1/a3 এর মান কত?
  1. ক
    196
  2. খ
    198
  3. গ
    156
  4. ঘ
    152
ব্যাখ্যা
a3 + 1/a3 
= (a + 1/a)3 - 3.a.1/a(a + 1/a)
= 63 - 3 × 6
= 216 - 18
= 198
৩,৩৩৫.
x + y = 5 এবং xy = 4 হলে (x3 + y3)2 = ?
  1. ক
    2025
  2. খ
    3025
  3. গ
    4225
  4. ঘ
    5625
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 5 এবং xy = 4 হলে (x3 + y3)2 = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 5 এবং xy = 4

আমরা জানি,
x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy( x + y)
= 53 - 3 × 4 × 5
= 125 - 60
= 65

এখন, (x3 + y3)2 = 652 = 4225

৩,৩৩৬.
a + b = 3 এবং a - b = 1 হলে, 8ab(a2 + b2) এর মান কত?
  1. ক
    16
  2. খ
    32
  3. গ
    65
  4. ঘ
    80
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 3 এবং a - b = 1 হলে, 8ab(a2 + b2) এর মান কত?


সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b = 3 এবং a - b = 1

এখন, 
8ab(a2 + b2)
= 4ab × 2(a2 + b2)
= {(a + b)2 - (a - b)2} × {(a + b)2 + (a - b)2}
= {(3)2 - (1)2} × {(3)2 + (1)2}
= (9 - 1) × (9 + 1)
= 8 × 10
= 80 

৩,৩৩৭.
(4x + y, - 1) = (33, 2x - 3y) হলে, (x, y) এর মান কত?
  1. ক
    (7, 5)
  2. খ
    (8, 1)
  3. গ
    (6, 8)
  4. ঘ
    (3, 5)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (4x + y, - 1) = (33, 2x - 3y) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
ক্রমজোড়ের শর্তানুসারে পাই,
4x + y = 33 ……………(1)
2x - 3y = - 1 ……………(2)

(1) নং সমীকরণকে ৩ দিয়ে গুণ করি:
12x + 3y = 99 ……………(3)

এখন (3) + (2) করলে পাই,
12x + 3y + 2x − 3y = 99 - 1
⇒ 14x = 98
⇒ x = 98/14
⇒ x = 7

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
4(7) + y = 33
⇒ 28 + y = 33
⇒ y = 33 − 28
⇒ y = 5

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (7, 5)

৩,৩৩৮.
a + b + c = 13, a2 + b2 + c2 = 49 হলে ab + bc + ca = কত?
  1. ক
    ক) 30
  2. খ
    খ) 35
  3. গ
    গ) 50
  4. ঘ
    ঘ) 60
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, a + b + c = 13 এবং a2 + b2 + c2 = 49
আমরা জানি, a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) = 132 - 49 = 120
∴ (ab + bc + ca) = 120/2 = 60
৩,৩৩৯.
{(x4 + x2y2 + y4) ÷ (x2 - xy + y2)}/(x2 + xy + y2) = কত?
  1. ক
    ক) x2 - xy + y2
  2. খ
    খ) x2 + xy + y2
  3. গ
    গ) - 1
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
{(x4 + x2y2 + y4) ÷ (x2 - xy + y2)}/(x2 + xy + y2)
= {(x2 - xy + y2)(x2 + xy + y2) ÷ (x2 - xy + y2)}/(x2 + xy + y2)
= (x2 + xy + y2)/(x2 + xy + y2)
= 1
৩,৩৪০.

  1. ক
    27
  2. খ
    63
  3. গ
    72
  4. ঘ
    287
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x - 2/x = 3
⇒ 2(x - 1/x) = 3
∴ x - 1/x = 3/2

এখন,
8(x3 - 1/x3)
= 8 × (x3 - 1/x3)
= 8 × [{x - (1/x)3} + 3 . x . 1/x . (x - 1/x)]
= 8 × {(3/2)3 + 3(3/2)}
= 8 × {(27/8) + (9/2)}
= 8 × (27 + 36)/8
= 8 × 63/8
= 63

∴ নির্ণেয় মান হলো 63

৩,৩৪১.
a2 + (1/a2) = 2 হলে, a - (1/a) = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + (1/a2) = 2 হলে, a - (1/a) = কত? 

সমাধান: 
{a - (1/a)}2 = a2 - 2.a.1/a + (1/a)2 
বা, {a - (1/a)}2 = a2 - 2 + (1/a2)
বা, {a - (1/a)}2 = a2 + (1/a2) - 2
বা, {a - (1/a)}2 = 2 - 2
বা, {a - (1/a)}2 = 0
বা, a - (1/a) = √0
∴ a - (1/a) = 0
৩,৩৪২.
a + b = 8 এবং ab = 15 হলে, a2 + b2 -এর মান কত?
  1. ক
    120
  2. খ
    60
  3. গ
    34
  4. ঘ
    33
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 8 এবং ab = 15 হলে, a2 + b2 এর মান কত?

সমাধান: 
a + b = 8 
ab = 15

আমরা জানি
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
= 82 - 2 × 15
= 64 - 30
= 34
৩,৩৪৩.
যদি x - 1/x = 6  হয়, তবে x2 + 1/x2 =?
  1. ক
    36
  2. খ
    38
  3. গ
    34
  4. ঘ
    28
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x - 1/x = 6  হয়, তবে x2 + 1/x2 =?

সমাধান: 
x - 1/x = 6
(x - 1/x)2 = 62
বা, x2 + 1/x2 - 2.x.(1/x) = 36
বা, x2 + 1/x2 = 38
৩,৩৪৪.
x - y = 10 এবং xy = 30 হলে x3 - y3 এর মান কত?
  1. ক
    100
  2. খ
    1900
  3. গ
    1500
  4. ঘ
    1700
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 10 এবং xy = 30 হলে x3 - y3 এর মান কত?

সমাধান:
x - y = 10 
xy = 30 

আমরা জানি
x3 - y3 = (x - y)3 + 3xy(x - y)
= 103 + 3 × 10 × 30
= 1000 + 900
= 1900
৩,৩৪৫.
a2 + 1 = 3a হলে a4 - 1/a4 = ?
  1. ক
    ক) 20√5
  2. খ
    খ) 21√5
  3. গ
    গ) 22√5
  4. ঘ
    ঘ) 23√5
ব্যাখ্যা

a2 + 1 = 3a
বা, a2/a + 1/a = 3
বা, a + 1/a = 3
(a - 1/a)2 = (a + 1/a)2 - 4.a.1/a
বা, (a - 1/a)2 = 32 - 4
= 5
∴ a - 1/a = √5
a2 + 1/a2 = (a + 1/a)2 - 2.a.1/a
∴ a2 + 1/a2 = 32 - 2
= 9 - 2
= 7
এখন,
a4 - 1/a4 = (a2 + 1/a2)(a2 - 1/a2)
= (a2 + 1/a2)(a + 1/a)(a - 1/a)
= 7.3.√5
= 21√5

৩,৩৪৬.
a + b = 7 & a2+b2 = 25 হলে নিচের কোনটি ab এর মান হবে?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

a2+ b2 = 25
⇒ (a + b)2 - 2ab = 25
⇒ (7)2 - 2ab = 25
⇒ 49 - 2ab = 25
⇒ 2ab = 24
∴ ab = 12

৩,৩৪৭.
যদি (a/b) + (b/a) = 4 হয়, (a2/b2) + (b2/a2) এর মান কত?
  1. ক
    14
  2. খ
    18
  3. গ
    21
  4. ঘ
    26
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (a/b) + (b/a) = 4 হয়, (a2/b2) + (b2/a2) এর মান কত?

সমাধান:
(a/b) + (b/a) = 4

এখন, (a2/b2) + (b2/a2)
= (a/b)2 + (b/a)2
= {(a/b) + (b/a)}2 - 2 · (a/b) · (b/a)
= 42 - 2
= 16 - 2
= 14
৩,৩৪৮.
যদি a + b = √7 এবং a - b = √2 হয়, তাহলে 6ab(a2 + b2) = কত?
  1. ক
    37.5
  2. খ
    33.75
  3. গ
    67.5
  4. ঘ
    43.5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b = √7 এবং a - b = √2 হয়, তাহলে 6ab(a2 + b2) = কত?

সমাধান:
6ab(a2 + b2)
= 3ab × 2(a2 + b2)
= 3ab × 2(a2 + b2)
= 3 × {(a + b)2 - (a - b)2}/4 × {(a + b)2 + (a - b)2}
= 3× [{(√7)2 - (√2)2}/4]{(√7)2 + (√2)2}
= (3/4) × (7 - 2)(7 + 2)
= (3/4) × 5 × 9
= 33.75
৩,৩৪৯.
m এর মান কত হলে x2 - 14x + m একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
  1. ক
    36
  2. খ
    49
  3. গ
    25
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m এর মান কত হলে x2 - 14x + m একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান: 
একটি দ্বিঘাত রাশি  ax2+bx+c পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত হলো, তার নিশ্চায়কের মান শূন্য হতে হবে।
নিশ্চায়কের সূত্রটি হলো, D = b2 - 4ac
এখানে, a = 1, b = - 14, c = m

পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত অনুযায়ী, নিশ্চায়ক শূন্য হবে: 
b2 − 4ac = 0
⇒ (-14)2 - 4 × m = 0 
⇒ 196 - 4m = 0
⇒ 196 = 4m
⇒ 4m = 196
⇒ m = 196/4
⇒ m = 49

৩,৩৫০.
যদি x4 - x2 + 1 = 0 হয়, তবে x3 + (1/x3) = ?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) √3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x4 - x2 + 1 = 0 হয়, তবে x3 + (1/x3) = ?

সমাধান:
x4 - x2 + 1 = 0
⇒ x4 + 1 = x2
⇒ (x4 + 1)x2 = x2/x2
⇒ x2 + (1/x2) = 1
⇒ (x + 1/x)2 - 2.x.(1/x) = 1
⇒ (x + 1/x)2 = 3
⇒ x+ 1/x = √3

এখন,
x3 + (1/x3) 
= (x + 1/x)3 - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (√3)3 - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0
৩,৩৫১.
3x + (3/x) = 15 হলে, x2 + (1/x2) এর মান কত?
  1. ক
    18
  2. খ
    23
  3. গ
    34
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + (3/x) = 15 হলে, x2 + (1/x2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + (3/x) = 15
⇒ 3(x + 1/x) = 15
∴ x + 1/x = 5

প্রদত্ত রাশি: x2 + (1/x2)
= {x + (1/x)}2 - 2 . x . 1/x
= 52 - 2
= 25 - 2 
= 23

৩,৩৫২.
যদি x + y = 8 এবং xy = 15 হয়, তবে, x2 + y2 = কত?
  1. ক
    64
  2. খ
    56
  3. গ
    34
  4. ঘ
    42
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 8 এবং xy = 15 হয়, তবে, x2 + y2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 8
⇒ (x + y)2 = 64
এবং xy = 15

আমরা জানি,
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
⇒ 64 = x2 + y2 + 2 × 15
⇒ 64 = x2 + y2 + 30
⇒ x2 + y2 = 64 - 30
∴ x2 + y2 = 34 

৩,৩৫৩.
p + q = 6 এবং p - q = 2 হলে, p2 + q2 এর মান কত?
  1. ক
    20
  2. খ
    32
  3. গ
    28
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p + q = 6 এবং p - q = 2 হলে, p2 + q2 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
p2 + q2 = (1/2){(p + q)2 + (p - q)2}
= (1/2)(62 + 22)
= (1/2) × 40
= 20

৩,৩৫৪.
x4 - x2 + 1 = 0, হলে x3 + 1/x3 = কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - x2 + 1 = 0, হলে x3 + 1/x3 = কত?

সমাধান:
x4 - x2 + 1 = 0
বা, x4 + 1 = x2
বা, x4/x2 + 1/x2 = x2/x2
বা, x2  + 1/x2 = 1
বা, (x + 1/x)2 - 2.x.1/x = 1
বা, (x + 1/x)2 - 2 = 1
বা, (x + 1/x)2 = 1 + 2
বা, (x + 1/x)2 = 3
(x + 1/x) = √3

x3 + 1/x3 =(x + 1/x)3 - 3.x.1/x(x + 1/x)
= (√3)3 - 3√3
= 3√3  - 3√3
= 0
৩,৩৫৫.
x + 1/x = 3 হলে x3 + 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 18
  2. খ
    খ) 24
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, x + 1/x = 3
∴ x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.1/x(x + 1/x)
= 33 - 3.3
= 27 - 9
= 18
৩,৩৫৬.
x²/y² + 2x/y এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2x-y
  4. ঘ
    ঘ) -1
ব্যাখ্যা

x²/y² + 2x/y = (x/y)²+ 2.x/y.1 + (1)²
= (x/y +1)²
সুতরাং, 1 যোগ করতে হবে।

৩,৩৫৭.
16x2 + 25y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
  1. ক
    12xy
  2. খ
    40xy
  3. গ
    24xy
  4. ঘ
    48xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 16x2 + 25y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে? 

সমাধান:
মনে করি, 
a যোগ করতে হবে 
∴ 16x2 + 25y2 + a 
= (4x)2 + (5y)2 + 2.4x.5y 
= (4x)2 + (5y)2 + 40xy 
∴ a = 40xy 

∴ 40xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।
৩,৩৫৮.
a + b = 7 এবং ab = 10 হলে (a - b) = কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 7 এবং ab = 10 হলে (a - b) = কত?

সমাধান:
a + b = 7
ab = 10 

আমরা জানি
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
(a - b)2 = 72 - 4 × 10
(a - b)2 = 49 - 40
(a - b)2 = 9
(a - b)2 = 32
(a - b) = 3
৩,৩৫৯.
  1. ক
    1 + b
  2. গ
    (1 + b)/ (1 - b)
  3. ঘ
    a + b
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৩,৩৬০.
যদি x > 0 এবং x - (1/x) = 2√3 হলে, x3 + (1/x)3 এর মান কত?
  1. ক
    18√3
  2. খ
    62
  3. গ
    76
  4. ঘ
    52
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x > 0 এবং x - (1/x) = 2√3 হলে, x3 + (1/x)3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x - (1/x) = 2√3
আমরা জানি,
{x + (1/x)}2 = {x - (1/x)}2 + 4 . x . (1/x)
⇒ {x + (1/x)}2 = (2√3)2 + 4
⇒ {x + (1/x)}2 = 12 + 4 
⇒ {x + (1/x)}2 = 16
⇒ x + (1/x) = √16
∴ x + (1/x) = 4

প্রদত্ত রাশি,
x3 + (1/x)3 = (x + 1/x)3 - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= 43 - 3 . 4
= 64 - 12
= 52

৩,৩৬১.
(√6 × √3 × √2)3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 225
  2. খ
    খ) 216
  3. গ
    গ) 256
  4. ঘ
    ঘ) 289
ব্যাখ্যা

(√6 × √3 × √2)3
= 6√6 × 3√3 × 2√2
= 36√36
= 36 × 6
= 216

৩,৩৬২.
যদি x - y = 2 এবং xy = 8 হয়, তবে x3 - y3 + 8(x + y)2 এর মান কত?
  1. ক
    140
  2. খ
    288
  3. গ
    344
  4. ঘ
    1304
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x - y = 2 এবং xy = 8 হয়, তবে x3 - y3 + 8(x + y)2 এর মান কত?

সমাধান:
 x3 - y3 + 8(x + y)2
= (x - y)3 + 3xy(x - y) + 8{(x - y)2 + 4xy}
= (2)3 + (3 × 8 × 2) + 8{22 + (4 × 8)} [মান বসিয়ে]
= 8 + 48 + 8 × (4 + 32)
= 56 + (8 × 36)
= 56 + 288
= 344