লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

মোট প্রশ্ন৩,৪০১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

PrepBank · পাতা ৩৩ / ৩৪ · ৩,২০১–৩,৩০০ / ৩,৪০১

৩,২০১.
x2 + x - (a + 1) (a + 2) এর উৎপাদক -
  1. ক
    ক) (x - a - 1) (x - a + 2)
  2. খ
    খ) (x + a + 1) (x - a - 2)
  3. গ
    গ) (x - a - 1) (x + a + 2)
  4. ঘ
    ঘ) (x - a + 1) (x + a - 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + x - (a + 1) (a + 2)  এর উৎপাদক -

সমাধান:
x2 + x - (a + 1) (a + 2) 
= x2 + x - (a + 1)(a + 1 + 1)

ধরি 
a + 1 = m

প্রদত্ত রাশি = x2 + x - m(m + 1)
= x2 + x - m2 - m
=x2 - m2 + x - m
= (x + m)(x - m) + 1(x - m)
= (x - m)(x + m + 1)
={x - (a + 1)}(x + a + 1 + 1)
= (x - a - 1)(x + a + 2)
৩,২০২.
যদি x = √20 + 4 হয়, তাহলে x2 - 8√20 এর মান কত হবে? 
  1. ক
    42
  2. খ
    36
  3. গ
    40
  4. ঘ
    48
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = √20 + 4 হয়, তাহলে x2 - 8√20 এর মান কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x = √20 + 4
⇒ x2 = (√20 + 4)2
⇒ x2 = (√20)2 + 42 + 2 × √20 × 4 ; [(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab]
⇒ x2 = 20 + 16 + 8√20
⇒ x2 = 36 + 8√20
⇒ x2 - 8√20 = 36
∴ x2 - 8√20 = 36

∴ নির্ণেয় মান হল 36

৩,২০৩.
a2 + b2 = 2, ab = 1 হলে a এবং b এর মান যথাক্রমে-
  1. ক
    ক) 0, -1
  2. খ
    খ) -1, 0
  3. গ
    গ) -1, -1
  4. ঘ
    ঘ) 0, 1
ব্যাখ্যা
a = -1, b = -1 হলে উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
৩,২০৪.
a - {a - (a + 2)} = কত?
  1. ক
    a + 2
  2. খ
    a
  3. গ
    - a
  4. ঘ
    a - 1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - {a - (a + 2)} = কত?

সমাধান:
a - {a - (a + 2)}
= a - {a - a - 2}
= a - { - 2 }
= a + 2

৩,২০৫.
দুটি সংখ্যার যোগফল 15 এবং গুণফল 56 হলে, তাদের বর্গের যোগফল কত?
  1. ক
    113
  2. খ
    145
  3. গ
    144
  4. ঘ
    169
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল 15 এবং গুণফল 56 হলে, তাদের বর্গের যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো x এবং y
দেওয়া আছে, x + y = 15
এবং xy = 56

আমরা জানি,
⇒ x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy
⇒ x2 + y2 = (15)2 - 2 × 56
⇒ x2 + y2 = 225 - 112
⇒ x2 + y2 = 113

∴ বর্গের যোগফল = 113

৩,২০৬.
যদি x - y = 6 এবং xy = 55 হয়, তাহলে x + y = কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    16
  3. গ
    20
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x - y = 6 এবং xy = 55 হয়, তাহলে x + y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 6
xy = 55

আমরা জানি,
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
⇒ (x + y)2 = (6)2 + 4 × 55
⇒ (x + y)2 = 36 + 220
⇒ (x + y)2 = 256
⇒ x + y = √256
∴ x + y = 16

৩,২০৭.
x2 + 4y2 + 8x - 16y + 16 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    − 4xy
  2. খ
    4xy
  3. গ
    − 4y
  4. ঘ
    4x
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 4y2 + 8x - 16y + 16 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে? 

সমাধান:
x2 + 4y2 + 8x - 16y + 16
= x2 + (2y)2 + 2⋅x⋅4 - 16y + 42 
= x2 + (2y)2 + 42 + 2⋅x⋅4 - 16y 
= x2 + (- 2y)2 + 42 + 2⋅x⋅(- 2y)+ 2⋅(- 2y)⋅4 + 2⋅4⋅x + 4xy
= {x + (- 2y) + 4}2 + 4xy  [ যেহেতু (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ]
= {x - 2y + 4}2 + 4xy 

অর্থাৎ {x - 2y + 4}2 রাশিটির সাথে (− 4xy) যোগ করলে যোগফল হবে,
{x - 2y + 4}2 + 4xy + (− 4xy)
= {x - 2y + 4}2 + 4xy − 4xy
= {x - 2y + 4}2 যা পূর্ণবর্গ।
৩,২০৮.
16a2 + 16a + 2 এর সাথে ন্যূনতম কত যোগ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    2
  2. খ
    6
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 16a2 + 16a + 2 এর সাথে ন্যূনতম কত যোগ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
16a2 + 16a + 2
= 16a2 + 2 ⋅ 4a ⋅ 2 + 2
= (4a)2 + 2 ⋅ 4a ⋅ 2 + (2)2 - 2
= (4a + 2)2 - 2

অর্থাৎ, 16a2 + 16a + 2 এর সাথে ন্যূনতম 2 যোগ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।
৩,২০৯.
x + y = 7 এবং x - y = 3 হলে, xy/2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 7 এবং x - y = 3 হলে, xy/2 এর মান কত?

সমাধান: 
x + y = 7 
x - y = 3

আমরা জানি 
4xy  = (x + y)2 - (x - y)2
⇒ 4xy = 72 - 32
⇒ 4xy = 49 - 9
⇒ 4xy = 40
⇒ xy = 40/4
⇒ xy = 10
∴ xy/2 = 10/2 = 5
৩,২১০.
যদি 3x2 - 12x + 3 = 0 হয়, তবে (x + 1/x)3 = ?
  1. ক
    27
  2. খ
    81
  3. গ
    64
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3x2 - 12x + 3 = 0 হয়, তবে (x + 1/x)3 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3x2 - 12x + 3 = 0
⇒ 3x2 + 3 = 12x
⇒ 3(x2 + 1) = 12x
⇒ (x2 + 1) = 4x
⇒ (x2/x) + 1/x = 4
∴ x + 1/x = 4

প্রদত্ত রাশি,
(x + 1/x)3
= 43
= 64

৩,২১১.
x + y = 8 ও x - y = 6 হলে x2 + y2 এর মান কত?
  1. ক
    46
  2. খ
    50
  3. গ
    49
  4. ঘ
    45
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 8 ও x - y = 6 হলে x2 + y2 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 8
এবং x - y = 6 

আমরা জানি, 
∴ x2 + y2 = {(x + y)2 + (x - y)2}/2 
= {(8)2 + (6)2}/2
= (64 + 36)/2
= 100/2 
= 50
৩,২১২.
(a + b)2 = কত?
  1. ক
    a2 - 2ab - b2
  2. খ
    a2 - 2ab + b2
  3. গ
    a2 + 2ab - b2
  4. ঘ
    a2 + 2ab + b2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a + b)2 = কত? 

সমাধান: 
(a + b)2 এর অর্থ (a + b) কে (a + b) দ্বারা গুণ।
∴ (a + b)2 = (a + b) (a + b)
= a(a + b) + b(a + b)   [বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা গুণ]
= a2 + ab + ba + b2
= a2 + ab + ab + b2
∴ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2   ।
৩,২১৩.
যদি a2 + 1/a2 = 34 হয়, তবে (a + 1/a) এর মান কত?
  1. ক
    ক) ±7
  2. খ
    খ) ±5
  3. গ
    গ) ±6
  4. ঘ
    ঘ) ±9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি a2 + 1/a2 = 34 হয়, তবে (a + 1/a) এর মান কত?
সমাধান :
a2 + 1/a2= 34
⇒ (a + 1/a)2 - 2.a.1/a = 34
⇒ (a + 1/a)2= 36
∴ a - 1/a = ±6
৩,২১৪.
4x2 - 13x - 12 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (x - 4)(4x + 3)
  2. খ
    (2x - 4)(2x + 3)
  3. গ
    (x + 4)(4x - 3)
  4. ঘ
    (2x - 4)(2x - 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x2 - 13x - 12 এর উৎপাদক কত?

সমাধান: 
4x2 - 13x - 12
= 4x2 - 16x + 3x - 12
= 4x(x - 4) +3 (x - 4) 
= (x - 4) (4x + 3)
৩,২১৫.
a4 + a2 + 1 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (a2 + a - 1)(a2 - a + 1)
  2. খ
    খ) (a2 + a + 1)(a2 - a - 1)
  3. গ
    গ) (a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
  4. ঘ
    ঘ) (a2 + a + 1)(a2 - 2a + 1)
ব্যাখ্যা
    a4 + a2 + 1 
= (a2)2 + 2. a2.1 + 12 - a2
= (a2 + 1)2 - a2
=(a2 + 1 + a)(a2 + 1 - a)
= (a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
৩,২১৬.
a + a-1 = 3 হলে a4 + (a-1)4 = কত?
  1. ক
    ক) 27
  2. খ
    খ) 47
  3. গ
    গ) 49
  4. ঘ
    ঘ) 51
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + a-1 = 3 হলে a4 + (a-1)4 = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + a-1 = 3 
বা, a + (1/a) = 3 

এখন, 
 a4 + (a-1)4 
= a4 + (1/a4) 
= (a2)2 + (1/a2)2 
= {(a)2 + (1/a2)}2 - 2.a2. 1/a2 
= {(a + 1/a)2 - 2. a. 1/a}2 - 2 
= {(3)2 - 2}2 - 2 
= (9 - 2)2 - 2 
= (7)2 - 2 
= 49 - 2 
= 47 
৩,২১৭.
x2 - 4x + 1 = 0 হলে, x3 + (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    46
  2. খ
    50
  3. গ
    52
  4. ঘ
    60
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 4x + 1 = 0 হলে, x3 + (1/x3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 - 4x + 1 = 0
⇒ x2 + 1 = 4x
⇒ x + (1/x) = 4

∴ প্রদত্তরাশি = x3 + (1/x)3
= {x + (1/x)}3 - 3x.(1/x){x + (1/x)}
= (4)3 - 3(4)
= 64 - 12
= 52
৩,২১৮.
a + b = 7 এবং ab = 10 হলে, a - b এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 7 এবং ab = 10 হলে, a - b এর মান কত?

সমাধান:
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
⇒ (a - b)2 = 72 - 4 × 10
⇒ (a - b)2 = 49 - 40
⇒ (a - b)2 = 9
∴ a - b = 3
৩,২১৯.
যদি a2 + b2 = 45 এবং ab = 18 হলে (1/a) + (1/b) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) - 2
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
a2 + b2 = 45
ab = 18 

(1/a) + (1/b) = (a + b)/ab 
                     = √(a + b)2/ab
                     = √(a2 + b2 + 2ab)/ab
                     = √(45 + 2 . 18)/18
                     = √(45+ 36)/18
                     = √81/18
                     = 9/18
                     = 1/2
৩,২২০.
যদি x = 2015, y = 2014 এবং z = 2013 হয়, তবে  x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx এর মান কত? 
  1. ক
    3
  2. খ
    144
  3. গ
    18
  4. ঘ
    169
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = 2015, y = 2014 এবং z = 2013 হয়, তবে  x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = 2015, y = 2014 এবং z = 2013

প্রদত্ত রাশি, 
x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx
= (1/2)[2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx]
= (1/2)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2]
= (1/2)[(2015 - 2014)2 + (2014 - 2013)2 + (2013 - 2015)2]
= (1/2)(1 + 1 + 4)
= (1/2) × 6
= 3

৩,২২১.

p - 1/p = 9 হলে, p2 + 1/p2 এর মান কত?

  1. ক
    67
  2. খ
    73
  3. গ
    79
  4. ঘ
    83
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, p - 1/p = 9
আমরা জানি,
p2 + 1/p2 = (p - 1/p)2 + 2 . p . 1/p
= (9)2 + 2
= 83 

৩,২২২.
যদি x = -1 হয় তাহলে -(x4 + x2 + x3 + x) = কত?
  1. ক
    ক) -10
  2. খ
    খ) -4
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
-(x4 + x2 + x3 + x)
= -{1 + 1 + (-1) + (-1)}
= -(2 - 2)
= 0
৩,২২৩.
a + (1/a) = 4 হলে a4 + (1/a4) এর মান কত?
  1. ক
    196
  2. খ
    16
  3. গ
    14
  4. ঘ
    194
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে  a4 + (1/a4) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a + (1/a) = 4
⇒ {a + (1/a)}2 = 42
⇒ a2 + 2.(a).(1/a) + (1/a)2 = 16
⇒ a2 + (1/a2) + 2 = 16
⇒ a2 + (1/a2) = 16 - 2 = 14
⇒ {a2 + (1/a2)}2 = (14)2
⇒ (a2)2 + 2.(a2).(1/a2) + (1/a2)2 = 196
⇒ a4 + 2 + (1/a4) = 196
⇒ a4 + (1/a4) = 196 - 2
∴ a4 + (1/a4) = 194

৩,২২৪.
a2 = 3a - 1 হলে, (a4 + 1)/a2 এর মান কত?
  1. ক
    7
  2. খ
    11
  3. গ
    3
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 = 3a - 1 হলে, (a4 + 1)/a2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 = 3a - 1
⇒ a2 + 1 = 3a
⇒ a + 1/a = 3

প্রদত্ত রাশি = (a4 + 1)/a2
= a2 + 1/a2
= (a + 1/a)2 - 2. a. 1/a
= 32 - 2
= 9 - 2
= 7
৩,২২৫.
কোন সংখ্যার ৪০% এর সাথে ৪৫ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?
  1. ক
    ক) ৭৫
  2. খ
    খ) ১২০
  3. গ
    গ) ৯০
  4. ঘ
    ঘ) ১৫০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৪০% এর সাথে ৪৫ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি ক

ক এর ৪০% + ৪৫ = ক
⇒ ০.৪ক + ৪৫ = ক
⇒ ক - ০.৪ক = ৪৫
⇒ ০.৬ক = ৪৫
⇒ ক = ৪৫/০.৬
∴ ক = ৭৫

সংখ্যাটি ৭৫
সংখ্যাটির দ্বিগুণ = (৭৫ × ২)
= ১৫০
৩,২২৬.
a2 + 1 - √5a = 0 হলে {a - (1/a)}2 এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    √5
  3. গ
    1
  4. ঘ
    2√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + 1 - √5a = 0 হলে {a - (1/a)}2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a2 + 1 - √5a = 0
a2 + 1 = √5a
⇒ (a2 + 1)/a = √5a/a
⇒ ((a2/a) - (1/a) = √5
∴ a + (1/a) = √5

এখন, {a - (1/a)}2
= {a + (1/a)}2 - 4.a.(1/a)
= (√5)2 - 4
= 5 - 4
= 1
৩,২২৭.
  1. ক
    0
  2. খ
    25
  3. গ
    2
  4. ঘ
    350
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:


সমাধান:
৩,২২৮.
x + 1/x = 2 হলে, x10 + 1/x20 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) - 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে, x10 + 1/x20 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x + 1/x = 2
x2 + 1 = 2x
x2 - 2x + 1 = 0
x2 - 2.x. 1 + 12 = 0
(x - 1)2 = 0
x - 1 = 0
x = 1

x10 + 1/x20  = 110 + 1/120 
                    = 1 + 1/1
                    = 1 + 1 
                    = 2
৩,২২৯.
a2 - 4a + 3 এবং a2 - 5a + 6 এর ল.সা.গু = কত? 
  1. ক
    (a - 1)(a - 2)
  2. খ
    (a - 1)(a - 2)(a - 3)
  3. গ
    (a - 1)(a - 3)
  4. ঘ
    (a - 2)(a - 3) 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 - 4a + 3 এবং a2 - 5a + 6 এর ল.সা.গু = কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = a2 - 4a + 3
= a2 - 3a - a + 3
= a(a - 3) - 1(a - 3)
= (a - 3)(a - 1)

২য় রশি = a2 - 5a + 6
= a2 - 2a - 3a + 6
= a(a - 2) - 3(a - 2)
= (a - 2)(a - 3)

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = (a - 1)(a - 2)(a - 3)

৩,২৩০.
x2 = 11 + 2√30 হলে, x + 1/x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2√6 
  2. খ
    খ) 2√5
  3. গ
    গ) 2√11 
  4. ঘ
    ঘ) 2√30 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 = 11 + 2√30 হলে, x + 1/x এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
x2 = 11 + 2√30
x2 = 6 + 2√30 + 5
x2 = (√6)2 + 2.(√6)(√5) + (√5)2
x2 = (√6 + √5)2
x = √6 + √5
1/x = 1/(√6 + √5)
1/x = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
1/x = (√6 - √5)/{(√6)2 - (√5)2}
1/x = (√6 - √5)/(6 - 5)
1/x = √6 - √5

x + 1/x = √6 + √5 + √6 - √5
              = 2√6 
৩,২৩১.
(x + 4)(x - 4) কে x2 - 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    - 18
  2. খ
    - 12
  3. গ
    - 10
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + 4)(x - 4) কে (x2 - 6) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x + 4)(x - 4) = (x2 - 16) কে (x2 - 6) দিয়ে ভাগ করে পাই,

x2 - 6 ) x2 - 16 ( 1
            x2 -   6
       --------------
                 - 10

অর্থাৎ ভাগশেষ = - 10
৩,২৩২.
x + y = 13, xy = 36 হলে x3 + y3 এর মান কত হবে? 
  1. ক
    529
  2. খ
    729
  3. গ
    793
  4. ঘ
    956
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 13, xy = 36 হলে x3 + y3 এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + y = 13
xy = 36

এখন,
x3 + y3 
= (x + y)3 - 3xy(x + y)
= (13)3 - (3 × 36 × 13)
= 2197 - 1404
= 793

৩,২৩৩.
a + b = 9 এবং a2 + b2 = 31 হলে, 4ab এর মান কত?
  1. ক
    ক) 25
  2. খ
    খ) 50
  3. গ
    গ) 100
  4. ঘ
    ঘ) 150
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 9 এবং a2 + b2 = 31 হলে, 4ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 9
a2 + b2 = 31

আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
বা, 92 = 31 + 2ab
বা, 81 - 31 = 2ab 
বা, 2ab = 50
∴ 4ab = 100
৩,২৩৪.
যদি a = 2 + √5 এবং b = 2 - √5​ হয়, তবে a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    18
  3. গ
    14
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a = 2 + √5 এবং b = 2 - √5​ হয়, তবে a2 + b2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 2 + √5 এবং b = 2 - √5

এখন, 
ab = (2 + √5)(2 - √5) = 22 - (√5)2
= 4 - 5 = - 1
∴ ab = - 1 

প্রদত্ত রাশি, 
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
= 16 - 2(- 1)
= 16 + 2
= 18

৩,২৩৫.
(a3 + b3)/(a + b) কে (a3 - b3)/(a - b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 2ab
  4. ঘ
    ঘ) -2ab
ব্যাখ্যা

(a3 + b3)/(a + b) = {(a + b)(a2 - ab + b2)}/(a + b)
= a2 - ab + b2
(a3 - b3)/(a - b) = {(a - b)(a2 + ab +b2)}/(a - b)
= a2 + ab + b2
∴ a2 + ab + b2 )a2 - ab + b2(1
                        a2 + ab + b2
                                     -2ab

৩,২৩৬.
যদি x2 + y2 + (1/x)2 + (1/y)2 = 4 হয়, তবে x2 + y2 এর মান কত হবে?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    0
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x2 + y2 + (1/x)2 + (1/y)2 =4 হয়, তবে x2 + y2 এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x2 + y2 + (1/x)2 + (1/y)2 =4
বা, x2 + y2 + (1/x)2 + (1/y)2 - 4 = 0
বা, {x2 + (1/x)2 - 2} + {y2 + (1/y)2 - 2} = 0
বা, {x -(1/x)}2 + {y - (1/y)}2 = 0 

আমরা জানি, দুইটি রাশির সমষ্টি শূন্য হলে পৃথক পৃথক ভাবে তারা শূন্য হয়
সুতরাং, 
{x - (1/x)}2= 0
বা, x - (1/x) = 0
বা, (x2 -1)/x = 0
বা, x2 - 1 = 0
বা, x2 = 1
বা, x = ± 1
x এর ধনাত্মক মান নিয়ে পাই,
x = 1
 
আবার,
{ y - (1/y)}2= 0 
বা, y - (1/y) = 0
বা, (y2 - 1)/y = 0
বা, y2 - 1 = 0
বা, y2 = 1
বা, y = ± 1
y এর ধনাত্মক মান নিয়ে পাই,
y = 1

∴ x2 + y2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2
৩,২৩৭.
যদি y = √4 + √3 হয়, তবে y3 + (1/y3) এর মান কত?
  1. ক
    36√3
  2. খ
    84
  3. গ
    42√3
  4. ঘ
    52
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি y = √4 + √3 হয়, তবে y3 + (1/y3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
y = √4 + √3
বা, y = 2 + √3
∴ 1/y = 1/(2 + √3)
= (2 - √3)/(2 - √3)(2 - √3) [হর ও লবকে (2 - √3) দ্বারা গুণ]
= (2 - √3)/{22 - (√3)2}
= (2 - √3)/(4 - 3)
= 2 - √3

∴ y + (1/y) = (2 + √3) + (2 - √3)
= 2 + √3 + 2 - √3
= 4

এখন, 
y3 + (1/y3)
= (y + 1/y)3 - 3 . y . (1/y)(y + 1/y)
= (4)3 - 3(4)
= 64 - 12
= 52

সুতরাং, y3 + (1/y3) এর মান হলো 52।

৩,২৩৮.
a + b = 12 এবং 3ab = 42 হলে, a2 + b2 =?
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 96
  3. গ
    গ) 112
  4. ঘ
    ঘ) 116
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 12 এবং 3ab = 42 হলে, a2 + b2 =?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 12
3ab = 42
⇒ ab = 14

আমরা জানি,
(a + b)2 = 122
⇒ a2 + 2ab + b2 = 144
⇒ a2 + b2 + (2 × 14) = 144
⇒ a2 + b2 + 28 = 144
⇒ a2 + b2 = 144 - 28
⇒ a2 + b2 = 116
৩,২৩৯.
P = x2 - 9, Q = x2 + 7x + 12, R = 3x + 9 হলে, P, Q ও R এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।
  1. ক
    x(x + 3)
  2. খ
    (x + 3)(x + 4)
  3. গ
    (x + 3)
  4. ঘ
    x(x + 4)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = x2 - 9, Q = x2 + 7x + 12, R = 3x + 9 হলে, P, Q ও R এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x2 - 9
Q = x2 + 7x + 12
R = 3x + 9

∴ P = x2 - 9
= x2 - 32
= (x + 3) (x - 3)

∴ Q = x2 + 7x + 12
= x2 + 4x + 3x + 12
= x(x + 4) + 3(x + 4)
= (x + 4) (x + 3)

∴ R = 3x + 9
= 3(x + 3)

∴ P, Q ও R এর গ.সা.গু = (x + 3)

৩,২৪০.
[2 - (3 - 1) - 1] - 1 কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    1/2
  3. গ
    - 1/2
  4. ঘ
    - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: [2 - (3 -1) -1] -1 কত?

সমাধান:
[2 - (3 - 1) - 1] - 1 
= [2 - (1/3) - 1] - 1 
= [2 - 1/(1/3)] - 1 
= [2 - 3] - 1 
= - 1
৩,২৪১.
x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 কে x+3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    45
  2. খ
    47
  3. গ
    75
  4. ঘ
    42
ব্যাখ্যা

x+3    |  x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5  |   x3 - x2 + 6x - 14
              x4 + 3x3
            (-) ___________
                     - x3 + 3x2 
                     - x3  - 3x2
               (-)_____________
                               6x2 + 4x
                               6x2 + 18x
                           (-)________________
                                      - 14x + 5
                                      - 14x - 42
                                   (-)____________
                                                            47
∴ ভাগশেষ 47

৩,২৪২.
x2 + (1/x2) এর মান কত হলে √x + (1/√x) = a হবে?
  1. ক
    a2 - 4a + 4
  2. খ
    a4 - 4a2 + 2
  3. গ
    a2 + 4a + 2
  4. ঘ
    a4 + 4a2 + 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + (1/x2) এর মান কত হলে √x + (1/√x) = a হবে?

সমাধান:
৩,২৪৩.
a + b = 5 এবং ab = 6 হলে, a3 + b3 + 4(a - b)2 এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    39
  2. খ
    54
  3. গ
    30
  4. ঘ
    97
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 5 এবং ab = 6 হলে, a3 + b3 + 4(a - b)2 এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 5 এবং ab = 6

আমরা জানি, 
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= (5)3 - 3 . 6 . 5
= 125 - 90
= 35
∴ a3 + b3 = 35 .......(1)
এবং
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab = (5)2 - 4 . 6 = 25 - 24
∴ (a - b)2 = 1 ........(2)

প্রদত্ত রাশি, 
a3 + b3 + 4(a - b)2
= 35 + 4 . 1
= 39

৩,২৪৪.
2 : 3 = 6 : X হলে X এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 11
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 : 3 = 6 : X হলে X এর মান কত?

সমাধান:
2 : 3 = 6 : X
⇒ 2/3 = 6/X
⇒ 2X = 18
⇒ X = 9
৩,২৪৫.
x- 1/x = 3 হলে x²+ 1/x² এর মান -
  1. ক
    ক) 11
  2. খ
    খ) 13
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 17
ব্যাখ্যা

x²+1/x²
= (x-1/x)² + 2.x.1/x
= 3²+2
= 9+2
= 11

৩,২৪৬.
X + Y = 8 এবং XY = 12 হলে (X - Y)2 এর মান কত? 
  1. ক
    4
  2. খ
    16
  3. গ
    25
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: X + Y = 8 এবং XY = 12 হলে (X - Y)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
X + Y = 8 
XY = 12

আমরা জানি
(X - Y)2 = (X + Y)2 - 4XY
(X - Y)2 =82 - 4 × 12
(X - Y)2 = 64 - 48
∴ (X - Y)2 = 16

৩,২৪৭.
a2 - b2 = 40 এবং a - b = 4 হলে, ab এর মান কত?
  1. ক
    17
  2. খ
    21
  3. গ
    15
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - b2 = 40 এবং a - b = 4 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 - b2 = 40
⇒ (a + b)(a - b) = 40
⇒ (a + b) · 4 = 40
⇒ (a + b) = 40/4
∴ a + b = 10

প্রদত্ত রাশি, ab = {(a + b)2 - (a - b)2}/4
= (102 - 42)/4
= (100 - 16)/4
= 21
৩,২৪৮.
x2 = 5 + 2√6 হলে, (x + 1/x)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2√3
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 2√2
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 = 5 + 2√6 হলে, (x + 1/x)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x2 = 5+ 2√6
x2 = 3 + 2√6 + 2
x2 = (√3)2 + 2.(√3).(√2) + (√2)2
x2 = (√3 + √2)2
x = √3 + √2
1/x = 1/(√3 + √2)
1/x = (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
1/x = (√3 - √2)/{(√3)2 - (√2)2}
1/x = (√3 - √2)/(3 - 2)
1/x = √3 - √2

x + 1/x = √3 + √2 + √3 - √2
              = 2√3

(x + 1/x)2  = (2√3)2
                  = 4 × 3 
                  = 12
৩,২৪৯.
a + b + c = 6 এবং a2 + b2 + c2 = 14 হলে ab + bc + ca এর মান কত?
  1. ক
    11
  2. খ
    12
  3. গ
    13
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a2 + b2 + c2 = 14 হলে ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6 এবং a2 + b2 + c2 = 14

আমরা জানি,
(a + b + c)2 = (a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca)
বা, (6)2 = 14 + 2(ab + bc + ca)
বা, 36 - 14 = 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 22
∴ ‍ab + bc + ca = 11

৩,২৫০.
‍4a2 + 6a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    ক) 4/9
  2. খ
    খ) 9/4
  3. গ
    গ) 3/2
  4. ঘ
    ঘ) 2/3
ব্যাখ্যা
(2a)2 + 2.2a.3/2 + (3/2)2 - (3/2)2
= (2a + 3/2)2 - (9/4)
তাহলে, ‍4a2 + 6a এর সাথে 9/4 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।
৩,২৫১.
x + 1/x = 5 হলে, x/(x2 + x + 1) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 1/3
  3. গ
    গ) 1/4
  4. ঘ
    ঘ) 1/6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 5 হলে, x/(x2 + x + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 5
বা, x2 +1 = 5x

এখন, 
 x/(x2 + x + 1)
= x/(x2 + 1 + x)
= x/(5x + x)
= x/6x 
= 1/6
৩,২৫২.
যদি x - y = 8 এবং xy = 5 হয়, তবে x3 - y3 + 8(x + y)2 এর মান কত?
  1. ক
    1064
  2. খ
    1304
  3. গ
    1144
  4. ঘ
    1024
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x - y = 8 এবং xy = 5 হয়, তবে x3 - y3 + 8(x + y)2 এর মান কত?

সমাধান:
x3 - y3 + 8(x + y)2
= (x - y)3 + 3xy(x - y) + 8{(x - y)2 + 4xy}
= (8)3 + (3 × 5 × 8) + 8{82 + (4 × 5)}
= 83 + (15 × 8) + 8(64 + 20)
= 83+ (15 × 8) + (8 × 84)
= 8(82 + 15 + 84)
= 8(64 + 15 + 84)
= 8 × 163
= 1304
৩,২৫৩.
4x2 + (1/x2) = 2 হলে, 8x3 + (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x2 + (1/x2) = 2 হলে, 8x3 + (1/x3) এর মান কত? 

সমাধান: 
4x2+ (1/x2) = 2
⇒ (2x)2 + (1/x2) = 2
⇒ (2x + 1/x)2 - 4 = 2
⇒ (2x + 1/x)2 = 6
∴ (2x + 1/x) = √6

8x3 + (1/x3)
= (2x)3 + (1/x)3
= (2x + 1/x) (4x2 - 2x.1/x + 1/x2)
= √6 (2 - 2)
= √6.0
= 0
৩,২৫৪.
x + y = 3, x - y = 1 হলে, 4xy = কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 3, x - y = 1 হলে, 4xy = কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে
x + y = 3
x - y = 1

4xy = (x + y)2 - (x + y)2
       = 32 - 12
       = 9 - 1
        = 8
৩,২৫৫.
p - q = 4 এবং pq = 12 হলে (p + q)2 এর মান কত?
  1. ক
    49
  2. খ
    64
  3. গ
    89
  4. ঘ
    97
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p - q = 4 এবং pq = 12 হলে (p + q)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p - q = 4
এবং pq = 12

∴ (p + q)2 = (p - q)2 + 4pq
= 42 + 4 × 12
= 16 + 48
= 64

৩,২৫৬.
(a/b) + (b/a) = - 1 হলে, a3 - b3 এর মান কত?
  1. ক
    - 1
  2. খ
    0
  3. গ
    1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = - 1 হলে, a3 - b3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a/b + b/a = - 1
⇒ (a2 + b2)/ab = - 1
⇒ a2 + b2 = - ab
∴ a2 + ab + b2 = 0

আমরা জানি,
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
= (a - b) × 0
= 0
৩,২৫৭.
a = 5 হলে, a3 - 3a2 + 3a - 1 এর মান কত?
  1. ক
    64
  2. খ
    124
  3. গ
    126
  4. ঘ
    216
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 5 হলে, a3 - 3a2 + 3a - 1 এর মান কত? 

সমাধান:
a3 - 3a2 + 3a - 1
= a3 - 3.a2.1 + 3.a.12 - 13
= (a - 1)3
= (5 - 1)3
= (4)3
= 64
৩,২৫৮.
x2 + 4y2 + 8x - 16y + 16 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 4xy
  2. খ
    খ) -4xy
  3. গ
    গ) 2xy
  4. ঘ
    ঘ) -2xy
ব্যাখ্যা

x2 + 4y2 + 8x - 16y + 16 = x2 + (-2y)2 + 42 + 2.x.(-2y) + 2.x.4 + 2(-2y).4
= (x - 2y + 4)2
∴ -4xy যোগ করতে হবে।

৩,২৫৯.
x2+1/x2 এর নিম্নোক্ত কোন মানের জন্য x3 - 1/x3 = 0 হবে?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) ০
  3. গ
    গ) -2
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
x3 - 1/x3 = 0
⇒(x - 1/x)(x2 + x.1/x + 1/x2) = 0
⇒(x-1/x) (x2 + 1/x2 +1) = 0
⇒x - 1/x = 0 [যেহেতু (x2 + 1/x2 +1)≠ 0]
⇒(x - 1/x)2 = 0
⇒x2 - 2.x.1/x + 1/x2 = 0
∴x2+1/x2 = 2
৩,২৬০.
x - 1/x= 5 হলে x3 - 1/x3এর মান কত?
  1. ক
    ক) 145
  2. খ
    খ) 140
  3. গ
    গ) 165
  4. ঘ
    ঘ) 150
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে, 
x - 1/x= 5

x3 - 1/x3 = x³ - (1/x)³
               = (x-1/x)³ + 3x.(1/x).(x - 1/x)
               = 5³ + 3.1.5
               = 125 + 15
              = 140
৩,২৬১.
a + (1/a) = 2 হলে, 1/(a8 - a4 + 1) এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (1/a) = 2 হলে, 1/(a8 - a4 + 1) এর মান কত?

সমাধান:
a + (1/a) = 2
⇒ (a2 + 1)/a = 2
⇒ a2 + 1 = 2a
⇒ a2 - 2a + 1 = 0
⇒ (a - 1)2 = 0
⇒ a - 1= 0
∴ a = 1

এখন,
1/(a8 - a4 + 1)
= 1/(18 - 14 + 1)
= 1/(1 - 1 + 1)
= 1/1
= 1
৩,২৬২.
x2 - 1 = 4x হলে x2 + 1/x2 = কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 14
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 1 = 4x হলে x2 + 1/x2 = কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে 
x2 - 1 = 4x
x2/x - 1/x = 4x/x
x - 1/x = 4
 
x2 + 1/x2 = (x - 1/x)2 + 2.x.1/x
                 = 42 + 2
                 = 16 + 2
                    = 18
 
৩,২৬৩.
x + y = 12 এবং xy = 27 হলে,(x - y) এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    3
  2. খ
    9
  3. গ
    6
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y= 12 এবং xy = 27 হলে,(x - y) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান, 
দেওয়া আছে,
x + y= 12
এবং xy = 27

আমরা জানি, 
(x - y)2 = ( x + y)2 - 4xy
= (12)2 - 4 × 27
= 144 - 108
= 36

√(x - y)2 = √36
∴ (x - y) = 6
৩,২৬৪.
a - b = 2 ও ab = 24 হলে, ‍a2 - b2 সমান কত?
  1. ক
    16
  2. খ
    20
  3. গ
    26
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = 2 ও ab = 24 হলে, ‍a2 - b2 সমান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a - b = 2 
ab = 24

আমরা জানি
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a + b)2 = (2)2 + 4 × 24
(a + b)2 = 4 + 96
(a + b)2 = 100
(a + b)2 = 102
a + b = 10

a2 - b2 = (a + b)(a - b)
= 10 × 2
= 20
৩,২৬৫.
যদি p4 + p2q2 + q4 = 75 এবং p2 + pq + q2 = 15 হয়, তবে p2 - pq + q2 এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    15
  3. গ
    10
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p4 + p2q2 + q4 = 75 এবং p2 + pq + q2 = 15 হয়, তবে p2 - pq + q2 এর মান কত?

সমাধান:
 p4 + p2q2 + q4 = 75 
⇒ (p2)2 + 2p2q2 + (q2)2 - p2q2 = 75
⇒ (p2 + q2)2 - (pq)2 = 75
⇒ (p2 + pq + q2)(p2 - pq + q2) = 75
⇒ 15 × (p2 - pq + q2) = 75 [p2 + pq + q2 = 15]
⇒ (p2 - pq + q2) = 75/15
∴ p2 - pq + q2 = 5

৩,২৬৬.
(x + a)(x2 - ax + a2)(x - a)(x2 + ax + a2) = ?
  1. ক
    ক) x3 - a3
  2. খ
    খ) x3 + a3
  3. গ
    গ) x6 - a6
  4. ঘ
    ঘ) x6 + a6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + a)(x2 - ax + a2)(x - a)(x2 + ax + a2) = ?

সমাধান: 
(x + a)(x2 - ax + a2)(x - a)(x2 + ax + a2)
={(x + a)(x2 - ax + a2)} {(x - a)(x2 + ax + a2)}
= (x3 + a3)(x3 - a3)
= (x3)2 - (x3)2
= x6 - a6
৩,২৬৭.
a + b = 12 এবং ab = 35 হলে a2 - b2 এর মান কত?
  1. ক
    ± 2
  2. খ
    ± 14
  3. গ
    ± 24
  4. ঘ
    ± 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 12 এবং ab = 35 হলে a2 - b2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 12
ab = 35

∴ a - b = √{(a + b)2 - 4ab}
= √{122 - 4 × 35}
= √(144 - 140)
= √4
= ± 2

∴ a2 - b2
= (a + b)(a - b)
= 12 × (± 2)
= ± 24
৩,২৬৮.
x2+1/x2 = 3 হলে (x2 − 1/x2)3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 2√5
  3. গ
    গ) 5√5
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

Given, x2+1/x2 = 3
Or, (x + 1/x)2 - 2.x.1/x = 3
Or, (x + 1/x) = √5

Now, (x - 1/x)2 = (x + 1/x)2 - 4.x.1/x = (√5)2 - 4
Or, x - 1/x = 1

∴ (x2 − 1/x2)3 = {(x + 1/x)(x - 1/x)}3
= (√5.1)3
= 5√5

৩,২৬৯.
z - {z - (z + 1)} = কত?
  1. ক
    z - 1
  2. খ
    z + 2
  3. গ
    z
  4. ঘ
    z + 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: z - {z - (z + 1)} = কত?
 
সমাধান:
z - {z - (z + 1)}
= z - {z - z - 1}
= z - { - 1}
= z + 1
৩,২৭০.
1 + 1/x2 = 3 হলে, (x2 - 1)/x3 এর মান কত?
  1. ক
    - √3
  2. খ
    - √2
  3. গ
    5
  4. ঘ
    √5
  5. ঙ
    - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + 1/x2 = 3 হলে, (x2 - 1)/x3 এর মান কত?

সমাধান:
⇒ 1 + 1/x2 = 3
⇒ 1/x2 = 3 - 1
⇒ 1/x2 = 2
⇒ x2 = 1/2
∴ x = 1/√2

প্রদত্ত রাশি,
(x2 - 1)/x3
= {(1/√2)2 - 1}/(1/√2)3
=(1/2 - 1)/(1/2√2)
= (- 1/2)/(1/2√2)
= (- 1/2) × (2√2)
= - √2
৩,২৭১.
a+b+c = 9, a2+b2+c2 = 29 হলে ab+bc+ca এর মান কত?
  1. ক
    ক) 52
  2. খ
    খ) 46
  3. গ
    গ) 26
  4. ঘ
    ঘ) 22
ব্যাখ্যা

(a+b+c)2 = a2+b2+c2 + 2(ab+bc+ca)
2(ab+bc+ca) = (a+b+c)2 - (a2+b2+c2)
2(ab+bc+ca) = 92 - 29
2(ab+bc+ca) = 52
∴ (ab+bc+ca) = 26

৩,২৭২.
9a2 + 16b2 রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    12ab
  2. খ
    36ab
  3. গ
    24ab
  4. ঘ
    144ab
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9a2 + 16b2 রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
9a2 + 16b2
= (3a)2 + (4b)2
= (3a + 4b)2 - 2.3a.4b
= (3a + 4b)2 - 24ab

∴ 9a2 + 16b2 + 24ab = (3a + 4b)2
৩,২৭৩.
  1. ক
    102
  2. খ
    62
  3. গ
    110
  4. ঘ
    154
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৩,২৭৪.
a2 - 2ab + b2 এর বর্গমূল কত?
  1. ক
    (a-b)2
  2. খ
    a+b
  3. গ
    (a+b)2
  4. ঘ
    a-b
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
a2 - 2ab + b2 = (a-b)2
সুতরাং, √(a2 - 2ab + b2) = √(a-b)2 = a-b

৩,২৭৫.
x2 + 1/x2 = 34 হয় তবে x + (1/x) এর মান কত?
  1. ক
    ± 5
  2. খ
    ± 8
  3. গ
    ± 7
  4. ঘ
    ± 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 1/x2 = 34 হয় তবে x + (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 + 1/x2 = 34
⇒ (x + 1/x)2 - 2 . x . 1/x = 34
⇒ (x + 1/x)2 = 34 + 2
⇒ (x + 1/x)2 = 36
⇒ (x + 1/x)2 = (6)2
∴ (x + 1/x) = ± 6
৩,২৭৬.
x - 1/x = 2, x3 - 1/x3 = কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 14
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা

x3 - 1/x3
= (x - 1/x)3 + 3 . x . 1/x (x - 1/x)
= 23 + 3. 2
= 8 + 6
= 14

৩,২৭৭.
a এর মান কত হলে 9 + 12x + ax2 একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a এর মান কত হলে 9 + 12x + ax2 একটি পূর্ণবর্গ হবে? 

সমাধান: 
9 + 12x + ax2
= 32 + 2.3.(2x) + (2x)2 + ax2 - (2x)2
= (3 + 2x)2 + ax2 - 4x2

অতএব, 9 + 12x + ax2 একটি পূর্ণবর্গ হবে যদি 
ax2 - 4x2 = 0
⇒ ax2 = 4x2
∴ a = 4 
৩,২৭৮.
x3 - 2x2, x2 - 4 এবং xy - 2y এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।
  1. ক
    x - 2
  2. খ
    x - 4
  3. গ
    x - 3
  4. ঘ
    x - 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 2x2, x2 - 4 এবং xy - 2y এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
১ম রাশি = x3 - 2x2
= x2(x - 2)

২য় রাশি = x2 - 4
= x2 - 22
= (x + 2) (x - 2)

৩য় রাশি = xy - 2y
= y(x - 2)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 2) 
৩,২৭৯.
25a2 + 36b2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
  1. ক
    30ab
  2. খ
    60ab
  3. গ
    25ab
  4. ঘ
    120ab
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 25a2 + 36b2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 25a2 + 36b2
= (5a)2 + (6b)2

আমরা জানি,
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
∴ (5a)2 + 2.(5a).(6b) + (6b)2
= (5a + 6b)2

অর্থাৎ (5a)2 + (6b)2 এর সাথে যদি 2.5a.6b = 60ab যোগ করি তাহলে পূর্ণবর্গ হবে।

∴ 25a² + 36b² এর সাথে 60ab যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

৩,২৮০.
x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x হবে? 
  1. ক
    (x2 - y2)/xy
  2. খ
    (2x2 - y2)/xy
  3. গ
    (y2 - x2)/xy
  4. ঘ
    (x2 - 2y2)/xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x হবে? 

সমাধান: 
(y/x) - (x/y)
=(y2 - x2)/xy
৩,২৮১.
√m + (1/√m) = 4 হলে, √m - (1/√m) = কত?
  1. ক
    2√3
  2. খ
    2√5
  3. গ
    √10
  4. ঘ
    √14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √m + (1/√m) = 4 হলে, √m - (1/√m) = কত?

সমাধান:
{√m - (1/√m)}2 = {√m + (1/√m)}2 - 4 · √m (1/√m)
⇒ {√m - (1/√m)}2 = (4)2 - 4
⇒ {√m - (1/√m)}2 = 16 - 4
⇒ {√m - (1/√m)}2 = 12
∴ √m - (1/√m) = √12
√m - (1/√m) = √(4 × 3)
√m - (1/√m) = 2√3
৩,২৮২.
If a + b = 4 and ab = - 12, then a - b equals to-
  1. ক
    ± 8
  2. খ
    ± 24
  3. গ
    ± 2
  4. ঘ
    ± 6
ব্যাখ্যা
Question: If a + b = 4 and ab = - 12, then a - b equals to-

Solution:
দেওয়া আছে
a + b = 4
ab = - 12

আমরা জানি
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
⇒ (a - b)2 = (4)2 - 4 × (- 12)
⇒ (a - b)2 = 16 + 48
⇒ (a - b)2 = 64
⇒ a - b = ±√64
∴ a - b = ±8
৩,২৮৩.
a+b = c হলে c3 - a3 - b3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3abc
  2. খ
    খ) -3abc
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 3c
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
(a+b)3 = a3+b3+3abc(a+b)
বা, c3 = a3+b3+3abc [∵ a+b = c]
∴ c3 - a3 - b3 = 3abc
৩,২৮৪.
x - 2 = √3 হলে x2 + 1/x2 = ?
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা

x - 2 = √3 হলে,
x = 2 + √3
∴ 1/x = 2 - √3
∴ x + 1/x = 4

x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2.x.1/x
= 42 - 2
= 16 - 2
= 14

৩,২৮৫.
যদি a + b = 8 হয়, তবে a3 + b3 + 24ab এর মান কত?
  1. ক
    256
  2. খ
    64
  3. গ
    512
  4. ঘ
    1024
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 8 হয়, তবে a3 + b3 + 24ab এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 8

প্রদত্ত রাশি, 
a3 + b3 + 24ab
= (a + b)3 - 3ab(a + b) + 24ab
= 83 - 3ab × 8 + 24ab
= 512 - 24ab + 24ab
= 512

৩,২৮৬.
x2 + 1/x2 এর নিন্মোক্ত কোন মানের জন্য x3 + 1/x3 = 0 হবে?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) - 2
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 1/x2 এর নিন্মোক্ত কোন মানের জন্য x3 + 1/x3 = 0 হবে?

সমাধান:
x3 + 1/x3 = 0
বা, (x + 1/x)3 - 3.x.1/x.(x + 1/x) = 0
বা, (x + 1/x)3 - 3(x + 1/x) = 0
বা, (x + 1/x)3 = 3(x + 1/x)
বা, (x + 1/x)2 = 3
বা, x2 + 2.x.1/x + 1/x2 = 3
বা, x2 + 1/x2 + 2 = 3
বা, x2 + 1/x2 = 3 - 2
∴ x2 + 1/x2 = 1
৩,২৮৭.
x2 - 2x, x3 - 8 এবং x2 - 4 রাশি তিনটির গ.সা.গু নিচের কোনটি?
  1. ক
    1
  2. খ
    (x2 + 2x + 4)
  3. গ
    x(x + 2)(x - 2)
  4. ঘ
    x - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 2x, x3 - 8 এবং x2 - 4 রাশি তিনটির গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
 x2 - 2x = x(x - 2)
x3 - 8 = x3 - 23 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) 
x2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

∴  x2 - 2x, x3 - 8 এবং x2 - 4 রাশি তিনটির গ.সা.গু = x - 2
৩,২৮৮.
a2 + b2 + 2a = - 1 হলে a11 + b2 = ?
  1. ক
    1
  2. খ
    0
  3. গ
    -1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + b2 + 2a = - 1 হলে a11 + b2 = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 + 2a = - 1
বা, a2 + b2 + 2a + 1 = 0
বা, a2 + 2a + 1 + b2 = 0
বা, (a + 1)2 + b2 = 0

আমরা জানি, দুইটি রাশির সমষ্টি শূন্য হলে পৃথক পৃথক ভাবে তারা শূন্য হয়
∴ (a + 1)2  = 0
বা, a + 1 = 0
বা, a = - 1

এবং
b2 = 0
বা, b = 0

এখন,
a11 + b2
= (- 1)11 + (0)2
= - 1
৩,২৮৯.
x/y - y/x = 3 হলে, x2/y2 + y2/x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 9
  2. খ
    খ) 7
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 11
ব্যাখ্যা

x/y - y/x = 3
x2/y2 + y2/x2 = ( x/y )2 + ( y/x)2
= ( x/y - y/x )2 + 2 × (x/y) × (y/x)
= 32 + 2
= 11

৩,২৯০.
a + (1/a) = 2 হলে, a6 + (1/a6) এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (1/a) = 2 হলে, a6 + (1/a6) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 3
⇒ (a3)2 + (1/a3)2
= {a3 + (1/a3)}2 - 2 · a3 · (1/a3)
= [{a + (1/a)}3 - 3 · a · (1/a){a + (1/a)}]2 - 2
= {(23) - 3 · 2}2 - 2
= (8 - 6)2 - 2
= 22 - 2
= 4 - 2
= 2
৩,২৯১.
x2 - 3x + 1 = 0 হলে (x - 1/x)4 এর মান-
  1. ক
    3
  2. খ
    7
  3. গ
    25
  4. ঘ
    52
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন x2 - 3x + 1 = 0 হলে (x - 1/x)4 এর মান -

সমাধান:
দেওয়া আছে
x2 - 3x + 1 = 0
⇒ x2 + 1 = 3x
⇒ x2/x + 1/x = 3x/x
∴ x + 1/x = 3

আমরা জানি
(x - 1/x)2 = (x + 1/x)2 - 4.x.1/x
⇒ (x - 1/x)2 = 32 - 4
⇒ (x - 1/x)2 = 5
⇒ {(x - 1/x)2}2 = 52
∴ (x - 1/x)4 = 25
৩,২৯২.
a + b + c = 21 এবং ab + bc + ca = 143 হলে a2 + b2 + c2 এর মান কত?
  1. ক
    160
  2. খ
    175
  3. গ
    165
  4. ঘ
    155
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 21 এবং ab + bc + ca = 143 হলে, ‍a2 + b2 + c2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b +c = 21
ab + bc + ca = 143

এখন,
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
= 212 - 2(143)
= 441 - 286
= 155 
৩,২৯৩.
x - 2y = 3 হলে, x3 - 8y3 - 18xy এর মান কত?
  1. ক
    18
  2. খ
    36
  3. গ
    42
  4. ঘ
    27
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 2y = 3 হলে, x3 - 8y3 - 18xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে 
 x - 2y = 3

এখন 
 x3 - 8y3 - 18xy 
= x3 - (2y)3  - 18xy 
= (x - 2y)3 + 3x.2y(x - 2y) - 18xy
= 33 + 6xy.3 - 18xy
= 27 + 18xy - 18xy
= 27
৩,২৯৪.
x + y = 2, x2 + y2 = 4 হলে, x3 + y3 = কত
  1. ক
    ক) 25
  2. খ
    খ) 16
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 2, x2 + y2 = 4 হলে, x3 + y3 = কত

সমাধান: 
দেওয়া আছে 
 x + y = 2

এখন 
x2 + y2 = 4 
(x + y)2 - 2xy = 4
22 - 2xy = 4
4 - 4 = 2xy
2xy = 0
xy = 0

আমরা জানি 
x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
= 23 - 3.0.2
= 8 - 0
= 0
৩,২৯৫.
a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25 হলে, 4ab এর মান কত?
  1. ক
    ক) 48
  2. খ
    খ) 24
  3. গ
    গ) 64
  4. ঘ
    ঘ) 49
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25 হলে, 4ab এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b = 7
a2 + b2 = 25

আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 
বা, 72 = 25 + 2ab
বা, 49 - 25 = 2ab
বা, 2ab = 24
বা, 4ab = 48
৩,২৯৬.
(-1/2x) - (1/4y) + (1/xy) + (1/8) = ?
  1. ক
    ক) (x - 4)(2 - y)/8xy
  2. খ
    খ) (x - 2)(y - 4)/8xy
  3. গ
    গ) (x - 4)(y - 2)/8xy
  4. ঘ
    ঘ) (x + 2)(4 - y)/8xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ( - 1/2x) - (1/4y) + (1/xy) + (1/8) = ?

সমাধান:
 ( - 1/2x) - (1/4y) + (1/xy) + (1/8) 
= (- 4y - 2x + 8 + xy)/8xy
= (xy - 2x - 4y + 8)/8xy
= {x(y - 2) - 4(y - 2)}/8xy
= (y - 2)(x - 4)/8xy
৩,২৯৭.
{(a + b)2 - (a - b)2} = কত?
  1. ক
    ab
  2. খ
    2ab
  3. গ
    3ab
  4. ঘ
    4ab
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {(a + b)2 - (a - b)2} = কত? 

সমাধান: 
{(a + b)2 - (a - b)2}
= {(a2 + 2ab + b2) - (a2 - 2ab + b2)}
= (a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2) 
= (2ab + 2ab) 
= 4ab 
৩,২৯৮.
p এর মান কত হলে 2 - px + 2x2 = 0 একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, পূর্ণবর্গ রাশির মূলদ্বয় সমান হয়।
যদি b2 - 4ac = 0 হয়, তবে সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে।
এখানে, b = -p, a = 2 এবং c = 2
⇒ (-p)2 - 4.2.2 = 0
⇒ p2 - 16 = 0
⇒ p = √16
⇒ p = 4

৩,২৯৯.
সরল করুন: (5a - 7b)2 + 2(5a - 7b)(9b - 4a) + (9b - 4a)2
  1. ক
    a2 - 4ab + 4b2
  2. খ
    a2 + 2ab + 4b2
  3. গ
    a2 + 4ab - 4b2
  4. ঘ
    a2 + 4ab + 4b2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সরল করুন: (5a - 7b)2 + 2(5a - 7b)(9b - 4a) + (9b - 4a)2

সমাধান:
ধরি, (5a - 7b) = x
এবং 9b - 4a = y

∴ প্রদত্ত রাশি = x2 + 2xy + y2
= (x + y)2
= (5a - 7b + 9b - 4a)2 ; [[x এবং y এর মান বসিয়ে]] 
= (a + 2b)2 
= a2 + 4ab + 4b2

৩,৩০০.
x2 + 6x, x2 - 36, x2 + 8x + 12 এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) (x + 6)
  3. গ
    গ) (x + 6)(x + 2)(x - 6)
  4. ঘ
    ঘ) (x + 6)(x - 6)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 6x, x2 - 36, x2 + 8x + 12 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = x2 + 6x
             = x(x + 6)
২য় রাশি = x2 - 36
              = x2 - 62
              = (x + 6)(x - 6)
৩য় রাশি = x2 + 8x + 12
              = x2 + 6x + 2x + 12
               = x(x + 6) + 2(x + 6)
                = (x + 6)(x + 2)

নির্ণেয় গ.সা.গু = (x + 6)