বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

a = 2 + √3
বা, 1/a = 1/(2 + √3)
= (2 - √3)/(2 + √3)(2 - √3)
= 2 - √3/4 - 3
= 2 - √3
a³ + 3a + 3/a + 1/a³ = a³ + 3.a².1/a + 3.a.1/a² + 1/a³
= (a + 1/a)³
= (2 + √3 + 2 - √3)³
= 4³
= 64

প্রশ্ন: x² - 10x + 21 ও x² - 6x - 7 দুইটি বীজগাণিতিক রাশি হলে, 
i. রাশি দুইটির গ.সা.গু x - 7
ii. রাশি দুইটির ল.সা.গু (x + 1)(x - 3)(x - 7)
iii. রাশি দুইটির গুণফল x⁴ - 60x² - 147

সমাধান: 
১ম রাশি,
x² - 10x + 21 
= x² - 7x - 3x + 21
= x(x - 7) - 3(x - 7)
= (x - 7)(x - 3)

২য় রাশি,
x² - 6x - 7
= x² - 7x + x - 7
= x(x - 7) + 1(x - 7)
= (x - 7)(x + 1)

গ.সা.গু. = (x - 7)
ল.সা.গু. = (x + 1)(x - 3)(x - 7)
এবং রাশি দুইটির গুণফল = (x² - 10x + 21)(x² - 6x - 7) 
= (x - 7)(x - 3)(x - 7)(x + 1)
= (x - 3)(x + 1)(x - 7)²
= (x² - 2x - 3)(x² - 14x + 49)
= x⁴ - 16x³ + 95x² - 98x - 147 

সুতরাং, সঠিক উত্তর ক) i ও ii

দেওয়া আছে, x + 1/x = 1 
⇒ x² + 1/x² + 2.x.1/x = 1 [বর্গ করে] 
⇒ x² + 1/x² = - 1
⇒ x⁴ + 1/x⁴ + 2.x².1/x² = 1 [বর্গ করে]
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = -1

∴ (x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) = (-1)(-1) = 1

প্রশ্ন: a = √7 + √6 হলে, (a⁶ -1)/a³ এর মান কত?

সমাধান:
 দেওয়া আছে,
 a = √7 + √6

∴ (1/a) = 1/(√7 + √6)
= (√7 - √6)/(√7 + √6)(√7 - √6)
= (√7 - √6)/(7 - 6)
= √7 - √6

∴ a - (1/a) = √7 + √6 - √7 + √6 = 2√6

এখন,
(a⁶ -1)/a³
= (a⁶/a³) - (1/a³)
= a³ - (1/a³)
= {a - (1/a)}³ + 3 ⋅ a ⋅ (1/a){a - (1/a)}
= (2√6)³ + 3 ⋅ 2√6
= 8 ⋅ 6√6 + 6√6
= 54√6

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4 হলে, a² - ab + b² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 8
a² + ab + b² = 4

এখন, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 8
বা, (a²)² + 2 . a² . b² + (b²)² - a² . b² = 8
বা, (a² + b²)²  - (ab)² = 8
বা, (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 8
বা, 4(a² - ab + b²) = 8
বা, (a² - ab + b²) = 8/4
∴ a² - ab + b² = 2

প্রশ্ন: যদি x = √5 + √4 হয়, তবে x³ - (1/x)³ এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: p² - 2r কে p² - 3r দ্বারা গুণ করলে, গুণফল নিচের কোনটি?

সমাধান:
(p² - 2r)(p² - 3r)
= (p²)² + (- 2r - 3r)p² + (- 2r)(- 3r)
 = p⁴ - 5p²r + 6r²
= p⁴ - 5p²r + 6r²

প্রশ্ন: 2√2 x³ + 125 এর উৎপাদকের বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
2√2 x³ + 125
= √2.√2.√2.x³ + (5)³
= (√2 x)³ + 5³
= (√2 x + 5) {(√2 x)² - (√2 x)(5) + 5²}  [∵ a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)]
= (√2 x + 5)(2x² - 5√2 x + 25)

প্রশ্ন: 9x² - 30x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
9x² - 30x
= (3x)² - 2 . 3x . 5 + (5)² - 25
= (3x - 5)² - 25

∴ 9x² - 30x এর সাথে 25 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: যদি y + (1/y) = 7 হয়, তবে y/(y² + y + 1) এর মান হচ্ছে:

সমাধান:
দেয়া আছে,
y + (1/y) = 7
⇒ (y² + 1)/y = 7
⇒ (y² + 1) = 7y

এখন,
y/(y² + y + 1)
= y/(7y + y)
= y/8y
= 1/8

1/a + 1/b + 1/c = 0
বা, (bc + ca + ab)/abc = 0
বা, bc + ca + ab = 0
বা, 2bc + 2ca + 2ab = 0
বা, a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = a² +b² + c²
∴ (a + b + c)² = a² + b² + c²

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, 3² = 5 + 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 9 - 5 = 4
বা, (ab + bc + ca) = 2
∴ (ab + bc + ca)³ = 2³ = 8

প্রশ্ন: যদি a + b = 10 এবং ab = 16 হয়, তবে a - b এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 10 এবং ab = 16

প্রশ্ন: যদি x + y = 6 এবং x² + y² = 18 হয়, তবে x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 6
⇒ (x + y)² = 6²
⇒ x² + 2xy + y² = 36 [যেহেতু x² + y² = 18]
⇒ 18 + 2xy = 36
⇒ 2xy = 36 - 18
⇒ xy = 18/2
∴ xy = 9

এখন,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= (6)³ - 3 × 6 × 9
= 216 - 162
= 54

প্রশ্ন: (0, 5) এবং (3, - 4) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

এখানে,
(x₁, y₁) = (0, 5) এবং (x₂, y₂) = (3, - 4)

∴ ঢাল, (m) = (- 4 - 5)/(3 - 0)
= - 9/3
= - 3

প্রশ্ন: x - y = 2 এবং xy = 15 হলে, (x²  + y²) (x³ - y³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 2
এবং xy = 15

১ম রাশি = x² + y²
= (x - y)² + 2xy
= 2² + 2 × 15
= 4 + 30
= 34 

২য় রাশি =  x³ - y³
= (x - y)³ + 3xy(x - y)
= (2)³ + 3 × 15 × 2
= 8 + 90
= 98 

∴ (x²  + y²) (x³  - y³)
= 34 × 98
= 3332 

প্রশ্ন: α = 3 + √2 এবং β = 3 - √2 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলদ্বয়, α = 3 + √2 এবং
β = 3 - √2

মূলদ্বয়ের যোগফল,
α +  β = 3 + √2 +3 - √2
∴ α +  β = 6

মূলদ্বয়ের গুণফল,
αβ = (3 + √2) . (3 - √2)
= (3)² - (√2)²
= 9 - 2
∴ αβ = 7

∴ নির্ণেয় সমীকরণ x² - (α +  β)x + αβ = 0
⇒ x² - 6x + 7 = 0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x² - 6x + 7 = 0

প্রশ্ন: p√2 + p√2 এর বর্গ কত?

সমাধান:

p√2 + p√2
= 2p√2

এখন বর্গ করে পাই-
= (2p√2)²
= (2√2p)²
= 8p²
∴ p√2 + p√2 এর বর্গ =  8p²

সুত্র:
1. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
2. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
অনুসিদ্ধান্ত:
1. a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
2. a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

প্রশ্ন: যদি a + b = √8 এবং a − b = √3 হয়, তাহলে, 8ab(a² + b²) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = √8
এবং a − b = √3

এখন, 
8ab(a² + b²) 
= 4ab × 2(a² + b²) 
= {(a + b)² − (a − b)²} × {(a + b)² + (a − b)²} 
= {(√8)² − (√3)²} × {(√8)² + (√3)²}
= (8 − 3) × (8 + 3) 
= 5 × 11
= 55

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

x + 1/x = 1
বা, (x + 1/x)² = 1
বা, x² + 2.x.1/x + 1/x² = 1
x² + 1/x² + 2 = 1
বা, x² + 1/x² = -1
বা, (x² + 1/x²)² = 1
x⁴ + 2.x².1/x² + 1/x⁴ = 1
বা, x⁴ + 1/x⁴ + 2 = 1
∴ x⁴ + 1/x⁴ = -1
∴ (x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) = (-1)(-1)
= 1

প্রশ্ন: 2m² - 4mn + 4n² রাশিটির সাথে কত যোগ বা বিয়োগ করলে রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
2m² - 4mn + 4n²
= m² - 4mn + 4n² + m²
= m² -2.m.2n + (2n)² + m²
= (m - 2n)² + n²

অর্থাৎ রাশিটি থেকে m² বিয়োগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

আবার, 
2m² - 4mn + 4n²
= 2m² - 4mn + 2n² + 2n²
= (√2m)² - 2.√2m.√2n + (√2n)² + 2n²
= (√2m - √2n)² + 2n²

প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14 হলে, (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6 এবং
a² + b² + c² = 14

প্রদত্ত রাশি = (a - b)² + (b - c)² + (c - a)²
= a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + c²
= 2a² + 2b² + 2c² - 2(ab + bc + ca)
= 2(a² + b² + c²) - {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}
= (2 × 14) - {(6)² - 14}
= (2 × 14) - (36 - 14)
= 28 - 22
= 6

প্রশ্ন:

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = √10 + 3
1/x = 1/(√10 + 3)
= (√10 - 3)/{(√10 + 3)(√10 - 3)}
= (√10 - 3)/(10 - 9)
= √10 - 3

∴ x + 1/x = √10 + 3 + √10 - 3 = 2√10

x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ + 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (2√10)³ + 3 × 2√10
= 74√10
= 234.0085
≈ 234

প্রশ্ন: p² - 9 - q(q - 6) এর উৎপাদক কী কী?

সমাধান:
p² - 9 - q(q − 6)
= p² - 9 - q² + 6q
= p² - q² + 6q − 9
= p2 -(q² - 6q + 9)
= p² -(q² - 2.q.3 + 3²)
= p² - (q - 3)²
= {p - (q - 3)}{p + (q - 3)}
= (p - q + 3)(p + q - 3)

x² - √(3)x + 1 = 0 বা, x²/x - √(3)x/x + 1/x = 0
বা, x + 1/x = √3
(x + 1/x)³ = (√3)³ বা, x³ + 1/x³ + 3.x.1/x(x + 1/x) = 3√3
বা, x³ + 1/x³ + 3√3 = 3√3
∴ x³ + 1/x³ = 0

দেওয়া আছে, x⁴ - x² - 1 = 0
বা, x² - 1 - 1/x² = 0 
বা, x² - 1/x² = 1 
বা, (x² - 1/x²)² = 1
বা, (x² + 1/x²)² - 4.x².1/x² = 1 
বা, (x² + 1/x²)² - 4 = 1 
বা, (x² + 1/x²)² = 5 
∴ x² + 1/x² = √5

Given, P = 5+√2
P² = (5+√2)²
= 5² + 2X5X√2 + (√2)²
= 27 + 10√2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: (- 1, - 4) এবং (4, 8) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

x² - x - 1 = 0
বা, x - 1 - 1/x = 0 [x দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]
বা, x - 1/x = 1

এখন, (x + 1/x)²
= (x - 1/x)² + 4.x.1/x
= 1² + 4
= 5

∴ x + 1/x = √5

∴ x² - 1/x²
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= √5.1
= √5

প্রশ্ন: p এর মান কত হলে 25x² - px + 16 পূর্ণবর্গ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
25x² - px + 16
= (5x)² - 2.5x.4 + 4² - px + 2.5x.4
= (5x - 4)² + 40x - px

রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে,
⇒ 40x - px = 0
⇒ px = 40x
∴ p = 40