বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

প্রশ্ন: যদি a³ - b³ = 387 এবং a - b = 3 হয় তবে ab এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab (a - b) 
বা, 387 = (3)³ + 3ab . 3 
বা, 387 = 27 + 9ab 
বা, 9ab = 387 - 27 
বা, 9ab = 360
বা, ab = 360/9 
∴ ab = 40

প্রশ্ন: a + b = 3 এবং ab = 2 হলে a³ + b³ = ?

সমাধান: 
দেয়া আছে, 
a + b = 3 
ab = 2

আমরা জানি,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= 3³ - 3 × 2 × 3
= 27 - 18
= 9 

প্রশ্ন: ax + by + c = 0 সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সাধারণ রৈখিক সমীকরণ ax + by + c = 0 কে y-এর সাপেক্ষে লিখলে পাই, 
⇒ by = - ax - c
∴ y = - (a/b)x - (c/b)

এখানে, 
x-এর সহগ (- a/b) হলো রেখাটির ঢাল। 

সুতরাং , ax + by + c = 0 সমীকরণের ঢাল হলো - a/b

( x + y )² = ( x - y )² + 4xy 
= 2² + 4 × 24 = 100
∴ x + y = ± 10 

প্রশ্ন: যদি 1/a = 3 + 2√2 হলে, a - (1/a) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1/a = 3 + 2√2
এখন, 
a = 1/(3 + 2√2)
= (3 - 2√2)/(3 + 2√2)(3 - 2√2)
= (3 - 2√2)/{(3)² - (2√2)²}
= (3 - 2√2)/(9 - 8)
= (3 - 2√2)/1
∴ a = (3 - 2√2)

প্রদত্ত রাশি, 
a - (1/a) = 3 - 2√2 - 3 - 2√2 = - 4√2 

ক^৪ + খ^৪
= (ক^২)^২ + (খ^২)^২
= [(ক^২ + খ^২)^২ + (ক^২ - খ^২)^২]/২
= [(৪)২ + (-৪)২]/২
= (১৬+১৬)/২
= ৩২/২
= ১৬

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 5x² হলে, x + (1/x) = কত?

সমাধান:
x⁴ + 2x² + 1 = 5x²
⇒ (x²)² + 2 . x² . 1 + (1)² = 5x²
⇒ (x² + 1)² = 5x²
⇒ x² + 1 = √(5x²) 
⇒ x² + 1 = √5 . x 
⇒ (x²/x) + 1/x = (√5 . x)/x  [উভয়পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]
∴ x + (1/x) = √5

প্রশ্ন: x - 1/x = 2 হলে x⁴ + 1/x⁴ = কত? 

সমাধান: 
x⁴ + 1/x⁴
= (x²)² + (1/x²)²
= (x² + 1/x²)² - 2.x².1/x²
= {(x - 1/x)² + 2.x.1/x}² - 2
= (2² + 2)² - 2
= 36 - 2
= 34

প্রশ্ন: যদি a - b = 18 এবং a³ - b³ = 324 হয়, তবে ab এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a - b = 18
এবং
a³ - b³ = 324
⇒ (a - b)³ + 3ab(a - b) = 324
⇒ (18)³ + 3ab . 18 = 324
⇒ 54ab = 324 - 5832
⇒ 54ab = - 5508
⇒ ab = - 5508/54
∴ ab = - 102

প্রশ্ন: যদি a + b = 2x এবং ab = x² - 2 হয়, তবে (a - b) এর মান কত?

সমাধান:

a+b = 2 ---------(i)
a-b = 0 ----------(ii)
(i) + (ii) ⇒ 2a = 2
∴ a = 1
আবার, (i) - (ii) ⇒ 2b = 2
∴ b = 1
∴ a/b = 1/1 = 1

a³-b³=(a-b)³+3ab(a-b)
⇒513=3³+3ab(3)
⇒9ab=513-27=486
∴ab=54

প্রশ্ন: a -এর মান কত হলে, x² - 8x + p একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণবর্গ বলে এর মূলদ্বয়ের মান সমান এবং নিশ্চায়কের মান শূন্য (০) 
অর্থাৎ, 
√{b² - 4ac} = 0 
⇒ √{(- 8)² - 4. 1 . p} = 0 
⇒ √(64 - 4p) = 0 
⇒ 64 - 4p = 0   [উভয় পক্ষকে বর্গমূল করে]
⇒ 4p = 64
⇒ p = 64/4
∴ p = 16

প্রশ্ন: যদি a - b = 5 হয়, তবে a³ - b³ - 15ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, a - b = 5
প্রদত্ত রাশি = a³ - b³ - 15ab
= (a - b)³ + 3ab(a - b) - 15ab
= 5³ + 3ab × 5 - 15ab
= 125 + 15ab - 15ab
= 125

প্রশ্ন: a - b = y এবং ab = 4y² হলে a³ - b³ কত?

সমাধান:
​দেয়া আছে, 
​a - b = y এবং ab = 4y²

এখন,
​a³ - b³ 
​= (a - b)³ + 3ab(a - b)
= y³ + 3 . 4y². y
= y³ + 12y³
= 13y³

(x-5)(a+x) = x²-25
⇒ (x-5)(a+x) = (x-5)(x+5)
⇒ a+x = x+5
∴ a = 5

x⁴ - x² + 1 = 0
বা, x⁴ + 1 = x²
বা, x² + (1/x)² = 1 [x² দ্বারা ভাগ করে]
বা, (x + 1/x)² - 2.x.(1/x) = 1
বা, (x + 1/x)² = 3
বা, (x + 1/x) = √3

প্রশ্ন: যদি a = 1 এবং b = - 2 হয়, তাহলে 27a³ + 81a²b + 81ab² + 27b³ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 1 এবং b = - 2

প্রদত্ত রাশি, 
27a³ + 81a²b + 81ab² + 27b³
= 27(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)
= 27(a + b)³         ;  [a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³]
= 27{1 + (- 2)}³
= 27(1 - 2)³
= - 27

প্রশ্ন: 6a²bc এবং 4a³b²c² সংখ্যা সহগের গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্তরাশি রাশি দুটির সংখ্যা সহগ যথাক্রমে 6 এবং 4
6 ও 4 এর গ.সা.গু = 2
∴ নির্ণেয় সংখ্যা সহগের গ.সা.গু  = 2

তাই, সঠিক উত্তর হবে: অপশন ঘ (কোনটিই নয়)

প্রশ্ন: যদি a - b = 5 হয়, তবে a³ - b³ - 15ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a - b = 5

প্রদত্ত রাশি, 
a³ - b³ - 15ab
= (a - b)³ + 3ab(a - b) - 15ab
= 5³ + 3ab × 5 - 15ab
= 125 + 15ab - 15ab
= 125

প্রশ্ন: x = 7 এবং y = 6 হলে, 16x² - 40xy + 25y² এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = 7 এবং y = 6
প্রদত্ত রাশি = 16x² - 40xy + 25y²
=(4x)² - 2 × 4x × 5y + (5y)²
= (4x - 5y)²
=(4 × 7 - 5 × 6)²   ; [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (28 - 30)²
= (- 2)²
= 4

প্রশ্ন: যদি b = a + c এবং b = 3 হয় তাহলে (ab + bc)² = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
b = a + c এবং b = 3
∴ a + c = 3

প্রদত্ত রাশি, 
(ab + bc)²
= {b(a + c)}²
= (3 × 3)²
= 9²
= 81

ধরি, 
সংখ্যা দুটি a ও b 
a + b = ২৫ 
ab = ১০০
প্রশ্নমতে, 
১ / a + ১ / b 
= ( a + b ) / ab
= ২৫ / ১০০ 
= ১ / ৪

প্রশ্ন: 25x² + 49y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:

ধরি,
প্রদত্ত রাশির সাথে a যোগ করতে হবে।

তাহলে,
25x² + 49y² + a

আমরা চাই এটি পূর্ণবর্গ রাশি হোক।
মনে করি,
পূর্ণবর্গ রাশিটি হবে (5x + 7y)²
⇒ (5x + 7y)² = (5x)² + (7y)² + 2 × 5x × 7y
⇒ (5x + 7y)² = 25x² + 49y² + 70xy

তাহলে, a = 70xy

∴ প্রদত্ত রাশির সাথে 70xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

প্রশ্ন: a - 1, a² - 1 এবং a³ - 1 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = a - 1

২য় রাশি = a² - 1
= a² - 1²
= (a + 1)(a - 1)

এবং
৩য় রাশি = a³ - 1
= a³ - 1³
= (a - 1)(a² + a + 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (a - 1)

প্রশ্ন: p² = 2p + 1 হলে, (p⁶ - 1)/p³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p² = 2p + 1
বা, p²-1=2p
বা, (p²-1)/p = 2
∴ p - (1/p) = 2

প্রদত্ত রাশি = (p⁶ - 1)/p³
= (p⁶/p³) - (1/p³)
= (p³- 1/p³)
= {p - (1/p)}³+ 3 × p × (1/p) × {p - (1/p)}
= 2³ + 3 × 2
= 8 + 6
= 14 

দেওয়া আছে,
x + y = 3
এখন,
x³ + y³ + 9xy
= (x + y)³ - 3xy(x + y) + 9xy
= 3³ - 3xy × 3 + 9xy
= 27 - 9xy + 9xy
= 27

প্রশ্ন: (a - 1)(a² + a + 1) এর গুণফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(a - 1)(a² + a + 1)
= (a - 1)(a² + a . 1 + 1²)
= a³ - 1³
= a³ - 1

x² - 3x + 1 = 0
বা, x - 3 + 1/x = 0
বা, x + 1/x = 3
বা, (x + 1/x)³ = 3³
বা, x³ + 1/x³ + 3.x.1/x(x + 1/x) = 27
বা, x³ + 1/x³ = 27 - 3.3 = 18

প্রশ্ন: যদি x - y = 10 এবং xy = 96 হয়, তাহলে x + y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 10
xy = 96

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
⇒ (x + y)² = 10² + 4 × 96
⇒ (x + y)² = 100 + 384
⇒ (x + y)² = 484
⇒ x + y = √484
⇒ x + y = 22

প্রশ্ন:

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x² + y² = 9 এবং xy = 7
আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
= 9 + 2 × 7
= 9 + 14
= 23

প্রশ্ন: যদি a = 2 এবং b = - 1 হয়, তবে 27a³ - 27a²b + 9ab² - b³ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 2 এবং b = - 1

প্রদত্ত রাশি, 
27a³ - 27a²b + 9ab² - b³
= (3a)³ - 3 . (3a)² . b + 3 . (3a) . b² - b³
= (3a - b)³
= {3(2) - (- 1)}³
= (6 + 1)³
= 7³
= 343