বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

প্রশ্ন: a - b = 5 এবং ab = 36 হলে a + b এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a - b = 5 এবং ab = 36

আমরা জানি,
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
⇒ (a + b)² = (5)² + 4 × 36
⇒ (a + b)² = 25 + 144
⇒ (a + b)² = 169
⇒ a + b = √169
∴ a + b = 13

2{(x²)² + (y²)²}
= (x² + y²)² + (x² - y²)²
= 5² + 3²
= 34
∴ 2(x⁴ + y⁴) = 34
বা, x⁴ + y⁴ = 34/2
= 17

a³-b³ = (a-b)³ + 3ab(a-b)
⇒ 513 = 3³ + 3ab(3)
⇒ 513 - 27 = 9ab
⇒ ab = 486/9
∴ ab = 54

প্রশ্ন: x + y = 5 এবং x - y = 3 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= (5/2)² - (3/2)²
= (25/4) - (9/4)
= 16/4
= 4

আমরা জানি,
x² + y² = (x - y)² + 2xy
= 14 + 2×2
= 18

প্রশ্ন: x + y = 4 এবং x² + y² = 10 হলে, x³ + y³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 x² + y² = 10
⇒ (x + y)² - 2xy = 10
⇒ (4)² - 2xy = 10
⇒ 2xy = 16 - 10 
⇒ 2xy = 6
⇒ xy = 6/2
∴ xy = 3

এখন, 
x³ + y³
= (x + y)³ - 3.x.y (x + y) 
= (4)³ - 3 . 3 . 4 
= 64 - 36
= 28

প্রশ্ন: x² + 4y² + 8x - 16y + 16 এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
x² + 4y² + 8x - 16y + 16
=x² + (2y)² + 4² + 2 × x × 4 - 16y 
=(x)² + (- 2y)² +  4² + 2x(- 2y) + 2(- 2y)4 + 2 × x × 4 + 4xy
=(x - 2y + 4)² + 4xy

∴ রাশিটির সাথে - 4xy যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= 7² - 4.12
(x - y)² = 49 - 48
(x -  y)² = 1
বা, x - y = 1
∴ √(x - y) = 1

প্রশ্ন: (p²/q²) + 2(p/q) এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে?

দেওয়া আছে, a + b + c = 9 এবং a² + b² + c² = 29
আমরা জানি, a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²) = 9² - 29 = 52
∴ (ab + bc + ca) = 52/2 = 26 

দেওয়া আছে, a + b = 5 এবং a - b = 3
আমরা জানি,
4ab = (a + b)² - (a - b)²
= 5² - 3²
= 25 - 9
= 16

প্রশ্ন: যদি x = √12 + 3 হয়, তবে x³ - (27/x³) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = √12 + 3

এখন, 
1/x = 1/√12 + 3
= (√12 - 3)/(√12 + 3)(√12 - 3)
= (√12 - 3)/{(√12)² - 3²}
= (√12 - 3)/(12 - 9)
= (√12 - 3)/3
∴ 3/x = √12 - 3

∴ x - (3/x) = √12 + 3 - √12 + 3 = 6

প্রদত্ত রাশি, 
x³ - (27/x³) = x³ - (3/x)³
= {x - (3/x)}³ + 3 . x . (3/x){x - (3/x)}      ;[a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)]
= 6³ + (9 × 6)
= 216 + 54
= 270

প্রশ্ন: a³ + b³ = 189, a + b = 9 হলে, ab = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a³ + b³ = 189
a + b = 9

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - {3ab × (a + b)}
বা, 189 = 9³ - (3ab × 9)
বা, 189 = 729 - 27ab
বা, 27ab = 729 - 189
বা, 27ab = 540
বা, ab = 540/27
∴ ab = 20

প্রশ্ন: যদি a + b = c হয়, তাহলে a³ + b³ + 3abc = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b = c

প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 3abc
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + 3abc
= (c)³ - 3ab . (c) + 3abc
= c³ - 3abc + 3abc
= c³

প্রশ্ন: যদি p³ - q³ = (p - q){(p - q)² - xpq} হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p³ - q³ = (p - q){(p - q)² - xpq}
⇒ (p - q)(p² + pq + q²) = (p - q){(p - q)² - xpq}  ; [a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)]
⇒ p² + pq + q² = p² - 2pq + q² - xpq  ; [উভয় পাশের (p - q) দ্বারা ভাগ করে এবং (a - b)² = a² - 2ab + b²]
⇒ pq + 2pq = - xpq
⇒ 3pq = - xpq
⇒ xpq = - 3pq
∴ x = - 3

প্রশ্ন: একটি বইয়ের দাম একটি কলমের দামের 3 গুণ। যদি 2টি বই ও 3টি কলমের মোট দাম 180 টাকা হয়, তাহলে একটি কলমের দাম কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি কলমের দাম = x টাকা
তাহলে একটি বইয়ের দাম = 3x টাকা

প্রশ্নমতে,
2টি বই ও 3টি কলমের মোট দাম = 180 টাকা
⇒ 2(3x) + 3x = 180
⇒ 6x + 3x = 180
⇒ 9x = 180
⇒ x = 180/9
∴ x = 20

সুতরাং, একটি কলমের দাম 20 টাকা। 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 45 এবং বর্গের যোগফল 106। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি = x ও y
দেয়া আছে, xy = 45 এবং x² + y² = 106

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
= 106 + 2 × 45
= 106 + 90
= 196
⇒ x + y = √196
∴ x + y = 14

∴ সংখ্যা দুইটির যোগফল = 14

প্রশ্ন: যদি a - (1/a) = 3 হয় তবে a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a - (1/a) = 3 
বা, {a - (1/a)}² = (3)²  [বর্গ করে] 
বা, a² + (1/a²) - 2 . a . 1/a = 9 
বা, a² + (1/a²) - 2 = 9 
বা, a² + (1/a²) = 9 + 2 
∴ a² + (1/a²) = 11 

প্রশ্ন: a - b = 6 এবং ab = 40 হলে a + b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b = 6 এবং ab = 40

∴ (a + b)² = (a - b)² + 4ab
= 6² + 4 × 40
= 36 + 160
= 196

∴ a + b = ± √(196)
= ± 14

x³ + 1/x³ = 0
বা, (x + 1/x) (x² - x . 1/x + 1/x²) = 0
বা, (x + 1/x) (x² - 1 + 1/x²) = 0
∴ (x + 1/x) (x² + 1/x² - 1) = 0
হয়,
x + 1/x = 0
অথবা,
x² + 1/x² - 1 = 0
∴ x² + 1/x² = 1

(x+y)⁴ = (x+y)²(x+y)²
= (x²+2xy+y²)(x²+2xy+y²)
= (x²+y²+2xy)(x²+y²+2xy)
= 3xy × 3xy
= 9x²y²

2x + 2/x = 5
বা, x + 1/x = 5/2
আমরা জানি,
a² + 1/b² = (a + 1/b)² - 2ab
∴ x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2.x.1/x
= (5/2)² - 2
= 25/4 - 2
= 25/4 - 8/4
= 17/4

প্রশ্ন:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √3
a - b = √2

প্রদত্ত রাশি = {2a² + 2b²)}/4ab 
= {2(a² + b²)}/4ab
= {(a + b)² + (a - b)²}/{(a + b)² - (a - b)²}
= {(√3)² + (√2)²}/{(√3)² - (√2)²}
= (3 + 2)/(3 - 2)
= 5/1
= 5

প্রশ্ন: 2x + (2/x) = 3 হলে, x² + (1/x²) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x + (2/x) = 3
⇒ 2{x + (1/x)} = 3
⇒ x + (1/x) = 3/2  

এখন, 
x² + (1/x²) = {x + (1/x)}² - 2 × x × (1/x)
= (3/2)² - 2
= (9/4) - 2
= (9 - 8)/4
= 1/4

প্রশ্ন: যদি x² - 3x + 1 = 0 হয়, তবে x³ + 1/(x³) = কত?

সমাধান:
x² - 3x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = 3x
⇒ (x² + 1)/x = 3 [উভয়পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x + (1/x) = 3

এখন,
x³ + 1/(x³)
= {x + (1/x)}³ - 3 . x . (1/x) . {x + (1/x)}
= (3)³ - 3 . 1 . 3
= 27 - 9
= 18

∴ x³ + 1/(x³) = 18

প্রশ্ন: যদি 3y² - 12y + 3 = 0 হয়, তবে (y + 1/y)³ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3y² - 12y + 3 = 0
⇒ 3y² + 3 = 12y
⇒ 3(y² + 1) = 12y
⇒ (y² + 1) = 4y
⇒ (y²/y) + 1/y = 4
∴ y + 1/y = 4

প্রদত্ত রাশি,
(y + 1/y)³
= 43
= 64

দেওয়া আছে,
x+y = 2, x²+y² = 4
x²+y² = (x+y)²-2xy
বা, 4 = (2)²-2xy
বা, xy = 0
এখন,
x³+y³ = (x+y)³-3xy(x+y)
= (2)³-3×0×2
= 8

প্রশ্ন: - 5 - y এর বর্গ নিচের কোনটি?

সমাধান:
- 5 - y এর বর্গ:
(- 5 - y)²
= { - (y + 5)}²
= y² + 2.y.5 + 5²
= y² + 10y + 25

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 20 এবং তাদের বর্গের যোগফল 41। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, দুইটি সংখ্যা x এবং y
দেওয়া আছে, 
x × y = 20
এবং x² + y² = 41

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + 2xy + y²
⇒ (x + y)² = (x² + y²) + 2xy
⇒ (x + y)² = 41 + 2 × 20
⇒ (x + y)² = 41 + 40
⇒ (x + y)² = 81
⇒ x + y = √81
∴ x + y = 9

(x/y - y/x)²
= (x/y + y/x)² - 4.x/y.y/x
= 9 - 4
= 5
∴ (x/y - y/x) = √5
∴ x²/y² - y²/x²
= (x/y + y/x)(x/y - y/x)
= 3√5

এখানে, a² - 8a - 2ab + 16 + b²
= a² + 16 + b² - 8a - 2ab
= (-a)² + 4² + b² + 2.(-a).4 + 2.(-a).b + 2.4.b
= (-a + 5 + b)²
সুতরাং 2.4.b বা 8b যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

2/(√5 + √3)
= 2(√5 - √3)/{(√5 + √3)(√5 - √3)} [লব ও হরের সাথে (√5 - √3) গুণ করে]
= 2(√5 - √3)/{(√5)² - (√3)²}
= 2(√5 - √3)/(5 - 3)
= 2(√5 - √3)/2
= √5 - √3

2x - 2/x = 1
বা, 2(x-1/x) = 1
বা, x - 1/x = 1/2

∴ (x - 1/x)² = 1/4
বা, x² + 1/x² - 2 = 1/4
বা, x² + 1/x² = 1/4 + 2 = 9/4

এখন, (x² + 1/x²)² = (9/4)²
⇒ x⁴ + 1/x⁴ + 2 = 81/16
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 81/16 - 2
∴ x⁴ + 1/x⁴ = 49/16