লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

মোট প্রশ্ন৩,৪০১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

PrepBank · পাতা ২৫ / ৩৪ · ২,৪০১–২,৫০০ / ৩,৪০১

২,৪০১.
x - 1/x = 3 হলে x4 + 1/x4 এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    181
  2. খ
    119
  3. গ
    151
  4. ঘ
    132
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 1/x = 3 হলে x4 + 1/x4 এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
x - 1/x = 3
⇒ (x - 1/x)2 = 32
⇒ x2 - 2.x.(1/x) + (1/x)2 = 9
⇒  x2 + 1/x2 = 11
⇒ (x2 + 1/x2)2 = (11)2
⇒ (x2)2 + 2.x2.(1/x2) + (1/x2)2 = 121
⇒ x4 + 1/x4 = 119

২,৪০২.
x = √5 + √4 হলে x2 + (1/x2) এর মান কত?
  1. ক
    36
  2. খ
    27
  3. গ
    18
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = √5 + √4 হলে x2 + (1/x2) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x = √5 + √4 

1/x = 1/(√5 + √4)
= (√5 - √4)/(√5 - √4) (√5 + √4)
= (√5 - √4)/(√5)2 - (√4)2
= (√5 - √4)/(5 - 4)
= (√5 - √4)/1
1/x = √5 - √4

এখন,
x + 1/x = √5+ √4  + √5 - √4
= 2√5

∴ x2 + (1/x2) = (x + 1/x)2 - 2 . x . 1/x
= (2√5)2 - 2
= 20 - 2
= 18
২,৪০৩.
x + y = 11 এবং x - y = 3 হলে, x2 + y2 এর মান কত?
  1. ক
    45
  2. খ
    53
  3. গ
    49
  4. ঘ
    65
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 11 এবং x - y = 3 হলে, x2 + y2 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 11
x - y = 3

আমরা জানি,
2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x − y)2
= 112 + 32
= 121 + 9
⇒ 2(x2 + y2) = 130
⇒ x2 + y2 = 130/2
∴ x2 + y2 = 65

২,৪০৪.
a + b = √16 এবং a - b = √9 হলে 4ab এর মান কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 7
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = √16  এবং a - b = √9 হলে 4ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে 
a + b = √16
a - b = √9

4ab = (a + b)2 - (a - b)2
        = (√16)2 - (√9)2
         = 16 - 9
         = 7
২,৪০৫.
x + y = 5, xy = 6 হলে x3 + y3 - 3(x2 + y2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) - 2
  3. গ
    গ) - 4 
  4. ঘ
    ঘ) - 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 5, xy = 6 হলে x3 + y3 - 3(x2 + y2) এর মান কত? 

সমাধান: 
x + y = 5
xy = 6

x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
=53 - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35

(x2 + y2) = (x + y)2 - 2xy 
 = 52 - 2 × 6
= 25 - 12
= 13

x3 + y3 - 3(x2 + y2) = 35 - 3 × 13=35 - 39 = - 4 
২,৪০৬.
যদি x = 3 + 2√2 হলে = কত?
  1. ক
    ক) 2√2
  2. খ
    খ) 4√2
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) √2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x = 3 + 2√2 হলে = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 3 + 2√2
বা, x = 2 + 1 + 2√2
বা, x = (√2 + 1)2
বা, √x = √2 + 1

এখন,
1/√x = 1/(√2 + 1)
= (√2 - 1)/(√2 + 1) (√2 - 1)
= (√2 - 1)/(2 - 1)
∴ 1/√x = √2 - 1

∴
= √2 + 1 - √2 + 1
= 2
২,৪০৭.
a2 - 3a, a2- 9 এবং a2 - 4a + 3 বীজগাণিতিক রাশিগুলোর ল.সা.গু কত হবে?
  1. ক
    ক) a(a - 1)(a2 - 9)
  2. খ
    খ) (a + 1)(a2 - 9)
  3. গ
    গ) a(a + 1)(a2 - 9)
  4. ঘ
    ঘ) a(a + 1)(a - 9)2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 3a, a2- 9 এবং a2 - 4a + 3 বীজগাণিতিক রাশিগুলোর ল.সা.গু কত হবে?

সমাধান: 
১ম রাশি = a2 - 3a
             = a(a - 3)
২য় রাশি = a2 - 9
              = a2 - 32 
              = (a + 3)(a - 3)
৩য় রাশি = a2 - 4a + 3
               = a2 - 3a - a + 3
               = a(a - 3) - 1(a - 3)
               = (a - 3)(a - 1)

নির্ণেয় ল.সা.গু = a(a + 3)(a - 3)(a - 1)
                        = a(a - 1)(a2 - 32)
                         = a(a - 1)(a2 - 9)
২,৪০৮.
m2 + n2 = 25 এবং m = 12/n হলে m + n = কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    8
  3. গ
    7
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m2 + n2 = 25 এবং m = 12/n হলে m + n = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
m2 + n2 = 25
এবং m = 12/n
∴ mn = 12

এখন, (m + n)2 = m2 + 2mn + n2
= 25 + 2 ⋅ 12
= 49
∴ m + n = √49 = 7
২,৪০৯.
a - b = 4 হলে a3 - b3 -  12ab = কত ?
  1. ক
    64
  2. খ
    27
  3. গ
    125
  4. ঘ
    78
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = 4 হলে a3 - b3 -  12ab = কত ?

সমাধান: 
 a - b = 4

প্রদত্ত রাশি 
= a3 - b3 - 12ab 
= (a - b)3 + 3ab(a - b)  - 12ab
= 43 + 3ab × 4 - 12ab
= 64 + 12ab - 12ab 
= 64
২,৪১০.
যদি x√3 + 3 = 4 হয়, তবে x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1/√2
  2. খ
    খ) 1/√8
  3. গ
    গ) 1/√3
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা

x√3 + 3 = 4
বা, x√3 = 1
বা, x = 1/√3

২,৪১১.
x + 1/x = 1 হলে (x2 + 1/x2)(x4 + 1/x4) এর মান কত?
  1. ক
    ক) - 1
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 1 হলে (x2 + 1/x2)(x4 + 1/x4) এর মান কত? 

সমাধান: 
x + 1/x = 1
(x + 1/x)2 = 12
x2 + 2x.1/x + (1/x)2 = 1
x2 + 2 + 1/x2 = 1
x2 + 1/x2 = 1 - 2
x2 + 1/x2 = - 1
(x2 + 1/x2)2 = (- 1)2
(x2)2 + 2.x2.1/x2 + (1/x2) = 1
x4 + 2 + 1/x4 = 1
x4 + 1/x4 = 1 - 2
x4 + 1/x4 = - 1


(x2 + 1/x2)(x4 + 1/x4) = (- 1)(- 1) = 1
২,৪১২.
যদি x = √6 + √3 হয়,তবে 1/x এর মান কত?
  1. ক
    (√6 + √3) /3
  2. খ
    (√6 - √3) /3
  3. গ
    (√6 + √3) /2
  4. ঘ
    (√6 - √3) /2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = √6+√3 হয়,তবে 1/x এর মান কত?

সমাধান:

২,৪১৩.
যদি a = √6 + √5 হয়, তাহলে a3+ (1/a3) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 18√6
  2. খ
    খ) 32√6
  3. গ
    গ) 42√6
  4. ঘ
    ঘ) 48√6
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ যদি a = √6 + √5 হয়, তাহলে a3+ (1/a3) এর মান কত?

সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
a = √6 + √5 
∴ 1/a = 1 / (√6 + √5 )
⇒ 1/a = {(√6 - √5 )} / {(√6 + √5 )(√6 - √5 )}
⇒ 1/a = {(√6 - √5 )} / {(√6)2 - (√5)2}
⇒ 1/a = √6 - √5

এখন, 
a + (1/a) = √6 + √5 + √6 - √5 = 2√6

আমরা জানি, 
a3 + (1/a)3 = (a + 1/a)3 - {3.a.(1/a)}(a + 1/a) 
= (2√6)3 - 3 . 2√6
= 8 . 6√6 - 6√6
= 48√6 - 6√6
= 42√6
২,৪১৪.
x4 + 2x2 + 1 = 5x2 হলে x - (1/x) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) √5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- x4 + 2x2 + 1 = 5x2 হলে x - (1/x) এর মান কত?

সমাধান-
দেওয়া আছে,
x4 + 2x2 + 1 = 5x2
⇒ (x4/x2) + (2x2/x2) + (1/x2) = (5x2/x2)
⇒ x2 + 2 + (1/x2) = 5
⇒ x2 + (1/x2) = 3
⇒ (x - 1/x)2 + 2.x.(1/x) = 3
⇒ (x - 1/x)2 + 2 = 3
⇒ (x - 1/x)2 = 1
⇒ x - 1/x = 1
২,৪১৫.
x + 1/x = 4 হলে x/(x2 - 3x + 1) এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 4 হলে x/(x2 - 3x + 1) এর মান কত? 

সমাধান: 
 x + 1/x = 4
(x2 +1)/x = 4
x2 + 1 = 4x

x/(x2 - 3x + 1) = x/(x2 - 3x + 1)
= x/(x2 + 1 - 3x )
= x/(4x - 3x)
= x/x
= 1
২,৪১৬.
a2 + 1/a2 = 14 হলে, a + 1/a = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
a2 + 1/a2 = 14
⇒ (a + 1/a)2 - 2.a.1/a = 14
⇒ (a + 1/a)2 - 2 = 14
⇒ (a + 1/a)2 = 14 + 2
⇒ (a + 1/a)2 = 16
⇒ a + 1/a = 4
২,৪১৭.
যদি a4 - 6a2 + 1 = 0 হয়, তবে a - (1/a) এর মান কত?
  1. ক
    ± 2
  2. খ
    ± 4
  3. গ
    ± 5
  4. ঘ
    ± 6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a4 - 6a2 + 1 = 0 হয়, তবে a - (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, a4 - 6a2 + 1 = 0
⇒ a4 + 1 = 6a2
⇒ (a4 + 1)/a2 = 6
⇒ a2 + (1/a2) = 6
⇒ {a - (1/a)}2 + 2.a.(1/a) = 6
⇒ {a - (1/a)}2 = 6 - 2 
⇒ a - (1/a) = √4
∴ a - (1/a) = ± 2

২,৪১৮.
a3 + b3 = কত?
  1. ক
    ক) a3 + b3 + 3a2b + 3ab2
  2. খ
    খ) (a + b)3 - 3ab (a + b)
  3. গ
    গ) (a + b)3 + 3ab (a + b)
  4. ঘ
    ঘ) (a - b)3 – 3ab. 3ab (a - b)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 + b3 = কত?

সমাধান: 
a3 + b3 =(a + b)3 - 3ab (a + b)
২,৪১৯.
x + 21/3 + 22/3 = 0 হলে, x3 - 6x এর মান কত?
  1. ক
    - 6
  2. খ
    - 4
  3. গ
    3
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 21/3 + 22/3 = 0 হলে, x3 - 6x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 21/3 + 22/3 = 0
বা, x = - (21/3 + 22/3) .......... (1)
বা, x3 = - (21/3 + 22/3)3
বা, x3 = - {(21/3)3 + (22/3)3 + 3.21/3.22/3(21/3 + 22/3)}
বা, x3 = - {2 + 4 + 3.23/3.(- x)}  [(1) নং হতে]
বা, x3 = - (6 - 6x)
বা, x3 = - 6 + 6x
∴ x3 - 6x = - 6 
 
২,৪২০.
x2 + y2 = 5 এবং x2 - y2 = 3 হলে, x4 + y4 = ?
  1. ক
    ক) 15
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 17
ব্যাখ্যা

x4 + y4
= (x2)2 + (y2)2
= 1/2 [2{(x2)2 + (y2)2}]
= 1/2 [{(x2 + y2)2 + (x2 - y2)2}]
= 1/2 [52 + 32]
= 1/2 × 34
= 17

২,৪২১.
(p/q) + (q/p) = 4 হলে (p2/q2) + (q2/p2) + 2 এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    8
  3. গ
    16
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (p/q) + (q/p) = 4 হলে (p2/q2) + (q2/p2) + 2 এর মান কত?

সমাধান:
(p2/q2) + (q2/p2) + 2
= (p/q)2 + 2 ⋅ (p/q) ⋅ (q/p) + (q/p)2
= {(p/q) + (q/p)}2
= 42
= 16
২,৪২২.
a + b + c = 2, a2 + b2 + c2 = 12 এবং ab + bc + ca = 8 হলে, a3 + b3 + c3 - 3abc = ?
  1. ক
    11
  2. খ
    22
  3. গ
    12
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
a3 + b3 + c3 - 3abc
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
= (a + b + c){a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca)}
= 2(12 - 8)
= 2 × 4
= 8
২,৪২৩.
p2 = 11 + 2√30 হলে p- 1 এর মান কত?
  1. ক
    √6 - √5
  2. খ
    √6 + √5
  3. গ
    2(√6 - √5)
  4. ঘ
    (1/2)(√6 - √5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 = 11 + 2√30 হলে p- 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p2 = 11 + 2√30
 = 6 + 2√30 + 5
 = (√6)2 + 2√6 · √5 +(√5)2
 = (√6+ √5)2

∴ p = √6 + √5
⇒ 1/p = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/p = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
⇒ 1/p = (√6 - √5)/(√6)2 - (√5)2}
⇒ 1/p = (√6 - √5)/(6 - 5)
⇒ 1/p = (√6  -√5)/1
∴  p- 1 = √6 - √5
২,৪২৪.
x2 + y2 = 41 এবং xy = 20 হলে, x2 - y2 =?
  1. ক
    7
  2. খ
    8
  3. গ
    9
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 = 41 এবং xy = 20 হলে, x2 - y2 =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 + y2 = 41
xy = 20

আমরা জানি, 
(x2 - y2)2 = (x2 + y2)2 - 4x2y2
⇒ (x2 - y2)2 = (x2 + y2)2 - 4(xy)2
⇒ (x2 - y2)2 = (41)2 - 4(20)2
⇒ (x2 - y2)2 = 1681 - 1600
⇒ (x2 - y2)2 = 81
⇒ (x2 - y2)2 = 92
∴ x2 - y2 = 9
২,৪২৫.
p - (9/p) = 1 হলে, 9/(p2 - p - 1) এর মান কত?
  1. ক
    9/7
  2. খ
    9/8
  3. গ
    9/5
  4. ঘ
    9/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p - (9/p) = 1 হলে, 9/(p2 - p - 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p - (9/p) = 1  
⇒ (p2 - 9)/p = 1
⇒ (p2 - 9) = p
⇒ p2 - p = 9

এখন,
9/(p2 - p - 1)
= 9/(9 - 1)
= 9/8
২,৪২৬.
ঢাল 2 এবং x- এর ছেদবিন্দু (- 4, 0) বিশিষ্ট রেখার সমীকরণ কোনটি?  
  1. ক
    y = x + 4
  2. খ
    y = 2x + 4
  3. গ
    y = x - 8
  4. ঘ
    y = 2x + 8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ঢাল 2 এবং x- এর ছেদবিন্দু (- 4, 0) বিশিষ্ট রেখার সমীকরণ কোনটি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ঢাল, m = 2
x- এর ছেদবিন্দু (- 4, 0)

আমরা জানি,  
y - y1 ​= m(x - x1​)
⇒ y - 0 = 2{x - (- 4)}. ; [এখানে, (x1, y1) = (- 4, 0) এবং m = 2]
⇒ y = 2(x + 4)
∴ y = 2x + 8

অতএব সরল রেখার সমীকরণ, y = 2x + 8.

২,৪২৭.
যদি হয় তবে এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি হয় তবে এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 5
বা, (x2 + 1)/x = 5
∴ x2 + 1 = 5x

∴ 2x/(x2 - 3x + 1) = 2x/(x2 + 1 - 3x)
= 2x/(5x - 3x)
= 2x/2x
= 1
২,৪২৮.
p3 - p2 - 10p - 8 এর উৎপাদক -
  1. ক
    (p - 1) (p - 4) (p + 2)
  2. খ
    (p + 1) (p - 4) (p - 2)
  3. গ
    (p + 1) (p + 4) (p + 2)
  4. ঘ
    (p + 1) (p - 4) (p + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p3 - p2 - 10p - 8 এর উৎপাদক -

সমাধান: 
p3 - p2 - 10p - 8

p = -1 হলে, 
সমীকরণটির মান = (- 1)3 - (- 1)2 - 10 (- 1) - 8 
= - 1 - 1 + 10 - 8 
= 0 

p + 1 সমীকরণটির একটি উৎপাদক। 

p3 - p2 - 10p - 8 
= p3 + p2 - 2p2 - 2p - 8p - 8
=p2(p + 1) - 2p (p + 1) - 8 (p + 1)
= (p + 1) (p2 - 2p - 8)
= (p + 1) (p2 - 4p + 2p - 8)
= (p + 1) {p (p - 4) + 2 (p - 4)}
= (p + 1) (p - 4) (p + 2)
২,৪২৯.
x - y = 5 হলে, x3 - y3 - 15xy এর মান কত?
  1. ক
    27
  2. খ
    65
  3. গ
    125
  4. ঘ
    90
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = 5 হলে, x3 - y3 - 15xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - y = 5

প্রদত্ত রাশি = x3 - y3 - 15xy
= (x - y)3 + 3xy(x - y) - 15xy
= 53 + 3xy × 5 - 15xy
= 125 + 15xy - 15xy
= 125

২,৪৩০.
a + a- 1 = 2 হলে, a4 + (a- 1)4 এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + a- 1 = 2 হলে, a4 + (a- 1)4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + a- 1 = 2
⇒ a + (1/a) = 2

∴ প্রদত্ত রাশি = a4 + (a- 1)4
= a4 + (1/a)4
= (a2)2 + (1/a2)2
= {a2 + (1/a2)}2 - 2 · a2 · (1/a2)
= [{a + (1/a)}2 - 2 · a · (1/a)]2 - 2 · a · (1/a)
= {(2)2 - 2}2 - 2
= (4 - 2)2 - 2
= 22 - 2
= 4 - 2
= 2
২,৪৩১.
a - b = 7 এবং ab = 60 হলে, a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    159
  2. খ
    163
  3. গ
    169
  4. ঘ
    175
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = 7 এবং ab = 60 হলে, a2 + b2 এর মান কত? 

সমাধান: 
a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
= (7)2 + 2 × 60
= 49 + 120
= 169  ।
২,৪৩২.
x2 - 8x - 8y + y2 + 16 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    4xy
  2. খ
    2xy
  3. গ
    6xy
  4. ঘ
    7xy
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 8x - 8y + y2 + 16 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
x2 - 8x - 8y + y2 + 16
= (- x)2 + (- y)2 + (4)2 + 2(- x)(- y) + 2(- x).4 + 2(- y).4 - 2xy 
= (- x - y + 4)2 - 2xy
= (4 - x - y)2 - 2xy

∴ ‍2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।

২,৪৩৩.
2a + 3b = 13 এবং ab = 6 হলে, 8a3 + 27b3 এর মান কত?
  1. ক
    612
  2. খ
    716
  3. গ
    793
  4. ঘ
    814
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a + 3b = 13 এবং ab = 6 হলে, 8a3 + 27b3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + 3b = 13
ab = 6

এখন,
 8a3 + 27b3 
= (2a)3 + (3b)3
= (2a + 3b)3 - 3 ⋅ 2a ⋅ 3b(2a + 3b)
= (2a + 3b)3 - 18ab(2a + 3b)
= 133 - (18 ⋅ 6 ⋅ 13)
= 2197 - 1404
= 793

∴ 8a3 + 27b3 এর মান 793.
২,৪৩৪.
a2 - √5a + 1 = 0 হলে , a3 + (1/a3) এর মান কত?
  1. ক
    √5
  2. খ
    3√5
  3. গ
    2√5
  4. ঘ
    5√5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 - √5a + 1 = 0 হলে , a3 + (1/a3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 - √5a + 1 = 0
a2 + 1 = √5a
(a2 + 1)/a = √5
a + (1/a) = √5 

প্রদত্ত রাশি,
a3 + (1/a3) = {a + (1/a)}3 - 3 × a × (1/a) × {a + (1/a)}
= (√5)3 - 3 × √5
= 5√5 - 3√5
= 2√5

২,৪৩৫.
a + b + c = 0 হলে a3 + b3 + c3 এর মান কত?
  1. ক
    abc
  2. খ
    3abc
  3. গ
    6abc
  4. ঘ
    9abc
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 0 হলে a3 + b3 + c3 এর মান কত?

সমাধান:
a + b + c = 0
a + b = - c

এখন
a3 + b3 + c3
= (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3
= (- c)3 - 3ab(- c) + c3
= - c3 + 3abc + c3
= 3abc
২,৪৩৬.
x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x এর ধনাত্মক মান-
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা

(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
বা, (x + y)2 = (2)2 + 4.24
বা, (x + y)2 = 4 + 96
বা, (x + y) = ± √100
= ± 10

ধনাত্মক মান নিয়ে
x + y = 10
x - y = 2
2x = 12
বা, x = 6

২,৪৩৭.
x = √4 + √3 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5√3
  2. খ
    খ) 52
  3. গ
    গ) 5√2
  4. ঘ
    ঘ) 2√5
ব্যাখ্যা
x = √4 + √3
∴ 1/x = 1/(√4 + √3)
         = (√4 - √3)/(√4 + √3)(√4 - √3)
         = (√4 - √3)/{(√4)2 - (√3)2}
         = (√4 - √3)/(4 - 3)
         = √4 - √3
x + 1/x
= √4 + √3 + √4 - √3
=2√4
= 2 × 2 [√4 = 2]
= 4

x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.1/x(x + 1/x)
= 43 - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52
২,৪৩৮.
a এর মান কত হলে 25 - 20x + ax2 একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a এর মান কত হলে 25 - 20x + ax2 একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান: 
25 - 20x + ax2 = 52 - 2.5.2x  + (2x)2
⇒ 25 - 20x + ax2  = 25 - 20x + 4x2
∴ a = 4 হলে রাশিটি পূর্নবর্গ হবে।
২,৪৩৯.
{x3 + y3 + 3xy(x + y)}/(a + b)3 , {a3 + b3 + 3ab(a + b)}/(x2 - y2) , (x - y)2/(x + y)2 এর গুণফল কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) x + y
  3. গ
    গ) x - y
  4. ঘ
    ঘ) (x + y)/(x - y)
ব্যাখ্যা
[{x3 + y3 + 3xy(x + y)}/(a + b)3] × [{a3 + b3 + 3ab(a + b)}/(x2 - y2)] × [(x - y)2/(x + y)2] 
[(x + y)3/(a + b)3] × [(a + b)3/(x + y)(x - y)]× [(x - y)(x - y)/(x + y)(x + y)] 
= x - y
২,৪৪০.
ab + bc + ca = 19 এবং a2 + b2 + c2 = 26 হলে, a + b + c = কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    9
  3. গ
    12
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ab + bc + ca = 19 এবং a2 + b2 + c2 = 26 হলে, a + b + c = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇒ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ (a + b + c)2 = 26 + (2 × 19)
⇒ (a + b + c)2 = 26 + 38
⇒ (a + b + c)2 = 64
⇒ a + b + c = √64
∴ a + b + c = 8
২,৪৪১.
হলে এর মান কত?
  1. ক
    ক) - 9
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) - 3√3
  4. ঘ
    ঘ) - 9√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: হলে এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
4m2 + 1/m2 = - 1
বা, (2m)2 + (1/m)2 = - 1
বা, (2m + 1/m)2 - 2 . 2m . (1/m) = - 1
বা, (2m + 1/m)2 - 4 = - 1
বা, (2m + 1/m)2 = - 1 + 4
∴ (2m + 1/m) = √3

প্রদত্ত রাশি = √3(8m3 + 1/m3)
= √3{(2m)3 + (1/m)3}
= √3{(2m + 1/m)3 - 3 . 2m(1/m)(2m + 1/m)}
= √3{(√3)3 - 6√3}
= √3{3√3 - 6√3}
= √3 × (- 3√3)
= - 9
২,৪৪২.
a - b থেকে b - a বিয়োগ করলে বিয়োগফল কত হবে?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 2b - 2a
  3. গ
    গ) 2a - 2b
  4. ঘ
    ঘ) a + b
ব্যাখ্যা
a - b থেকে b - a বিয়োগ
= (a - b) - (b - a)
= a - b - b + a
= 2a - 2b
২,৪৪৩.
যদি a2 + b2 - c2 = 0 হয়, তবে  a6 + b6 + 3a2b2c2 = ?
  1. ক
    c2
  2. খ
    c4
  3. গ
    a6 + b6
  4. ঘ
    c6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a2 + b2 - c2 = 0 হয়, তবে  a6 + b6 + 3a2b2c2 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a2 + b2 - c2 = 0
⇒ a2 + b2 = c2 ............(1)
⇒ (a2 + b2)3 = (c2)3  ; [ঘন করে]
⇒ (a2)3 + (b2)3 + 3 . a2 . b2(a2 + b2) = c6   
⇒ a6 + b6  + 3 . a2 . b2 . c2 = c6    ; [1 নং হতে]
∴ a2 + b2 = c2 = c6 

২,৪৪৪.
x - 1/x = 2 হলে, x3 - 1/x3 = কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 14
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 2 হলে, x3 - 1/x3 = কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
 x - 1/x = 2

প্রদত্ত রাশি =  x3 - 1/x3 
                 = (x - 1/x)3 + 3. x. (1/x)(x - 1/x)
                 = 23 + 3× 2
                 = 8 + 6
                 = 14
২,৪৪৫.
  1. ক
    0
  2. খ
    6√6
  3. গ
    6
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

২,৪৪৬.
যদি Q/P = 1/4 হয় তবে (P+Q)/(P-Q) এর মান-
  1. ক
    ক) 5/3
  2. খ
    খ) 2/3
  3. গ
    গ) 3/5
  4. ঘ
    ঘ) 5/7
ব্যাখ্যা

Q/P = 1/4 
⇒ P/Q = 4/1 [ব্যস্তকরণ করে]
⇒ (P + Q)/(P-Q) = (4 + 1)/(4 - 1) [ যোজন-বিয়োজন করে]
                             = 5/3

২,৪৪৭.
x+y = 10 ও x-y = 4 হলে xy এর মান কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 21
  3. গ
    গ) 25
  4. ঘ
    ঘ) 29
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
xy = {(x+y)/2}² - {(x-y)/2}²
= (10/2)² - (4/2)²
= 5² - 2²
= 25 - 4
= 21

২,৪৪৮.
a + b = 15, a - b = 1 হলে, ab = কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 18
  3. গ
    গ) 56
  4. ঘ
    ঘ) 112
ব্যাখ্যা
a + b = 15…..(i), a - b = 1…..(ii)
(i) + (ii) = 2a = 16 বা, a = 8 এবং b = 7
সুতরাং, ab = 8 × 7 = 56
২,৪৪৯.
m + (1/m) = 3 হলে, m2 + (1/m)2 এর মান কত?  
  1. ক
    3 
  2. খ
    5 
  3. গ
    7 
  4. ঘ
    9 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m + (1/m) = 3 হলে, m2 + (1/m)2 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
m + (1/m) = 3 

প্রদত্ত রাশি = m2 + (1/m)2 
= {m + {1/m)}2 - 2.m.(1/m)
= (3)2 - 2
= 9 - 2
= 7

২,৪৫০.
a - 1/a = 5 হলে, a3 - 1/a3 এর মান কত?
  1. ক
    120
  2. খ
    130
  3. গ
    140
  4. ঘ
    150
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - 1/a = 5 হলে, a3 - 1/a3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - 1/a = 5

প্রদত্ত রাশি,
a3 - 1/a3 = (a - 1/a)3 + 3. a. (1/a)(a - 1/a)
= 53 + 3 × 5
= 125 + 15
= 140
২,৪৫১.
যদি x + y = 8 এবং x - y = 2 হয়, তবে 2x2 + 2y2 এর মান কত?
  1. ক
    72
  2. খ
    64
  3. গ
    68
  4. ঘ
    70
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 8 এবং x - y = 2 হয়, তবে 2x2 + 2y2 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 8 এবং x - y = 2

প্রদত্ত রাশি = 2x2 + 2y2
= 2(x2 + y2)
= (x + y)2 + (x - y)2
= 82 + 22 
= 64 + 4 
= 68

২,৪৫২.
যদি a4 − 27a2 + 1 = 0, তবে a − 1/a এর মান কত?
  1. ক
    ±4
  2. খ
    ±5
  3. গ
    ±6
  4. ঘ
    ±7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a4 − 27a2 + 1 = 0, তবে a − 1/a এর মান কত?

সমাধান:
a4 − 27a2 + 1 = 0
⇒ a4 + 1 = 27a2
⇒ (a4 + 1)/a2 = 27
⇒ a2 + (1/a2) = 27
⇒ {a - (1/a)}2 + 2 . a . (1/a) = 27
⇒ (a - 1/a)2 + 2 = 27
⇒ (a - 1/a)2 = 27 - 2
⇒ (a - 1/a) = √25
∴ a - 1/a = ±5

২,৪৫৩.
  1. ক
    ক) √2 - √3
  2. খ
    খ) √2 + √3
  3. গ
    গ) √3 - √2
  4. ঘ
    ঘ) 2√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:


সমাধান:


২,৪৫৪.
x4 - 2x2 - 1= 0 হলে x2 - 1/x2 = কত?
  1. ক
    ক) - 2
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) - 1
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
x4 - 2x2 - 1= 0
x4 - 1 = 2x2
x4/x2 - 1/x2 = 2x2/x2
x2 - 1/x2 = 2
২,৪৫৫.
a = - 3 এবং b = 2 হলে, 27a3 + 135a2b + 225ab2 + 125b3 এর মান-
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    27
  4. ঘ
    125
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = - 3 এবং b = 2 হলে, 27a3 + 135a2b + 225ab2 + 125b3 এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = - 3 এবং b = 2;

প্রদত্ত রাশি = 27a3 + 135a2b + 225ab2 + 125b3
=(3a)3 + 3 · (3a)2 · 5b + 3 · 3a · (5b)2 + (5b)3
= (3a + 5b)3
= {3(- 3) + 5(2)}3
= (- 9 + 10)3
=(1)3
= 1
২,৪৫৬.
x2 + 10x + 24 কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তরফলরুপে প্রকাশ: 
  1. ক
    ক) (x + 5)2 - 12
  2. খ
    খ) (2x + 10)2 - 12
  3. গ
    গ) (x + 5)2 - 22
  4. ঘ
    ঘ) (x - 5)2 - 12
ব্যাখ্যা
x2 + 10x + 24
= x2 + 4x + 6x + 24
= x(x + 4) + 6(x + 4)
= (x + 4)(x + 6)
= {(x + 4) + (x + 6)}2 - {(x + 4) - (x + 6)}2/4
= {(2x + 10)2 - 4}/4
= (x + 5)2 - 12
২,৪৫৭.
a2 + b2 + c2 = 9 এবং ab + bc + ca = 8 হলে,  a + b + c এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    7
  3. গ
    17
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + b2 + c2 = 9 এবং ab + bc + ca = 8 হলে,  a + b + c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 + c2 = 9
ab + bc + ca = 8

আমরা জানি,
(a + b + c)2 = (a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca)
= 9 + ( 2 × 8)
= 9 + 16
= 25

∴ a + b + c = √25 = 5
২,৪৫৮.
9x2 + 12x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    2
  2. খ
    6
  3. গ
    4
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9x2 + 12x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
9x2 + 12x
= (3x)2 + 2 × 3x × 2 + (2)2 - 4
= (3x + 2)2 - 4

∴ 4 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

২,৪৫৯.
a + b = √7 এবং a - b = √3 হলে a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    8
  3. গ
    5
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = √7 এবং a - b = √3 হলে a2 + b2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7
a - b = √3

আমরা জানি,
2 (a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
বা, 2 (a2 + b2) = (√7)2 + (√3)2
বা, 2 (a2 + b2) = 7 + 3
বা, a2 + b2 = 10/2
∴ a2 + b2 = 5
২,৪৬০.
যদি a + b + c = 11, ab + bc + ca = 49 হয়, তবে a2 + b2 + c2 = কত?
  1. ক
    ক) 19
  2. খ
    খ) 21
  3. গ
    গ) 23
  4. ঘ
    ঘ) 25
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
a + b + c = 11
ab + bc + ca = 49


আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
                      = 112 - 2 × 49 
                       = 121 - 98
                        = 23
২,৪৬১.
x + 1/x = 2 হলে x3 + 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.1/x(x + 1/x)
= 23 - 3.2
= 2
২,৪৬২.
2a²-4ab+4b² থেকে কত যোগ বা বিয়োগ করলে তা একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 2a² যোগ করলে
  2. খ
    খ) 2b² বিয়োগ করলে
  3. গ
    গ) a² বিয়োগ করলে
  4. ঘ
    ঘ) 2ab যোগ করলে
ব্যাখ্যা
2a2-4ab+4b2
= a2+a2-2.2ab+(2b)2
= a2+(a-2b)2 
অর্থাৎ, এখানে একটি a2 বাড়তি আছে যা বিয়োগ করলে পুর্ণবর্গ পাওয়া যায়।
২,৪৬৩.
x - {a - (x - b)} = ?
  1. ক
    ক) 2x - a - b
  2. খ
    খ) 2x - 2a
  3. গ
    গ) 2a - 2b
  4. ঘ
    ঘ) x- a + b
ব্যাখ্যা
x - {a - (x - b)}
= x - {a -x + b}
= x - a +x - b
= 2x - a - b
২,৪৬৪.
a = √6 + √5 হলে, a3 + (1/a3) এর মান কত?
  1. ক
    18√6
  2. খ
    36√5
  3. গ
    42√6
  4. ঘ
    96√5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = √6 + √5 হলে, a3 + (1/a3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √6 + √5
⇒ 1/a = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/a = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
⇒ 1/a = (√6 - √5)/{(√6)2 - (√5)2}
⇒ 1/a = √6 - √5

এখন,
a + (1/a) = √6 + √5 + √6 - √5 = 2√6
∴ a3 + (1/a3) = {a + (1/a)}3 - 3 × a × (1/a){a + (1/a)}
= (2√6)3 - 3 × 2√6
= 48√6 - 6√6
= 42√6

২,৪৬৫.
(x + 6)(x + 4) কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করলে হবে- 
  1. ক
    (x + 5)2 - 12
  2. খ
    (x + 4)2 - 12
  3. গ
    (x + 3)2 - 12
  4. ঘ
    (x + 5)2 - 22
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + 6)(x + 4) কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করলে হবে- 

সমাধান: 
আমরা জানি, ab = {(a + b)/2}2 - {(a - b)/2)2
∴(x + 6)(x + 4)
= {(x + 6 + x + 4)/2}2 - {(x + 6 - x - 4)/2}2
= {(2x + 10)/2}2  - (2/2)2
= (x + 5)2 - 12
২,৪৬৬.
x + y = 14 ও x - y = 6 হলে xy এর মান কত?
  1. ক
    36
  2. খ
    40
  3. গ
    44
  4. ঘ
    48
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 14 ও x - y = 6 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 14, x - y = 6

আমরা জানি,
4xy = (x + y)2 - (x - y)2
বা, 4xy = (14)2 - (6)2
বা, 4xy = 196 - 36
বা, 4xy = 160
∴ xy = 40

২,৪৬৭.
a + b = 5 এবং a - b = 3 হলে 4(a2 + b2) এর মান কত?
  1. ক
    17
  2. খ
    68
  3. গ
    34
  4. ঘ
    51
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 5 এবং a - b = 3 হলে 4(a2 + b2) এর মান কত?

সমাধান:
a + b = 5 ..........(1)
a - b = 3 ...........(2)

(1) + (2) হতে পাই,
a + b  + a - b = 5 + 3
⇒ 2a = 8
⇒ a = 8/2 = 4

(1) নং হতে পাই,
4 + b = 5
⇒ b = 5 - 4
⇒ b = 1

∴ 4(a2 + b2) = 4 × (42 + 12)
= 4 × (16 + 1)
= 4 × 17
= 68
২,৪৬৮.
a = 3 হলে  ‍a3= কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 27
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 3 হলে a3 = কত?

সমাধান: 
 a = 3 

a3 =33 = 27
২,৪৬৯.
(3x2 + 8x + 4) কে (x + 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?
  1. ক
    4x + 3
  2. খ
    3x + 4
  3. গ
    2x + 3
  4. ঘ
    3x + 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (3x2 + 8x + 4) কে (x + 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে? 

সমাধান: 
3x2 + 8x + 4
= 3x2 + 6x + 2x + 4
= 3x(x + 2)+ 2(x + 4)
= (x + 2)(3x + 2)


(3x2 + 8x + 4) কে (x + 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল = (3x2 + 8x + 4)/(x + 2)
= (x + 2)(3x + 2)/(x + 2)
= 3x + 2
২,৪৭০.
x - 2y = 3 হলে, x3 - 8y3 - 18xy এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    25
  2. খ
    18
  3. গ
    23
  4. ঘ
    27
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 2y = 3 হলে, x3 - 8y3 - 18xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে 
 x - 2y = 3

এখন 
 x3 - 8y3 - 18xy 
= x3 - (2y)3  - 18xy 
= (x - 2y)3 + 3x.2y(x - 2y) - 18xy
= 33 + 6xy.3 - 18xy
= 27 + 18xy - 18xy
= 27
২,৪৭১.
a4 - 51a2 + 1 = 0 হলে, a - 1/a এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    7
  3. গ
    9
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a4 - 51a2 + 1 = 0 হলে, a - 1/a এর মান কত?

সমাধান:
a4 - 51a2 + 1 = 0
⇒ a4 + 1 = 51a2
⇒ (a4 + 1)/a2 = 51
⇒ a2 + (1/a2)= 51
⇒ (a - 1/a)2 + 2 . a . 1/a = 51
⇒ (a - 1/a)2 = 49
∴ (a - 1/a) = 7

২,৪৭২.
x3, x2, x2y2 এর গ.সা.গু-
  1. ক
    x3
  2. খ
    x2
  3. গ
    xy
  4. ঘ
    y2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3, x2, x2y2 এর গ.সা.গু- 

সমাধান:
১ম রাশি = x3
২য় রাশি = x2
৩য় রাশি = x2y2

নির্ণেয় গ.সা.গু = x2
২,৪৭৩.
9m2 + 25n2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
  1. ক
    25mn
  2. খ
    50mn
  3. গ
    15mn
  4. ঘ
    30mn
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9m2 + 25n2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
9m2 + 25n2
= (3m)2 + (5n)2

আমরা জানি,
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
∴ (3m)2 + 2.(3m).(5n) + (5n)2
= (3m + 5n)2

অর্থাৎ (3m)2 + (5n)2 এর সাথে যদি 2.3m.5n = 30mn যোগ করি তাহলে পূর্ণবর্গ হবে।

∴ 9m2 + 25n2 এর সাথে 30mn যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

২,৪৭৪.
a = √7 + √6 হলে a3 - 1/a3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 54√6
  2. খ
    খ) 18√6
  3. গ
    গ) 42√6
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = √7 + √6 হলে a3 - 1/a3 এর মান কত? 

সমাধান: 
a = √7 + √6 
1/a = 1/(√7 + √6)  
      = (√7 - √6)/(√7 + √6)(√7 - √6)
      = (√7 - √6)/(√7)2 - (√6)2
      = (√7 - √6)/(7 - 6)
      =√7 - √6 

a - 1/a = √7 + √6 - √7 + √6
           = 2√6

 a3 - 1/a3 = (a)3 - (1/a)3
                 = (a - 1/a)3 + 3a(1/a)(a - 1/a)
                 = (2√6)3 + 3 × 2√6
                 = 8 × 6√6 + 6√6 
                 = 48√6 + 6√6
                  = 54√6
২,৪৭৫.
যদি p + q = 20 এবং p - q = 6 হয়, তবে 3p2 + 3q2 = ?
  1. ক
    696
  2. খ
    708
  3. গ
    684
  4. ঘ
    654
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p + q = 20 এবং p - q = 6 হয়, তবে 3p2 + 3q2 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
p + q = 20 এবং p - q = 6

প্রদত্ত রাশি, 
3p2 + 3q2
= (3/2){2(p2 + q2)}
= (3/2){(p + q)2 + (p - q)2}
= (3/2)(202 + 62)
= (3/2)(400 + 36)
= (3/2) × 436
= 3 × 218
= 654

২,৪৭৬.
a + b = 6 এবং ab = 8 হলে (a - b)2 = কত?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

(a - b)2
= (a + b)2 - 4ab
= (6)2 - 4 X 8
= 36 - 32
= 4

২,৪৭৭.
x + y = 2, x2 + y2 = 4 হলে, x3 + y3 এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    16
  3. গ
    25
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 2, x2 + y2 = 4 হলে, x3 + y3 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
বা, 22 = 4 + 2xy
বা, 2xy = 0
∴ ‍xy = 0

প্রদত্ত রাশি,
x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
= 23 - 3 × 0 × 2
= 8 - 0
= 8

২,৪৭৮.
x + (1/x) = 5 হয়, তবে x/(x2 + x + 1) এর মান কত?
  1. ক
    1/5
  2. খ
    1/6
  3. গ
    1/4
  4. ঘ
    1/8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 5 হয়, তবে x/(x2 + x + 1) এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = 5 
বা, (x2 + 1)/x = 5
বা, x2 + 1 = 5x 

এখন, 
x/(x2 + x + 1) 
= x/(x2 + 1 + x)
= x/(5x + x)  [∴ x2 + 1 = 5x] 
= x/6x
= 1/6
২,৪৭৯.
যদি a + b = √5 এবং a - b= √3 হয়, তবে 4ab = কত? 
  1. ক
    ক) 15
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, 
a + b = √5
a - b= √3 

আমরা জানি,
4ab = (a+b)² - (a - b)² 
       = (√5)2 - (√3)2
       = 5 - 3 
       = 2
২,৪৮০.
যদি a + b + c = 10, ab + bc + ca = 36 হয়, তবে a2 + b2 + c2 = কত?
  1. ক
    ক) 22
  2. খ
    খ) 25
  3. গ
    গ) 26
  4. ঘ
    ঘ) 28
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b + c = 10, ab + bc + ca = 36 হয়, তবে a2 + b2 + c2 = কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
a + b + c = 10
ab + bc + ca = 36

আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
                      = 102 - 2 × 36 
                       = 100 - 72 
                        = 28
২,৪৮১.
a + b = 8 এবং ab =15 হলে, a2 + b2 এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    94
  2. খ
    64
  3. গ
    44
  4. ঘ
    34
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 8 এবং ab =15 হলে, a2 + b2 এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
= (8)2 - 2 × 15
= 64 - 30
= 34
২,৪৮২.
যদি a + b + c = 6 এবং ab + bc + ca = 11 হয়, তবে a2 + b2 + c2 =  কত?
  1. ক
    18
  2. খ
    22
  3. গ
    16
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 6 এবং ab + bc + ca = 11 হয়, তবে a2 + b2 + c2 =  কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6 এবং ab + bc + ca = 11

আমরা জানি,
a2 + b2 + c2 =  (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
= (6)2 - 2 × 11
= 36 - 22
= 14

২,৪৮৩.
যদি x = √10 + 3 হয়, তবে x3 - 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    216
  2. খ
    234
  3. গ
    254
  4. ঘ
    334
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = √10 + 3 হয়, তবে x3 - 1/x3 এর মান কত?

সমাধন: 
দেওয়া আছে, 
x = √10 + 3

এখন, 
1/x = 1/(√10 + 3)
= (√10 - 3)/(√10 + 3)(√10 - 3)
= (√10 - 3)/(√10)2 - (3)2
= (√10 - 3)/(10 - 9)
= √10 - 3
∴ 1/x = √10 - 3

∴ x - 1/x = √10 + 3 - √10 + 3 = 6

প্রশ্নমতে, 
x3 - 1/x3
= (x - 1/x)3 + 3 × x × (1/x)(x - 1/x)
= 63 + (3 × 6)
= 216 + 18
= 234

২,৪৮৪.
(a + b)3 + (a - b)3 এর মান কত হবে?
  1. ক
    2a3
  2. খ
    2a3 + 6ab2
  3. গ
    6ab2
  4. ঘ
    2b3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a + b)3 + (a - b)3 এর মান কত হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ,
(a + b)3 + (a - b)3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
= 2a3 + 6ab2

২,৪৮৫.
x4 + 2x2 + 1 = 5x2 হলে  x + (1/x) = কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 2√5
  3. গ
    গ) √5
  4. ঘ
    ঘ) 5√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 + 2x2 + 1 = 5x2 হলে  x + (1/x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x4 + 2x2 + 1 = 5x2
⇒ (x2)2 + 2 . x2 . 1 + 12 = 5x2
⇒ (x2 + 1)2 = (√5x)2
⇒ x2 + 1 = √5x
⇒ (x2/x) + (1/x) = √5
∴ x + 1/x = √5
২,৪৮৬.
x2 - 3x + 1 = 0 হলে x2 - (1/x2) এর মান কত?
  1. ক
    3√5
  2. খ
    5√3
  3. গ
    4√5
  4. ঘ
    6√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 3x + 1 = 0 হলে x2 - (1/x2) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x2 - 3x + 1 = 0 
বা, x2 + 1 = 3x 
∴ x + (1/x) = 3 -------(¡) 
বা, {x + (1/x)}2 = (3)2 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 
বা, {x - (1/x)}2 + 4. x. (1/x) = 9 
বা, {x - (1/x)}2 = 9 - 4 
বা, {x - (1/x)}2 = 5 
∴ x - (1/x) = √5 

এখন, 
x2 - (1/x2) 
= {x + (1/x)} {x - (1/x)} 
= 3 × √5 
= 3√5
২,৪৮৭.
x + (1/x) = √5 হলে (x6 + 1)/x3 এর মান কত?
  1. ক
    8√5
  2. খ
    9√5
  3. গ
    2√5
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = √5 হলে (x6 + 1)/x3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = √5

প্রদত্ত রাশি = (x6 + 1)/x3
= x6/x3 + 1/x3
= x3 + (1/x3)
= {x + (1/x)3- 3 . x . (1/x){x + (1/x)}
= (√5)3 - 3√5
= 5√5 - 3√5
= 2√5
২,৪৮৮.
a + (1/a) = 7 হলে, a/(a2 + a + 1) এর মান কত?
  1. ক
    1/7
  2. খ
    1/4
  3. গ
    1/6
  4. ঘ
    1/8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + (1/a) = 7 হলে, a/(a2 + a + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 7
⇒ (a2 + 1)/a = 7
⇒ a2 + 1 = 7a 

এখন,
 a/(a2 + a + 1)
= a/(7a + a)
= a/8a
= 1/8

২,৪৮৯.
a - b = c হলে, a3 - b3 - c3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) - 3abc
  3. গ
    গ) 3abc
  4. ঘ
    ঘ) 2c3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = c হলে, a3 - b3 - c3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a - b = c
এখন, a3 - b3 - c3  = {(a - b)3 + 3ab (a - b)} - c3
= c3 + 3abc - c3
= 3abc
২,৪৯০.
যদি x2 + y2 + z2 = 2 এবং x + y + z = 3 হয়, তাহলে 2(xy + yz + zx) এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    5
  3. গ
    7
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x2 + y2 + z2 = 2 এবং x + y + z = 3 হয়, তাহলে 2(xy + yz + zx) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, x2 + y2 + z2 = 6 এবং x + y + z = 2
আমরা জানি, (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
⇒ 2(xy + yz + zx) = (x + y + z)2 - (x2 + y2 + z2)
⇒  2(xy + yz + zx) = 32 - 2
= 9 - 2
= 7
২,৪৯১.
x + (1/x) = √7 হলে, x3 + (1/x3) =?
  1. ক
    49
  2. খ
    4√7
  3. গ
    √7
  4. ঘ
    46√7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = √7 হলে, x3 + (1/x3) =?

সমাধান:
x3 + (1/x3)
= {x + (1/x)}3 - 3 · x · (1/x) · {x + (1/x)}
= (√7)3 - 3 × √7
= 7√7 - 3√7
= 4√7
২,৪৯২.
x2+y2 = 14 এবং xy = 3 হলে, (x-y)2 = কত?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 14
ব্যাখ্যা
(x-y)2 = x2 +y2 -2xy
= 14 -6
= 8
২,৪৯৩.
a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    89
  2. খ
    79
  3. গ
    69
  4. ঘ
    97
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, a2 + b2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 a + b = 13
এবং
a - b = 3 

আমরা জানি, 
2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2 
বা, 2(a2 + b2) = (13)2 + (3)2 
বা,  2(a2 + b2) = 169 + 9 
বা,  2(a2 + b2) = 178 
বা, (a2 + b2) = 178/2 
∴ a2 + b2 = 89
২,৪৯৪.
a + b = 7 এবং ab = 10 হলে, (a - b)2 এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    15
  3. গ
    9
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 7 এবং ab = 10 হলে, (a - b)2 এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
= (7)2 - 4 × 10  
= 49 - 40
= 9
২,৪৯৫.
x + (1/x) = √3 হলে x2 + (1/x2) এর মান কত?
  1. ক
    √3 - 2
  2. খ
    1
  3. গ
    5
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = √3 হলে x2 + (1/x2) এর মান কত?

সমাধান:
x2 + (1/x2)
= x2 + (1/x)2
= {x + (1/x)}2 - 2.x.(1/x)
= (√3)2 - 2  [ x + (1/x) = √3]
= 3 - 2
= 1
২,৪৯৬.
 p2 + p - 2 এবং p4 + p2 + 1 এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) p + 2
  4. ঘ
    ঘ) p2 + 1 - p
ব্যাখ্যা

১ম রাশি, p2 + p - 2 = p2 + 2p - p - 2 = p(p + 2) - 1(p + 2) = (p + 2)(p - 1)
২য় রাশি, p4 + p2 + 1 = (p2)2 + 2p2 + 1 - p2 = (p2 + 1)2 - p2 = (p2 + 1 - p)(p2 + 1 + p)
∴ p2 + p - 2 এবং p4 + p2 + 1 এর গ.সা.গু = 1.

২,৪৯৭.
x + y = 5, xy = 6 ও x > y হলে, x5 + y5 এর মান কত?
  1. ক
    260
  2. খ
    275
  3. গ
    320
  4. ঘ
    340
ব্যাখ্যা
x + y = 5 ----------(1)
(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy
            = 52 - 4 × 6
            = 1
x - y = 1-----------( 2)
সমীকরণ (1) ও (2) সমাধান করে পাই,
x = 3
y = 2
∴ x5 + y5 = 35 + 25 = 243 + 32 = 275
২,৪৯৮.
x = 1 + √3 হলে x3 - 6√3 = কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 1 + √3 হলে x3 - 6√3 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 1 + √3
বা, x3 = (1 + √3)3
বা, x3 = 13 + 3 . 12 . √3 + 3 . 1 . (√3)2 + (√3)3
বা, x3 = 1 + 3√3 + 9 + 3√3
বা, x3 = 10 + 6√3
∴ x3 - 6√3 = 10
২,৪৯৯.
x2 + y2 = 185, x - y = 3 হলে (x, y) = কত?
  1. ক
    ক) (7, 4)
  2. খ
    খ) (9, 6)
  3. গ
    গ) (10, 7)
  4. ঘ
    ঘ) (11, 8)
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
2 (x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2
⇒ 2 × 185 = (x + y)2 + (3)2
⇒ (x + y)2 = 370 - 9
⇒ (x + y)2 = 361
∴ x + y = 19 ------- (i)
আবার, x - y = 3 ------- (ii)
(i) + (ii) ⇒ 2x = 22
∴ x = 11
∴ y = 8
∴ (x, y) = (11, 8)

২,৫০০.
ab = 2 এবং ab2 = 8 হলে a এর মান কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ab = 2 এবং ab2 = 8 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
ab = 2 
⇒ b = 2/a

∴ a × (2/a)2 = 8
⇒ a × (4/a2) = 8
⇒ 4/a = 8
⇒ a = 8/4
∴ a = 1/2