লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

মোট প্রশ্ন৩,৪০১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

PrepBank · পাতা ২৩ / ৩৪ · ২,২০১–২,৩০০ / ৩,৪০১

২,২০১.
  1. ক
    46√4
  2. খ
    34√5
  3. গ
    68
  4. ঘ
    42√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
 

সমাধান:
২,২০২.
x2 + y2 + z2 = 2, xy + yz + zx = 1 হলে, (x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2 এর মান-
  1. ক
    14
  2. খ
    6
  3. গ
    12
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 + z2 = 2, xy + yz + zx = 1 হলে, (x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2 এর মান-
 
সমাধান: 
দেওয়া আছে
x2 + y2 + z2 = 2
xy + yz + zx = 1
 
প্রদত্ত রাশি = (x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2 
= x2 + 2xy + y2 + y2 + 2yz + z2 + z2 + 2zx + x2
= 2x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy + 2yz + 2xz
= 2(x2 + y2 + z2) + 2(xy + yz + zx)
= (2 × 2) + (2 × 1)
= 4 + 2
= 6
২,২০৩.
যদি a + b = m, a2 + b2 = n এবং a3 + b3 = p3 হয়, তাহলে m3 + 2p3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) - 3mn
  2. খ
    খ) mn/3
  3. গ
    গ) 3mn
  4. ঘ
    ঘ) 3m2n2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b = m, a2 + b2 = n এবং a3 + b3 = p3 হয়, তাহলে m3 + 2p3 এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = m,
a2 + b2 = n
a3 + b3 = p3

m3 + 2p3 = (a + b)3 + 2(a3 + b3)
                 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 2a3 + 2b3
                = 3a3 + 3a2b + 3ab2 + 3b3
                = 3(a3 + a2b + ab2 + b3)
               = 3 {a2(a + b) + b2(a + b)}
                 = 3(a + b)(a2 + b2)
                 = 3mn
২,২০৪.
a = √5 - √4 হলে a2 + 1/a2 = ?
  1. ক
    20
  2. খ
    18
  3. গ
    2√5
  4. ঘ
    2√4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : a = √5 - √4 হলে a2 + 1/a2 = ? 

সমাধান :  
দেয়া আছে, 
a = √5 - √4

∴ 1/a = 1/(√5 - √4)
= 1(√5 + √4) / (√5 - √4)(√5+ √4)
= (√5 + √4) / (√5)2 - (√4)2
= (√5 + √4) / 5-4
= (√5 + √4)       

এখন,
a2 + 1/a2 = (a+1/a)2 - 2×a×1/a
= (√5 - √4 +√5 + √4)2 - 2
= (2√5)2 - 2
= 20 - 2
= 18

উত্তর: 18

[যদি x = a+b, এবং a2 - b2=1 হয়, তাহলে 1/x = a-b হবে]
২,২০৫.
a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25 হলে, a3 + b3 এর মান কত?
  1. ক
    71
  2. খ
    61
  3. গ
    91
  4. ঘ
    94
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25 হলে, a3 + b3 এর মান কত?

সমাধান:
a2 + b2 = 25
⇒ (a + b)2 - 2ab = 25
⇒ 72 - 2ab = 25
⇒ - 2ab = 25 - 49
⇒ 2ab = 24
∴ ab = 12

এখন, a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= 73 - 3 × 12 × 7
= 343 - 252
= 91
২,২০৬.
b এর মান কত হলে (9a2 - ab + 16) রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    12
  2. খ
    18
  3. গ
    24
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: b এর মান কত হলে (9a2 - ab + 16) রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
9a2 - ab + 16
= (3a)2 - 2 × 3a × 4 + (4)2
= (3a - 4)2
 
অতএব,
ab = 2 × 3a × 4
⇒ ab = 24a
∴ b = 24
b এর মান 24 হলে প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
২,২০৭.
x - 2 = √3 হলে x2 + 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    28
  2. খ
    22
  3. গ
    18
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 2 = √3 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 2 = √3
বা, x = √3 + 2
বা, 1/x = 1/(√3 + 2)
বা, 1/x = (2 - √3)/{(√3 + 2) (2 - √3)}
বা, 1/x = (2 - √3)/{22 - (√3)2}
বা, 1/x =(2 - √3)/(4 - 3) 
∴ 1/x = 2 - √3 

এখন,
x + 1/x
= 2 + √3 + 2 - √3
= 4

প্রদত্ত রাশি = x2 + 1/x2
= (x + 1/x)2 - 2.x.(1/x)
= (4)2 - 2
= 16 - 2
= 14
২,২০৮.
a - (1/a) = 3 হলে, a4 + (1/a4) এর মান কত?
  1. ক
    115
  2. খ
    119
  3. গ
    123
  4. ঘ
    126
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - (1/a) = 3 হলে, a4 + (1/a4) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 3

∴ প্রদত্ত রাশি = a4 + (1/a4)
= {a2 + (1/a2)}2 - 2 · a2 · (1/a2)
= [{a - (1/a)}2 + 2 · a · (1/a)]2 - 2
= {(3)2 + 2}2 - 2
= (9 + 2)2 - 2
= (11)2 - 2
= (121 - 2)
= 119
২,২০৯.
a এর মান কত হলে 9p2 - ap + 4 একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    8
  2. খ
    9
  3. গ
    12
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a এর মান কত হলে 9p2 - ap + 4 একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
9p2 - ap + 4
= (3p)2 - 2 ⋅ 3p ⋅ 2 + 22 + 2 ⋅ 3p ⋅ 2 - ap
= (3p - 2)2 + 12p - ap

রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে যদি,
12p - ap = 0 হয়
⇒ ‍- ap = - 12p
∴ a = 12
২,২১০.
  1. ক
    140
  2. খ
    110
  3. গ
    36√3
  4. ঘ
    156
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,২১১.
a + b = √7 এবং a - b = √5 হলে, 8ab(a2 + b2) = কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    12
  3. গ
    24
  4. ঘ
    48
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = √7 এবং a - b = √5 হলে, 8ab(a2 + b2) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = √7 
এবং
a - b = √5 

এখন, 
 8ab(a2 + b2)
= 4ab × 2(a2 + b2)
= {(a + b)2 - (a - b)2} × {(a + b)2 + (a - b)2}
= {(√7)2 - (√5)2} × {(√7)2 + (√5)2}
= (7 - 5) × (7 + 5) 
= 2 × 12 
= 24
২,২১২.
p + q + r = 0 হলে, p3 + q3 + r3 -এর মান কত?
  1. ক
    pqr
  2. খ
    3pqr
  3. গ
    6pqr
  4. ঘ
    9pqr
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p + q + r = 0 হলে, p3 + q3 + r3 -এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
p3 + q3 + r3 - 3pqr = (p + q + r) (p2 + q2 + r2 - pq - qr -rp) 
বা, p3 + q3 + r3 - 3pqr = 0 × (p2 + q2 + r2 - pq - qr -rp)
বা, p3 + q3 + r3 - 3pqr = 0
বা, p3 + q3 + r3 = 3pqr 
∴ p3 + q3 + r3 = 3pqr
২,২১৩.
a2b + ab2 = 70, 2ab = 20 হলে, a - b =?
  1. ক
    5
  2. খ
    3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2b + ab2 = 70, 2ab = 20 হলে, a - b =?

সমাধান: 
2ab = 20
⇒ ab = 20/2
⇒ ab = 10

a2b + ab2 = 70
⇒ ab(a + b) = 70
⇒ 10(a + b) = 70
∴ a + b = 7

(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
= 72 - 4 × 10
= 49 - 40
= 9
∴ a - b = 3
২,২১৪.
(x - 1/x)2 = 2 হলে x3 - 1/x3 = কত?
  1. ক
    ক) 5√2
  2. খ
    খ) 4√2
  3. গ
    গ) 2√2
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - 1/x)2 = 2 হলে x3 - 1/x3 = কত?

সমাধান:
(x - 1/x)2 = 2
বা, x - 1/x = √2

∴ প্রদত্ত রাশি = x3 - 1/x3
= (x - 1/x)3 + 3 . x . 1/x . (x - 1/x)
= (√2)3 + 3√2
= 2√2 + 3√2
= 5√2
২,২১৫.
  1. ক
    38√5
  2. খ
    56
  3. গ
    44√7
  4. ঘ
    32√5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

২,২১৬.
x + y = √7 এবং x - y = √5 হলে, 8xy(x2 + y2) =?
  1. ক
    17.5
  2. খ
    20
  3. গ
    24
  4. ঘ
    35
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = √7 এবং x - y = √5 হলে, 8xy(x2 + y2) =?

সমাধান: 
8xy(x2 + y2)
= 4xy × 2(x2 + y2)
= {(x + y)2 - (x - y)2}{(x + y)2 + (x - y)2}
= {(√7)2 - (√5)2}{(√7)2 + (√5)2}
= (7 - 5)(7 + 5)
= 2 × 12
= 24
২,২১৭.
(3x + y, x - y) = (10, 2) হলে (x, y) কত ?
  1. ক
    (3, 1)
  2. খ
    (4, 2)
  3. গ
    (2, 1)
  4. ঘ
    (5, 3)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3x + y, x - y) = (10, 2) হলে (x, y) কত ?

সমাধান:
3x + y = 10.....(i)
x - y = 2........(ii)
(i) + (ii) হতে পাই,
3x + y + x - y = 10 + 2
⇒ 4x = 12
⇒ x = 3

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3x + y = 10
⇒ 3 × 3 + y = 10
⇒ y = 10 - 9
⇒ y = 1
∴ (x, y) = (3, 1)

২,২১৮.
যদি x = 7 - 4√3 হয়, তাহলে √x + 1/√x এর সমান -
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
x = 7 - 4√3
⇒ x = 4 + 3 - 4√3
⇒ x = (2)2 + (√3)2 - 2 × 2√3
⇒ x = (2 - √3)2 [ a2 + b2 - 2ab = (a + b)2]
⇒ √x = = 2 -√3
⇒ 1/√x = 1/(2 - √3)
⇒ 1/√x = [1/(2 - √3) × {(2 + √3)/(2 + √3)}]
⇒ 1/√x = (2 + √3)

∴ x + 1/√x = 2 - √3 + 2 + √3 = 4.
২,২১৯.
  1. ক
    60
  2. খ
    63
  3. গ
    65
  4. ঘ
    68
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান: 
২,২২০.
p = √7 + √6 হলে, p - (1/p) এর মান কত?
  1. ক
    2√7
  2. খ
    1/√3
  3. গ
    2√6
  4. ঘ
    3√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p = √7 + √6 হলে, p - (1/p) এর মান কত?

সমাধান:
২,২২১.
যদি x + y = 4, x + z = 7 এবং x + y + z = 12 হয়, তাহলে 1/x- 3 এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    - 2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + y = 4, x + z = 7 এবং x + y + z = 12 হয়, তাহলে 1/x- 3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 4 . . . . . (i)
x + z = 7 . . . . . (ii)
x + y + z = 12 . . . . . (iii)

(i) নং থেকে x + y এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
4 + z = 12
বা, z = 12 - 4
বা, z = 8

z এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x + 8 = 7
বা, x = 7 - 8
বা, x = - 1

∴ 1/x-3 = 1/(- 1)- 3
= 1/(- 1)
= - 1
২,২২২.
2x + 2/x = 3 হলে, x3 + 1/x3 + 2 -এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5/8
  2. খ
    খ) 7/8
  3. গ
    গ) 9/8
  4. ঘ
    ঘ) 11/8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x + 2/x = 3 হলে, x3 + 1/x3 + 2 -এর মান কত?

সমাধান: 
2x + 2/x = 3
2(x + 1/x) = 3
(x + 1/x) = 3/2
 
x3 + 1/x3 + 2 = (x + 1/x)3 - 3x.1/x(x + 1/x) + 2
                      = (3/2)3 - 3(3/2) + 2
                     = (27/8) - (9/2) + 2
                     = (27 - 36 + 16)/8
                      = 7/8
২,২২৩.
x + y = 2, x2 + y2 = 4 হলে, x3 + y3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 2, x2 + y2 = 4 হলে, x3 + y3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 2
বা, (x + y)2 = 22
বা, x2 + 2xy + y2 = 4
বা, x2 + y2 + 2xy = 4
বা, 4 + 2xy = 4
বা, 2xy = 0
∴ xy = 0

প্রদত্ত রাশি = x3 + y3
= (x + y)3 - 3xy (x + y)
= (2)3 - 3 . 0 . 2
= 8
২,২২৪.
b এর মান কত হলে 25a2 - ab + 36 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    30
  2. খ
    60
  3. গ
    15
  4. ঘ
    72
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: b এর মান কত হলে 25a2 - ab + 36 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান: 
25a2 - ab + 36
= (5a)2 - 2.5a.6 + 62 [ ধরি, b = 2 × 5 × 6 = 60]
= (5a - 6)2

∴ b = 60 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে। 
২,২২৫.
x + y = 12 এবং x - y = 4 হলে, xy = কত?
  1. ক
    18
  2. খ
    24
  3. গ
    32
  4. ঘ
    42
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 12 এবং x - y = 4 হলে, xy = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x + y = 12 x - y = 4

আমরা জানি, xy = {(x + y)/2}2 - {(x - y)/2}2
= {12/2}2 - {4/2}2
= (6)2 - (2)2
= 36 - 4
= 32

২,২২৬.
(x2 - 7x + 12)/(x2 - 9x + 20) এর লঘিষ্ট রুপ নিচের কোনটি?
  1. ক
    (x - 4)/(x - 5)
  2. খ
    (x - 3)/(x - 4)
  3. গ
    (x - 5)/(x - 7)
  4. ঘ
    (x - 3)/(x - 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x2 - 7x + 12)/(x2 - 9x + 20) এর লঘিষ্ট রুপ নিচের কোনটি?

সমাধান:
= x2 - 7x + 12
= x2 - 4x - 3x + 12
= x(x - 4) - 3(x - 4)
∴ (x - 4)(x - 3)
এবং
= x2 - 9x + 20
= x2 - 5x - 4x + 20
= x(x - 5) - 4(x - 5)
∴ (x - 5)(x - 4)

∴ লঘিষ্ট রুপ = (x - 4)(x - 3)/(x - 5)(x - 4)
= (x - 3)/(x - 5)
২,২২৭.
x + y = √3, x - y = √2 হলে, 3xy(x2 + y2) = ?
  1. ক
    15/8
  2. খ
    4/5
  3. গ
    3/8
  4. ঘ
    3/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = √3, x - y = √2 হলে, 3xy(x2 + y2) = ?

সমাধান:
3xy(x2 + y2) 
= 3 ⋅ (8/8) ⋅ xy(x2 + y2) 
= (3/8) ⋅ 4xy ⋅ 2(x2 + y2) 
= (3/8) ⋅ {(x + y)2 - (x - y)2}{(x + y)2 + (x - y)2}
= (3/8) ⋅ {(√3)2 - (√2)2}{(√3)2 + (√2)2}
= (3/8) ⋅ 1 ⋅ 5
= 15/8
২,২২৮.
যদি  x + y = 6 এবং xy = 5 হয়, তবে x4 + y4 + 2x2y2 = ?
  1. ক
    676
  2. খ
    784
  3. গ
    874
  4. ঘ
    881
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 6 এবং xy = 5 হয়, তবে x4 + y4 + 2x2y2 = ? 

সমাধান:

২,২২৯.
a4 + a2b2 + b4 = 21 এবং a2 + ab + b2 = 7 হলে, a2 - ab + b2 এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    2
  3. গ
    11
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a4 + a2b2 + b4 = 21 এবং a2 + ab + b2 = 7 হলে, a2 - ab + b2 এর মান কত?

সমাধান:
a4 + a2b2 + b4 = 21
⇒ (a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 - a2b2 = 21
⇒ (a2 + b2)2 - (ab)2 = 21
⇒ (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 - ab) = 21
⇒ (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2) = 21
⇒ 7(a2 - ab+ b2) = 21
⇒ a2 - ab + b2 = 21/7
∴ a2 - ab + b2 = 3
২,২৩০.
b3 - a3, a4 + a2b2 + b4 এবং a3 + b3 এর ল. সা.গু -
  1. ক
    ক) a6 + b6
  2. খ
    খ) a6 - b6
  3. গ
    গ) b6 - a6
  4. ঘ
    ঘ) a6 + a3b3 + b6
ব্যাখ্যা

b3 - a3 = (b - a) (b2 + ab + a2),
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

a4 + a2b2 + b4
= (a2)2 + 2.a2.b2 + (b2)2 - a2b2
= (a2 + b2)2 - (ab)2
= (a2 + b2 + ab) (a2 + b2 - ab)

∴ ল. সা. গু. = (b - a) (b + a) (a2 + b2 + a) (a2 + b2 - ab)
= (b2 - a2) (b4 + b2a2 + a4)
= b6 - a6

২,২৩১.
x + 1/x = √3 হলে x3 + 1/x3 এর মান কোনটি?
  1. ক
    -3√3 
  2. খ
    0
  3. গ
    6√3 
  4. ঘ
    9√3 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = √3 হলে x3 + 1/x3 এর মান কোনটি?

সমাধান:
 x3 + 1/x3 
={x + (1/x)}3 - 3.x.(1/x).{x+(1/x)}
=(√3)3 - 3√3 [x + 1/x = √3]
=(√3)2( √3) -3√3
= 3√3 - 3√3
= 0
২,২৩২.
x4 - x2 - 1 = 0 হলে, x2 - 1/x2 = কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) √5
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - x2 - 1 = 0 হলে, x2 - 1/x2 = কত?
 
সমাধান:
x4 - x2 - 1 = 0
বা, x4 - 1 = x2
বা, (x4/x2) - (1/x2) = (x2/x2) [উভয় পক্ষে x2 দ্বারা ভাগ করে]
বা, x2 - (1/x2) = 1
∴ x2 - 1/x2 = 1
২,২৩৩.
x2 = 3x + 1 হলে x - (1/x) এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    3
  3. গ
    √5
  4. ঘ
    √3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 = 3x + 1 হলে x - (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
x2 = 3x + 1
⇒ x2 - 1 = 3x
⇒ (x2 - 1)/x = (3x)/x
∴ x - 1/x = 3
২,২৩৪.
18(a + b)3, 24(a + b)2, 32(a2 - b2) এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) 2(a +  b)(a - b)
  2. খ
    খ) 2(a + b)
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 2(a +  b)3(a - b)
ব্যাখ্যা
১ম রাশি = 18(a + b)3
              = 18(a + b)(a + b)(a + b)
২য় রাশি = 24(a + b)2
              = 24(a + b)(a + b)
৩য় রাশি = 32(a2 - b2)
              = 32 (a +  b)(a - b)
18,24,32 এর গ.সা.গু = 2 

নির্ণেয় গ.সা.গু = 2(a + b)
২,২৩৫.
a + b = 10 এবং a - b = 2 হলে 8ab এর মান কত?
  1. ক
    164
  2. খ
    178
  3. গ
    192
  4. ঘ
    216
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 10 এবং a - b = 2 হলে 8ab এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b = 10 এবং
a - b = 2

এখন,
8ab
= 2 × 4ab
= 2 × {(a + b)2 - (a - b)2}
= 2 × {(10)2 - (2)2}
= 2 × (100 - 4)
= 2 × 96
= 192
২,২৩৬.
a = 1 + √2 হলে a3 - 5√2 = কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    7
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 1 + √2 হলে a3 - 5√2 = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 1 + √2 
বা, a3 = (1 + √2)3
বা, a3 = 13 + 3 . 12 . √2 + 3 . 1 . (√2)2 + (√2)3
বা, a3 = 1 + 3√2 + 6 + 2√2
বা, a3 = 7 + 5√2
∴ a3 - 5√2 = 7
২,২৩৭.
x + y = 2 এবং x2 + y2 = 4 হলে x3 + y3 = কত?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 2 এবং x2 + y2 = 4 হলে x3 + y3 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 2
x2 + y2 = 4

এখন,
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
⇒ 2xy = (x + y)2 - (x2 + y2)
⇒ 2xy = (2)2 - 4
∴ xy = 0

প্রদত্ত রাশি = x3 + y3
= (x + y)3 - 3xy (x + y)
= (2)3 - 3 . 0 . 2
= 8
২,২৩৮.
1/(x + 1) এর মান নিচের কোনটি হওয়া অসম্ভব?
  1. ক
    ক) -1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 2/3
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা

যদি 1/(x + 1) = 0 হয়,
তবে 1 = 0 হয় যা অসম্ভব,
∴ 1/(x + 1) ≠ ০

২,২৩৯.
যদি x2 - √3x + 1 = 0 হয়, তবে x + 1/x = ?
  1. ক
    - √3
  2. খ
    3
  3. গ
    √3
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x2 - √3x + 1 = 0 হয়, তবে x + 1/x = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x2 - √3x + 1 = 0
⇒ x2 + 1 = √3x
⇒ (x2/x) + (1/x) = √3x/x ; [x দ্বারা ভাগ করে]
∴ x + 1/x = √3

২,২৪০.
a2 + b2 = 4 এবং a2 - b2= 2 হলে a4 + b4 = কত?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে, 
a2 + b2 = 4 
a2 - b2= 2 

 2(a4 + b4) =2{(a2)2 + (b2)2}
 2(a4 + b4) = (a2 + b2)2 + (a2 - b2)2
 2(a4 + b4) = 42 + 22
 2(a4 + b4) = 16  + 4
 2(a4 + b4) = 20 
(a4 + b4)  = 10
২,২৪১.
(x2/y2) + 2(x/y) এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    1
  2. খ
    xy
  3. গ
    x/y
  4. ঘ
    1/xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x2/y2) + 2(x/y) এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
(x2/y2) + 2(x/y)
= (x/y)2 + 2 ⋅ (x/y) ⋅ 1 + 12 - 1
= {(x/y) + 1}2 - 1

∴ (x2/y2) + (2x/y) এর সাথে 1 যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে।
২,২৪২.
  1. ক
    0
  2. খ
    qr
  3. গ
    1
  4. ঘ
    1/rq
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
২,২৪৩.
x2 + y2 + z2 = 2, xy + yz + zx = 1 হলে, (x + 2y)2 + (y + 2z)2 + (z + 2x)2 এর মান-
  1. ক
    12
  2. খ
    19
  3. গ
    16
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 + z2 = 2, xy + yz + zx = 1 হলে, (x + 2y)2 + (y + 2z)2 + (z + 2x)2 এর মান-

সমাধান: 
দেওয়া আছে
x2 + y2 + z2 = 2
xy + yz + zx = 1

প্রদত্ত রাশি = (x + 2y)2 + (y + 2z)2 + (z + 2x)2 
= x2 + 2 × x × 2y + (2y)2 + y2 + 2 × y × 2z + (2z)2 + z2 + 2 × z × 2x + (2x)2
= x2 + 4xy + 4y2 + y2 + 4yz + 4z2 + z2 + 4xz + 4x2
= 5x2 + 5y2 + 5z2 + 4xy + 4yz + 4xz
= 5(x2 + y2 + z2) + 4(xy + yz + zx)
= (5 × 2) + (4 × 1)
= 10 + 4
= 14
২,২৪৪.
a + b = 13 এবং ab = 42 হলে a2 - b2 এর মান কত?
  1. ক
    17
  2. খ
    13
  3. গ
    15
  4. ঘ
    21
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 13 এবং ab = 42 হলে a2 - b2 এর মান কত?

সমাধান:
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
= 132 - 4 · 42
= 169 - 168
= 1
⇒ a - b = √1 = 1

∴ a2 - b2 = (a + b) (a - b)
= 13 · 1
=13
২,২৪৫.
a - b = c হলে, a3 - b3 - c3 = কত?
  1. ক
    1/abc
  2. খ
    3abc
  3. গ
    abc
  4. ঘ
    abc/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = c হলে, a3 - b3 - c3 = কত?

সমাধান:
a - b = c
⇒ (a - b)3 = c3
⇒ a3 - b3 - 3ab(a - b) = c3
⇒ a3 - b3 - 3abc = c3 [a - b এর মান বসিয়ে]
∴ a3 - b3 - c3 = 3abc
২,২৪৬.
a + b = 13, a - b = 11 হলে ab = কত? 
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 14
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
a + b = 13
a - b = 11

আমরা জানি,
4ab = (a + b)2  - (a - b)2
4ab = 132 - 112
4ab = 169 - 121 
4ab = 48
ab = 48/4 
ab = 12
২,২৪৭.
x3 + (1/x3) = 18√3, a + (1/a) = 2√3 হলে, x3 + 3a + 3a- 1 + x- 3 এর মান কত?
  1. ক
    9√3
  2. খ
    18
  3. গ
    24√3
  4. ঘ
    36√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 + (1/x3) = 18√3, a + (1/a) = 2√3 হলে, x3 + 3a + 3a- 1 + x- 3 এর মান কত?

সমাধান:
x3 + 3a + 3a- 1 + x- 3
= x3 + (1/x3) + 3x + (3/a)
= 18√3 + 3{a + (1/a)}
= 18√3 + 3 ⋅ 2√3
= 18√3 + 6√3
= 24√3
২,২৪৮.
a + b = 7 এবং ab = 12 হলে a3 + b3 = কত?
  1. ক
    ক) 36
  2. খ
    খ) 75
  3. গ
    গ) 84
  4. ঘ
    ঘ) 91
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 7 এবং ab = 12 হলে a3 + b3 = কত? 

সমাধান: 
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) 
⇒ a3 + b3 = (7)3 - (3 × 12 × 7)
⇒ a3 + b3  = 343 - 252
⇒ a3 + b3  = 91
∴ a3 + b3 = 91
২,২৪৯.
2x2 + x এবং 4x2 - 1 রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) x(2x - 1)
  2. খ
    খ) 2x - 1
  3. গ
    গ) x(2x + 1)
  4. ঘ
    ঘ) 2x + 1
ব্যাখ্যা

এখানে, প্রথম রাশি = 2x2 + x
= x(2x + 1)

এবং দ্বিতীয় রাশি = 4x2 - 1
= (2x)2 - 11
= (2x + 1) (2x - 1)
সুতরাং নির্ণেয় গ.সা.গু = 2x + 1

২,২৫০.
x3 - y3 = 513 এবং x - y = 3 হলে, xy এর মান কত?
  1. ক
    54
  2. খ
    64
  3. গ
    48
  4. ঘ
    52
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x3 - y3 = 513 এবং x - y = 3 হলে, xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x3 - y3 = 513 এবং x - y = 3 

আমরা জানি, 
x3 - y3 = (x - y)3 + 3xy(x - y)
⇒ 513 = 33 + 3xy × 3
⇒ 9xy = 513 - 27
⇒ xy = 486/9
∴ xy = 54

২,২৫১.
ax2 + bx + c = 0 সমীকরণটির ঘাত কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) X
  3. গ
    গ) C
  4. ঘ
    ঘ) ax2
ব্যাখ্যা

ax2 + bx + c = 0 সমীকরণটির ঘাত 2

২,২৫২.
যদি p - q = r হয়, তবে p3 - q3 - r3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3pq/r
  2. খ
    খ) 3pqr
  3. গ
    গ) 2r3
  4. ঘ
    ঘ) 2r3+3pqr
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, 
             p - q = r

এখানে 
p3 - q3 - r3 = (p - q)3 + 3pq(p - q) - r3
                   = r3 + 3pqr - r3
                   = 3pqr
২,২৫৩.
x + 1/x = 3 হলে (x2 + 1)/(x2 + 2x + 1) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5/3
  2. খ
    খ) 4/3
  3. গ
    গ) 3/4
  4. ঘ
    ঘ) 3/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 3 হলে (x2 + 1)/(x2 + 2x + 1) এর মান কত?

সমাধান:
x + 1/x = 3
(x2 + 1)/x = 3
x2 + 1 = 3x

এখন 
(x2 + 1)/(x2 + 2x + 1)
= (x2 + 1)/(x2 + 1 + 2x)
= 3x/(3x + 2x)
= 3x/5x
= 3/5
২,২৫৪.
x4 + 2x2 + 1 = 5x2 হলে, x + 1/x এর কত?
  1. ক
    ক) √3
  2. খ
    খ) √7
  3. গ
    গ) √5
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা

x4 + 2x2 + 1 = 5x2
বা, x2 + 2 + 1/x2 = 5
বা, x2 + 1/x2 = 3
বা, (x + 1/x)2 - 2.x.(1/x) = 3
বা, (x + 1/x) = √5

২,২৫৫.
x2 - 8x - 8y + 16 + y2 রাশিটির সঙ্গে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে? 
  1. ক
    2xy
  2. খ
    6xy
  3. গ
    - 4xy
  4. ঘ
    12xy
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 8x - 8y + 16 + y2 রাশিটির সঙ্গে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
x2 - 8x - 8y + 16 + y2
= (x)2 - 2.x.4 - 2.y.4 + (4)2 + y2
= (4)2 + (x)2 + y2 - 2.x.4 + 2xy - 2.y.4 - 2xy
= (4 - x - y)2 - 2xy

∴ x2 - 8x - 8y + 16 + y2 রাশিটির সঙ্গে 2xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

২,২৫৬.
a2 - 4a - 1 = 0 হলে 200 - a3 + 1/a3 = ?
  1. ক
    120
  2. খ
    124
  3. গ
    134
  4. ঘ
    130
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : a2 - 4a - 1 = 0 হলে 200 - a3 + 1/a3 = ?

সমাধান :
দেয়া আছে,
a2 - 4a - 1 = 0
বা, a2 - 1 = 4a
বা, ( a2 - 1 )a = 4a/a                                         [ উভয়পক্ষে a দ্বারা ভাগ করে ]
বা, a - 1/a = 4 ....... ( 1 )

বা, ( a - 1/a )3 = 43                                            [ ঘন করে ]
বা, a3 - 1/a3 - 3×a×1/a×( a - 1/a ) = 64            [ ( 1 ) নং থেকে ]
বা, a3 - 1/a3 - 3×( a - 1/a ) = 64
বা, a3 - 1/a3 - 3×4 = 64                                    [ ( 1 ) নং থেকে ]
বা, a3 - 1/a3 = 64 + 12
বা, a3 - 1/a3 = 76
বা, 200 - ( a3 - 1/a3 ) = 200 - 76                      [ উভয়পক্ষকে 200 থেকে বিয়োগ করে ]
∴ 200 - a3 + 1/a3 = 124 

উত্তর : 124
২,২৫৭.
যদি p + q + r = 0 হয়, তবে p3 + q3 + r3 এর মান কত?
  1. ক
    pqr
  2. খ
    0
  3. গ
    p + q + r
  4. ঘ
    3pqr
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p + q + r = 0 হয়, তবে p3 + q3 + r3 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
p + q + r = 0

আমরা জানি,
p3 + q3 + r3 - 3pqr = (p + q + r)(p2 + q2 + r2 − pq − qr − rp)
⇒ p3 + q3 + r3 - 3pqr = 0 × (p2 + q2 + r2 − pq − qr − rp)
⇒ p3 + q3 + r3 - 3pqr = 0
∴ p3 + q3 + r3 = 3pqr

২,২৫৮.
a + b = 9 এবং a - b = 1 হলে, ab এর মান কত?
  1. ক
    20
  2. খ
    15
  3. গ
    25
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 9 এবং a - b = 1 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
ab = {(a + b)2 - (a - b)2}/4
= (92 - 12)/4
= (81 - 1)/4
= 80/4
= 20
২,২৫৯.
x + y = 12 এবং x - y = 4, হলে, xy = কত?
  1. ক
    32
  2. খ
    52
  3. গ
    48
  4. ঘ
    66
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 12 এবং x - y = 4, হলে, xy = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 8
x - y = 4

আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}2 - {(x - y)/2}2
= {(12)/2}2 - {(4)/2}2
= (6)2 - (2)2
= 36 - 4
= 32
২,২৬০.
(a³ - b³) = 19 এবং (a - b) = 1 হলে, (a² + ab + b²) এর মান কত?
  1. ক
    19
  2. খ
    21
  3. গ
    190
  4. ঘ
    57
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : (a³ - b³) = 19 এবং (a - b) = 1 হলে, (a² + ab + b²) এর মান কত?

সমাধান :
দেওয়া আছে,
(a³ - b³) = 19
এবং (a - b) = 1

আমরা জানি,
(a³ - b³) = (a - b) × (a² + ab + b²)
⇒ 19 = 1 × (a² + ab + b²)
⇒ (a² + ab + b²) = 19
২,২৬১.
x + y = 2, এবং x3 + y3 = 8 হলে, x2 + y2 = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 2, এবং x3 + y3 = 8 হলে, x2 + y2 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 2,
এবং x3 + y3 = 8

আমরা জানি,
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
⇒ 23 = 8 + 3xy. 2
⇒ 8 - 8 = 6xy
⇒ 6xy = 0
∴ xy = 0

প্রদত্ত রাশি = x2 + y2
= (x + y)2 - 2xy
= 22 - 2. 0
= 4
২,২৬২.
a + b = 8 এবং a - b = 2 হলে ab এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    8
  3. গ
    15
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 8 এবং a - b = 2 হলে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 8
a - b = 2

দুটি সমীকরণ যোগ করি—
(a + b) + (a - b) = 8 + 2
⇒ 2a = 10
⇒ a = 5

এখন,
b = 8 - a
= 8 - 5
= 3

∴ ab
= 5 × 3
= 15

অতএব, সঠিক উত্তর:
গ) 15

২,২৬৩.
p + q + r = 0 হলে, (1/3)(p3 + q3 + r3) এর মান কত?
  1. ক
    1/pqr
  2. খ
    pqr
  3. গ
    3pqr
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p + q + r = 0 হলে, (1/3)(p3 + q3 + r3) এর মান কত? 

সমাধান:
(1/3)(p3 + q3 + r3)
= (1/3)(p3 + q3 + r3 - 3pqr + 3pqr)
= (1/3)(p3 + q3 + r3 - 3pqr) + (1/3)(3pqr)
= (1/3)(p3 + q3 + r3 - 3pqr) + pqr
= (1/3){(p + q + r)(p2 + q2 + r2 - pq - qr - rp)} + pqr [∵ a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca]
= (1/3) × 0 × (p2 + q2 + r2 - pq - qr - rp) + pqr [∵ p + q + r = 0]
= 0 + pqr
= pqr
২,২৬৪.
a4 - 2a2 + 1 = 0 হলে = কত?
  1. ক
    ক) - 2
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a4 - 2a2 + 1 = 0 হলে = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a4 - 2a2 + 1 = 0
বা, (a4 - 2a2 + 1)/a2 = 0
বা, a4/a2 - 2a2/a2 + 1/a2 = 0
বা, a2 - 2 + 1/a2 = 0
∴ a2 + 1/a2 = 2
২,২৬৫.
x - 1/x = 5 হলে (x + 1/x)2 এর মান কত?
  1. ক
    25
  2. খ
    27
  3. গ
    28
  4. ঘ
    29
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 5 হলে (x + 1/x)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে 
x - 1/x = 5

আমরা জানি
 (x + 1/x)2
= (x - 1/x)2 + 4.x.1/x
= 52 + 4
= 25 + 4
= 29
২,২৬৬.
x2 + 6x - 6y + 9 + y2 এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    - xy
  2. খ
    - 2xy
  3. গ
    2xy
  4. ঘ
    6xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 6x - 6y + 9 + y2 এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
x2 + 6x - 6y + 9 + y2
= x2 + (- y)2 + (3)2 + 2. x. (- y) + 2. (- y). 3 + 2. 3. x + 2xy
= {x + (- y) + 3}2 + 2xy
= (x - y + 3)2 + 2xy

∴ পূর্ণবর্গ করতে হলে - 2xy যোগ করতে হবে।
২,২৬৭.
a + b + c = 13, a2 + b2 + c2 = 33 হলে ab + bc + ca এর মান কত?
  1. ক
    46
  2. খ
    58
  3. গ
    68
  4. ঘ
    56
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 13, a2 + b2 + c2 = 33 হলে ab + bc + ca এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 13 
a2 + b2 + c2 = 33 

আমরা জানি  
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2+ b2 + c2) 
বা, 2(ab + bc + ca) = (13)2 - 33
বা, 2(ab + bc + ca) = 169 - 33 
বা, 2(ab + bc + ca) = 136
বা, (ab + bc + ca) = 136/2
∴ (ab + bc + ca) = 68 
২,২৬৮.
যদি x + y = 3, হয়, তাহলে x3 + y3 + 9xy = ?
  1. ক
    27
  2. খ
    39
  3. গ
    72
  4. ঘ
    51
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 3, হয়, তাহলে x3 + y3 + 9xy = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 3
⇒ (x + y)3 = (3)3   ; [ঊওভয়পাশে ঘন করে পাই]
⇒ x3 + y3 + 3xy(x + y) = 27
⇒ x3 + y3 + 3xy(3) = 27
∴ x3 + y3 + 9xy = 27

২,২৬৯.
যদি a - (1/a) = 8 হয়, তবে a3 - (1/a)3 এর মান কত?
  1. ক
    516
  2. খ
    528
  3. গ
    536
  4. ঘ
    542
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a - (1/a) = 8 হয়, তবে a3 - (1/a)3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 8

প্রদত্ত রাশি = a3 - (1/a)3
= {a - (1/a)}3 + 3 · a · (1/a){a - (1/a)}
= 83 + 3 · 8
= 512 + 24
= 536
২,২৭০.
যদি x + y = 5, x - y = 3 হয়, তাহলে 2xy = কত?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 16
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + y = 5, x - y = 3 হয়, তাহলে 2xy = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + y = 5
x - y = 3

আমরা জানি
4xy = (x + y)2 - (x - y)2
⇒ 4xy = 52 - 32
⇒ 4xy/2 = (25 - 9)/2
⇒ 2xy = 16/2
∴ 2xy = 8
২,২৭১.
x - y = 3, xy = 4 হলে, x + y = ?
  1. ক
    ±4
  2. খ
    ±3
  3. গ
    ±5
  4. ঘ
    ±6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 3, xy = 4 হলে, x + y = ?

সমাধান:
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
= 32 + (4 × 4)
= 9 + 16
= 25
∴ x + y = ±5
২,২৭২.
x2 - 6x - 6y + y2 + 9 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    ক) 2xy
  2. খ
    খ) 4xy
  3. গ
    গ) 6xy
  4. ঘ
    ঘ) xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  x2 - 6x - 6y + y2 + 9 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
= x2 - 6x - 6y + y2 + 9
= (- x)2 + (- y)2 + 32 + 2.(-x).(-y) + 2.(- y).3 + 2.(- x).3 - 2xy
= (- x - y + 3)2 - 2xy
= (x + y - 3)2 - 2xy

সুতরাং প্রদত্তরাশির সাথে 2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
২,২৭৩.
a2 - b2, a3 - b3, 2a - 2b রাশিগুলোর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) a + b
  2. খ
    খ) a - b
  3. গ
    গ) a
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - b2, a3 - b3, 2a - 2b রাশিগুলোর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = a2 - b2 
= (a + b) (a - b)

২য় রাশি = a3 - b3
= (a - b) (a2 + ab + b2)

৩য় রাশি = 2a - 2b
= 2(a - b)

∴ রাশিগুলোর গ.সা.গু = a - b
২,২৭৪.
a - (1/a) = 6 হলে, (a4 + 1)/a2 এর মান কত?
  1. ক
    30
  2. খ
    34
  3. গ
    38
  4. ঘ
    42
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - (1/a) = 6 হলে, (a4 + 1)/a2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 6

প্রদত্ত রাশি = (a4 + 1)/a2
= {(a4)/(a2)} + (1/a2)
= a2 + (1/a2)
= {a - (1/a)}2 + 2 . a . (1/a)
= (6)2 + 2
= 36 + 2
= 38
২,২৭৫.
x - 1/x = 3 হলে x4 + 1/x4 এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    121
  2. খ
    119
  3. গ
    51
  4. ঘ
    81
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 3 হলে x4 + 1/x4 এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
x - 1/x = 3
⇒ (x - 1/x)2 = 32
⇒ x2 - 2.x.(1/x) + (1/x)2 = 9
⇒  x2 + 1/x2 = 11
⇒ (x2 + 1/x2)2 = (11)2
⇒ (x2)2 + 2.x2.(1/x2) + (1/x2)2 = 121
⇒ x4 + 1/x4 = 119
২,২৭৬.
x2 - 4x + 1 = 0 হলে (x - 1/x)4 এর মান কত?
  1. ক
    25
  2. খ
    64
  3. গ
    144
  4. ঘ
    169
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 4x + 1 = 0 হলে (x - 1/x)4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x2 - 4x + 1 = 0
⇒ x2 + 1 = 4x
⇒ x2/x + 1/x = 4x/x
∴  x + 1/x = 4

আমরা জানি,
(x - 1/x)2 = (x + 1/x)2 - 4 . x . 1/x
⇒ (x - 1/x)2 = (4)2 - 4
⇒ (x - 1/x)2 = 16 - 4
⇒ (x - 1/x)2 = 12
⇒ {(x - 1/x)2}2 = 122
∴ (x - 1/x)4 = 144

২,২৭৭.
m + n = 7 এবং mn = 12 হলে (1/m2) + (1/n2) এর মান কত?
  1. ক
    25/216
  2. খ
    25/164
  3. গ
    31/144
  4. ঘ
    25/144
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m + n = 7 এবং mn = 12 হলে (1/m2) + (1/n2) এর মান কত?

সমাধান:
m + n = 7
mn = 12

এখন 
(1/m2) + (1/n2)
= (n2 + m2)/m2n2
= {(m + n)2 - 2mn}/(mn)2
= {(7)2 - 2 × 12}/(12)2
= (49 - 24)/144
= 25/144
২,২৭৮.
যদি a3 - b3 = 513 এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত?
  1. ক
    48
  2. খ
    45
  3. গ
    54
  4. ঘ
    58
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a3 - b3 = 513 এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a3 - b3 = 513 
বা, (a -b)3 + 3ab (a - b) = 513 
বা, (3)3 + 3ab × 3 = 513 
বা, 27 + 9ab = 513 
বা, 9ab = 513 - 27 
বা, 9ab = 486 
বা, ab = 486/9 
∴ ab = 54 
২,২৭৯.
যদি a + b = √8 এবং a - b = √6 হলে, 8ab(a2 + b2) = কত?
  1. ক
    48
  2. খ
    24
  3. গ
    32
  4. ঘ
    28
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b = √8 এবং a - b = √6 হলে, 8ab(a2 + b2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √8 এবং a - b = √6
প্রদত্ত রাশি,
= 8ab(a2 + b2)
= 4ab × 2(a2 + b2)
= {(a + b)2 - (a - b)2}{(a + b)2 + (a - b)2}
= {(√8)2 - (√6)2}{(√8)2 + (√6)2}
= (8 - 6)(8 + 6)
= 2 × 14
= 28
২,২৮০.
(a + b)2 - (a - b)2= কত?
  1. ক
    2a2 + 4ab + 2b2
  2. খ
    2a2 + 2b2
  3. গ
    2a2 - ab + 2b2
  4. ঘ
    4ab
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a + b)2 - (a - b)2= কত?

সমাধান: 
আমরা জানি
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

বিকল্প:
(a + b)2 - (a - b)2
= a2 + 2ab + b2 - (a2 - 2ab + b2)
= a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2
= 4ab
২,২৮১.
a2 - 3a, a2 - 9, a2 - 4a + 3 -এর গ.সা.গু কোনটি?
  1. ক
    (a - 3)
  2. খ
    a(a -3)(a -1)
  3. গ
    (a - 3)(a +3)
  4. ঘ
    a(a -1)(a -3)(a +3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 3a, a2 - 9, a2 - 4a + 3 -এর গ.সা.গু কোনটি? 

সমাধান: 
১ম রাশি = a2 - 3a
= a (a - 3)

২য় রাশি = a2 - 9
= (a)2 - (3)2
= (a + 3) (a - 3)

এবং ৩য় রাশি = a2 - 4a +3 
= a2 - 3a - a + 3 
= a (a - 3) - 1 (a - 3) 
= (a - 3) (a - 1) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = (a - 3) ।
২,২৮২.
যদি p - q = 5 হয়, তবে [p3 - q3 - 15pq] - 52 এর মান কত?
  1. ক
    125
  2. খ
    100
  3. গ
    95
  4. ঘ
    115
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p - q = 5 হয়, তবে [p3 - q3 - 15pq] - 52 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, p - q = 5

প্রদত্ত রাশি = p3 - q3 - 15pq
= (p - q)3 + 3pq(p - q) - 15pq
= 53 + 3pq × 5 - 15pq
= 125 + 15pq - 15pq
= 125

∴ [p3 - q3 - 15pq] - 52 = 125 - 25 = 100

২,২৮৩.
  1. ক
    3√5
  2. খ
    2√5
  3. গ
    5√5
  4. ঘ
    8√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
দেয়া আছে,
x2 + 1/x2 = 3
বা, (x + 1/x)2 - 2x(1/x) = 3
বা, (x + 1/x)2  - 2 = 3
বা, (x + 1/x)2 = 5
∴ x + 1/x = √5

∴ (x6 + 1)/x3 = x6/x3 + 1/x3
= x3 + (1/x3)
= x3 + (1/x)3
= (x + 1/x)3 - 3x . (1/x) (x + 1/x)
= (√5)3 - 3√5
= 5√5- 3√5
= 2√5
২,২৮৪.
p + q = √3 এবং p - q = √2 হলে, pq = কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    5/8
  3. গ
    1/4
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p + q = √3 এবং p - q = √2 হলে, pq = কত?

সমাধান:
p + q = √3
p - q = √2
আমরা জানি,
4pq = (p + q)2 - (p - q)2
⇒ 4pq = (√3)2 - (√2)2
⇒ 4pq = 3 - 2
⇒ 4pq = 1
⇒ pq = 1/4

২,২৮৫.
{(0.9)3 + (0.4)3}/(0.9 + 0.4)} এর মান কত?
  1. ক
    0.36
  2. খ
    0.51
  3. গ
    0.81
  4. ঘ
    0.61
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {(0.9)3 + (0.4)3}/(0.9 + 0.4)} এর মান কত?

সমাধান:
{(0.9)3 + (0.4)3}/(0.9 + 0.4)
= (0.9 + 0.4){(0.9)2 - (0.9 × 0.4) + (0.4)2}/(0.9 + 0.4)
= 0.81 - 0.36 + 0.16
= 0.61
২,২৮৬.
x + y = 2 এবং x3 + y3 = 8 হলে, x2 + y2 = ?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা

x + y = 2 এবং x3 + y3 = 8

x3 + y3 = 8
বা, (x + y)3 - 3xy(x + y) = 8
বা, 23 - 3xy.2 = 8
বা, - 6xy = 0
∴ xy = 0

x2 + y2
= (x + y)2 - 2xy
= 22 - 2.0
= 4

২,২৮৭.
x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x হবে? 
  1. ক
    ক) (x2 - y2)/xy
  2. খ
    খ) (2x2 - y2)/xy
  3. গ
    গ) (y2 - x2)/xy
  4. ঘ
    ঘ) (x2 - 2y2)/xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x হবে? 

সমাধান: 
(y/x) - (x/y)
=(y2 - x2)/xy
২,২৮৮.
(x/y) + (y/x) = 6 হলে, (x2/y2) + (y2/x2) এর মান কত?
  1. ক
    34
  2. খ
    32
  3. গ
    28
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x/y) + (y/x) = 6 হলে, (x2/y2) + (y2/x2) এর মান কত?

সমাধান:
(x/y) + (y/x) = 6
⇒ {(x/y) + (y/x)}2 = 62
⇒ (x/y)2 + 2 . (x/y) . (y/x) + (y/x)2 = 36
⇒ (x2/y2) + (y2/x2) = 36 - 2
∴ (x2/y2) + (y2/x2) = 34
২,২৮৯.
6 - x - 9/x = 0 হলে x2 ÷ (x2 - x - 3) এর মান -
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 - x - 9/x = 0 হলে x2 ÷ (x2 - x - 3) এর মান -

সমাধান:
6 - x - 9/x = 0
⇒ 6 = x + 9/x
⇒ (x2 + 9)/x = 6
⇒ x2 + 9 = 6x
⇒ x2 - 6x + 9 = 0
⇒ x2 - 2.x.3 + 32 = 0
⇒ (x - 3)2 = 0
⇒ x - 3 = 0
⇒ x = 3

x2 ÷ (x2 - x - 3) = 32 ÷ (32 - 3 - 3)
= 9 ÷ (9 - 6)
= 9 ÷ 3
= 3
২,২৯০.
(x/y) + (y/x) = - 5 হলে, (x/y)2 + (y/x)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 21
  2. খ
    খ) 23
  3. গ
    গ) 27
  4. ঘ
    ঘ) 25
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
(x/y) + (y/x) = - 5

(x/y)2 + (y/x)2 = {(x/y) + (y/x)}2 - 2(x/y) .(y/x) 
                       = ( - 5)2 - 2
                        = 25 - 2 
                        = 23
২,২৯১.
a + b = 15 এবং a - b = 5 হলে, a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    125
  2. খ
    155
  3. গ
    170
  4. ঘ
    210
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 15 এবং a - b = 5 হলে, a2 + b2 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, a2 + b2 = (1/2){(a + b)2 + (a - b)2}
⇒ a2 + b2 = (1/2)(152 + 52)
⇒ a2 + b2 = (1/2)(225 + 25)
⇒ a2 + b2 = (1/2)(250)
∴ a2 + b2 = 125

২,২৯২.
a + b = 5 হলে, a3 + b3 + 15ab এর মান কত?
  1. ক
    25
  2. খ
    125
  3. গ
    225
  4. ঘ
    625
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 5 হলে, a3 + b3 + 15ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 5

প্রদত্ত রাশি = a3 + b3 + 15ab
= (a + b)3 - 3ab(a + b) + 15ab
= 53 - 3ab · 5 + 15ab
= 125 - 15ab + 15ab
= 125
২,২৯৩.
a + (1/a) = 4 হলে a2 + (1/a2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 14
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে a2 + (1/a2) এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a2 + (1/a2) = {a + (1/a)}2 - 2. a. (1/a) 
= (4)2 - 2 
= 16 - 2 
= 14 
২,২৯৪.
a - (1/a) = 3 হলে, a3 - (1/a3) = কত?
  1. ক
    18
  2. খ
    24
  3. গ
    27
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - (1/a) = 3 হলে, a3 - (1/a3) = কত?

সমাধান:
a3 - (1/a3) = {a - (1/a)}3 + 3 ⋅ a ⋅ (1/a){a - (1/a)}
= 33 + 3 ⋅ 3
= 27 + 9
= 36
২,২৯৫.
যদি p + q = √10 এবং p - q = √6 হয়, তবে 8pq(p2 + q2) এর মান কত?
  1. ক
    16
  2. খ
    60
  3. গ
    36
  4. ঘ
    64
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p + q = √10 এবং p - q = √6 হয়, তবে 8pq(p2 + q2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = √10
p - q = √6

আমরা জানি,
8pq(p2 + q2) 
= (4pq) × 2(p2 + q2)
= {(p + q)2 - (p - q)2} × {(p + q)2 + (p - q)2}
⇒ {(√10)2 - (√6)2} × {(√10)2 + (√6)2}
⇒ (10 - 6) × (10 + 6)
⇒ 4 × 16
∴ 8pq(p2 + q2) = 64

২,২৯৬.
x2 + y2 + z2, x2 - y2 + z2 ও - x2 + y2 - z2 তিনটি রাশি। ১ম দুইটির বিয়োগফলের সাথে ৩য় টি যোগ করলে যোগফল কত হবে?
  1. ক
    ক) - x2 + 3y2 - z2
  2. খ
    খ) - 2x2 + 3y2 - z2
  3. গ
    গ) - x2 + 3y2 - 2z2
  4. ঘ
    ঘ) - x2 + 2y2 - z2
ব্যাখ্যা
১ম দুইটির বিয়োগফলের সাথে ৩য় টি যোগ করলে যোগফল = - x2 + 3y2 - z2

(x2 + y2 + z2) - (x2 - y2 + z2) + (- x2 + y2 - z2)
= x2 + y2 + z2 - x2 + y2 - z2 - x2 + y2 - z2 
=  - x2 + 3y2 - z2
২,২৯৭.
x + y = 5, x2 + y2 = 13 হলে, x3 + y3 -এর মান কত?
  1. ক
    65
  2. খ
    35
  3. গ
    84
  4. ঘ
    96
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 5, x2 + y2 = 13 হলে, x3 + y3 -এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 5
x2 + y2 = 13

এখানে,
x2 + y2 = 13
⇒ (x + y)2 - 2xy = 13
⇒ 52 - 2xy = 13
⇒ 2xy = 25 - 13
⇒ 2xy = 12
⇒ xy = 12/2
∴ xy = 6

∴ x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy (x + y)
= (5)3 - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35

২,২৯৮.
a + b = 2 এবং a2 + b2 = 4 হলে, a3 + b3 = ?
  1. ক
    2
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 2 এবং a2 + b2 = 4 হলে, a3 + b3 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 2 
a2 + b2 = 4

এখন,
a² + b² = 4
⇒ (a + b)2 - 2ab = 4
⇒ (2)2 - 2ab = 4
⇒ 2ab = 4 - 4 
⇒ 2ab = 0
⇒ ab = 0

∴  a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
= (2)3 - (3 × 0 × 2)
= 8 - 0
= 8
২,২৯৯.
যদি a + b + c= 9, ab + bc + ca= 31 হয়, তবে a² + b² + c²= কত?
  1. ক
    ক) 13
  2. খ
    খ) 17
  3. গ
    গ) 19
  4. ঘ
    ঘ) 21
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
a + b + c = 9
ab + bc + ca = 31


আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
                      = 92 - 2 × 31 
                       = 81 - 62 
                        = 19
২,৩০০.
3x + 1/3x = 9 হলে x2 + 1/81x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 79
  2. খ
    খ) 79/4
  3. গ
    গ) 79/9
  4. ঘ
    ঘ) 79/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x + 1/3x = 9 হলে x2 + 1/81x2 এর মান কত?

সমাধান:
3x + 1/3x = 9
3(x + 1/9x) = 9
x + 1/9x = 3

x2 + 1/81x2 = x2 + (1/9x)2
= (x + 1/9x)2 - 2.x.1/9x
= 32 - 2/9
= 9 - (2/9)
= (81 - 2)/9
= 79/9