বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

প্রথম রাশি= x³+x²y = x²(x+y)
দ্বিতীয় রাশি= x²y +xy² = xy(x+y)
∴ ল.সা.গু.= x²y (x +y)

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

দেওয়া আছে, x+y = 5 এবং xy = 6।
আমরা জানি, (x-y)² = (x+y)² - 4xy
= 5² - 4×6
= 25 - 24
= 1

প্রশ্ন: (x + 3) (x - 3) কে x² - 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে? 

সমাধান: 
 (x + 3) (x - 3) 
= x² - 3² 
= x² - 9 

এখন, 
x² - 6) x² - 9 (1 
            x² - 6
_____________
                - 3 

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = - 3

প্রশ্ন: 9a² + 16b² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি বর্গরাশি হবে?

সমাধান: 
9a² + 16b² 
= (3a)² + (4b)²
= (3a)² + 2. 3a. 4b + (4b)² - 24ab
= (3a + 4b)² - 24ab

9a² + 16b² এর সাথে 24ab যোগ করলে যোগফল একটি বর্গরাশি হবে  

প্রশ্ন: যদি A = x² + xy + y²  এবং B = x² - xy + y² হয় তবে A - B = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
A = x² + xy + y²
B = x² - xy + y²

∴ A - B
= (x² + xy + y²) - (x² - xy + y²)
= x² + xy + y² - x² + xy - y²
= 2xy

প্রশ্ন: a³ + b³ = 224, a + b = 8 হলে, ab = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a³ + b³ = 224
a + b = 8

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab × (a + b)
বা, 224 = 8³ - (3ab × 8)
বা, 224 = 512 - 24ab
বা, 24ab = 512 - 224
বা, 24ab = 288
বা, ab = 288/24
∴ ab = 12

প্রশ্ন: যদি 16x² - 56x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
16x² - 56x 
= (4x)² - 2 × (4x) × 7 + 7² - 7²
= (4x - 7)² - 49
∴ 16x² - 56x এর সাথে 49 যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে।

xy/x² + y²
= 4xy/2.2(x² + y²)
= (x +y)² - (x - y)²/2{(x + y)² + (x - y)²}
= 6² - 2²/2(6² + 2²)
= 36 - 4/2(36 + 4)
= 32/(2 × 40)
= 2/5

প্রশ্ন: {a + (1/a)}² = 16 হলে, a³ + (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
{a + (1/a)}² = 16
⇒ a + (1/a) = √16
⇒ a + (1/a) = 4

∴ প্রদত্ত রাশি, a³ + (1/a³) = {a + (1/a)}³ - 3 · a · (1/a) · {a + (1/a)}
= (4)³ - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52

দেওয়া আছে, 2xy + y = 21 এবং x = 3
⇒ 2.3.y + y = 21
⇒ y (6 + 1) = 21
⇒ y = 21/7 = 3

∴ 2y + x² = 2.3 + 3² = 15

প্রশ্ন: a + b = 7 এবং a - b = 3 হলে, a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
বা, 2(a² + b²) = (7)² + (3)²
বা, 2(a² + b²) = 49 + 9
বা, 2(a² + b²) = 58
বা, a² + b² = 58/2
∴ a²+ b² = 29

দেওয়া আছে, x² + y² + z² = 2 এবং x + y + z = 2
আমরা জানি, (x+y+z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
বা, 2(xy + yz + zx) = (x+y+z)² - (x² + y² + z²)
বা, 2(xy + yz + zx) = 2² -2 =  = 2
বা, 2(xy + yz + zx) = 4 - 2
বা, 2(xy + yz + zx) = 2
বা, (xy + yz + zx) = 1

(x-y)² = (x+y)²-4xy
= (6)²-4×8
= 36-32
= 4

x⁴ + 1/x⁴
= (x²)² + (1/x²)²
= (x² + 1/x²)² - 2.x².1/x²
= {(x - 1/x)² + 2.x.1/x}² - 2
= (3² + 2)² - 2
= 121 - 2 = 119

প্রশ্ন: x + y = 5 এবং xy = 6 হলে, x³ - y³ - 3(x² + y²) = ? (যেখানে x > y) 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 5 এবং xy = 6

আমরা জানি, 
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= 5² - 4 × 6
= 25 - 24
= 1
⇒ x - y = √1
∴ x - y = 1

প্রদত্ত রাশি, 
x³ - y³ - 3(x² + y²)
= {(x - y)³ + 3xy(x - y)} - 3{(x + y)² - 2xy}
= (1³ + 3 × 6 × 1) - 3(5² - 2 × 6)
= (1 + 18) - 3(25 - 12)
= 19 - 39
= - 20

প্রশ্ন: ax² + 2a, x⁴ - 4 এবং 4x² + 8 এদের গ.সা.গু. কত?

সমাধান: 
প্রথম রাশি,
 ax² + 2a
= a(x² + 2)

দ্বিতীয় রাশি,
x⁴ - 4
= (x²)² - 2²
= (x² - 2)(x² + 2)

তৃতীয় রাশি,
 4x² + 8
= 4(x² + 2)

∴ তিনটিতেই সাধারণ উৎপাদক (x² + 2)।

অতএব, রাশি তিনটির গ.সা.গু. = x² + 2 

a² + b² + 3ab
= a² + b² + 2ab + ab
= (a + b)² + ab
= (7)² + 10
= 49 + 10
= 59

প্রশ্ন: যদি a + (4/a) = 4 হয় তবে, a/(a³ + a - 4) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + (4/a) = 4
⇒ a² + 4 - 4a = 0 
⇒ (a - 2)² =  0
⇒ a = 2

এখন, 
a/(a³ + a - 4)
= 2/(2³ + 2 - 4)
 = 2/6
 = 1/3

আমরা জানি,
2 (x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²
⇒ 2 × 185 = (x + y)² + (3)²
⇒ (x + y)² = 370 - 9
⇒ (x + y)² = 361
∴ x + y = 19 ------- (i)
আবার, x - y = 3 ------- (ii)
(i) + (ii) ⇒ 2x = 22
∴ x = 11
∴ y = 8
∴ (x, y) = (11, 8)

প্রশ্ন: যদি x⁴ - 51x² + 1 = 0 হয়, তবে x - 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x⁴ - 51x² + 1 = 0
⇒ x⁴ + 1 = 51x² 
⇒ x² + 1/x² = 51
⇒ (x - 1/x)² + 2 . x . (1/x) = 51
⇒ (x - 1/x)² + 2 = 51
⇒ (x - 1/x)² = 49
⇒ x - 1/x = ±√49 
∴ x - 1/x = ±7

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ ঐ সংখ্যার চেয়ে ৫০ কম হলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক। 
সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ = ঐ সংখ্যা থেকে ৫০ কম

অর্থাৎ (২/৩) ক = ক - ৫০
⇒ ৫০ = ক - (২/৩)ক  
⇒ ৫০ = (৩ক - ২ক)/৩
⇒ ৫০ = ক/৩
⇒ ক = ৫০ × ৩ 
ক = ১৫০

(x - 5)(a + x) = x² - 25
⇒ (x - 5)(a + x) = (x - 5)(x + 5)
⇒ a + x = x + 5
∴ a = 5

ab = {(a+b)/2}² - {(a-b)/2}²
= (8/2)² - (4/2)²
= 64/4 - 16/4
= (64-16)/4
= 12

প্রশ্ন: যদি p = x² + xy + y²  এবং q = x² - xy + y² হয় তবে q - p = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
p = x² + xy + y²
q = x² - xy + y²

∴ q - p
= (x² - xy + y²) - (x² + xy + y²)
= x² - xy + y² - x² - xy - y²
= - 2xy

(x - y)²
= (x + y)² - 4xy
= (17)² - 4 X 60
= 289 - 240
= 49
∴ x - y = √49 = 7

দেওয়া আছে,
x + y = 8 এবং x - y = 6
এখন,
x² + y²
= 1/2{(x + y)² + (x - y)²}
= 1/2(8² + 6²)
= 1/2(64+36)
= 1/2 × 100
= 50

প্রশ্ন:  যদি g(x) = 2x³ + ax² - 7x + 5 হয়, তবে কোন মানের জন্য g(- 1) = 0 হবে?

সমাধান:
g(x) = 2x³ + ax² - 7x + 5
g(- 1)= 2(- 1)³ + a(- 1)² - 7(- 1) + 5
= - 2 + a + 7 + 5
= a + 10

∴ a + 10 = 0
a =  - 10