লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

মোট প্রশ্ন৩,৪০১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

PrepBank · পাতা ২০ / ৩৪ · ১,৯০১–২,০০০ / ৩,৪০১

১,৯০১.
  1. ক
    2
  2. খ
    - 2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
 

সমাধান: 
১,৯০২.
x = 7 - 4√3 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 198
  2. খ
    খ) 194
  3. গ
    গ) 188
  4. ঘ
    ঘ) 154
ব্যাখ্যা
x = 7 - 4√3
 ∴ 1/x
= 1/(7 – 4√3)
= (7 + 4√3) / (7 – 4√3)( 7 + 4√3)
= (7 + 4√3)/(49 - 48)
= (7 + 4√3)

∴ x + 1/x
= 7 – 4√3 + 7 + 4√3
= 14

x2 + 1/x2
= (x + 1/x)2 - 2.x.1/x
= 142 - 2
= 196 - 2 
= 194
১,৯০৩.
যদি (a - b)2 = 16 এবং ab = 3 হয়, তবে a2 + b2 = কত?
  1. ক
    18
  2. খ
    28
  3. গ
    22
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (a - b)2 = 16 এবং ab = 3 হয়, তবে a2 + b2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a - b)2 = 16 এবং ab = 3

আমরা জানি,
a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
= 16 + (2 × 3)
= 16 + 6
∴ a2 + b2 = 22
১,৯০৪.
x4 - 1, x2 - 1 এবং x3 - 1 এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    (x - 1)
  3. গ
    (x + 1)
  4. ঘ
    x2 - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - 1, x2 - 1 এবং x3 - 1 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি,
x4 - 1
= (x2)2 - 12
= (x2 - 1)(x2 + 1)
= (x - 1)(x + 1)(x2 + 1)

২য় রাশি,
x2 - 1
= (x - 1)(x + 1)

৩য় রাশি,
x3 - 1
= (x - 1)(x2 + x + 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 1)
১,৯০৫.
(x/y) + (y/x) = 3 হলে, (x2/y2) + (y2/x2) এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    5
  3. গ
    7
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x/y) + (y/x) = 3 হলে, (x2/y2) + (y2/x2) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(x/y) + (y/x) = 3 

∴ (x2/y2) + (y2/x2)
= (x/y)2 + (y/x)2 
= {(x/y) + (y/x)}2 - 2. x/y. y/x 
= (3)2 - 2 
= 9 - 2 
= 7 
১,৯০৬.
a + b = 4, a - b = 2 হলে ab এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 4, a - b = 2 হলে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b = 4 
a - b = 2

আমরা জানি,
4ab = (a + b)2 - (a - b)2
বা, 4ab = 42 - 22
বা, 4ab = 16 - 4
বা, 4ab = 12
∴ ab = 3
১,৯০৭.
x+y = 2, x3 + y3 = 8 হলে x2 + y2 = কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
x3 + y3 = (x+y)3 - 3xy(x+y)
বা, 8 = 23 - 3xy(2)
বা, -6xy = 0
∴ xy = 0
∴ x2 + y2 = (x+y)2 - 2xy
= 22 - 2.0 = 4
১,৯০৮.
(a - b) = 3 এবং a + b = 7 হলে ab এর মান কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 16
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
ab = {(a + b)/2}2 - {(a - b)/2}2
= (7/2)2 - (3/2)2
= 49/4 - 9/4
= (49 - 9)/4
= 40/4
= 10
১,৯০৯.
x2 = 15 + 2√56 হলে, 1/x এর মান কত?
  1. ক
    ক) (√8 - √7)/2
  2. খ
    খ) √8/√7
  3. গ
    গ) (√8 - √7)
  4. ঘ
    ঘ) (√8 + √7)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : x2 = 15 + 2√56 হলে, 1/x এর মান কত?
দেওয়া আছে, 
বা, x2 = 15 + 2√56
বা, x2 = 8 + 2√56  + 7
বা, x2 = (√8)2 + 2.√8.√7 + (√7)2
বা, x2 = (√8 + √7)2
বা, x = √8 + √7
বা, 1/x = 1/√8 + √7
বা, 1/x = (√8 - √7)/(√8 + √7)(√8 - √7)
 বা, 1/x =  (√8 - √7)/(√8)2 - (√7)2
বা, 1/x = (√8 - √7)/(8 - 7)
    1/x = (√8 - √7)
১,৯১০.
a + b = 4 এবং a - b = 2 হলে ab এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, a + b = 4 এবং a - b = 2
আমরা জানি, ab = {(a + b)2 - (a - b)2}/4
= (42 - 22)/4
= (16 - 4)/4
= 12/4
= 3

১,৯১১.
a + b, a - b, a2 - b2 এর ল.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) a + b
  3. গ
    গ) a - b
  4. ঘ
    ঘ) a2 - b2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b, a - b, a2 - b2 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = a + b
২য় রাশি = a - b
৩য় রাশি = a2 - b2
               = (a + b)(a - b)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (a + b)(a - b) = a2 - b2
১,৯১২.
a2 + b2 + c2 = 6 এবং a + b + c = 4 হলে, 2(ab + bc + ca) এর মান কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    10
  3. গ
    12
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + b2 + c2 = 6 এবং a + b + c = 4 হলে, 2(ab + bc + ca) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 + c2 = 6
এবং a + b + c = 4

আমরা জানি,
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (4)2 - 6
⇒ 2(ab + bc + ca) = 16 - 6
⇒ 2(ab + bc + ca) = 10
১,৯১৩.

  1. ক
    21
  2. খ
    27
  3. গ
    36
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a2 + 1 = 3a
⇒ a + 1/a = 3

প্রদত্ত রাশি = a3 + 1/a3 = (a + 1/a)3 - 3 . a . (1/a) . (a + 1/a)
= (3)3 - 3 × 3
= 27 - 9
= 18

১,৯১৪.
যদি  x2 + y2 = 50 এবং x + y = 8 হলে x - y এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি  x2 + y2 = 50 এবং x + y = 8 হলে x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 + y2 = 50
x + y = 8

এখন,
x2 + y2 = 50
বা, 2(x2 + y2)= 100
বা, (x + y)2 + (x - y)2 = 100
বা, (8)2 + (x - y)2 = 100
বা, 64 + (x - y)2 = 100
বা, (x - y)2 = 100 - 64
বা, (x - y)2 = 36
∴ x - y = 6
১,৯১৫.
যদি a + b + c = 9 এবং a2 + b2 + c2 = 19 হয়, তবে ab + bc + ca এর মান কত?
  1. ক
    ক) 30
  2. খ
    খ) 31
  3. গ
    গ) 32
  4. ঘ
    ঘ) 33
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b + c = 9 এবং a2 + b2 + c2 = 19 হয়, তবে ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 92 = 19 +  2(ab + bc + ca)
⇒ 81 = 19 +  2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 81 - 19
⇒ 2(ab + bc + ca) = 62
∴ (ab + bc + ca) = 31
১,৯১৬.
x = √3 + √5 হলে (x2 - 2)/x এর মান হবে -
  1. ক
    - 2√3
  2. খ
    3√3
  3. গ
    2√3
  4. ঘ
    5√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = √3 + √5 হলে (x2 - 2)/x এর মান হবে -

সমাধান:
দেওয়া আছে
x = √3 + √5
বা, 1/x = 1/(√3 + √5)
বা, 1/x = (√5 - √3)/(√5 - √3)(√3 + √5)
বা, 1/x = (√5 - √3)/(√5)2 - (√3)2
বা, 1/x = (√5 - √3)/(5 - 3)
∴ 1/x = (√5 - √3)/2

(x2 - 2)/x = x2/x - 2/x
= x - 2.(1/x)
= √3 + √5 - 2{(√5 - √3)/2}
= √3 + √5 - √5 + √3
= 2√3
১,৯১৭.
একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত ?
  1. ক
    ক) -1
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত ?

সমাধান:
মনেকরি 
সংখ্যাটি x 
x এর গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যা = 1/x

এখন 
x+1/x = 2
⇒ (x2 + 1)/x = 2
⇒ x2 + 1 = 2x
⇒ x2  - 2x + 1 = 0
⇒ x2 - 2.x .1 + 12 = 0
⇒ (x - 1)2 = 0
⇒ x - 1 = 0
   x = 1
১,৯১৮.
যদি 
  1. ক
    46√6
  2. খ
    45√5
  3. গ
    48√3
  4. ঘ
    42√6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

১,৯১৯.
যদি x = 1 + √2 এবং y = 1 - √2 হয়, তাহলে (x2 - y2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) √2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 2√2
  4. ঘ
    ঘ) 4√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x = 1 + √2 এবং y = 1 - √2 হয়, তাহলে (x2 - y2) এর মান কত?

সমাধান: 
x = 1 + √2
y = 1 - √2

x + y = 1 + √2 + 1 - √2
= 2

x - y = 1 + √2 - 1 + √2
= 2√2

x2 - y2
= (x + y)(x - y)
= 2 × 2√2
= 4√2
১,৯২০.
যদি x + y = 10 এবং x - y = 2 হয় , তাহলে 2x2 + 2y2 = ?
  1. ক
    100
  2. খ
    120
  3. গ
    116
  4. ঘ
    104
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 10 এবং x - y = 2 হয় , তাহলে 2x2 + 2y2 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 10 এবং x - y = 2

∴ 2x2 + 2y2
= 2(x2 + y2)
= {(x + y)2 + (x - y)2}
= (10)2 + (2)2
= 100 + 4 
= 104

১,৯২১.
x2 - 4x + 1 = 0 হলে x2 - 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 4√3
  2. খ
    খ) 6√3
  3. গ
    গ) 7√3
  4. ঘ
    ঘ) 8√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 4x + 1 = 0 হলে x2 - 1/x2 এর মান কত?

সমাধান:
x2 - 4x + 1 = 0
x2 + 1 = 4x
x2/x + 1/x = 4x/x
x + 1/x = 4

আবার 
(x - 1/x)2 = (x + 1/x)2 - 4x.1/x
(x - 1/x)2 =42 - 4
(x - 1/x)2 = 12
(x - 1/x) = √12
x - 1/x = 2√3

 x2 - 1/x2 = (x + 1/x)(x - 1/x )
=  2√3 × 4
= 8√3
১,৯২২.
যদি a + b + c = 5 এবং a2 + b2 + c2 = 9 হয়, তবে ab + bc + ca = কত?
  1. ক
    16
  2. খ
    8
  3. গ
    17
  4. ঘ
    86
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b + c = 5 এবং a2 + b2 + c2 = 9 হয়, তবে ab + bc + ca = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)
⇒ (ab + bc + ca) = {(a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)}/2
= (52 - 9)/2
= (25 - 9)/2
= 16/2
= 8
১,৯২৩.
x - y = 2 এবং xy = 3 হলে x + y =?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    5
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 2 এবং xy = 3 হলে x + y =?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x - y = 2,
xy = 3

∴ x + y = √{(x - y)2 + 4xy}
= √{(2)2 + 4.3}
= √(4 + 12)
= √16
= 4
১,৯২৪.
x2y - xy2 এবং x2 - xy রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু এবং গ.সা.গু এর গুণফল কত?
  1. ক
    x2y(x - y)2
  2. খ
    x2y2(x - y)2
  3. গ
    xy(x - y)2
  4. ঘ
    (x - y)2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2y - xy2 এবং x2 - xy রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু এবং গ.সা.গু এর গুণফল কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x2y - xy2
= xy(x - y)

২য় রাশি = x2 - xy
= x(x - y)

x2y - xy2 এবং x2 - xy রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু = xy(x - y)
x2y - xy2 এবং x2 - xy রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু = x(x - y)

নির্ণেয় গুণফল = xy(x - y) × x(x - y)
= x2y(x - y)2
১,৯২৫.
x + y = 4, x2 + y2 = 8 হলে x3 + y3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 14
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 32
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে, 
x + y = 4
x2 + y2 = 8

এখন 
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy 
42 = 8 + 2xy 
16 - 8 = 2xy 
8 = 2xy
xy = 4

x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
            = 43 - 3 × 4 × 4
            = 64 - 48
            = 16
১,৯২৬.
2a2 - 4ab + 4b2 রাশিটির সাথে কত যোগ বা বিয়োগ করলে রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    a2 বিয়োগ করলে
  2. খ
    a2 যোগ করলে
  3. গ
    b2 বিয়োগ করলে
  4. ঘ
    b2 যোগ করলে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a2 - 4ab + 4b2 রাশিটির সাথে কত যোগ বা বিয়োগ করলে রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
2a2 - 4ab + 4b2
= a2 - 2.a.(2b) + (2b)2 + a2
= (a - 2b)2 + a2

∴ রাশিটি থেকে a2 বিয়োগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
১,৯২৭.
(a - 2b)3 এর মান কত?
  1. ক
    a3 + 8b3 - 6a2b - 12ab2
  2. খ
    a3 - 8b3 - 6a2b - 12ab2
  3. গ
    a3 - 8b3 - 6a2b + 12ab2
  4. ঘ
    a3 - 8b3 - 12a2b - 6ab2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a - 2b)3 এর মান কত?

সমাধান:
(a - 2b)3 = a3 - 3.a2.2b + 3.a.(2b)2 - (2b)3
(a - 2b)3 = a3 - 6a2b + 12ab2 - 8b3
১,৯২৮.
a - [a - (b + 2)]=?
  1. ক
    a + b
  2. খ
    a - b
  3. গ
    b + 2
  4. ঘ
    a + 2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - [a - (b + 2)]=?

সমাধান:
a - [a - (b + 2)]
= a - (a - b - 2)
= a - a + b + 2
= b + 2

১,৯২৯.
m - 1/m = 2 হলে m4 + 1/m4 = কত?
  1. ক
    ক) 30
  2. খ
    খ) 31
  3. গ
    গ) 32
  4. ঘ
    ঘ) 34
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m - 1/m = 2 হলে m4 + 1/m4 = কত?

সমাধান: 
m - 1/m = 2

প্রদত্ত রাশি = m4 + 1/m4 
= (m2)2 + (1/m2)2
= (m2 + 1/m2)2 - 2.m2.(1/m2)
= {(m - 1/m)2 + 2.m. 1/m}2 - 2 
= {22 + 2}2 - 2
= 62 - 2
= 36 - 2
= 34 
১,৯৩০.
a2 + 1/a2 = 2 হলে, a − 1/a এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
a2 + 1/a2 = 2
বা, (a - 1/a)2 + 2a.1/a = 2
বা, (a - 1/a)2 = 2 - 2 = 0
বা, (a - 1/a) = 0
১,৯৩১.
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
১,৯৩২.
a + 1/a = 3 হলে, a2 + 1/a2 = ?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + 1/a = 3 হলে, a2 + 1/a2 = ?

সমাধান:
a2 + 1/a2 = (a + 1/a)2 - 2.a.(1/a)
= (a + 1/a)2 - 2
= 32 - 2
= 9 - 2
= 7

১,৯৩৩.
যদি x4 - x2 + 1 = 0 হয়, তবে, x3 + 1/x3 = কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x4 - x2 + 1 = 0 হয়, তবে, x3 + 1/x3 = কত?

সমাধান:
x4 - x2 + 1 = 0
⇒ x4 +1 = x2
⇒ (x4 + 1)/x2 = 1
⇒ x2 + 1/x2 = 1
⇒ (x + 1/x)2 -2.x.1/x =1
∴ x+ (1/x) = √3

x3 + (1/x)3
= {x + (1/x)}3 - 3.x. (1/x) {x + (1/x)}
= (√3)3 - 3. √3
= 3√3 - 3√3
= 0
১,৯৩৪.
x4 + 1 = 51x2 হলে x - 1/x এর মান কত?
  1. ক
    ক) ± 8
  2. খ
    খ) ± 7
  3. গ
    গ) ± 6
  4. ঘ
    ঘ) ± 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 + 1 = 51x2 হলে x - 1/x এর মান কত?

সমাধান: 
 x4 + 1 = 51x2 
x4/x2 + 1/x2 = 51x2/x2
x2 + 1/x2 = 51
(x)2 + (1/x)2 = 51
(x - 1/x)2 + 2.x.1/x = 51
(x - 1/x)2 + 2 = 51
(x - 1/x)2 = 49
x - 1/x = ± 7
১,৯৩৫.
x - 1/6x = 5/2 হলে 8x3 - 1/27x3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 115
  2. খ
    খ) 125
  3. গ
    গ) 130
  4. ঘ
    ঘ) 135
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/6x = 5/2 হলে 8x3 - 1/27x3 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x - 1/6x = 5/2
বা, 2 (x - 1/6x) = 5
বা, 2x - 2/6x = 5
বা, 2x - 1/3x = 5

প্রদত্ত রাশি = 8x3 - 1/27x3
= (2x)3 - (1/3x)3
= (2x - 1/3x)3 + 3 . 2x . (1/3x) . (2x - 1/3x)
= (5)3 + (2 × 5)
= 125 + 10
= 135
১,৯৩৬.
9x2 + 16y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
  1. ক
    6xy
  2. খ
    12xy
  3. গ
    24xy
  4. ঘ
    144xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9x2 + 16y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান: 
মনে করি, 
a যোগ করতে হবে 
9x2 + 16y2 + a 
= (3x)2 + (4y)2 + 2.3x.4y 
= (3x)2 + (4y)2 + 24xy 
∴ a = 24xy 

∴ 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।
১,৯৩৭.
x - y = 6 এবং xy = 7 হলে, (x2  + y2 ) (x3  - y3 ) এর মান কত ?
  1. ক
    89040
  2. খ
    17100
  3. গ
    53040
  4. ঘ
    73040
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = 6 এবং xy = 7 হলে, (x2  + y2 ) (x3  - y3 ) এর মান কত ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 6
এবং xy = 7

১ম রাশি = x2 + y2
= (x-y)2  + 2xy
= 62 + 2 × 7
= 36 + 14
= 50 

২য় রাশি =  x3  - y3
 = (x - y)3  + 3xy (x-y)
= (6)3  + 3 × 6 × 7
 = 216 + 126
= 342 

 ∴ (x2  + y2) (x3  - y3)
= 50 × 342
= 17100 

১,৯৩৮.
a + b = √7 এবং a - b = √3 হলে a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = √7 এবং a - b = √3 হলে a2 + b2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7
a - b = √3

আমরা জানি,
2 (a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
বা, 2 (a2 + b2) = (√7)2 + (√3)2
বা, 2 (a2 + b2) = 7 + 3
বা, a2 + b2 = 10/2
∴ a2 + b2 = 5
১,৯৩৯.
9x²+16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    ক) 12xy
  2. খ
    খ) 18xy
  3. গ
    গ) 24xy
  4. ঘ
    ঘ) 30xy
ব্যাখ্যা

9x²+16y²
= (3x)² + 2.3x.4y + (4y)² - 24xy
= (3x+4y)² - 24xy
অর্থাৎ 24xy যোগ করতে হবে।

১,৯৪০.
x + y = 18 এবং xy = 65 হলে x - y =কত?
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, x + y = 18 এবং xy = 65
আমরা জানি, (x - y)2 = (x + y)2 - 4xy = 182 - 4 × 65 = 64
∴ x - y = 8

১,৯৪১.
যদি p - q - r = 0 হয় তবে, p3 - q3 - r3 এর মান কত?
  1. ক
    pqr
  2. খ
    3
  3. গ
    3pqr
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p - q - r = 0 হয় তবে, p3 - q3 - r3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p - q - r = 0
⇒ p - q = r

প্রদত্ত রাশি = p3 - q3 - r3
= (p - q)3 + 3pq(p - q) - r3
= r3 + 3pqr - r3
= 3pqr

১,৯৪২.
a - b = 4 এবং ab = 20 হলে a3 - b3 এর মান কত?
  1. ক
    64
  2. খ
    244
  3. গ
    304
  4. ঘ
    290
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - b = 4 এবং ab = 20 হলে a3 - b3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a - b = 4 
ab = 20

আমরা জানি
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
= 43 + 3 × 20  × 4
= 64 + 240
= 304

১,৯৪৩.
√m + (1/√m) = 2 হলে, √m - (1/√m) = কত? 
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) √2
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √m + (1/√m) = 2 হলে, √m - (1/√m) = কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
√m + (1/√m) = 2  
এখন,
{√m - (1/√m)}2 = {√m + (1/√m)}2 - 4. √m (1/√m)
বা, {√m - (1/√m)}2 = (2)2 - 4 
বা,  {√m - (1/√m)}2 = 4 - 4  
বা,  {√m - (1/√m)}2 = 0 
বা,  {√m - (1/√m)} = 0

∴ √m - (1/√m) = 0 
১,৯৪৪.
(x-1/x) = 1 হলে, (x³-1/x³)এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা

( x - 1 / x ) = 1
⇒ ( x - 1 / x ) = ( 1 )³
⇒ x³ - 1 / x³ - 3 ( x - 1 / x ) = 1
⇒ x³ - 1 / x³ - 3 ( 1 ) = 1
⇒ x³ - 1 / x³ - 3 = 1
⇒ x³ - 1 / x³ = 3 + 1
⇒ x³ - 1 / x³ = 4

১,৯৪৫.
x + y = 5 এবং x - y = 3 হলে, xy এর মান কত? 
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    5
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 5 এবং x - y = 3 হলে 4xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 5  এবং 
x - y = 3 

আমরা জানি 
xy  = {(x + y)2 - (x - y)2}/4
⇒ xy = {(5)2 - (3)2}/4
⇒ xy = (25 - 9)/4
⇒ xy = 16/4
∴ xy = 4

১,৯৪৬.
9x2 + 16y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
  1. ক
    12xy
  2. খ
    6xy
  3. গ
    144xy
  4. ঘ
    24xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9x2 + 16y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান: 
মনে করি, 
a যোগ করতে হবে 
9x2 + 16y2 + a
= (3x)2 + (4y)2 + 2.3x.4y
= (3x)2 + (4y)2 + 24xy 
∴ a = 24xy 

∴ 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।
১,৯৪৭.
যদি a - b = 5 এবং a2 + b2 = 17 হয়, তবে a3 - b3 এর মান কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    45
  3. গ
    65
  4. ঘ
    84
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a - b = 5 এবং a2 + b2 = 17 হয়, তবে a3 - b3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a - b = 5 এবং a2 + b2 = 17

আমরা জানি,
(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab
বা, 52 = 17 - 2ab
বা, 25 = 17 - 2ab
বা, 2ab = 17 - 25
বা, 2ab = - 8
∴ ab = - 4

প্রদত্ত রাশি, 
a3 - b3
= (a - b)3 + 3ab(a - b)
= 53 + 3 × (- 4) × 5
= 125 + 3 × (- 20)
= 125 - 60
= 65

১,৯৪৮.
যদি x + y = √13 এবং x - y = √5 হয়, তবে xy এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    √8
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = √13 এবং x - y = √5 হয়, তবে xy এর মান কত?

সমাধান:
x + y = √13
x - y = √5

আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}2 - {(x - y)/2}2
= (√13/2)2 - (√5/2)2
= (13/4) - (5/4)
= (13 - 5)/4
= 8/4
= 2

১,৯৪৯.
x - 1/x = √3 হলে x2 - √3 x এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 1/x = √3 হলে x2 - √3 x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া হয়েছে,
x - 1/x = √3

x2 - √3 x
= x2 - √3 x
= x2 - (x - 1/x) x (যেহেতু √3 = x - 1/x)
= x2 - (x2 - 1)
= x2 - x2 + 1
= 1

সঠিক উত্তর: 1

১,৯৫০.
a+b=5 এবং a-b=3 হলে, ab এর মান-
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
ab = ((a+b)/2)2-((a-b)/2)2
=(5/2)2-(3/2)2
=4
১,৯৫১.
x + 1/x = 6 হলে x/(x2 - 4x + 1) এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    1/2
  3. গ
    1/4
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 6 হলে x/(x2 - 4x + 1) এর মান কত? 

সমাধান: 
 x + 1/x = 6
(x2 +1)/x = 6
x2 + 1 = 6x

প্রদত্ত রাশি = x/(x2 - 4x + 1)
= x/(x2 + 1 - 4x )
= x/(6x - 4x) [x2 + 1 = 6x বসিয়ে] 
= x/2x
= 1/2 
১,৯৫২.
x2 - √5x + 1 = 0 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে, 
x2 - √5x + 1 = 0
x2 + 1 =  √5x
(x2 + 1)/x = √5x/x
x2/x + 1/x = √5
x + 1/x = √5

এখন 
x2 + 1/x2 = (x)2 + (1/x)2 
                = (x +1/x)2 - 2. x.1/x
                 = (√5)2 - 2
                 = 5 - 2
                 = 3 
১,৯৫৩.
a+b = 7 এবং ab = 10 হলে a2 - b2 = কত?
  1. ক
    ক) 29
  2. খ
    খ) 25
  3. গ
    গ) 21
  4. ঘ
    ঘ) 17
ব্যাখ্যা
(a-b)2 = (a+b)2 - 4ab = 49 - 40 = 9
∴ a-b = 3
∴ a2 - b2 = (a+b)(a-b) = 7×3 = 21
১,৯৫৪.
x + y = 2, x2 + y2 = 4 হলে, x3 + y3 = কত?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা
x2 + y2 = 4
x + y = 2
আমরা জানি,
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
Or, 22 = 4 + 2xy
Or, 2xy = o
Or, xy = o
প্রদত্ত রাশি,
x3 + y3 = ( x + y)3 – 3xy(x + y)
= 23 – 3.0.2
= 8 – o
= 8
১,৯৫৫.
যদি 642/3+ 6251/2 = 3k হয় তবে kএর মান-
  1. ক
    ক) 12(⅖)
  2. খ
    খ) 13(⅔)
  3. গ
    গ) 11(⅓)
  4. ঘ
    ঘ) 9(⅔)
ব্যাখ্যা

642/3+ 6251/2 = 3k
=> (43)2/3+ (252)1/2 = 3k
=> 42+ 25 = 3k
=> 16 + 25 = 3k
=> 41 = 3k
=> k = 41/3
∴ k = 13(⅔)

১,৯৫৬.
a2 - 1 = 2a হলে (a8 + 1)/a4 এর মান কত?
  1. ক
    36
  2. খ
    34
  3. গ
    32
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
a2 - 1 = 2a
(a2 - 1)/a = 2a/a
a2/a - 1/a = 2
a - 1/a = 2
 
এখন,
(a8 + 1)/a4 = a8/a4 +1/a4 
                   = a4 + 1/a4
                   = (a2)2 + (1/a2)2
                   = (a2 + 1/a2)2 - 2 .a2 .1/a2
                   = {(a - 1/a)2 + 2.a.1/a}2 - 2
                  =  (22 + 2)2 - 2
                  = (4 + 2)2 - 2
                  = 62- 2
                 = 34
১,৯৫৭.
(1 - 1/a2) ÷ (1/a + 1) = ?
  1. ক
    ক) a/(a - 1)
  2. খ
    খ) (a - 1)/a
  3. গ
    গ) a(a - 1)
  4. ঘ
    ঘ) a(a + 1)
ব্যাখ্যা

(1 - 1/a2) ÷ (1/a + 1)
= (1 - 1/a2)/(1/a + 1)
= {(1 + 1/a)(1 - 1/a)}/(1 + 1/a)
= 1 - 1/a
= (a - 1)/a

১,৯৫৮.
যদি x + (1/x) = 5 হয় তবে x/(x2 - 3x + 1) এর মান কত?
  1. ক
    2/3
  2. খ
    2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 5 হয় তবে x/(x2 - 3x + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ x + (1/x) = 5
⇒ (x2 + 1)/x= 5
∴ x2 + 1 = 5x .......(1)

প্রদত্ত রাশি,
x/(x2 - 3x + 1)
= x/(x2 + 1 - 3x)
= x/(5x - 3x) [1 নং হতে]
= x/2x
= 1/2
১,৯৫৯.
যদি 
  1. ক
    110
  2. খ
    125
  3. গ
    115
  4. ঘ
    130
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

১,৯৬০.
একটি বক্সে x টি লাল বল এবং y টি নীল বল আছে। যদি মোট বলের সংখ্যা 50 হয় এবং লাল বলের সংখ্যা নীল বলের তুলনায় দ্বিগুণ হয়, তবে x এবং y এর সম্পর্ক কোনটি?
  1. ক
    x + y = 50 এবং x = 2y
  2. খ
    x - y = 50 এবং x = y + 2
  3. গ
    x = 50 + y এবং x = 2y
  4. ঘ
    x = y - 50 এবং x + y = 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বক্সে x টি লাল বল এবং y টি নীল বল আছে। যদি মোট বলের সংখ্যা 50 হয় এবং লাল বলের সংখ্যা নীল বলের তুলনায় দ্বিগুণ হয়, তবে x এবং y এর সম্পর্ক কোনটি?

সমাধান:
একটি বক্সে x টি লাল বল এবং y টি নীল বল আছে।
মোট বলের সংখ্যা 50 হয়
∴ x + y = 50

লাল বলের সংখ্যা নীল বলের তুলনায় দ্বিগুণ হয়
∴ x = 2y
১,৯৬১.
  1. ক
    ক) 14
  2. খ
    খ) 52
  3. গ
    গ) 76
  4. ঘ
    ঘ) 64
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
১,৯৬২.
  1. ক
    84
  2. খ
    18√5
  3. গ
    34√5
  4. ঘ
    42√5
  5. ঙ
    76
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,৯৬৩.
x + 2/x = 3 হলে x3 + 8/x3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা

x3 + 8/x3
= x3 + (2/x)3
= (x+2/x)3 - 3.x.(2/x).(x+2/x)
= 33 - 3×2×3
= 27 - 18
= 9

১,৯৬৪.
7 - 2[ - 6 + 3{ - 5 + 2(4 - 3)}] এর মান কত?
  1. ক
    ক) 35
  2. খ
    খ) 37 
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) - 37
ব্যাখ্যা
7 - 2[ - 6 + 3 { - 5 + 2(4 - 3)}] 
⇒7 - 2[ - 6 + 3 { - 5 + 2×1}]
⇒7 - 2[ - 6 + 3 { - 5 + 2}]
⇒7 - 2[ - 6 + 3 {- 3}]
⇒7 - 2[ - 6 - 9]
⇒7 - 2[ - 15]
⇒7 + 30 
∴ 37
১,৯৬৫.
x2 - 2x -1 = 0 হলে, x + 1/x = কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    4√2
  3. গ
    2√2
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 2x -1 = 0 হলে, x + 1/x = কত?

সমাধান: 
 x2 - 2x -1 = 0
x2 - 1 = 2x 
x2/x - 1/x = 2
x - 1/x = 2

এখন 
(x + 1/x)2 = (x - 1/x)2 + 4 x.1/x
⇒ (x + 1/x)2 = 22 + 4
⇒ (x + 1/x)2 = 4 + 4 
⇒ (x + 1/x)2 = 8 
⇒ (x + 1/x) = √8
⇒ (x + 1/x) = √(4 × 2)
∴ (x + 1/x) = 2√2
১,৯৬৬.
(a + b) = √7 এবং (a - b) = √5 হলে, 8ab(a2 + b2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 24
  2. খ
    খ) 28
  3. গ
    গ) 32
  4. ঘ
    ঘ) 40
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a + b) = √7 এবং (a - b) = √5 হলে, 8ab(a2 + b2) এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
(a + b) = √7 
(a - b) = √5 

প্রদত্ত রাশি = 8ab(a2 + b2) 
=4ab. 2(a2 + b2)
= {(a + b)2- (a - b)2}.{(a + b)2 + (a - b)2}
={(√7)2- (√5)2}.{(√7)2 + (√5)2} 
= (7 - 5).(7 + 5)
= 2 × 12
= 24
১,৯৬৭.
a + b = 11 এবং a - b = 7 হলে, ab = কত?
  1. ক
    16
  2. খ
    17
  3. গ
    18
  4. ঘ
    19
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 11 এবং a - b = 7 হলে, ab = কত?

সমাধান:
ab = {(a + b)/2}2 - {(a - b)/2}2
= (11/2)2 - (7/2)2
= (121/4) - (49/4)
= (121 - 49)/4
= 72/4
= 18
১,৯৬৮.
x + y = 4 এবং xy = 3 হলে, x3 + y3 এর মান কত?
  1. ক
    49
  2. খ
    16
  3. গ
    36
  4. ঘ
    28
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 4 এবং xy = 3 হলে, x3 + y3 এর মান কত?

সমাধান:
এখন,
x3 + y3 
= (x + y)3 - 3 ⋅ x ⋅ y(x + y)
= 43 - 3 ⋅ 3 ⋅ 4
= 64 - 36
= 28
১,৯৬৯.
দুটি সংখ্যার অর্ধেকের যোগফল 40। তাদের পার্থক্যের এক চতুর্থাংশ সমান 18। বড় সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    96
  2. খ
    64
  3. গ
    78
  4. ঘ
    76
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অর্ধেকের যোগফল 40। তাদের পার্থক্যের এক চতুর্থাংশ সমান 18। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি
বড় সংখ্যাটি x
এবং ছোট সংখ্যাটি y

১ম শর্তমতে,
(x/2) + (y/2) = 40
⇒ (x + y)/2 = 40
∴ x + y = 80 ............... (1)

২য় শর্তমতে
(x - y)/4 = 18
∴ x - y = 72 ..............(2)

(1) নং + (2) নং
x + y + x - y = 80 + 72
⇒ 2x = 152
∴ x = 76
১,৯৭০.
a2 + (1/a2) এর কোন মানের জন্য a3 - (1/a3) = 0 হবে?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + (1/a2) এর কোন মানের জন্য a3 - (1/a3) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a3 - (1/a3) = 0
⇒ (a6 - 1)/a3 = 0
⇒ a6 - 1 = 0
⇒ a6 = 1
⇒ a6 = 16
∴ a = 1

প্রদত্ত রাশি = a2 + (1/a2)
= 12 + (1/16)
= (1 + 1)
= 2
১,৯৭১.
a - b = 2 হলে, a3 - b3 - 6ab এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    10
  3. গ
    18
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - b = 2 হলে, a3 - b3 - 6ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a - b = 2

প্রদত্ত রাশি, a3 - b3 - 6ab
= (a - b)3 + 3ab(a - b) - 6ab
= (2)3 + 3ab ×2 - 6ab
= 8 + 6ab - 6ab
= 8

১,৯৭২.
9p2 + 25q2 রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে ?
  1. ক
    25pq
  2. খ
    45pq
  3. গ
    30pq
  4. ঘ
    15pq
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9p2 + 25q2 রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে ?

সমাধান : 
9p2 + 25q2 
⇒ (3p)2 + 2 . 3p . 5q + (5q)2
⇒ 9p2+ 30pq +25q2

∴ 9p2 + 25q2 রাশিটির সাথে 30pq যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

 

১,৯৭৩.
a - 1/a = -1 হলে a3 + 1/a3 = ?
  1. ক
    ক) -2√5
  2. খ
    খ) -3√5
  3. গ
    গ) 2√5
  4. ঘ
    ঘ) 3√5
ব্যাখ্যা

(a + 1/a)2
= (a - 1/a)2 + 4.a.1/a
= (-1)2 + 4
(a + 1/a)2 = 5
∴ a + 1/a = √5
a3 + 1/a3
= (a + 1/a)3 - 3.a.1/a(a + 1/a)
= (√5)3 - 3√5
a3 + 1/a3
= 5√5 - 3√5
= 2√5

১,৯৭৪.
a + b = 10 এবং a2 + b2 = 52 হলে, নিচের কোনটি ab এর মান হবে?
  1. ক
    20
  2. খ
    24
  3. গ
    12
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 10 এবং a2 + b2 = 52 হলে, নিচের কোনটি ab এর মান হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + b)2 = (a2 + b2) + 2ab
⇒ 2ab = (a + b)2 - (a2 + b2)
⇒ 2ab = (10)2 - 52
⇒ 2ab = 100 - 52
⇒ 2ab = 48
⇒ ab = 48/2
∴ ab = 24
১,৯৭৫.
x2 - 4x = - 1 হয়, (x4 + 1)/x2 = ?
  1. ক
    8
  2. খ
    12
  3. গ
    14
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 4x = - 1 হয়, (x4 + 1)/x2 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 - 4x = - 1
⇒ x2 + 1 = 4x
⇒ (x2 + 1)/x = 4x/x
⇒ (x2/x) + (1/x) = 4
∴ x + (1/x) = 4

এখানে,
(x4 + 1)/x2
= (x4/x2 ) + (1/x2)
= x2 + (1/x2)
= {x + (1/x)2 - 2 . x . (1/x)
= 42 - 2
= 16 - 2
= 14
১,৯৭৬.
xy কে দু'টি বর্গের অন্তরফলরুপে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি শুদ্ধ উত্তর হবে?
  1. ক
    ক) (x−y)2/2 − (x+y)2/2
  2. খ
    খ) (x+y)2 − (x−y)2
  3. গ
    গ) {(x+y)/2}2 − {(x−y)/2}2
  4. ঘ
    ঘ) (x+y)2/2 − (x−y)2/2
ব্যাখ্যা
xy = {(x+y)/2}2 − {(x−y)/2}2
১,৯৭৭.
a + a -1 = √3 হলে, a2 + a -2 এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    3
  3. গ
    5
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + a -1 = √3 হলে, a2 + a -2 এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + a -1 = √3
∴ a + (1/a) = √3

এখন, 
a2 + a -2 = a2 + 1/a2
= {a + (1/a)}2 - 2. a. 1/a
= {√3}2 - 2
= 3 - 2
= 1
১,৯৭৮.
যদি y = √5 + √4 হয়, তাহলে y3 + (1/y3)এর মান কত?
  1. ক
    36√5
  2. খ
    18√3
  3. গ
    24√5
  4. ঘ
    34√5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি y = √5 + √4 হয়, তাহলে y3 + (1/y3)এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
y = √5 + √4
⇒ y = √5 + 2
⇒ 1/y = 1/(√5 + 2)
⇒ 1/y = (√5 - 2)/(√5 + 2)(√5 - 2) [লব ও হরকে (√5 - 2) দ্বারা গুণ]
⇒ 1/y = (√5 - 2)/(5 - 4)
∴ 1/y = √5 - 2

এখন, y + 1/y = (√5 + 2) + (√5 - 2)
∴ y + 1/y = 2√5

এখন,
y3 + 1/y3
= (y + 1/y)3 − 3(y)(1/y)(y + 1/y)
= (2√5)3 - 3 × 1 × (2√5)
= 8 × 5√5 - 6√5
= 40√5 - 6√5
= 34√5

১,৯৭৯.
যদি a2 - 2ab + b2 = 9 হয়, তবে (a - b)3 এর মান কত?
  1. ক
    18
  2. খ
    20
  3. গ
    27
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a2 - 2ab + b2 = 9 হয়, তবে (a - b)3 এর মান কত?

সমাধান:
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 = 9
⇒ a - b = √9 =3
⇒ (a - b)3 = 33 = 27

১,৯৮০.
x2−√3x+1=0 হলে, x2+1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
x2−√3x+1=0
⇒x2+1 =√3x
⇒x2/x+1/x = √3
⇒x+1/x = √3
∴x2+1/x2 = (x+1/x)2 - 2.x.1/x
=(√3)2-2 = 3-2 = 1
১,৯৮১.
a - 1/a = 3 হলে, a3 - 1/a3 = কত? 
  1. ক
    18
  2. খ
    24
  3. গ
    27
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - 1/a = 3 হলে, a3 - 1/a3 = কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a3 - 1/a3 = (a - 1/a)3 + 3.a.(1/a) (a - (1/a) 
= (3)3 + 3 × 3
= 27 + 9 
= 36

১,৯৮২.
a - b = 3 হলে a3 - b3 - 9ab = কত?
  1. ক
    23
  2. খ
    27
  3. গ
    30
  4. ঘ
    33
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = 3 হলে  ‍a3 - b3 -  9ab = কত ?

সমাধান: 
 a - b = 3

প্রদত্ত রাশি 
= a3 - b3 - 9ab 
= (a - b)3 + 3ab(a - b)  - 9ab
= 33 + 3ab × 3 - 9ab
= 27 + 9ab - 9ab 
= 27
১,৯৮৩.
x+y=3, x-y=1 হলে x²+y² এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) -5
  4. ঘ
    ঘ) 13
ব্যাখ্যা
2(x²+y²) = (x+y)²+(x-y)²
= 3²+ 1²
= 9+1
2(x²+y²)= 10
∴ x²+y² = 10/2
=5
১,৯৮৪.
x = 2 + √3 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    18√3
  2. খ
    30√3
  3. গ
    2√5
  4. ঘ
    52
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 2 + √3 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?

সমাধান:
x = 2 + √3
∴ 1/x = 1/(2 + √3)
= (2 - √3)/{(2 + √3)(2 - √3)}
= (2 - √3)/{(2)2 - (√3)2}
= (2 - √3)/(4 - 3)
= 2 - √3

x + 1/x
= 2 + √3 + 2 - √3
= 4

x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= 43 - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52
১,৯৮৫.
x + y = 6 এবং xy = 8 হলে (x - y)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 68
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 6 এবং xy = 8 হলে (x - y)2 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x + y = 6 
xy = 8

এখন 
(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy 
= 62 - 4 × 8
= 36 - 32
= 4
১,৯৮৬.
the difference between two numbers is 3 and the difference between their squares is 63. Which is the larger number?
  1. ক
    ক) 9
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) Cannot be determined
  5. ঙ
    ঙ) None of these
ব্যাখ্যা

Let the number be x and y
Then,
x²−y² = 63 & x−y = 3
On dividing, we get: x + y = 21
Solving x + y = 21 and x - y = 3,
We get: x = 12 and y = 9
∴ Larger number = 12

১,৯৮৭.
p এর মান কত হলে (9 - 12a + pa2) রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    8
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p এর মান কত হলে (9 - 12a + pa2) রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
9 - 12a + pa2
= (3)2 - 2 × 3 × 2a + (2a)2 - pa2 - (2a)2
= (3 - 2a)2 + pa2 - 4a2

∴ রাশিটি পূর্ণ বর্গ হলে,
pa2 - 4a2 = 0
⇒ pa2 = 4a2
∴ p = 4
p এর মান 4 হলে রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে।

১,৯৮৮.
যদি (2 + √3)a = 1, এবং (2 - √3)b = 1 হলে এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    3√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (2 + √3)a = 1, এবং (2 - √3)b = 1 হলে  এর মান কত?

সমাধান:
(2 + √3)a = (2 - √3)b = 1 

এখানে 
(2 + √3)a = 1
⇒ (2 + √3) = 1/a

(2 - √3)b = 1 
⇒ (2 - √3) = 1/b

(a + b)/ab = a/ab + b/ab
= 1/b + 1/a
= 2 - √3 + 2 + √3
= 4
১,৯৮৯.
যদি a3 - b3 = 604 এবং a - b = 4 হয় তবে ab এর মান কত?
  1. ক
    53
  2. খ
    35
  3. গ
    45
  4. ঘ
    54
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a3 - b3 = 604 এবং a - b = 4 হয় তবে ab এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab (a - b) 
বা, 604 = (4)3 + 3ab. 4 
বা, 604 = 64 + 12ab 
বা, 12ab = 604 - 64 
বা, 12ab = 540
বা, ab = 540/12 
∴ ab = 45
১,৯৯০.
a2 + ab + b2 কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলকে ঘনরাশির অন্তর রূপে প্রকাশ করা যাবে?
  1. ক
    a - b
  2. খ
    a + b
  3. গ
    - a + b
  4. ঘ
    - a - b
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 + ab + b2 কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলকে ঘনরাশির অন্তর রূপে প্রকাশ করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি ঘনরাশির অন্তরের সূত্র,
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
অর্থাৎ, a2 + ab + b2 কে (a - b) দ্বারা গুণ করলে তা ঘনরাশির অন্তর a3 - b3 রূপে প্রকাশ করা যায়।

১,৯৯১.
p + q = 6 এবং p - q = 4 হলে p2 + q2 এর মান কত?
  1. ক
    56
  2. খ
    89
  3. গ
    26
  4. ঘ
    65
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p + q = 6 এবং p - q = 4 হলে p2 + q2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = 6
এবং p - q = 4

: p2 + q2 = {(p + q)2 + (p - q)2}/2
={62 + 42}/2
= (36 + 16)/ 2
= 52/2
= 26

১,৯৯২.
x2+1−√3x = 0 হলে x2+1/x2 = ?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা
x2+1−√3x = 0
⇒x2+1 = √3x
⇒(x2+1)/x = √3
⇒x2/x + 1/x = √3
∴ x + 1/x = √3
এখন, x2+1/x2 = (x + 1/x)2 - 2.x.1/x = (√3)2 - 2 = 1
∴x2+1/x2 = 1
১,৯৯৩.
a + b + c = 15 এবং a2+ b2 + c2 = 77  হলে ab + bc + ca এর মান কত?
  1. ক
    52
  2. খ
    65
  3. গ
    74
  4. ঘ
    108
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 15 এবং a2+ b2 + c2 = 77  হলে ab + bc + ca এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 15 এবং a2+ b2 + c2 = 77

আমরা জানি,
(a + b + c)2= (a2 + b2+ c2) + 2(ab + bc + ca)
⇒ (15)2 = 77 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 225 = 77 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 225 - 77
⇒ 2(ab + bc + ca) = 148
⇒ ab + bc + ca = 148/2
⇒ ab + bc + ca = 74
১,৯৯৪.
p = 1 + √3 এবং q = 1 - √3 হলে, p2 - q2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 2√3
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 4√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p = 1 + √3 এবং q = 1 - √3 হলে, p2 - q2 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
p = 1 + √3
q = 1 - √3

p + q = 1 + √3 + 1 - √3
            = 2
p - q = 1 + √3 - 1 + √3
          = 2√3

p2 - q2 = (p + q)(p - q)
= 2 × 2√3 = 4√3
১,৯৯৫.
x4 - 3x2 + 1 = 0 হলে (x + 1/x) এর মান কত?
  1. ক
    ক) √3
  2. খ
    খ) √2
  3. গ
    গ) √5
  4. ঘ
    ঘ) √6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - 3x2 + 1 = 0 হলে (x + 1/x) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x4 - 3x2 + 1 = 0
x4 + 1 = 3x2
x4/x2 + 1/x2 = 3x2/x2
x2 + 1/x2 = 3
(x + 1/x)2 - 2x.1/x =3
(x + 1/x)2 - 2 = 3
(x + 1/x)2 = 3+ 2
(x + 1/x)2 = 5
(x + 1/x) = √5
১,৯৯৬.
x - 2 = √3 হলে x4 + 1/x4 এর মান কত ?
  1. ক
    196
  2. খ
    194
  3. গ
    192
  4. ঘ
    198
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 2 = √3 হলে x4 + 1/x4 এর মান কত ?

সমাধান:
x - 2 = √3
⇒ x = √3 + 2
⇒ 1/x = 1/(√3 + 2)
⇒ 1/x = (2 - √3)/(√3 + 2) (2 - √3)
⇒ 1/x = (2 - √3)/{22 - (√3)2}
⇒ 1/x =(2 - √3)/(2 - 3) 
⇒ 1/x = 2 - √3 

x + 1/x = 2 + √3 + 2 - √3 = 4

x4 + 1/x4 
= (x2)2 + (1/x2)2
= (x2 + 1/x2)2 - 2.x2(1/x2)
= {(x + 1/x)2 - 2x.1/x}2 - 2
= {42 -2}2 - 2
= (16 - 2)2 - 2
= 142 - 2
= 196 - 2
= 194
১,৯৯৭.
a + b + c = 35 এবং a2 + b2 + c2 = 825 হলে ab + bc + ca = ?
  1. ক
     225
  2. খ
    200
  3. গ
    125
  4. ঘ
    100
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c = 35 এবং a2 + b2 + c2 = 825 হলে ab + bc + ca = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b + c = 35
a2 + b2 + c2 = 825

আমরা জানি
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 352 = 825 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 1225 = 825 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 1225 - 825 
⇒ 2(ab + bc + ca) = 400
⇒ ab + bc + ca = 400/2 = 200
∴ ab + bc + ca = 200

১,৯৯৮.
যদি f(x) = x3 + 9x2 - 3x - 6 হয়, তবে f(- 2) = কত?
  1. ক
    ক) 24
  2. খ
    খ) 26
  3. গ
    গ) 22
  4. ঘ
    ঘ) 28
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি f(x) = x3 + 9x2 - 3x - 6 হয়, তবে f(- 2) = কত?

সমাধান: 
f(x) = x3 + 9x2 - 3x - 6
f(- 2) =(- 2)3 + 9(- 2)2 - 3(- 2) - 6
          = - 8 + 9 × 4 + 6 - 6
          = 36 - 8 
          = 28 
১,৯৯৯.
x + (1/x) = 2 হলে, x5 + (1/x5) = কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 64
  4. ঘ
    ঘ) 128
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে, x5 + (1/x5) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = 2
বা, (x2 + 1)/x = 2
বা, x2 + 1 = 2x
বা, x2 - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)2 = 0
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1

এখন, 
x5 + (1/x5)
= (1)5 + {1/(1)5}
= 1 + (1/1)
= 1 + 1 
= 2 
২,০০০.
x + y = 12 এবং x - y = 2 হলে xy এর মান কত?
  1. ক
    ক) 70
  2. খ
    খ) 35
  3. গ
    গ) 144
  4. ঘ
    ঘ) 140
ব্যাখ্যা

x + y + x - y = 12 + 2
বা, 2x = 14
বা, x = 7
∴ y = 5
So, xy = 35