লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

মোট প্রশ্ন৩,৪০১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

PrepBank · পাতা ২ / ৩৪ · ১০১–২০০ / ৩,৪০১

১০১.
যদি p + q + r = 0 হয়, তাহলে p3 + q3 + r3 এর মান কত?
  1. ক
    pqr
  2. খ
    3pqr
  3. গ
    6pqr
  4. ঘ
    9pqr
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি p + q + r = 0 হয়, তাহলে p3 + q3 + r3 এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
 p3 + q3 + r3 - 3pqr = (p + q + r) (p2 + q2 + r2 - pq - qr -rp)
বা, p3 + q3 + r3 - 3pqr = 0 × (p2 + q2 + r2 - pq - qr -rp)
বা, p3 + q3 + r3 - 3pqr = 0 
∴ p3 + q3 + r3 = 3pqr   ।
১০২.
a +b =11 এবং a-b=7 হলে, ab = ?
  1. ক
    ক) 16
  2. খ
    খ) 14
  3. গ
    গ) 13
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, a+b = 11 ……(i) এবং a-b = 7 ……..(ii)
(i)+(ii) ⇒ 2a = 18
⇒a = 9 এবং b = 2
∴ ab = 18
১০৩.
6a3b2c এবং 9a4bd2 এর ল.সা.গু. কত?
  1. ক
    3ab
  2. খ
    36ab
  3. গ
    18a4b2cd2
  4. ঘ
    36a4b2c2d2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6a3b2c এবং 9a4bd2 এর ল.সা.গু. কত?

সমাধান:
6 এবং 9 এর ল.সা.গু. = 18
নির্ণেয় ল.সা.গু. = 18a4b2cd2
১০৪.
a = 2, b = 3 হলে 2a + 4b এর সাথে 2a2 + a - b যোগ করলে যোগফল কত হবে?
  1. ক
    15
  2. খ
    17
  3. গ
    19
  4. ঘ
    23
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 2, b = 3 হলে 2a + 4b এর সাথে 2a2 + a - b যোগ করলে যোগফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a = 2, b = 3

এখন
2a + 4b + 2a2 + a - b
= 2a2 + 3a + 3b
= 2 × 22 + 3 × 2 + 3 × 3
= 8 + 6 + 9
= 23
১০৫.
(x/y) + (y/x) = 4 হলে, (x2/y2) + (y2/x2) + 4 এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    18
  3. গ
    14
  4. ঘ
    22
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x/y) + (y/x) = 4 হলে, (x2/y2) + (y2/x2) + 4 এর মান কত?

সমাধান:
(x2/y2) + (y2/x2) + 4
= (x/y)2 + 2 · (x/y) · (y/x) + (y/x)2 + 2
= {(x/y) + (y/x)}2 + 2
= 42 + 2
= 18
১০৬.
x + 1/x = √3 হলে x3 + (1/x)3 এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    3√3
  3. গ
    0
  4. ঘ
    √3
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, x + 1/x = √3
আমরা জানি, x3 + (1/x)3 = (x + 1/x)3 - 3. x. 1/x (x + 1/x)
= (√3)3 - 3. √3
= 3√3 - 3√3
= 0

১০৭.
  1. ক
    22√3
  2. খ
    46√6
  3. গ
    36√6
  4. ঘ
    54√6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১০৮.
a + b + c = 13 এবং a2 + b2 + c2 = 51 হলে, ab + bc + ca = কত?  
  1. ক
    62
  2. খ
    38
  3. গ
    59
  4. ঘ
    56
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c = 13 এবং a2 + b2 + c2 = 51 হলে, ab + bc + ca = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 13
এবং a2 + b2 + c2 = 51

আমরা জানি, 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) 
বা, 2(ab + bc + ca) = (13)2 - 51 
বা, 2(ab + bc + ca) = 169 - 51 
বা, 2(ab + bc + ca) = 118
বা, (ab + bc + ca) = 118/2 
∴ ab + bc + ca = 59

১০৯.
a3 - ab2 এবং a4 + 2a3b + a2b2 এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    a(a + b)
  2. খ
    (a + b)
  3. গ
    a
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - ab2 এবং a4 + 2a3b + a2b2 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = a3 - ab2
= a(a2 - b2)
= a(a + b)(a - b)

২য় রাশি = a4 + 2a3b + a2b2
= a2(a2 + 2ab + b2)
= a2(a + b)2

a3 - ab2 এবং a4 + 2a3b + a2b2 এর মৌলিক উৎপাদক = a(a + b)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = a(a + b)
১১০.
যদি x + y = √11 এবং x - y = √3 হয়, তবে 8xy(x2 + y2) এর মান কত?
  1. ক
    84
  2. খ
    108
  3. গ
    96
  4. ঘ
    112
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = √11 এবং x - y = √3 হয়, তবে 8xy(x2 + y2) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + y = √11 এবং x - y = √3
প্রদত্ত রাশি = 8xy(x2 + y2)
= 4xy × 2(x2 + y2)
= {(x + y)2 - (x - y)2} × {(x + y)2 + (x - y)2}
= {(√11)2 - (√3)2} × {(√11)2 + (√3)2}
= (11 - 3)(11 + 3)
= 8 × 14
= 112

১১১.
x + y = 3 এবং xy = 1 হলে, x3 + y3 + 3xy এর মান কত?
  1. ক
    ক) 21
  2. খ
    খ) 27
  3. গ
    গ) 39
  4. ঘ
    ঘ) 33
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 3 এবং xy = 1 হলে, x3 + y3 + 3xy এর মান কত?

সমাধান:
x + y = 3 
xy = 1

x3 + y3 + 3xy 
= (x + y)3 - 3xy(x + y) + 3xy
= 33 - 3 × 1 × 3 + 3 × 1
= 27 - 9 + 3
= 30 - 9
= 21 
১১২.
x + (1/x) = 2 হলে, x6 + 1/x6 এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে, x6 + 1/x6 এর মান কত?

সমাধান:
x + (1/x) = 2
⇒ (x2 + 1)/x = 2
⇒ x2 + 1 = 2x
⇒ x2 - 2x + 12 = 0
⇒ (x - 1)2 = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

প্রদত্ত রাশি = x6 + (1/x6)
= 16 + (1/16)
= 1 + 1/1
= 1 + 1
= 2
১১৩.
a - b = 6 এবং ab = 7 হলে (1/12)(a2 - b2) = ?
  1. ক
    ক) -4
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা

(a + b)2
= (a - b)2 + 4ab
= 62 + 4.7
= 36 + 28
= 64
∴ (a + b) = 8
∴ 1/12(a2 - b2)
= 1/12(a + b)(a - b)
= 1/12×8×6
= 4

১১৪.
যদি x+y = 4 এবং x-y = 3 হয়, তবে x+2y = কত?
  1. ক
    ক) ½
  2. খ
    খ) 7/2
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 9/2
ব্যাখ্যা

x+y = 4 --------- (i)
x-y = 3 ---------- (ii)
(i) + (ii) ⇒
2x = 7
∴ x = 7/2
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই -
7/2 + y = 4
⇒ y = 4 - 7/2
∴ y = ½
x ও y এর মান প্রদত্ত রাশিতে বসালে পাই-
x+2y = 7/2 + 2(½) = 7/2 + 1 = 9/2

১১৫.
(x + 1/x)2 = 1 হলে, (x2 + 1/x2)(x4 + 1/x4) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : (x + 1/x)2 = 1 হলে, (x2 + 1/x2)(x4 + 1/x4) এর মান কত?
সমাধান :
(x + 1/x)2 = 1
বা, x² + 2.x.(1/x) + (1/x)2 = 1
বা, x² + 1/x2 = 1 - 2
বা, x² + 1/x2 =  -1 ----(1)
বা, (x² + 1/x2)2 = (-1)2
বা, (x2)2 + 2.x2.(1/x2) + (1/x2)2 = 1
বা, x4 + 2 + 1/x4 = 1
বা, x4 + 1/x4 = 1 - 2 
বা,  x4 + 1/x4 = -1----(2)
 
(x2 + 1/x2)(x4 + 1/x4)
= (-1)(-1)
= 1
 
১১৬.
যদি a = √10 + 3 হয়, তাহলে a3 - (1/a)3 এর মান কত?
  1. ক
    320
  2. খ
    280
  3. গ
    234
  4. ঘ
    190
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a = √10 + 3 হয়, তাহলে a3 - (1/a)3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √10 + 3

এখন,
1/a = 1/(√10 + 3)
= (√10 - 3)/(√10 + 3)(√10 - 3)
= (√10 - 3)/{(√10)2 - 32}
= (√10 - 3)/(10 - 9)
= √10 - 3
∴ 1/a = √10 - 3

∴ a - (1/a) = √10 + 3 - √10 + 3 = 6

প্রদত্ত রাশি,
a3 - (1/a)3
= (a - 1/a)3 + 3 . a . 1/a . (a - 1/a)
= 63 + (3 × 6)
= 216 + 18
= 234


১১৭.
a - (1/a) = 6 হলে, a3 - (1/a)3 এর মান কত?
  1. ক
    210
  2. খ
    218
  3. গ
    226
  4. ঘ
    234
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - (1/a) = 6 হলে, a3 - (1/a)3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 6

∴ প্রদত্ত রাশি = a3 - (1/a)3
= {a - (1/a)}3 + 3 · a · (1/a){a - (1/a)}
= 63 + 3 · 6
= 216 + 18
= 234
১১৮.
a - b = 7 এবং ab = 60 হলে, a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 169
  2. খ
    খ) 178
  3. গ
    গ) 160
  4. ঘ
    ঘ) 148
ব্যাখ্যা
a2 + b2
= (a - b)2 + 2ab
= 72 + 2 × 60
= 49 + 120
= 169
১১৯.
a2b3/c2d কে a3b2/cd3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত?
  1. ক
    ক) ab2/ca
  2. খ
    খ) ab2/cd
  3. গ
    গ) b2/ad
  4. ঘ
    ঘ) bd2/ca
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2b3/c2d কে a3b2/cd3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত? 

সমাধান: 
a2b3/c2d ÷ a3b2/cd3 
= a2b3/c2d × cd3/a3b2 
= bd2/ca 
১২০.
x + y = 7 এবং xy = 10 হলে, (x - y)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 7 এবং xy = 10 হলে, (x - y)2 এর মান কত?

সমাধান:
x + y = 7 
xy = 10 

এখন
(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy
বা, (x - y)2 = 72 - 4 × 10
বা, (x - y)2 = 49 - 40
∴ (x - y)2 = 9
১২১.
x - 1/x = 1 হলে x3 - (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 1 হলে x3 - (1/x3) এর মান কত?

সমাধান: 
x - 1/x = 1

x3 - 1/x3 = (x - 1/x)3 + 3.x .1/x.(x - 1/x)
= 13 + 3 . 1
= 1 + 3
= 4
১২২.
x2 + y2 = 8 এবং xy = 7 হলে (x + y)2 এর মান কত?
  1. ক
    14
  2. খ
    16
  3. গ
    22
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 = 8 এবং xy = 7 হলে, (x + y)2 এর মান কত?

সমাধান:
 x2 + y2 = 8 
xy = 7

আমরা জানি
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
= 8 + 2 × 7
= 8 + 14
= 22
১২৩.
যদি ‍√3 (a + a- 1) = 3 হলে ‍a2 + a- 2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) √3
  2. খ
    খ) - 1
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ‍√3 (a + a - 1) = 3 হলে ‍a2 + a- 2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
√3 (a + a-1) = 3
বা, a + 1/a = 3/√3
বা, a + 1/a = (√3 . √3)/√3
∴ a + 1/a = √3

এখন,
a2 + a-2 = a2 + 1/a2
= (a + 1/a)2 - 2.a.1/a
= (√3)2 - 2.1
= 3 - 2
= 1
১২৪.
a = √6 + √5 হলে a3 - 1/a3 = ?
  1. ক
    46√5
  2. খ
    34√5
  3. গ
    42√5
  4. ঘ
    54√5
  5. ঙ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = √6 + √5 হলে a3 - 1/a3 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a = √6 + √5
∴ 1/a = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/a = (√6 - √5)/(√6 + √5) (√6 - √5)
⇒ 1/a = (√6 - √5)/(6 - 5)
∴ 1/a = √6 - √5

∴ a - 1/a = √6 + √5 - √6 + √5 = 2√5

প্রদত্ত রাশি = a3 - 1/a3
= (a - 1/a)3 + 3 . a . 1/a . (a - 1/a)
= (2√5)3 + 3 × 2√5
= 40√5 + 6√5
= 46√5
১২৫.
a + b = √7 এবং a - b = √5 হলে, 16ab(a2 + b2) = কত?
  1. ক
    24
  2. খ
    48
  3. গ
    96
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = √7 এবং a - b = √5 হলে, 16ab(a2 + b2) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b=√7
a - b=√5

প্রদত্ত রাশি,
16ab (a2 + b2)
= 2[4ab × 2(a2 + b2)]
= 2[{(a + b)2 - (a - b)2}{(a + b)2 + (a - b)2}]
= 2[{(√7)2 - (√5)2}{(√7)2 + (√5)2}]
= 2[(7 - 5)(7 + 5)]
= 2[2 × 12]
= 48
১২৬.
√2/(√6 + 2) সমান-
  1. ক
    √3 + √2
  2. খ
    8 - √2
  3. গ
    √3 - √2
  4. ঘ
    √3 + 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √2/(√6 + 2) সমান-

সমাধান: 
√2/(√6 + 2)
= √2(√6 - 2)/(√6 + 2)(√6 - 2)
= √2(√6 - 2)/{(√6)2 - 22} 
=  √2(√6 - 2)/(6 - 2)
= √2(√6 - 2)/2
= √2√2(√3 - √2)/2
= 2(√3 - √2)/2
= √3 - √2
১২৭.
যদি (a + 1/a)2 = 4 হয়, তবে a3 + 1/a3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) √3
  3. গ
    গ) √4
  4. ঘ
    ঘ) 27
ব্যাখ্যা
(a + 1/a)2 = 4 
∴ a + 1/a = √4 
∴ a3 + 1/a3 = (a + 1/a)3 - 3.a.1/a(a + 1/a)
= (√4)3 - 3√4 
= 4√4 - 3√4 
= √4
১২৮.
x2 - 2x + 1 = 0 হলে (x6 + 2x3 + 1)/x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 2x + 1 = 0 হলে (x6 + 2x3 + 1)/x2 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x2 - 2x + 1 = 0
x2 - 2.x. 1 + 12 = 0
(x - 1)2 = 0
x - 1 = 0
x = 1

প্রদত্ত রাশি = (x6 + 2x3 + 1)/x2 
                 = ((x3)2 + 2.x3.1 + 12)/x2
                 = (x3 + 1)2/x2
                 = (13 + 1)2/12
                 = (1 + 1)2/1
                 = 22
                 = 4
১২৯.
a2 + (1/a2) = 11 হলে a - (1/a) এর মান কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    3
  3. গ
    21
  4. ঘ
    18.5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + (1/a2) = 11 হলে a - (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + (1/a2) = 11
⇒ {a - (1/a)}2 + 2 . a . (1/a) = 11
⇒ {a - (1/a)}2 = 11 - 2
∴ a - (1/a) = 9
a - 1/a = 3
১৩০.
a + (1/a) = 3 হলে, a/(a2 + a +1) এর মান কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (1/a) = 3 হলে, a/(a2 + a +1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 3
⇒ (a2 + 1)/a = 3
∴ a2 + 1 = 3a

প্রদত্ত রাশি, 
a/(a2 + a +1)
= a/(a2 + 1 + a)
= a/(3a + a)
= a/4a
= 1/4
১৩১.
x-3 - 0.001 = 0 হলে x2 + 1 = ?
  1. ক
    ক) 99
  2. খ
    খ) 100
  3. গ
    গ) 101
  4. ঘ
    ঘ) 0.01
ব্যাখ্যা

x-3 - 0.0001 = 0
বা, 1/x3 = 0.001
বা, 1/x3 = 1/103
বা, x3 = 103
∴ x = 10
∴ x2 + 1 = 102 + 1 = 101

১৩২.
যদি x + (1/x) = √3 হয়, তবে √3(x6 + 1)/x3 = কত?
  1. ক
    3√3
  2. খ
    √3
  3. গ
    0
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = √3 হয়, তবে √3(x6 + 1)/x3 = কত?

সমাধান:
√3(x6 + 1)/x3
= √3{x3 + (1/x3)}
= √3[{x + (1/x)}3 - 3 · x · (1/x) {x + (1/x)}]
= √3{(√3)3 - 3 . √3}
= √3(3√3 - 3√3)
= √3 × 0
= 0
১৩৩.
x2 - 1 - 9x = 0 হলে, {x + (1/x)}2 এর মান কত?
  1. ক
    80
  2. খ
    82
  3. গ
    85
  4. ঘ
    90
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 1 - 9x = 0 হলে, {x + (1/x)}2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 - 1 - 9x = 0
⇒ x2 - 1 = 9x
⇒ (x2 - 1)/x = 9x/x
⇒ (x2/x) - (1/x) = 9
⇒ x - (1/x) = 9

∴ প্রদত্ত রাশি = {x + (1/x)}2
= {x - (1/x)}2 + 4 · x · (1/x)
= (9)2 + 4
= 81 + 4
= 85
১৩৪.
  1. ক
    ± 8
  2. খ
    ± 10
  3. গ
    ± 7
  4. ঘ
    ± 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:


সমাধান:
১৩৫.
p - (1/p) = 5 হলে {p + (1/p)}2 = কত?
  1. ক
    29
  2. খ
    21
  3. গ
    27
  4. ঘ
    19
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p - (1/p) = 5 হলে {p + (1/p)}2 = কত? 

সমাধান: 
{p + (1/p)}2 = {p - (1/p)}2 + 4. p. 1/p 
= (5)2 + 4 
= 25 + 4 
= 29  ।
১৩৬.
a + 1/a = 4 হলে a2 + 1/a2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 16
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 14
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + 1/a = 4 হলে a2 + 1/a2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + 1/a = 4

এখন, 
a2 + 1/a2
= (a + 1/a)2 - 2 . a. (1/a)
= (4)2 - 2 
= 16 - 2
= 14 
১৩৭.
a - b = c হলে, a3 - b3 - c3 = কত?
  1. ক
    1/3abc
  2. খ
    3abc
  3. গ
    1/abc
  4. ঘ
    3ab/c
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = c হলে, a3 - b3 - c3 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b = c
⇒ (a - b)3 = c3
⇒ a3 - b3 - 3ab(a - b) = c3
⇒ a3 - b3 - 3abc = c3 [a - b এর মান বসিয়ে]
∴ a3 - b3 - c3 = 3abc
১৩৮.
a2 + b2 = 27 এবং ab = 27 হলে a+b =কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 7
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 27 +2×27 = 81
⇒ (a + b) = 9
১৩৯.
যদি x + y = 9 হয়, তবে x3 + y3 + 27xy এর মান কত?
  1. ক
    ক) 243
  2. খ
    খ) 525
  3. গ
    গ) 729
  4. ঘ
    ঘ) 1024
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + y = 9 হয়, তবে x3 + y3 + 27xy এর মান কত?

সমাধান:
 x3 + y3 + 27xy
= (x + y)3 - 3xy (x + y) + 27xy 
= 93 - 27xy + 27xy 
= 93
= 729 
১৪০.
  1. ক
    16
  2. খ
    18
  3. গ
    24
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
১৪১.
a + b = √7, a - b = √3 হলে 5ab এর মান -
  1. ক
    √3
  2. খ
    √7
  3. গ
    5
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = √7, a - b = √3 হলে 5ab এর মান-

সমাধান:
আমরা জানি
4ab = (a + b)2 - (a - b)2
⇒ 4ab = (√7)2 - (√3)2
⇒ 4ab = 7 - 3
⇒ 4ab = 4
⇒ ab = 1
⇒ 5ab = 1 × 5
∴5ab = 5
১৪২.
x = 5 এবং y = 2 হলে, 9x2 - 24xy + 16y2 এর মান নির্ণয় করুন-
  1. ক
    49
  2. খ
    25
  3. গ
    36
  4. ঘ
    81
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 5 এবং y = 2 হলে, 9x2 - 24xy + 16y2 এর মান নির্ণয় করুন-

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = 5 এবং y = 2

প্রদত্ত রাশি = 9x2 - 24xy + 16y2
= (3x)2 - 2.3x.4y + (4y)2 
= (3x - 4y)2
= {(3 × 5) - (4 × 2)}2   ;[x ও y এর মান বসিয়ে]
= (15 - 8)2
= (7)2
= 49

১৪৩.
a3 + b3 + c3 - 3abc এর সূত্র কোনটি?
  1. ক
    ক) (a + b + c)( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
  2. খ
    খ) (a + b + c)( a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca)
  3. গ
    গ) (a + b + c)( a2 - b2 - c2 + ab + bc + ca)
  4. ঘ
    ঘ) (a - b - c)( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
ব্যাখ্যা
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
প্রমাণ:
a3 + b3 + c3 - 3abc
= (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 - 3abc
= (a3 + b3) + c3 - 3ab(a + b) - 3abc
= (a + b + c){(a + b)2 - (a + b)c + c2)- 3ab(a + b + c)
= (a + b + c){(a2 +2ab + b2 - ac - bc + c2)- 3ab(a + b + c)
= (a + b + c){(a2 +2ab + b2 - ac - bc + c2)- 3ab}
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc  - ca)
১৪৪.
(2 + 2x) + 3 = 3(x + 2) হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    - 1/2
  2. খ
    - 1
  3. গ
    - 2
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (2 + 2x) + 3 = 3(x + 2) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(2 + 2x) + 3 = 3(x + 2)
⇒ 2 + 2x + 3 = 3x + 6
⇒ 3x + 6 = 2x + 5
⇒ 3x - 2x = 5 - 6
∴ x = - 1
১৪৫.
x - 1/x = 3/2 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    27/8
  2. খ
    63/4
  3. গ
    63/8
  4. ঘ
    27/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 3/2 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
x - 1/x = 3/2

x3 - 1/x3
= (x - 1/x)3 + 3.x.(1/x)(x - 1/x)
= (3/2)3 + 3(3/2)
= (27/8) + (9/2)
= (27 + 36)/8
= 63/8
১৪৬.
x - y = 2 এবং xy = 8 হলে (x + y)3 = ?
  1. ক
    27
  2. খ
    9
  3. গ
    36
  4. ঘ
    216
ব্যাখ্যা

(x + y)2
= (x - y)2 + 4xy
= 22 + 4.8
= 36
∴ x + y = 6
∴ (x + y)3 = 63
= 216

১৪৭.
ax2+ bx + c = 0 একটি সমীকরণ এবং b2 - 4ac = 0 হলে, নিচের কোনটি সত্য?
  1. ক
    মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
  2. খ
    মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান
  3. গ
    মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ
  4. ঘ
    সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ax2 + bx + c = 0 একটি সমীকরণ এবং b2 - 4ac = 0 হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান: 
নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b2 - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b2 - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b2 - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b2 - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।
১৪৮.
a2b + ab2 = 70, 2ab = 20 হলে, (a - b)2 =?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 19
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2b + ab2 = 70, 2ab = 20 হলে, (a - b)2 =?

সমাধান: 
2ab = 20
⇒ ab = 20/2
⇒ ab = 10

a2b + ab2 = 70
⇒ ab(a + b) = 70
⇒ 10(a + b) = 70
∴ a + b = 7

(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
= 72 - 4 × 10
= 49 - 40
= 9
১৪৯.
যদি
  1. ক
    47
  2. খ
    49
  3. গ
    51
  4. ঘ
    57
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি

সমাধান:
১৫০.
x-y=2 এবং xy=24 হলে, x-এর ধনাত্মক মানটি-
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা
(x+y)²=(x-y)²+4xy
=2²+4x24
=100
∴ x+y= ±10
ধনাত্মক মান নিয়ে x+y= 10 ……(1)
x-y= 2 …………… (2)
(1)+(2), 2x= 12
∴ x= 6
১৫১.
x = √3 + √2 হলে x2 - 1/x2 = ?
  1. ক
    ক) 4√2
  2. খ
    খ) 4√3
  3. গ
    গ) 4√5
  4. ঘ
    ঘ) 4√6
ব্যাখ্যা

x = √3 + √2 হলে
1/x = √3 - √2
∴ x + 1/x = 2√3
x - 1/x = 2√2
∴ x2 - 1/x2 = (x + 1/x)(x - 1/x)
= 2√3.2√2
= 4√6

১৫২.
x2 + y2 = 90 এবং xy = 27 হলে, x + y =?
  1. ক
    10
  2. খ
    12
  3. গ
    14
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 = 90 এবং xy = 27 হলে, x + y =?

সমাধান:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
⇒ x + y = √(x2 + y2 + 2xy)
= √(90 + 2 × 27)
= √(90 + 54)
= √144
= 12
১৫৩.
x + y = 4 এবং x2 + y2 = 10 হলে, (x - y)2 এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    6
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 4 এবং x2 + y2 = 10 হলে, (x - y)2 এর মান কত?

সমাধান:
x + y = 4
x2 + y2 = 10

আমরা জানি,
2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2
(x - y)2 = 2(10) - (4)2
(x - y)2 = 20 - 16
(x - y)2 = 4
১৫৪.
যদি x + 1/x = 4 হয়, তাহলে x4 + 1/x4 = কত?
  1. ক
    194
  2. খ
    196
  3. গ
    198
  4. ঘ
    182
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 4 হয়, তাহলে x4 + 1/x4 = কত?

সমাধান:
x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2.x.1/x
⇒ x2 + 1/x2 = 42 - 2
⇒ x2 + 1/x2 = 14 

x4 + 1/x4
= (x2)2 + (1/x2)2
= (x2 + 1/x2)2 - 2
= 142 - 2
= 196 - 2
= 194
১৫৫.
x + y = 7 এবং xy = 10 হলে x2 + y2 + 5xy = কত?
  1. ক
    49
  2. খ
    79
  3. গ
    35
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 7, xy = 10 হলে x2 + y2 + 5xy = কত?

সমাধান: 
x2 + y2 + 5xy
= (x + y)2 - 2xy + 5xy
= (x + y)2 + 3xy
= (7)2 + (3 × 10) 
= 49 + 30
= 79
১৫৬.
x + y = 8, x - y = 6 হলে x2 + y2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 45
  2. খ
    খ) 46
  3. গ
    গ) 50
  4. ঘ
    ঘ) 49
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 8, x - y = 6 হলে x2 + y2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + y = 8
x - y = 6

আমরা জানি
2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2
2(x2 + y2)= 82 + 62
2(x2 + y2)= 64 + 36
2(x2 + y2)= 100
(x2 + y2)= 50
১৫৭.
যদি a + b = √11 এবং a - b = √3 হয়, তবে 8ab(a2 + b2) এর মান কত?
  1. ক
    104
  2. খ
    108
  3. গ
    112
  4. ঘ
    116
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = √11 এবং a - b = √3 হয়, তবে 8ab(a2 + b2) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = √11 এবং a - b = √3

প্রদত্ত রাশি = 8ab(a2 + b2)
= 4ab × 2(a2 + b2)
= {(a + b)2 - (a - b)2} × {(a + b)2 + (a - b)2}
= {(√11)2 - (√3)2} × (√11)2 + (√3)2}
= (11 - 3)(11 + 3)
= 8 × 14
= 112

১৫৮.
a = √7 + √6 হলে, (a6 - 1)/a3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 54√6
  2. খ
    খ) 50√6
  3. গ
    গ) 42√6
  4. ঘ
    ঘ) 48√6
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
a = √7 + √6
1/a = 1/√7 + √6
      =(√7 - √6)/(√7 + √6)(√7 - √6)
      = (√7 - √6)/{(√7)2 - (√6)2}
      = (√7 - √6)/(7 - 6)
      = (√7 - √6)/1
      =√7 - √6

a - 1/a = √7 + √6 - (√7 - √6)
            = √7 + √6 - √7 + √6
             = 2√6


(a6 - 1)/a3 = a6/a3 - 1/a3
                 = a3 - (1/a)3
                 = (a - 1/a)3 + 3a.1/a.(a - 1/a)
                 = (2√6)3 + 3.2√6
                  = 8.6√6 + 6√6
                  = 48√6 + 6√6
                   = 54√6
১৫৯.
যদি a + b = 9 এবং a2 + b2 = 41 হয়, তবে a3 + b3 এর মান কত?
  1. ক
    121
  2. খ
    151
  3. গ
    172
  4. ঘ
    189
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a2 + b2 = 41 হয়, তবে a3 + b3 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 41
এবং
a + b = 9
⇒ (a + b)2 = 92
⇒ a2 + 2ab + b2 = 81
⇒ a2 + b2 + 2ab = 81
⇒ 41 + 2ab = 81
⇒ 2ab = 81 - 41
⇒ 2ab = 40
⇒ ab = 40/2
⇒ ab = 20

এখন,
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= (9)3 - (3 × 20 × 9)
= 729 - 540
= 189
১৬০.
a + b = 7 এবং a - b = 1 হলে ab = কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    12
  3. গ
    14
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 7 এবং a - b = 1 হলে ab = কত?

সমাধান:
ab = {(a + b)/2}2 - {(a - b)/2}2
= (7/2)2 - (1/2)2
= (49/4) - (1/4)
= (49 - 1)/4
= 12 
১৬১.
যদি xy = 8 হয়, তাহলে (x + y)2 - (x - y)2 এর মান কত?
  1. ক
    48
  2. খ
    32
  3. গ
    16
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি xy = 8 হয়, তাহলে (x + y)2 - (x - y)2 এর মান কত?

সমাধান:
(x + y)2 - (x - y)2
= 4xy
= 4 × 8
= 32
১৬২.
যদি (x - y)2 = 12 এবং xy = 2 হয়, তাহলে x2 + y2 = ?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 14
  3. গ
    গ) 18
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা

(x2 + y2) = (x - y)2 + 2xy
= 12 + (2.2)
= 12 + 4
= 16

১৬৩.
x2 + 2x - 15 এর উৎপাদক দুইটি কত?
  1. ক
    ক) (x - 5) ও (x + 3)
  2. খ
    খ) (x + 5) ও (x - 3)
  3. গ
    গ) (x - 5) ও (x - 3)
  4. ঘ
    ঘ) (x + 5) ও (x + 3)
ব্যাখ্যা
x2 + 2x - 15
= x2 + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x + 5)(x - 3)
১৬৪.
a + b = c হলে a3 + b3 + 3abc = কত?
  1. ক
    a3
  2. খ
    b3
  3. গ
    c3
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = c হলে a3 + b3 + 3abc = কত?

সমাধান: 
a + b =  c

a3 + b3 + 3abc  = (a + b)3 - 3ab(a + b) + 3abc 
                      = (c)3 - 3ab(c) + 3abc 
                       = c3 - 3abc + 3abc 
                       = c3
১৬৫.
যদি p3 + q3 = 280 এবং p + q = 10 তবে pq এর মান কত?
  1. ক
    42
  2. খ
    36
  3. গ
    28
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি p3 + q3 = 280 এবং p + q = 10 তবে pq এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
p + q = 10 এবং
⇒ p3 + q3 = 280
⇒ (p + q)3 - 3pq(p + q) = 280
⇒ 103 - 3pq × 10 = 280
⇒ 1000 - 30pq = 280
⇒ 30pq = 1000 - 280
⇒ 30pq = 720
⇒ pq = 720/30
∴ pq = 24
১৬৬.
a4 + a2b2 + b4 = 8 এবং a2 + ab + b2 = 4 হলে, a2 - ab + b2 এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    16
  3. গ
    2ab
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a4 + a2b2 + b4 = 8 এবং a2 + ab + b2 = 4 হলে, a2 - ab + b2 এর মান কত?

সমাধান: 
a4 + a2b2+ b4 = 8 এবং a2 + ab + b2 = 4
বা, (a2)2 + 2.a2.b2 + (b2)2 - a2.b2 = 8
বা, (a2 + b2)2  - (ab)2 = 8
বা, (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 - ab) = 8
বা, 4(a2 - ab + b2) = 8
∴ a2 - ab + b2 = 2
১৬৭.
x2 - 3x + 1 = 0 হলে (x3 + 1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 20
  3. গ
    গ) 18
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
বা, x2 - 3x + 1 = 0
বা, x2 + 1 = 3x
বা, x + 1/x = 3
প্রদত্ত রাশি,
= (x3 + 1/x3)
= (x + 1/x)3 - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (3)3 - 3.3
= 27 - 9
= 18

১৬৮.
x4 + 2x2 + 1 = 5x2 হলে ‍x + 1/x এর মান কত?
  1. ক
    ক) √3
  2. খ
    খ) √5
  3. গ
    গ) √7
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা
x4 + 2x2 + 1 = 5x2
or, x2 + 2 + 1/x2 = 5
or, x2 + 1/x2 = 3
or, (x + 1/x)2 – 2.x (1/x) = 3
or, (x + 1/x)2 = 5
or, (x + 1/x) = √5
১৬৯.
x-y = 2 এবং xy = 24 হলে, x-এর ধনাত্মক মান কোনটি?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা

(x+y)² = (x-y)²+4xy
         = 2² + 4×24
         = 100
∴ x+y = ± 10
ধনাত্মক মান নিয়ে,
(x+y) + (x-y) = 10+2
⇒ 2x = 12
∴ x = 6

১৭০.
x + y = √7 এবং y = x - √3 হলে xy এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা

x + y = √7
এবং y = x - √3
বা, x - y = √3
আমরা জানি,
xy = {(x + y)2 - (x - y)2}/4
= {(√7)2 - (√3)2}/4
= (7 - 3)/4
= 4/4
= 1
∴ xy = 1

১৭১.
যদি a + (1/a) = 7 হয়, তবে a/(a2 + a + 1) এর মান কত?
  1. ক
    1/7
  2. খ
    7
  3. গ
    7/8
  4. ঘ
    1/8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + (1/a) = 7 হয়, তবে a/(a2 + a + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + (1/a) = 7
⇒ (a2 + 1)/a = 7
⇒ (a2 + 1) = 7a

এখন,
a/(a2 + a + 1)
= a/(7a + a)
= a/8a
= 1/8

১৭২.
x + 1/3x = 4 হলে 9x2 + 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    108
  2. খ
    138
  3. গ
    148
  4. ঘ
    158
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/3x = 4 হলে 9x2 + 1/x2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + 1/3x = 4
3(x + 1/3x) = 12
3x + 1/x = 12

প্রদত্ত রাশি = 9x2 + 1/x2
= (3x)2 + (1/x)2
= (3x + 1/x)2 - 2.3x.1/x
= 122 - 6
= 144 - 6
= 138


১৭৩.
x4 - x2 + 1 = 0 হলে (x + 1/x)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) - 1
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - x2 + 1 = 0 হলে (x + 1/x)2 এর মান কত?

সমাধান:
x4 - x2 + 1 = 0
বা, x4 + 1 = x2
বা, x2 + 1/x2 = 1
বা, (x + 1/x)2 - 2 . x . 1/x = 1
∴ (x + 1/x)2 = 3
১৭৪.
x + 1/x = √3 হলে, {(x6 + 1)/x3} + 1 এর মান কত?
  1. ক
    ক) - 1
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 3√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = √3 হলে, {(x6 + 1)/x3} + 1 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে 
x + 1/x = √3
(x + 1/x)3 = (√3)3
x3 + 1/x3 + 3x.(1/x)(x + 1/x) = 3√3
x3 + 1/x3 + 3√3 = 3√3
x3 + 1/x3 = 0
(x6 + 1)/x3 = 0


{(x6 + 1)/x3} + 1
= 0 + 1
= 1
১৭৫.
(1/x) + (1/y) = 5 এবং (1/x2) - (1/y2) = 15 হলে, (1/x) - (1/y) এর মান কত?
  1. ক
    1/3
  2. খ
    3
  3. গ
    9
  4. ঘ
    1/9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (1/x) + (1/y) = 5 এবং (1/x2) - (1/y2) = 15 হলে, (1/x) - (1/y) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(1/x) + (1/y) = 5 
এবং (1/x2) - (1/y2) = 15

এখন,
(1/x2) - (1/y2) = 15 
⇒ {(1/x) + (1/y)}{(1/x) - (1/y)} = 15
⇒ 5(1/x) - (1/y) = 9  [(1/x) + (1/y) = 15
⇒ (1/x) - (1/y) = 15/5
∴ (1/x) - (1/y) = 3
১৭৬.
2x - 1/3x = 3 হলে, 8x3 - 1/27x3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 32
  2. খ
    খ) 33
  3. গ
    গ) 28
  4. ঘ
    ঘ) 36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x - 1/3x = 3 হলে, 8x3 - 1/27x3 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
2x - 1/3x = 3

প্রদত্ত রাশি = 8x3 - 1/27x3 
                 = (2x)3 - (1/3x)3
                 = (2x - 1/3x)3 + 3. 2x.1/3x (2x - 1/3x)
                  = 33 + 2 × 3
                   = 27 + 6 
                    = 33
১৭৭.
a এর কোন মানের জন্য 4x + 5y = 12 এবং 8x - ay = 20 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল?
  1. ক
    12
  2. খ
    - 6
  3. গ
    5
  4. ঘ
    - 10
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a এর কোন মানের জন্য 4x + 5y = 12 এবং 8x - ay = 20 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল?

সমাধান: 
দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢাল সমান হতে হবে।

দেওয়া আছে, 
প্রথম সরলরেখা, 4x + 5y = 12
⇒ 5y = - 4x + 12
⇒ y = (- 4/5)x + (12/5)
∴ ঢাল m1 = - 4/5  ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

আবার, 
দ্বিতীয় সরলরেখা, 8x - ay = 20
⇒ ay = 8x - 20 
⇒ y = (8/a)x - 20/a ; (যদি k ≠ 0 হয়)
∴ ঢাল m2 = 8/a ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

∴ সমান্তরাল হওয়ার শর্ত, m1 = m2
⇒ - 4/5 = 8/a
⇒ 4a = - 40
⇒ a = - 40/4
∴ a = - 10

সুতরাং, a এর মান - 10 হলে দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হবে।

১৭৮.
p এর মান কত হলে 4x2 - px + 9 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    9
  2. খ
    12
  3. গ
    16
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p এর মান কত হলে 4x2 - px + 9 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 

সমাধান: 
4x2 - px + 9
= (2x)2 - px + 32
= (2x)2 - 2 × 2x × 3 + 32   [ ধরি, p = 2 × 2 × 3 = 12]
= (2x - 3)2, যা একটি পূর্ণবর্গ রাশি। 

∴ p এর মান 12 হলে 4x2 - px + 9 একটি পূর্ণবর্গ হবে।
১৭৯.
a3 + a2b, a2b + ab2 এবং a3 - ab2 এর গ, সা, গু কত?
  1. ক
    a(a - b)
  2. খ
    (a + b)
  3. গ
    ab(a + b)
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 + a2b, a2b + ab2 এবং a3 - ab2 এর গ, সা, গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি,
a3 + a2b = a2(a + b)

২য় রাশি,
a2b + ab2 = ab(a + b)

৩য় রাশি,
a3 - ab2 = a(a2 - b2) = a(a + b)(a - b)

∴ নির্ণয়ে গ, সা, গু = a(a + b)
১৮০.
a + a-1 = 2 হলে 2a/(a2 - a + 1) এর মান-
  1. ক
    ক) -2
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

a + a-1 = 2
বা, a + 1/a = 2
বা, a2 + 1 = 2a
বা, a2 - a + 1 = a
বা, 1/(a2 - a + 1) = 1/a
বা, 2a/(a2 - a + 1) = 2a/a
∴ 2a/(a2 - a + 1) = 2

১৮১.
(a/b) + (b/a) = 1 হলে, a3 + b3 এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    1
  3. গ
    0
  4. ঘ
    - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 1 হলে, a3 + b3 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a/b + b/a = 1
(a2 + b2)/ab = 1
a2 + b2 = ab
a2 - ab + b2 = 0

এখন,
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
= (a + b) × 0
= 0
১৮২.
x + (1/x) = 2 হলে, x5 + (1/x5) = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    27
  4. ঘ
    64
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে, x5 + (1/x5) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = 2 
বা, (x2 + 1)/x = 2 
বা, x2 + 1 = 2x 
বা, x2 - 2x + 1 = 0 
বা, (x - 1)2 = 0 
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1 

এখন, 
x5 + (1/x5) 
= (1)5 + {1/(1)5} 
= 1 + (1/1) 
= 1 + 1 
= 2
১৮৩.
যদি (x - y)2 = 14, xy = 2, তবে  x 2 + y 2 = ?
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (x - y)2 = 14, xy = 2, তবে  x 2 + y 2 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
(x - y)2 = 14 
xy = 2

আমরা জানি, 
x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy 
= 14 + (2 × 2)  
= 14 + 4 
= 18 

১৮৪.
x + 2/x = 5 হলে x3 + 8/x3 এর মান কত?
  1. ক
    105
  2. খ
    155
  3. গ
    100
  4. ঘ
    95
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 2/x = 5 হলে x3 + 8/x3 এর মান কত?
 
সমাধান:
x3 + 8/x3
= x3 + (2/x)3
= (x + 2/x)3 - 3.x.(2/x).(x + 2/x)
= 53 - 3 × 2 × 5
= 125 - 30
= 95
১৮৫.
x2 - 8x - 8y + 16 + y2 রাশিটির সঙ্গে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    - 2xy
  2. খ
    8xy
  3. গ
    - 9xy
  4. ঘ
    2xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 8x - 8y + 16 + y2 রাশিটির সঙ্গে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে? 

সমাধান: 
x2 - 8x - 8y + 16 + y2
= x2 + y2 + (- 4)2 + 2. x.( - 4) + 2.y.(- 4) + 2.x.y - 2xy
= (x + y - 4)2 - 2xy

∴ x2 - 8x - 8y + 16 + y2 এর সাথে 2xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।
১৮৬.
a = 5, b = 3, c = 6 এবং d = 2 হলে, a - (- b) + (- c) - (- d) = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 5, b = 3, c = 6 এবং d = 2 হলে, a - (- b) + (- c) - (- d) = কত?

সমাধান:
a - (- b) + (- c) - (- d)
= a + b - c + d
= 5 + 3 - 6 + 2
= 4

১৮৭.
x + 1/x = √5 হলে, (x - 1/x)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = √5 হলে, (x - 1/x)2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + 1/x = √5

এখন,
(x - 1/x)2 
= (x + 1/x)2 - 4x(1/x)
= (√5)2 - 4
= 5 - 4
= 1
১৮৮.
p2 + p-2 = 47 হলে, p + (1/p) এর মান কত?
  1. ক
    ± 3
  2. খ
    ± 5
  3. গ
    ± 7
  4. ঘ
    ± 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 + p-2 = 47 হলে, p + (1/p) এর মান কত?

সমাধান:
p2 + p-2 = 47
⇒ p2 + (1/p2) = 47
⇒ {p + (1/p)}2 - 2 ⋅ p ⋅ (1/p) = 47
⇒ {p + (1/p)}2 = 47 + 2
⇒ {p + (1/p)}2 = 49
∴ p + (1/p) = ± 7
১৮৯.
a - b = 5 এবং ab = 36 হলে, a3 - b3 এর মান কত?
  1. ক
    - 415
  2. খ
    125
  3. গ
    665
  4. ঘ
    415
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = 5 এবং ab = 36 হলে, a3 - b3 এর মান কত?

সমাধান:
a3 - b3 
= (a - b)3 + 3.ab.(a - b)
= 53 + 3 × 36 × 5
= 125 + 540
= 665
১৯০.
(x - 1/x)2 = 5 হলে, [x3 - (1/x3)]2 = কত?
  1. ক
    160
  2. খ
    80
  3. গ
    320
  4. ঘ
    8√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - 1/x)2 = 5 হলে, [x3 - (1/x3)]2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
{x - (1/x)}2 = 5
⇒ x - (1/x) = √5

এখন
⇒ x3 - (1/x3) = {x - (1/x)}3 + 3 · x · (1/x){x - (1/x)}
= (√5)3 + 3√5
= 5√5 + 3√5
= 8√5

∴ [x3 - (1/x3)]2 = (8√5)2
= 64 × 5
= 320
১৯১.
1 + x2p2 = 0 হলে, p এর মান নির্ণয় করুন। 
  1. ক
    ix, i/x
  2. খ
    ± (i/x)
  3. গ
    ± (1/x)
  4. ঘ
    ± ix
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + x2p2 = 0 হলে, p এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
এখানে, 
1 + x2p2 = 0
⇒ x2p2 = -1
⇒ p2 = -1
⇒ p2 = -(1/x2)
⇒ p = ± √[-(1/x2)]
⇒ p = ± (1/x) . √(-1)
∴ p = ± (i/x)

১৯২.
p2 - 3p + 1 = 0 হলে, p3 + (1/p3) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) 18
  4. ঘ
    ঘ) 27
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 - 3p + 1 = 0 হলে, p3 + (1/p3) এর মান কত? 

সমাধান: 
 p2 - 3p + 1 = 0
⇒ p2 + 1 = 3p
⇒ (p2 + 1)/p = 3p/p
⇒ p + (1/p) = 3

p3 + (1/p3)
= (p + 1/p)3 - 3.p.1/p(p + 1/p)
= 33 - 3.3
= 27 - 9
= 18 
১৯৩.
যদি x + y = 15 এবং xy = 45, তবে (x/y) + (y/x) এর মান কত? 
  1. ক
    3
  2. খ
    5
  3. গ
    7
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 15 এবং xy = 45, তবে (x/y) + (y/x) এর মান কত?

সমাধান:

১৯৪.
x2 - 3x + 1 = 0 হলে x2 - 1/x2 এর মান-
  1. ক
    5√3
  2. খ
    5√5
  3. গ
    3√5
  4. ঘ
    4√5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 3x + 1 = 0 হলে x2 - 1/x2 এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 - 3x + 1 = 0
বা, x2 + 1 = 3x
বা, x + 1/x = 3

এখন,
(x - 1/x)2 = {x + (1/x)}2 - 4.x.(1/x)
= (3)2 - 4
= 9 - 4
= 5

∴ ‍x - 1/x = √5

প্রদত্ত রাশি,
x2 - 1/x2 = (x + 1/x) (x - 1/x)
= 3 . √5 
= 3√5

১৯৫.
x2 - 2x + 1 = 0 হলে, (x4 + 2x2 + 1)/x2 এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    8
  3. গ
    4
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 2x + 1 = 0 হলে, (x4 + 2x2 + 1)/x2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ x2 - 2x + 1 = 0  
⇒ (x - 1)2 = 0 
⇒ x - 1 = 0 
∴ x = 1 

 এখন, 
(x4 + 2x2 + 1)/x2
= {(x2)2 + 2. x2. 1 + (1)2} /x2  
= {(x2 + 1)2}/x2 
= {(1)2 + 1}2/(1)2 
= (1 + 1)2 
= 4
১৯৬.
x3-x2 কে x-2 দ্বারা ভাগ করলে অবশেষে থাকবে-
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) -6
  4. ঘ
    ঘ) -8
ব্যাখ্যা
x = 2 বসিয়ে পাই-
(2)3 - (2)2
= 8 - 4
= 4
১৯৭.
a + 1/a = 5 হলে, ‍a - 1/a = ?
  1. ক
    ক) √21
  2. খ
    খ) √24
  3. গ
    গ) √19
  4. ঘ
    ঘ) √29
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + 1/a = 5 হলে, ‍a - 1/a = ?

সমাধান:
a + 1/a = 5

এখন
(a - 1/a)2 = (a + 1/a)2 - 4.a.1/a
(a - 1/a)2 =52 - 4
(a - 1/a)2 =25 - 4
(a - 1/a)2 =21
(a - 1/a) = √21
১৯৮.
নিচের প্রশ্নটি সমাধান করুন।

  1. ক
    2
  2. খ
    5
  3. গ
    10
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
১৯৯.
a এর মান কত হলে 9 - 12x + ax2 একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a এর মান কত হলে 9 - 12x + ax2 একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান: 
9 - 12x + ax2 = 32 - 2.3.2x  + (2x)2
9 - 12x + ax2  = 9 - 12x + 4x2
 a = 4 হলে রাশিটি পূর্নবর্গ হবে।
২০০.
চলক -এর বৈশিষ্ট্য কোনটি?
  1. ক
    মান নির্দিষ্ট
  2. খ
    প্রতীক ব্যবহার করা যায় না
  3. গ
    মান নির্দিষ্ট নয়
  4. ঘ
    খ ও গ উভয়ই
ব্যাখ্যা
- বীজগণিতে অজ্ঞাত রাশি বা অক্ষর প্রতীককে চলক বলে। 
- চলক এমন একটি প্রতীক যার মানের পরিবর্তন হয় ।
- চলকের মান নির্দিষ্ট নয়। 
- চলক বিভিন্ন মান ধারণ করতে পারে ।