PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ১৪ / ৩৪ · ১,৩০১–১,৪০০ / ৩,৪০১
a2 + b2 = 89
বা, 2(a2 + b2) = 178
বা, (a + b)2 + (a - b)2 = 178
বা, (a - b)2 = 178 - (a + b)2
বা, (a - b)2 = 178 - (13)2
বা, (a - b)2 = 178 - 169 = 9
∴ a - b = 3
x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.1/x(x + 1/x)
= 43 - 3.4
= 52
প্রশ্ন: x - 1/x = 4 হলে x4 + 1/x4 = কত?
সমাধান:
x4 + 1/x4
= (x2)2 + (1/x2)2
= (x2 + 1/x2)2 - 2 . x2. 1/x2
= {(x - 1/x)2 + 2 . x . 1/x}2 - 2
= (42 + 2)2 - 2
= (16 + 2)2 - 2
= (18)2 - 2
= 324 - 2
= 322
প্রশ্ন: 16x4 + 36x2 + 81 কে 4x2 - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?
সমাধান:
প্রশ্ন: যদি a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c) হয়, তাহলে (a + b + c) = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c)
⇒ a2 + b2 + c2 + 3 = 2a + 2b + 2c
⇒ (a2 - 2a + 1) + (b2 - 2b + 1) + (c2 - 2c + 1) = 0
⇒ (a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2 = 0
আমরা জানি,
কতগুলো রাশির বর্গের সমষ্টি যদি শূন্য হয়, তাহলে প্রত্যেক পদের বর্গও শূন্য হবে। অর্থাৎ,
(a - 1)2 = 0
⇒ a - 1 = 0
∴ a = 1
একইভাবে, b = 1, c = 1
প্রদত্ত রাশি,
a + b + c = 1 + 1 + 1 = 3
∴ a + b + c = 3
প্রশ্ন: x + (1/9x) = 1 হয় তবে 27x3 + (1/27x3) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/9x) = 1
বা, 3x + 3/9x = 3 [উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]
বা, 3x + 1/3x = 3
বা, (3x + 1/3x)3 = 33
বা, (3x)3 + (1/3x)3 + 3 . 3x . 1/3x (3x + 1/3x) = 27
বা, 27x3 + 1/27x3 + 3 . 3 = 27
বা, 27x3 + 1/27x3 + 9 = 27
বা, 27x3 + 1/27x3 = 27 - 9
∴ 27x3 + 1/27x3 = 18
প্রশ্ন: যদি a4 - 6a2 + 1 = 0 হয়, তবে a - (1/a) এর মান কত?
সমাধান:
a4 - 6a2 + 1 = 0
⇒ a4 + 1 = 6a2
⇒ (a4 + 1)/a2 = 6
⇒ a2 + (1/a2) = 6
⇒ {a - (1/a)}2 + 2 . a . (1/a) = 6
⇒ (a - 1/a)2 = 6 - 2
⇒ a - (1/a) = √4
∴ a - (1/a) = ± 2
প্রশ্ন: x2 - 8x - 8y + 16 + y2 রাশিটির সঙ্গে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
সমাধান:
x2 - 8x - 8y + 16 + y2
= (x)2 - 2.x.4 - 2.y.4 + (4)2 + y2
= (4)2 + (x)2 + y2 - 2.x.4 + 2xy - 2.y.4 - 2xy
= (4 - x - y)2 - 2xy
∴ x2 - 8x - 8y + 16 + y2 রাশিটির সঙ্গে 2xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।
প্রশ্ন: p + q = 6 হলে p3 + q3 + 18pq এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = 6
∴ p3 + q3 + 18pq = (p + q)3 - 3pq(p + q) + 18pq
= (6)3 - 3pq × 6 + 18pq
= 216 - 18pq + 18pq
= 216
প্রশ্ন: a + b = 4 এবং ab = 3 হলে, a2 - ab + b2 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 4 এবং ab = 3
প্রদত্ত রাশি,
a2 - ab + b2
= a2 + b2 - ab
= (a + b)2 - 2ab - ab
= (a + b)2 - 3ab
= 42 - (3 × 3)
= 16 - 9
= 7
প্রশ্ন: (a2b3)/(c2d) কে (a3b2)/(cd3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?
সমাধান:
প্রশ্ন: a + b = √7, a - b = √3 হলে, 8ab(a2 + b2) = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7
a - b = √3
এখন,
8ab(a2 + b2)
= 4ab × 2(a2 + b2)
= {(a + b)2 - (a - b)2} × {(a + b)2 + (a - b)2}
= {(√7)2 - (√3)2} × {(√7)2 + (√3)2}
= (7 - 3) × (7 + 3)
= 4 × 10
= 40
প্রশ্ন: a4 + a2b2 + b4 = 8 এবং a2 + ab + b2 = 4 হলে, a2 − ab + b2 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a4 + a2b2 + b4 = 8
a2 + ab + b2 = 4
এখন,
a4 + a2b2 + b4 = 8
বা, (a2)2 + 2 . a2 . b2 + (b2)2 − a2 . b2 = 8
বা, (a2 + b2)2 − (ab)2 = 8
বা, (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 − ab) = 8
বা, 4(a2 − ab + b2) = 8
বা, (a2 − ab + b2) = 8/4
∴ a2 − ab + b2 = 2
প্রশ্ন: দুটি রাশির বর্গের অন্তরফল কোনটি?
সমাধান:
দুটি রাশির বর্গের অন্তরফল হবে:
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
কিছু গুরুত্বপূর্ণ বীজগাণিতিক সূত্র:
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
3. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
প্রশ্ন: x2 - 8x + 15, x2 - 25, x2 + 2x - 15 এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।
সমাধান:
১ম রাশি = x2 - 8x + 15
= x2 - 8x + 15
= x2 - 3x - 5x + 15
= x(x - 3) - 5(x - 3)
= (x - 3) (x - 5)
২য় রাশি = x2 - 25
= x2 - 52
= (x - 5) (x + 5)
৩য় রাশি = x2 + 2x - 15
= x2 + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x + 5) (x - 3)
নির্ণেয় গ.সা.গু = 1
(a-b)2
= (a+b)2 - 4ab
= (9m)2 - 4×18m2
= 81m2 - 72m2
= 9m2
∴ (a-b) = ±3m
এখন a - b = 3m হলে,
a = 6m, b = 3m
এবং, a - b = -3m হলে,
a = 3m, b = 6m
প্রশ্ন: দুটি ধনাত্মক সংখ্যার পার্থক্য 8। এদের বর্গের পার্থক্য 192। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?
সমাধান:
ধরি, দুটি ধনাত্মক সংখ্যা a এবং b (যেখানে a > b)।
দেওয়া আছে,
a - b = 8
a2 - b2 = 192
আমরা জানি,
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
শর্তমতে,
(a - b)(a + b) = 192
⇒ 8 × (a + b) = 192
⇒ a + b = 192/8
∴ a + b = 24
সুতরাং সংখ্যা দুইটির যোগফল = 24
প্রশ্ন: s + t = √11 এবং s = √7 + t হলে st এর মান কত?
সমাধান:
s + t = √11
s = √7 + t
s - t = √7
st = {(s + t)/2}2 - {(s - t)/2}2
= {(√11)/2}2 - {(√7)/2}2
= (11/4) - (7/4)
= (11 - 7)/4
= 4/4
= 1
x4 - 3x2 + 1 = 0
বা, x4 + 1 = 3x2
বা, x4/x2 + 1/x2 = 3x2/x2
বা, x2 + 1/x2 = 3
এখন,
(x2 - 1/x2)2 = (x2 + 1/x2)2 - 4.x2.1/x2
বা, (x2 - 1/x2)2 = 32 - 4
= 5
∴ x2 - 1/x2 = √5
(b - c)/bc + (c - a)/ca + (a - b)/ab
= b/bc - c/bc + c/ca - a/ca + a/ab - b/ab
= 1/c - 1/b + 1/a - 1/c + 1/b - 1/a
= 0
প্রশ্ন: যদি x + y = 6 এবং x2 + y2 = 20 হয়, তবে x3 + y3 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 6
⇒ (x + y)2 = 62
⇒ x2 + 2xy + y2 = 36 [যেহেতু x2 + y2 = 20]
⇒ 20 + 2xy = 36
⇒ 2xy = 16
∴ xy = 8
এখন,
x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
= (6)3 - 3 × 8 × 6
= 216 - 144
= 72
প্রশ্ন: যদি
সমাধান:
প্রশ্ন: a2 + b2 = 13 এবং ab = 6 হলে, (a - b)2 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 13
এবং ab = 6
এখন,
(a - b)2 = a2 - 2 · a · b + b2
= a2 + b2 - 2ab
= 13 - (2 × 6)
= 13 - 12
= 1
(x - 1)-1 = (-1)-1
বা, x - 1 = -1
∴ x = 0
(x - y)2
= (x + y)2 - 4xy
= (16)2 - 4 X 48
= 256 - 192
= 64
∴ x - y = √64 = 8
Given, x2 + 1/x2 = 4
Or, (x + 1/x)2 - 2.x.1/x = 4
Or, (x + 1/x) = √6
Now, (x - 1/x)2
= (x + 1/x)2 - 4.x.1/x
= (√6)2 - 4 = 2
Or, x - 1/x = √2
∴ (x2 − 1/x2)3
= {(x + 1/x)(x - 1/x)}3
= (√6. √2)3
= 12√12
= 24√3
প্রশ্ন: p3 + p2q এবং p2q + pq2 এর ল.সা.গু কোনটি?
সমাধান:
প্রথম রাশি = p3 + p2q
= p2(p + q)
দ্বিতীয় রাশি= p2q + pq2
= pq(p + q)
∴ ল.সা.গু.= p2q(p + q)