বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 48 এবং বর্গের যোগফল 100। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি ,
সংখ্যা দুইটি = x ও y

দেয়া আছে,
xy = 48
x² + y² = 100

আমরা জানি,
(x + y)²
= x² + y² + 2xy
= 100 + (2 × 48)
= 100 + 96
= 196
⇒ x + y = √196
∴ x + y = 14

প্রশ্ন: যদি a + b = 5 এবং a² + b² = 13 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b = 5
বা, (a + b)² = 5²  [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, a² + 2ab + b² = 25 
বা, 13 + 2ab = 25 [∴ a² + b² = 13] 
বা, 2ab = 25 - 13
বা, 2ab = 12
∴ ab = 6

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (5)³ - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35  ।

প্রশ্ন: 4x² - 12x + 9 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
4x² - 12x + 9 = 0
এখানে,
a = x² এর সহগ = 4
b = x এর সহগ = - 12
c = ধ্রুবক = 9

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 12)² - 4 × 4 × 9
= 144 - 144
= 0

নিশ্চায়ক = 0 হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।

∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
b² - 4ac = 0 হলে ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান
b² - 4ac < 0 হলে ⇒ বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)

প্রশ্ন: a² + b² = 8 এবং a = - 4/b হলে, (a - b)² এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 8
এবং, a = - 4/b
⇒ ab = - 4

এখন, (a - b)² = a² - 2 · a · b + b²
= a² + b² - 2ab
= 8 - {2 × (- 4)}
= 8 + 8
= 16

প্রশ্ন: 2x + 3y = 13 এবং xy = 6 হলে, 8x³ + 27y³ এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x + 3y = 13 এবং xy = 6 

প্রদত্ত রাশি, 
8x³ + 27y³
= (2x)³ + (3y)³
= (2x + 3y)³ - 3 . 2x . 3y(2x + 3y)
= (13)³ - 18 . 6 . 13
= 2197 - 1404
= 793

প্রশ্ন: 3x - 4y - 3 = 0 রেখার ঢাল কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3x - 4y - 3 = 0
রেখার সমীকরণকে প্রথমে y = mx + c আকারে লিখতে হবে।
এখানে m = ঢাল (slope)

এখন, 
3x - 4y - 3 = 0
⇒ - 4y = - 3x + 3
⇒ 4y = 3x - 3
⇒ y = (3/4)x - (3/4)

অতএব, ঢাল, m = 3/4

সুতরাং, রেখাটির ঢাল 3/4

প্রশ্ন: x² - √5x + 1 = 0 হলে, x⁶ + 1/x⁶ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x² - √5x + 1 = 0
⇒ x - √5 + 1/x = 0 [x দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]
⇒ x + 1/x = √5

∴ x⁶ + 1/x⁶
= (x³)² + (1/x³)²
= (x³ + 1/x³)² - 2.x³.1/x³
= {(x + 1/x)³ - 3. x .1/x (x + 1/x)}² - 2
= {(√5)³ - 3.√5}² - 2
= (5√5 - 3√5)² -2
= (2√5)² - 2
= 20 - 2
= 18

প্রশ্ন: যদি a = - 3 এবং b = 2 হয়, তাহলে 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a = - 3
এবং b = 2 

প্রদত্ত রাশি = 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³
=(2a)³ + 3·(2a)²·3b + 3·2a·(3b)² + (3b)³
= (2a + 3b)³
= {2 × (- 3) + 3 × (2)}³
= (- 6 + 6)³
=(0)³
= 0

প্রশ্ন: 2x + 3y = 10 এবং 2x - 3y = 8 হলে, x, y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + 3y = 10
2x - 3y = 8

(i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,
(2x + 3y) - (2x - 3y) = 10 - 8
⇒ 2x + 3y - 2x + 3y = 2 
⇒ 6y = 2 
⇒ y = 2/6
⇒y = 1/3

(i) হতে (ii) যোগ করে পাই,
(2x + 3y) + (2x - 3y) = 10 + 8 
⇒ 2x + 3y + 2x - 3y = 18 
⇒ 4x = 18 
⇒ x = 18/4
⇒ x = 9/2

আমরা জানি, ( a - b + c )² = a² + b² + c² - 2ab - 2bc + 2ac
∴ a² + b² + c² - 2ac - 2bc রাশির সাথে 2ac যোগ করলে আমরা ( a - b + c )² রাশি পাব যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 3 এবং ab = 2 হলে, a³ + b³ =  কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b = 3, ab = 2.  

আমরা জানি, 
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (3)³ - 3 × 2 × 3
= 27 - 18
= 9

অতএব, a³ + b³ = 9

a²/b² + b²/a² = 7
বা, (a/b + b/a)² - 2.a/b.b/a = 7
বা, (a/b + b/a)² = 7 + 2 = 9
a/b + b/a = 3
(a/b + b/a)³ = 27
বা, a³/b³ + b³/a³ + 3.a/b.b/a(a/b + b/a) = 27
∴ a³/b³ + b³/a³
= 27 - 3.3
= 18

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 20 এবং বর্গের যোগফল 41। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত? 

সমাধান:
ধরি ,
সংখ্যা দুইটি = x ও y
দেয়া আছে,
xy = 20
x² + y² = 41

আমরা জানি,
(x + y)²
= x² + y² + 2xy
= 41 + (2 × 20)
= 41 + 40
= 81
⇒ x + y = √81
∴ x + y = 9

প্রশ্ন: যদি x - (1/x) = 11 এবং x > 0 হয় তবে x² - (1/x)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - (1/x) = 11

আমরা জানি,
{x + (1/x)}² = {x - (1/x)}² + 4 . x . (1/x)
⇒ {x + (1/x)}² = (11)² + 4
⇒ {x + (1/x)}² = 121 + 4 = 125
∴ x + (1/x) = √125 = 5√5

আমরা জানি,
x² - (1/x)² = {x + (1/x)}{x - (1/x)} = 11 × 5√5
∴ x² - (1/x)² = 55√5

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 9 এবং ab + bc + ca = 26 হয়, তবে a² + b² + c² =  কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 9 এবং ab + bc + ca = 26

আমরা জানি,
a² + b² + c² =  (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
= (9)² - 2 × 26
= 81 - 52
= 29

প্রশ্ন: যদি a + b = 3 এবং ab = 2 হয়, তবে a³+ b³ + 4(a - b)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a + b = 3
 এবং ab = 2

∴ প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 4(a - b)²
= (a + b)³ - 3ab (a + b) + 4{(a + b)² - 4ab}
= (3)³ – 3 × 3 × 2 + 4 (3² - 4.2) [মান বসিয়ে]
=27 - 18 + 4(9 - 8)
= 27 - 18 + 4 × 1
= 27 - 18 + 4
= 13 

:. নির্ণেয় মান 13

প্রশ্ন: a = 3, b = 2, c = 4 এবং d = 1 হলে, a - (- b) + (- c) - (- d) = কত?

সমাধান:
a - (- b) + (- c) - (- d)
= a + b - c + d
= 3 + 2 - 4 + 1
= 2

Hints:
x²-√5x+1=0
x+1/x = √5
x-1/x = 1 

So, x²-(1/x)²=(x+1/x) (x-1/x) = √5

প্রশ্ন: x + y = 8 এবং x - y = 4 হলে, xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 8 
x - y = 4

আমরা জানি, 
xy  = {(x + y)² - (x - y)²}/4
⇒ xy = {(8)² - (4)²}/4
⇒ xy = (64 - 16)/4
⇒ xy = 48/4
∴ xy = 12

প্রশ্ন: x² - 11x + 30 এবং x² + x - 30 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
 ১ম রাশি = x² - 11x + 30
              = x² - 5x - 6x + 30
              = x(x - 5) - 6(x - 5)
              = (x - 5)(x - 6)
২য় রাশি =  x² + x - 30           
             =  x² - 5x + 6x - 30
             = x(x - 5) + 6 (x - 5) 
             =  (x - 5) (x + 6)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 5) (x + 6)(x - 6) 

a² + a + 1/a + 1/a²
= a² + 1/a² + a + 1/a
= (a + 1/a)² - 2.a.1/a + (a + 1/a)
= 2² - 2 + 2
= 4

প্রশ্ন: a - 1/a = 3 হলে, a³ - 1/a³ = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a³ - 1/a³ = (a - 1/a)³ + 3.a.(1/a) (a - (1/a) 
= (3)³ + 3 × 3
= 27 + 9 
= 36

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে,  x⁵⁶ + 1/x⁵⁶ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ x² - 2.x.1 + 1² = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
⇒ x = 1

এখন,
x⁵⁶ + 1/x⁵⁶
= 1⁵⁶ + 1/1⁵⁶
= 1 + 1/1
= 1 + 1
= 2

প্রশ্ন: x + 2y = 4 হলে, x³ + 8y³ + 24xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y = 4

এখন,
x³ + 8y³ + 24xy
= x³ + (2y)³ + 24xy
= (x + 2y)³ - 3 . x . 2y(x + 2y) + 24xy [a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)]
= (4)³ - 6xy(4) + 24xy
= 64 - 24xy + 24xy
= 64
∴ x³ + 8y³ + 24xy = 64

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: 36a² + 36a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:

36a² + 36a

= 36a² + 36a + 9 - 9

= (6a)² + 2 ×(6a) × (3)+ (3)² - 9

= (6a + 3)² - 9

সুতরাং, 36a² + 36a এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

x = 37 হলে,
8x³ + 72x² + 216x + 216
= (2x)³ + 3 . (2x)² . 6 + 3 . (2x) . (6)² + (6)³
= ( 2 × 37 + 6 )³ = 512000

a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3.a.1/a (a + 1/a)
= 4³ - 3 X 4
= 64 - 12
= 52

দেওয়া আছে, a + 1/a = √4
এখন, a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3. a. 1/a (a + 1/a)
= (√4)³ - 3√4
= 4√4 - 3√4
= √4
= 2

প্রশ্ন: (5x - 3y) এর বর্গ হচ্ছে:

সমাধান: 
(5x + 3y) এর বর্গ
= (5x - 3y)²
= (5x)² - 2.5x.3y + (3y)²
= 25x² - 30xy + 9y²  । 

প্রশ্ন: x + y = 5 এবং  x - y = 3 হলে, 2x² + 2y² = কত? 

সমাধান: 
2x² + 2y²
= 2(x² + y²)
= (x + y)² + (x - y)² 
= (5)² + (3)² 
= 25 + 9 
= 34

প্রশ্ন: p² + 12p + 36 কে (p + 3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:

ধরি,
f(p) = p² + 12p + 36

∴ f(- 3) = (- 3)² + 12(- 3) + 36
= 9 - 36 + 36
= 9

∴ ভাগশেষ 9 হবে।

a - 3/a = 1
বা, (a² - 3)/a = 1
বা, ‍a² - 3 = a
বা, ‍a² - a = 3
সুতরাং
3/(a² - a + 1)
= 3/(3 + 1)
= 3/4

x = 1/{(√5) - 2} = √5 + 2
এবং 1/x = √5 - 2
বা, x - (1/x) = 4 ........ (1)
বা, (x - (1/x))³ = 4³ = 64
বা, x³ - 1/x³ + 3.x.(1/x)(x - (1/x)) = 64
বা, ((x⁶ - 1)/x³) + 3.4 = 64 ........... [(1) নং থেকে]
বা, (x⁶ - 1)/x³ = 64 - 12 = 52
বা, x⁶ - 1 = 52x³
∴ x⁶ - 52x³ = 1

প্রশ্ন: x = 1 + √7 হলে, x³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x = 1 + √7

∴ x³ = (1 + √7)³
= 1³ + 3.1².√7 + 3.1. (√7)² + (√7)³
= 1 + 3√7 + 3 . 7 + 7√7
= 22 + 10√7 

প্রশ্ন: যদি x + y + z = 0 হয়, তবে x³ + y³ + z³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y + z = 0

আমরা জানি,
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)
⇒ x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0 × (x² + y² + z² - xy - yz - zx)
⇒ x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0
∴ x³ + y³ + z³ = 3xyz