Geometry: Mensuration, Trigonometry

Question: The area of a rectangle is equal to the area of a square with side x. If the length of the rectangle is 2x, find its breadth.

Solution:
Given that, 
A square with side x

We know,
Area of square = x²

ATQ,
Area of a rectangle is equal to the area of a square.
∴ Area of a rectangle = x2

And,
Given Length of the rectangle = 2x
Let the breadth of the rectangle = b

We know,
Area of rectangle = length × breadth
2x⋅b = x²
⇒ b = x²/2x
∴ b = x/2

Therefore, the breadth of the rectangle is x/2

Question: Which trigonometric ratio is undefined in value?

Solution:
• sec 270° = 1/cos 270°
Since cos 270° = 0, we have 1/0​, which is undefined (∞).

• cosec 270° = 1/sin 270°
Since sin 270° = −1, we have 1/-1 = −1, which is defined.

• tan 0° = sin 0°/cos 0° = 0/1 = 0, which is defined.

• cot 90° = cos 90°/sin 90° = 0/1 = 0, which is defined.

Therefore, the trigonometric ratio that is undefined is sec 270°.

60° কোণের পূরক কোণ = 90° - 60° [দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° বা এক সমকোণ হলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।]
= 30°
30° এর 1/3 = 10°.
Answer: 10°.

Question: A square and a circle have the same perimeter. The side of the length of square is 44 cm, what is the area of the circle?

Solution:
Perimeter of the square = 4 × side length
= 4 × 44 cm
= 176 cm

As per the question, the square and circle have the same perimeter.
∴ Circumference of the circle = 176 cm
We know that, Circumference of the circle = 2πr
∴ 2πr = 176
⇒ r = 176 / (2π)
⇒ r = 88 / π
⇒ r = 88 / (22/7)
⇒ r = 88 × 7 / 22
⇒ r = 4 × 7
⇒ r = 28 cm

Area of the circle = πr²
= (22/7) × 28²
= (22/7) × (28 × 28)
= 22 × 4 × 28
= 2464 sq. cm

∴ The area of the circle is 2464 sq. cm.

Question: ∠A and ∠B are supplementary angle to each other. If ∠A = 40° + 3x and ∠B = 2x, what is the value of ∠B?

Solution:
We are given:
∠A = 40° + 3x
∠B = 2x

Since ∠A and ∠B are supplementary:
∠A + ∠B = 180°
⇒ (40° + 3x) + 2x = 180°
⇒ 40° + 5x = 180°
⇒ 5x = 180° - 40°
∴ 5x = 140°
∴ x = 28°

∴ ∠B = 2x = 2 × 28° = 56°

Question: If in ΔABC, AB = 6cm, BC = 12cm and CA = 6√3cm, then the measure of ∠A is-

Solution: 

We know,
c² = a² + b²
= 6² + (6√3)² = 36 + 108 = 144 = 12² 

So, triangle ABC is a right-angled triangle at A. 
∠A = 90°

Question: A rectangular prism is 24 inches by 15 inches by 10 inches. Inside it is a cylinder with radius 5 inches and height 7 inches. Rounded to the nearest cubic inch, what is the volume of the prism not taken up by the cylinder?

Solution: 
Volume of the rectangular prism.
Volume = length × width × height
= 24 × 15 × 10
= 3600 cubic inches

And
Volume of the cylinder.
Volume = π × r² × h
= (22/7) × 5² × 7 ; [r = 5 in, h = 7 in] 
= 22 × 25
= 550 cubic inches

∴ Empty space = prism volume - cylinder volume
= (3600 - 550) cubic inches
= 3050 cubic inches

Let original length = x and original breadth = y.
Original area = xy.
New length = x/2 and New breadth = 3y
New area = 3/2xy
Therefore,
Increase in area = New area-original area = 3/2xy - xy = 1/2xy
Therefore,
Increase % = increase in area/original area × 100 = {(1/2)xy/xy} × 100 = 50%

Question: In a right-angled triangle ABC, where B is 90° and  tanC = 3/4, what is the length of the hypotenuse of triangle ABC?
 
Solution:
We know,
tanC = Perpendicular/Base
= 3/4

So,
Perpendicular of triangle ABC = 3
Base of triangle ABC = 4

By Pythagoras theorem,
(Hypotenuse)² = (Perpendicular)² + (Base)²
⇒ (Hypotenuse)² = 3²+ 4²
⇒ (Hypotenuse)² = 9 + 16
⇒ (Hypotenuse)² = 25
∴ Hypotenuse = 5

Let, ABCD be a || gm in which AB = 30 m, BC = 14 m & AC = 40 m.
Clearly, area of || gm ABCD = 2 (area of ∆ABC).
Let, a = 30, b = 14 & c = 40.
Then, s = (1/2)(a+b+c) = 42
Therefore, area of ∆ABC = √s(s-a)(s-b)(s-c)
= √42×12×28×2 = 168 m²
Therefore area of || gm = (2×168) m² = 336 m²

Question: The slope of a line perpendicular to one with slope (- 3/4) is:

Solution:
আমরা জানি, 
দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1 হয়।
অর্থাৎ, যদি কোনো সরলরেখার ঢাল (m) হয়, তাহলে তার উপর লম্ব রেখার ঢাল হবে - 1/m.

এখানে, মূল রেখার ঢাল = - 3/4 । 
তাই লম্ব রেখার ঢাল হবে = -1/(- 3/4) = 4/3

অতএব, লম্ব রেখার ঢাল = 4/3.

Question: A rectangular tank with a length of 4 meters and a width of 3 meters can store 30000 liters. What is the height of the tank?

Solution:
দেওয়া আছে, ট্যাংকের দৈর্ঘ্য (l) = 4 মিটার,
প্রস্থ (b) = 3 মিটার, এবং
আয়তন (V) = 30000 লিটার।
ধরি, ট্যাংকটির উচ্চতা হলো h মিটার।

আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (4 × 3 × h) ঘনমিটার
= 12h ঘনমিটার

এখন, আমরা জানি, 1 ঘনমিটার = 1000 লিটার।
প্রশ্নমতে,
12h × 1000 = 30000
⇒ 12h = 30000 / 1000
⇒ 12h = 30
⇒ h = 30/12
∴ h = 2.5

সুতরাং, ট্যাংকটির উচ্চতা হলো 2.5 মিটার।

Question: If the volume of a sphere is 2304π cm³, what is the surface area of the sphere?

Solution:
দেওয়া আছে,
গোলকের আয়তন, V = 2304π cm³

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন, V = (4/3)πr³
⇒ (4/3)πr³ = 2304π
⇒ r³ = 2304 × (3/4)
⇒ r³ = 576 × 3
⇒ r³ = 1728
⇒ r = 12 সেমি

এখন,
গোলকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, A = 4πr²
⇒ A = 4π(12)²
⇒ A = 4π × 144
⇒ A = 576π cm²

অতএব, গোলকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হলো 576π cm²।

Question: The radius of a wheel is 21 cm. How many revolutions will it make in travelling 1.32 kilometers?

Solution:
আমরা জানি,
চাকার পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × 21 সে.মি.
= 2 × 22 × 3 সে.মি.
= 132 সে.মি.

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = 1.32 কি.মি.
= 1.32 × 1000 মিটার
= 1320 মিটার
= 1320 × 100 সে.মি.
= 132000 সে.মি.

অতএব, ঘূর্ণন সংখ্যা = (মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব)/(চাকার পরিধি)
= 132000/132
= 1000
সুতরাং, চাকাটি 1000 বার ঘুরবে।

Question: After purchasing a square sheet of plywood of area 169 square feet, I found that I must cut off 2 feet from one side, to fit a wall. What is the area, in square feet, of the wall?

Solution
Area of the plywood = 169 square feet
Side of the plywood = √169 = 13 feet
After cutting 2 feet from a side 
the plywood length is = 13 feet
the plywood width is = 11 feet

Area of the wall is equal to the area of this sheet.
the area of the wall = 13 × 11 =  143 square ft

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
তাই, BD = DC = 1 cm
পীথাগোরাসের সূত্র অনুসারে ΔABD হতে পাই,
⇒ AB² = BD² + AD²
⇒ AD² = AB² - BD² = 2² - 1²
∴ AD = √3

Question: A pole 90 meters long breaks into two parts without complete separation and makes an angle of 30° with the ground. Find the length of the broken part of the pole.

Solution:

ধরি, খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = 90 m
ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য, AC = x 
অবশিষ্ট অংশটির দৈর্ঘ্য, AB = (90 - x) 

আমরা জানি, 
sin θ = লম্ব/অতিভুজ 
sin 30°= BC/CD
∴ 1/2 = (90 - x)/x
⇒ x = 2(90 - x)
⇒ x = 180 - 2x
⇒ 3x = 180
∴ x = 60 m

অতএব, খুঁটির ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য = 60 meters।

Question: Calculate the area of a triangle whose sides are 13 meters, 14 meters, and 15 meters.

Solution:
We know,
Area of a scalene triangle = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
where, s = (a + b + c)/2
= (13 + 14 + 15)/2 = 42/2
= 21 

∴ Area = √{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}
= √(21 × 8 × 7 × 6 )
= √(9  × 4  × 196)
= 3 × 2 × 14
= 84 m²

Question: The equation cos²θ = (x + y)²/4xy is only possible when ?

Solution: 
Given that,
cos²θ = (x + y)²/4xy
⇒ 1 = (x + y)²/4xy   ; [Max value of cos²θ = 1 ]
⇒ 4xy = (x + y)²
⇒ 4xy = x² + y² + 2xy
⇒ 0 = x² + y² - 2xy
⇒ (x - y)² = 0
⇒ x - y = 0
⇒ x = y

Therefore, the given equation is possible only when x = y.

Question: If the side length of a square is increased by 20%, by what percentage is the area of the square increased?

Solution:
ধরা যাক, বর্গক্ষেত্রের মূল বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক
সুতরাং, মূল ক্ষেত্রফল = a² বর্গ একক

বাহুর দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধির পর নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = a + (a × 20/100)
= a + 0.2a
= 1.2a একক

নতুন ক্ষেত্রফল = (1.2a)²
= 1.44a² বর্গ একক

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = নতুন ক্ষেত্রফল - মূল ক্ষেত্রফল
= 1.44a² - a²
= 0.44a² বর্গ একক

শতকরা বৃদ্ধির হার = (ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি/মূল ক্ষেত্রফল) × 100%
= (0.44a²/a²) × 100%
= 44%

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 44% বৃদ্ধি পাবে।

The length of arc, s = πrθ/180 = π × 6 × 30/180 = π cm

Curved surface এর ক্ষেত্রফল = 2Πrh
ব্যাসার্ধ হলে নতুন ব্যাসার্ধ = r/2
এবং দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে নতুন দৈর্ঘ্য = 2h
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = 2Π(r/2)2h = 2Πrh.
সুতরাং ক্ষেত্রফল একই থাকবে।

Question: Given that a square and a rectangle share the same area, and the square’s perimeter is 32 meters, while the rectangle’s length is 4 meters, calculate the rectangle’s width.

Solution:
Given that,
Perimeter of square = 32 m
Area of rectangle = Area of square
And length of rectangle = 4 m

Now, 
Perimeter of square,
4s = 32
⇒ s = 32/4 = 8
∴ s = 8 m
∴ Area of square = s² = 82 = 64 m²

 According to the Question,
Area of rectangle = Area of square
∴ Area of rectangle = 64 m²

∴ Area of rectangle = length × width
64 = 4 × w
⇒ w = 64/4
∴ w = 16 m

So the width of the rectangle = 16 meters

Question: The ratio of total surface area to curved surface area of a cone whose radius is 5cm and height 12 cm is :

Solution:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 5 cm
কোণকের উচ্চতা, h = 12 cm

এখন,কোণকের হেলানো উচ্চতা (slant height) বের করতে হবে।
কোণকের হেলানো উচ্চতা ((slant height), l = √(r² + h²)
= √(5² + 12²)
= √(25 + 144)
= √(169)
= 13 cm

  এখন, কোণকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।
  সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (total surface area) = πrl + πr²
  বক্রতলের ক্ষেত্রফল (curved surface area) = πrl

  অনুপাত = ( πrl + πr² ) : ( πrl )
 =  πr(l + r) : πrl
= (l + r) : l   (উভয় পক্ষকে πr দ্বারা ভাগ করে)
= (13 + 5) : 13
= 18 : 13

∴ কোণকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 18 : 13.

Question: Find the angle of elevation of the sun if the length of a tree's shadow is √3 times its actual height.

Solution:
 
Let,
AB = height of tree
BC= Shadow of tree
angle of elevation = C
∴  BC = √3 AB

We know,
tanC = AB/BC
⇒ tanC = AB/√3AB
⇒ tanC = 1/√3
⇒ tanC = tan30°
∴ C = 30°

Question: Equation of the straight line parallel to X-axis and also 4 units below X-axis is:

Solution: 
Equation of the straight line parallel to X-axis and also 4 units below X-axis is y = - 4

x + 2y = 2
y = (2 - x)/2

If x = 0, then,
y = (2 - 0)/2
= 2/2
= 1

Hence, x + 2y = 2 cuts the y-axis at (0, 1).

Here,
AB = √{(1 – 5)² + (0 – 0)²} = √(-4)² = √16 = 4
BC = √{(5 – 3)² + (0 – 4)²} = √(4 + 16) = √20
AC = √{(1 - 3)² + (0 – 4)²} = √(4 + 16) = √20 

So, AC = BC 
As in a triangle it can be, AC = CA and BC = CB

∴ CA = CB is true

Question: If 1 + tan²θ = 4 and θ < 90°, than what is the value of θ = ?

Solution:
Given that,
1 + tan²θ = 4 and θ < 90°
⇒ sec²θ = 4    ; [sec²θ = 1 + tan²θ]
⇒ (secθ)² = (2)²
⇒ secθ = 2
⇒ secθ = sec60°
⇒ θ = 60°

Question: If tan(θ - 45°) = 1, then what is the value of sinθ?

Solution:
Given that,
tan(θ - 45°) = 1
⇒ tan(θ - 45°) = tan45°
⇒ (θ - 45°) = 45°
∴  θ = 90°

Now,
sinθ
= sin90°
= 1

Question:

Solution:

Question: If tan(x - 15°) = 1, what is the value of sin(x + 30°)?

Solution:
দেওয়া আছে,
 tan(x - 15°) = 1
⇒ tan(x - 15°) = tan 45°
⇒ x - 15° = 45°
⇒ x = 45° + 15°
⇒ x = 60°

এখন,
sin(x + 30°)
= sin(60° + 30°)
= sin 90°
= 1