Geometry: Mensuration, Trigonometry

Question: A 40-meter cable is attached from the top of a vertical pole to the ground. If the cable makes an angle of 30° with the ground, what is the height of the pole?

Solution:
 
ধরি, উচ্চতা(Height), AB = h
দেয়া আছে, AC = 40m
∠ACB = 30°

∴ sin30°= AB/AC
⇒ 1/2 = h/40
⇒ h = 40 × 1/2
∴ h = 20 m

Side of smallest cube = L.C.M of 5, 10, 20 = 20cm
Volume of the cube = (20 x 20 x 20) cm³ = 8000 cm³ 
Volume of the block= (5 x 10 x 20) cm³ = 1000 cm³ 
∴ Required number of blocks = (8000/1000) = 8

Question: An observer who is 1.8 meters tall is standing 20 meters away from a tower. If the angle of elevation from his eye to the top of the tower is 45°, what is the height of the tower?

Solution:

পর্যবেক্ষকের উচ্চতা, CD = 1.8 মিটার
এখানে, CD = EB
টাওয়ারের উচ্চতা = AB

এখন,
tan∠C = AE/CE
⇒ tan45° = AE/20
⇒ 1 = AE/20
∴ AE = 20

∴ AB = AE + BE
= 20 + 1.8
= 21.8 m

∴ টাওয়ারটির উচ্চতা 21.8 meters.

Question: The side of a square is increased by 10%, by what percent will the area be increased?

Solution:
আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু × বাহু) বর্গ একক

ধরি, 
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 10 মিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (10 × 10) বর্গমিটার 
= 100 বর্গমিটার

আবার, 
10% বৃদ্ধিতে বর্গক্ষেত্রের বাহুর সংখ্যা = 10 + (10 এর 10%) মিটার 
= 10 + 1 = 11 মিটার

∴ 10% বৃদ্ধিতে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (11 × 11) = 121 বর্গমিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = (121 - 100) = 21 বর্গমিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 21%

Question: A pole 120 m long breaks at a point and the broken part bends such that it makes an angle of 30° with the ground (without getting separated). The length of the broken part is:

Solution:
 
খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = 120 মিটার
ধরি,ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ অবশিষ্ট অংশটির দৈর্ঘ্য = (120 - x) মিটার
মই ভূমির সাথে কোণ তৈরি করে, θ = 30°

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
⇒ sin 30° =(120 - x)/x
⇒ 1/2 = (120 - x)/x
⇒ x = 2(120 - x)
⇒ x = 240 - 2x
⇒ 3x = 240
∴ x = 80 মিটার

অতএব, খুঁটির ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য = 80 মিটার।

Question: If the radius of a right cylinder is tripled and the height is reduced by 40%, then what would the percentage change in volume?

Solution: 
We know, 
Volume of a cylinder, V = πr²h .....(1)

Given that, 
New radius = 3r
New height = h - 40% of h
= (1 - 0.40)h
= 0.6h

∴ New volume, V' = π(3r)²(0.6h)
= π × 9r² × 0.6h
= π × 5.4 × r²h
= 5.4 × (πr²h)
= 5.4 × V ; [From 1]
So, new volume = 5.4 times the original volume

∴ Percentage change in volume = {(V' - V)/V} × 100%
= {(5.4V - V)/V} × 100%
= (4.4V/V) × 100%
= 4.4 × 100%
= 440% increase

So the volume increases by 440%.

Question: City B is 5 miles east of city A. City C is 10 miles southeast of city B. Which of the following is the closest to the distance from city A to City C?

Solution:

BD এবং DC দুটো সমান যেহেতু বিপরীত কোন দুইটাই 45°
অর্থাৎ, BDC ত্রিভুজ থেকে আমরা পাই,
BC² = BD² + DC²
⇒ 10² = x² + x²
⇒ 2x² = 100
⇒ x² = 50
∴ x = 5√2

অনুরূপে, ADC থেকে পাই,
AC² = AD² + DC²
⇒ AC² = (5 + x)² + x²
= 5² + 2 · 5 · x + x² + x²
= 25 + 10 · 5√2 + (5√2)² + (5√2)²
= 25 + 50√2 + 50 + 50
= 125 + 50√2
= 125 + 70.71
= 195.71
∴ AC = √195.71 = 13.99
≈ 14 miles

অর্থাৎ, A থেকে C এর নিকটবর্তী দূরত্ব 14 মাইল।

Question: The length of a room is 5.5 m and the width is 3.75 m. Find the cost of paving the floor with slabs at the rate of Tk. 800 per square metre.
(একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ৫.৫ মিটার এবং প্রস্থ ৩.৭৫ মিটার। প্রতি বর্গমিটার ৮০০ টাকা হারে মেঝেতে স্ল্যাব বসানোর খরচ কত হবে?)

Solution:
ফ্লোরের ক্ষেত্রফল
= (5.5 × 3.75) m²
= 20.625 m²

∴ মেঝে বাঁধানোর খরচ
= (800 × 20.625) Tk
=16500 Tk

Question: A circle can have how many parallel tangents at a single time?

Solution:
- একটি বৃত্তের স্পর্শক (Tangent) হলো এমন একটি সরলরেখা যা বৃত্তকে কেবল একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে।
- একটি বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট দিকে সর্বোচ্চ এক জোড়া বা ২টি সমান্তরাল স্পর্শক থাকা সম্ভব। এই সমান্তরাল স্পর্শক দুটি সর্বদা বৃত্তের ব্যাসের (Diameter) বিপরীত প্রান্তবিন্দুতে অবস্থিত থাকে।
- যদি ব্যাসের দুই প্রান্ত ছাড়া অন্য কোনো বিন্দুতে তৃতীয় একটি সমান্তরাল রেখা আঁকা হয়, তবে সেটি হয় বৃত্তকে দুই বিন্দুতে ছেদ করবে (Secant) অথবা বৃত্তকে স্পর্শই করবে না।

∴ একটি বৃত্তে একসাথে ঠিক ২টি সমান্তরাল স্পর্শক থাকতে পারে (যেকোনো নির্দিষ্ট দিকের জন্য)।

Question: If cosecθ - cotθ = 1/5, then find the value of sinθ + 5cosθ.

Solution:
cosecθ - cotθ = 1/5
⇒ (1/sinθ) - (cosθ/sinθ) = 1/5
⇒ (1 - cosθ)/sinθ = 1/5
⇒ sinθ = 5(1 - cosθ)
∴ sinθ = 5 - 5cosθ

∴ sinθ + 5cosθ = (5 - 5cosθ) + 5cosθ
= 5 - 5cosθ + 5cosθ
= 5

Question: The equation  is only possible when?

Solution:
cos²θ = (x + y)²/4xy

Maximum value of cos²θ = 1. So,
⇒ 1 = (x + y)²/4xy
⇒ 4xy = (x + y)²
⇒ 4xy = x² + y² + 2xy
⇒ 0 = x² + y² - 2xy
⇒ 0 = (x - y)²
⇒ 0 = x - y
∴ x = y

Question: An 84 kg metal sphere is melted down and reshaped into 4,000 nails of equal size. Find the weight of one nail in grams.

Solution:
দেওয়া আছে,
ধাতুর বলের ওজন = 84 কেজি = 84 × 1000 = 84000 গ্রাম
পেরেকের সংখ্যা = 4000 টি 

এখন,
4000 পেরেকের ওজন = 84000 গ্রাম
∴ 1 টি পেরেকের ওজন = (84000/4000) গ্রাম = 21 গ্রাম

We know, Area of rhombus = 1/2 × x × y [Here, x and y are two diagonals of the rhombus]
Or, x = (91 × 2) / 14 = 13 cm

Question: Find slope of the line perpendicular to the line y = (1/3)x - 7.

Solution: 
Given line, y = (1/3)x - 7
The slope of this line is m₁ = 1/3 ; [Comparing with  y = mx + c]

We know, 
If two lines are perpendicular, their slopes satisfy m₁⋅m₂ = - 1
Let m₂ be the slope of the perpendicular line. Then we get,
⇒ (1/3)⋅m2 = - 1
⇒ m₂ = - 1 × 3
∴ m₂ = - 3

So the slope of the line perpendicular to the given line is - 3.

 Question: {(1 - sin²45°)/(1 + sin²45°)} + tan²45° = ?

Solution:
Given that, 
 {(1 - sin²45°)/(1 + sin²45°)} + tan²45°
= {1 - (1/√2)²}/{1 + (1/√2)²} + (1)²   [∴ sin 45° = 1/√2 ও tan 45° = 1] 
= {1 - (1/2)}/{1 + (1/2)} + 1 
= {(2 - 1)/2}/{(2 + 1)/2} + 1 
= (1/2)/(3/2) + 1 
= (1/3) + 1
= (1 + 3)/3
= 4/3

Question: If θ = 60°, then what is the value of (1 - tan²θ)/(1 + tan²θ)?

Solution: 
Given that, 
θ = 60°

Now, 
(1 - tan²θ)/(1 + tan²θ)
= {1 - (tan60°)²}/{1 + (tan60°)²}
= {1 - (√3)²}/{1 + (√3)²}
= (1 - 3)/(1 + 3)
= (- 2)/4
= - 1/2

Question: A cistern 8 m long and 6 m wide contains water up to a depth of 1 m 50 cm. Find the total area of the wet surface.

Solution: 
Here, l = 8 m , b = 6 m and h = 1 m 50 cm = 1.5  m

The water wets the bottom surface and the four vertical walls up to the water depth. The area of the bottom is (l × b) 
The area of the four walls is the perimeter of the (base × height) of the water which is, 2[(l + b) × h] = 2lh + 2bh

The total wet surface area is the sum of these areas.
∴ Area = lb + 2lh + 2bh
= (8 × 6) + 2(8 × 1.5) + 2(6 × 1.5)
= 48 + 24 + 18
= 90 sq. meter 

Let the lengths of the line segments be x and x+2 cm
then,
(x+2)²−x²=32
x²+4x+4−x²=32
4x=28
x=7cm

Question: The side of an equilateral triangle is 6m. What is the height of the triangle?

Solution:
Given,
The side of an equilateral triangle = 6m

We know,
Area of an equilateral triangle = (√3/4) × 6²
= (√3/4) × 36
= 9√3

Let,
the height of the triangle = h

We also know,
(1/2) × base × height = area
⇒ (1/2) × 6 × h = 9√3
⇒ h = 9√3/3
∴ h = 3√3

So, the height of the triangle = 3√3 m

Question: In the figure AC and BC are radii of circles. The length of AB is 8. If AC = 4, what is BC? (BC is tangent to the circle with center A.)

Solution:
Since BC is tangent to circle with centre A
∴ BC is perpendicular to AC.
ΔABC is a right-angled triangle.

So,
BC = √(AB² - AC²)
= √(8² - 4²)
= √(64 - 16)
= √48
= √(16 × 3)
= 4√3

ATQ, x + x + 3x + 25 = 180°
Or, 5x = 155°
∴ x = 31°

Question: What is the minimum value of sin θ?

Solution:
sinθ এর সর্বনিম্ন মান - 1 এবং সর্বোচ্চ মান 1
cosθ এর সর্বনিম্ন মান - 1 এবং সর্বোচ্চ মান 1

Question: An observer who is 1.5 meters tall is standing 10√3 meters away from a flagpole. If the angle of elevation from his eye to the top of the flagpole is 30°, what is the height of the flagpole?

Solution:

এখানে,
পর্যবেক্ষকের উচ্চতা, CD = 1.5 মিটার
এখানে, CD = EB
পতাকা দণ্ডের (Flagpole) উচ্চতা, = AB

Now,
tan∠C = AE/CE
⇒ tan30° = AE/10√3
⇒ 1/√3 = AE/10√3 
∴ AE = 10

∴ AB = AE + BE 
= 10 + 1.5
= 11.5 m

মনে করি, AB = h
খুঁটিটি ভূমির সাথে 60° কোণ তৈরি করে BC = √3 মিটার ছায়া তৈরি করে
তাহলে খুঁটির উচ্চতা h = ?
প্রশ্নমতে, tan60° = AB / BC
⇒ √3 = h/√3
∴ h = √3.√3 = 3 মিটার 

Question: If the heights of two cones are in the ratio 7 : 3 and their diameters are in the ratio 6 : 7, what is the ratio of their volumes?

Solution: 
Let the heights of two cones be 7x and 3x, and their diameters be 6y and 7y, respectively
∴ Volume of first cone = (1/3π) × (6y/2)² × 7x
And volume of second cone = (1/3π) × (7y/2)² × 3x 

Then,
Ratio of volume,  

Question: Find the greatest value of sin⁶A + cos⁶A.

Solution:
We know,
sin²A + cos²A = 1
⇒ (sin²A + cos²A)³ = 1³
⇒ (sin²A)³ + (cos²A)³ + 3 sin²A cos²A (sin²A + cos²A) = 1
⇒ sin⁶A + cos⁶A + 3 sin²A cos²A (1) = 1
⇒ sin⁶A + cos⁶A = 1 - 3 sin²A cos²A
⇒ sin⁶A + cos⁶A = 1 - 3 sin²90° cos²90°
[প্রদত্ত রাশির সর্বোচ্চ মান পেতে হলে, 1 থেকে যে রাশিটি বিয়োগ করা হচ্ছে, সেই 3sin²Acos²A রাশিটির সর্বনিম্ন মান হতে হবে। এটি হয় যখন A = 0° অথবা A = 90°]
⇒ sin⁶A + cos⁶A = 1 - 3(1² × 0²)
⇒ sin⁶A + cos⁶A = 1 - 0
∴ sin⁶A + cos⁶A = 1

Area of the park = (60 x 40) m² = 2400 m²
Area of the lawn = 2109 m²
∴ Area of the crossroads = (2400 - 2109) m² = 291 m²

Let the width of the road be x metres. Then,
60x + 40x - x² = 291
⇒ x² - 100x + 291 = 0
⇒ (x - 97)(x - 3) = 0
⇒ x = 3 m

Let the breadth be x metre,
Then, length = 4x metre
∴ Volume of the room = (4x × 2x × x) m³
= (8x³) m³

8x³ = 512
x³ = 64
x = 4.

The length of the room is (4 × 4) = 16 m.

Question: If rsinθ = 5/2 and rcosθ = (5√3)/2, what is the value of r?

Solution:
দেওয়া আছে, 
rsinθ = 5/2 ……………..(i)
rcosθ = (5√3)/2 …………….(ii) 

এখন, (i) এবং (ii) এর বর্গ করে যুক্ত করে পাই,
(rsinθ)² + (rcosθ)² = (5/2)² + ((5√3)/2)² 
⇒ r²(sin²θ + cos²θ) = (25/4) + (75/4) 
⇒ r²(sin²θ + cos²θ) = 100/4
⇒ r² = 25     [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
∴ r = ± 5

Question: If 1 - sinθ = n cosθ, then find the value of cotθ.

Solution:
Given,
1 - sinθ = n cosθ
⇒ (1 - sinθ)/cosθ = n
⇒ (1/cosθ) - (sinθ/cosθ) = n
∴ secθ - tanθ = n ...............(i)

We know,
(secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
⇒ (secθ + tanθ) × n = 1
⇒ secθ + tanθ = 1/n ................(ii)

Now, (ii) - (i) ⇒
(secθ + tanθ) - (secθ - tanθ) = 1/n - n
⇒ secθ + tanθ - secθ + tanθ = 1/n - n
⇒ 2tanθ = (1 - n²)/n
⇒ tanθ = (1 - n²)/2n
⇒ 1/cotθ = (1 - n²)/2n
∴ cotθ = 2n/(1 - n²)

Question: The length of a rectangle is 25% more than its breadth. What will be the ratio of the area of the rectangle to that of a square whose side is equal to the breadth of the rectangle?

 
Solution: 
Let,
breadth = X metres
∴ length = 125% of X metres
= 125X/100 metres
= 5X/4 metres

∴ Area of the rectangle = (5x/4 × X) m²
∴ Area of the square = (X × X) m²

∴ The ratio = (5X/4 × X) : (X × X)
= 5 : 4

Question: How many times is the area of the square constructed on a straight line greater than the area of the square constructed on one-third of that line?

Solution:
Let the length of the straight line be a units.
∴ Area of the square built on the whole line = a²

And, one-third of the line = a/3
∴ Area of the square built on one-third of the line = (a/3)² = a²/9

∴ Ratio = (square on whole line)/(square on one-third)
= a²/(a²/9)
= a² × (9/a²)
= 9

So the square on the whole line is 9 times the square on one-third of the line.