Geometry: Mensuration, Trigonometry

Question: The volume V of a right circular cylinder is V = πr²h where r is the radius of the base and h is the height of the cylinder. If the volume of a right circular cylinder is 81π and its height is 9, what is the circumference of its base?

Solution: 
একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা h একক ও ব্যাসার্ধ r একক হলে,
উক্ত সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h ঘন একক
 
প্রশ্নমতে,
πr² × h = 81π
⇒ πr²  × 9 = 81π
⇒ r² = 9
∴r = 3
 
সুতরাং বৃত্তের পরিধি = 2πr = 2π × 3 = 6π

Question: Two ships are sailing in the sea on the two sides of the lighthouse. The angles of elevation of the top of the lighthouse observed from the ships are 30° and 60°, respectively. If the lighthouse is 60 m high, what is the distance between the two ships?

Solution:

দেওয়া আছে, বাতিঘরের উচ্চতা AD = 60 m।
জাহাজ দুটির অবস্থান B এবং C; মোট দূরত্ব BC = BD + DC
উন্নতি কোণ: ∠ABD = 30° এবং ∠ACD = 60°

প্রথমে, ΔADC থেকে DC নির্ণয় করি:
tan 60° = AD/DC
 ⇒ √3 = 60/DC
⇒ DC = 60/√3
⇒ DC = (60√3)/3 
⇒ DC = 20√3 m

এরপর, ΔADB থেকে BD নির্ণয় করি:
tan 30° = AD/BD
⇒ 1/√3 = 60/BD
⇒ BD = 60√3 m

তাহলে, BC = BD + DC = 60√3 + 20√3 = 80√3 m

অতএব, জাহাজ দুটির মাঝের দূরত্ব = 80√3 m

ব্যাসার্ধ r = 20/2 = 10 m
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = π(10)² = 100π বর্গমিটার
রাস্তাসহ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(10+1)² = 121π বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (121π - 100π) = 21π বর্গমিটার

Question: The volume of a right circular cylinder is 25π cubic units, and its height is 4 units. What is the circumference of its base?

Solution:
আমরা জানি, একটি সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h
যেখানে, r হলো ভূমির ব্যাসার্ধ এবং h হলো উচ্চতা।

প্রশ্নমতে,
πr² × 4 = 25π
⇒ 4r² = 25
⇒ r² = 25/4
⇒ r = √(25/4)
⇒ r = 5/2 = 2.5 একক

সিলিন্ডারের ভূমির পরিধি = 2πr
= 2π × 2.5
= 5π একক

∴ সিলিন্ডারটির ভূমির পরিধি হলো 5π একক।

Angle traced by hour hand in 21/4 hrs = (360/12) × (21/4)0 = 157(1/2 )
Angle traced by min. hand in 15 min = (360/60 × 15) = 90
Required Angle = (157(1/2) − 90 = 67(1/2)

Consider a rectangular solid of length l, width w and height h. Then,
Total Surface Area
= 2lw + 2lh + 2wh
= 2(lw + lh + wh)
Volume = lwh
In this case, l = 25, w = 12 m and h = 6 m and all surfaces needs to be plastered except the top.
Hence, the total area to be plastered
total surface area - an area of the top face
= 2(lw + lh + wh) - lw
= lw + 2lh + 2hw
= (25 × 12) + 2 × (25 × 6) + 2 × (12 × 6)
= 300 + 300 + 144
= 744
Cost of plastering
= 744 × 75
= 55800 Paisa
= Tk. 558

Question: The area of a circle is 49π cm². The circumference is equal to?

Solution:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 49π সেমি²

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 49π
⇒ r² = 49
⇒ r = √49
∴ r = 7 সেমি

এখন, বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2π × 7
∴ পরিধি = 14π সেমি।

Question: What is the slope of a line parallel to the line whose equation is 3x + 4y = 12?

Solution:
প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ: 3x + 4y = 12
সরলরেখার আদর্শ রূপ y = mx + c-এর সাথে তুলনা করার জন্য সমীকরণটিকে সাজাই:
3x + 4y = 12
⇒ 4y = - 3x + 12
⇒ y = (- 3/4)x + (12/4)
⇒ y = (- 3/4)x + 3

এখানে, প্রদত্ত রেখার ঢাল (m₁) = - 3/4
আমরা জানি, দুটি রেখা সমান্তরাল হলে তাদের ঢাল সমান হয় (m₁ = m₂)

∴ সমান্তরাল রেখাটির ঢাল হবে - 3/4

Question: A right circular cylinder has a curved surface area of 660 sq. cm and a height of 15 cm. Find the radius of the cylinder.

Solution:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 660 বর্গ সেমি
এবং সিলিন্ডারের উচ্চতা (h) = 15 সেমি।

ধরা যাক, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ হল r সেমি।

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
⇒ 660 = 2 × (22/7) × r × 15
⇒ 660 = (44/7) × 15 × r
⇒ 660 = (660/7) × r
⇒ r = (660 × 7)/660
⇒ r = 7 সেমি

সুতরাং, প্রদত্ত সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ হল 7 সেমি।

Question: If tan(x - 30°) = 1, what is the value of sin(x + 15°)?

Solution:
Given that tan(x - 30°) = 1
⇒ (x - 30°) = 45°
⇒ x = 75°

Now,
sin(x + 15°)
= sin(75° + 15°)
= sin(90°)
= 1 

Question: What is the co-ordinate of the center of the circle (x - r)² + (y + 5)² = 100?

Solution: 
দেওয়া আছে, 
(x - r)² + (y + 5)² = 100
⇒ (x - r)² + {y - (- 5)}² = (10)²
অতএব, কেন্দ্র (a, b) = (r, - 5)

∴ বৃত্তের সমীকরণ হওয়ার শর্ত;
১। x² ও y² সহগ সমান হবে।
২। xy সমন্বিত কোন পদ থাকবে না।

Question: What would be the measure of the perimeter of a square whose area is equal to 225 square cm?

Solution:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 225 বর্গ সেমি
এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে,
a² = 225
⇒ a² = 15²
∴ a = 15

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
= 4 × 15 = 60 সেমি

Question: If θ = 60° , then what is the value of (1 - sec²θ)/(1 + sec²θ)?

Solution:
Here, θ = 60°

Now,
(1 - sec²θ)/(1 + sec2θ)
= {1 - (sec60°)²}/{1 + (sec60°)²}
= (1 - 2²)/(1 + 2²)
= (1 - 4)/(1 + 4)
= - 3/5

Let, length = x and Width = 3x - 6
ATQ, 
2(x + 3x - 6) = 104
Or, 4x - 6 = 104/2 = 52
Or, 4x = 58
Or, x = 14.5
So, width = 3 × 14.5 - 6= 37.5

Question: The perimeter of a circle measures 16πcm, what is the area of the circle in sq.cm?

Solution:
মনেকরি
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে
2πr = 16π
2r = 16
r = 8

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
=π8²
=64π

Question: If sec²θ + tan²θ = 7/12, then sec⁴θ - tan⁴θ = ?
 
Solution: 
Given that, 
sec²θ + tan²θ = 7/12

Now, 
sec⁴θ - tan⁴θ
= (sec²θ)² - (tan²θ)²
= (sec²θ + tan²θ)(sec²θ - tan²θ) ; [sec²θ - tan²θ = 1]
= (7/12) × 1
= 7/12

Question: Find the value of cos(2π/3).

Solution:
cos(2π/3)
= cos(π - π/3) 
= - cos(π/3)  ; [∵ (π - θ) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে পড়ে এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে cos ঋণাত্মক, তাই cos(π - θ) = - cos θ]
= - cos(60°)
= - 1/2

We know the product of diagonals is 1/2×(product of diagonals)
Let one diagonal be d₁ and d₂
So as per question
1/2×d₁×d₂=150
1/2×10×d₂=150
d₂=150/5 = 30

Question: What is the slope of a line perpendicular to the line whose equation is 14x - 2y = 10?

Solution:
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ,
y = mx + c ......(1) (এখানে m = ঢাল)

যদি কোনো রেখার ঢাল হয় m, তবে তার লম্ব (perpendicular) রেখার ঢাল হবে,
m' = - (1/m)

এখন,
14x - 2y = 10
⇒ 2y = 14x - 10
⇒ y = (14/2)x - (10/2)
⇒ y = 7x - 5

(1) নং এর সাথে তুলনা করে পাই, m = 7

∴ লম্ব (perpendicular) রেখার ঢাল হবে, m' = - (1/7)

Question: The diagonals of a rhombus are 16 cm and 12 cm, in length. The side of the rhombus in length is:

Solution:
 
এখানে, রম্বসের কর্ণ দুটি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে (90° কোণে)।
প্রথম কর্ণের অর্ধেক = 16/2 = 8 সে.মি.
এবং দ্বিতীয় কর্ণের অর্ধেক = 12/2 = 6 সে.মি.
এই অর্ধেক অংশ দুটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্ব গঠন করে এবং রম্বসের বাহুটি হয় ত্রিভুজের অতিভুজ।

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই, 
অতিভুজ² = ভূমি² + লম্ব²
অতিভুজ = √(ভূমি² + লম্ব²)
= √(8² + 6²)
= √(64 + 36)
= √(100)
∴ অতিভুজ = 10

সুতরাং, রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.।

- বৃত্তের কেন্দ্র (center of the circle) থেকে পরিধির (circumference) উপর যে কোন বিন্দুর দুরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
- অন্যভাবে বললে, বৃত্তের কেন্দ্র ও পরিধির উপর যে কোন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্যকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।

Question: If sin(θ - 15°) = 1/2, then what is the value of tanθ?

Solution:
Given that,
sin(θ - 15°) = 1/2
⇒ sin(θ - 15°) = sin30°
⇒ (θ - 15°) = 30°
∴  θ = 45°

Now,
tanθ
= tan45°
= 1

Question: An error 4% in excess is made while measuring the side of a square. The percentage of error in the calculated area of the square is:

Solution: 

100 cm is read as 104 cm.
∴ A₁ = (100 x 100) sq. cm and A₂ (104 x 104) sq. cm

Now,
(A₂ - A₁) = [(104)² - (100)²]
= (104 + 100) x (104 - 100)
= 816 sq. cm

Percentage error in area = [(A₂ - A₁)/A₁] × 100
= [816/(100 x 100)] × 100%
= 8.16% 

Surface area of the box = 2(lb + bh + hl)
S.A. = 2[(80 × 40) + (40 × 20) + (20 × 80)]
= 2(3200 + 800 + 1600)
= 2 × 5600
= 11200 sq.cm.

Question: If tanθ = 4/3, then what is the value of (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ - 2cosθ)?

Solution: 
Given,
tanθ = 4/3

Now,

Question: If θ be an acute angle and 7sin²θ + 3cos²θ = 4, then the value of tanθ is?

Solution:
7sin²θ + 3cos²θ = 4
⇒ 7sin²θ + 3(1 - sin²θ) = 4
⇒ 7sin²θ + 3 - 3sin²θ = 4
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°

∴ tanθ = tan30° = 1/√3

Question: The greatest value of sin⁴θ + cos⁴θ + 2sin²θcos²θ is?

Solution:
We know,
sin²θ + cos²θ = 1

Squaring both sides,
(sin²θ + cos²θ)² = 1²
⇒ sin⁴θ + cos⁴θ + 2sin²θcos²θ = 1

∴ The greatest value of sin⁴θ + cos⁴θ + 2sin²θcos²θ is 1.

Question: If θ = 45°, then what is the value of (1 - sec²θ)/(1 + sec²θ)?

Solution:
Here, θ = 45°
(1 - sec²θ)/(1 + sec²θ) = {1 - (sec 45°)²}/{1 + (sec 45°)²}
⇒ sec 45° = 1/cos 45° = 1/(1/√2) = √2
⇒ (1 - (√2)²)/(1 + (√2)²) = (1 - 2)/(1 + 2) = - 1/3

∴ The value of (1 - sec²θ)/(1 + sec²θ) = - 1/3

Question: What is the percentage increase in the area of a rectangle, if each of its side is increased by 25%?

Solution:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x একক
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ y একক
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = xy বর্গ একক

25% বৃদ্ধিতে,
আয়তক্ষেত্রের  নতুন দৈর্ঘ্য = {x + x এর 25%} একক
= {x + x এর (25/100)} একক
= {x + x/4} একক
= 5x/4 একক

25% বৃদ্ধিতে,
আয়তক্ষেত্রের  নতুন প্রস্থ = {y + y এর 25%} একক
= {y + y এর (25/100)} একক
= 5y/4 একক

আয়তক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (5x/4) × (5y/4) বর্গ একক
= (25xy/16) বর্গ একক

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = {(25xy/16) - xy} বর্গ একক
= (25xy - 16xy)/16 বর্গ একক
= 9xy/16 বর্গ একক

ক্ষেত্রফল xy বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় 9xy/16 বর্গ একক
ক্ষেত্রফল 1 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় (9xy/16) × (1/xy) বর্গ একক
ক্ষেত্রফল 100 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় (9xy/16) × (1/xy) × 100 বর্গ একক
= 56.25 বর্গ একক

Question: If a wire of 440 metres length is moulded in the form of a circle and a square turn by turn, find the ratio of the area of the circle to that of the square.

Solution: 
Given that, 
Length of wire = 440 m

Circumference of circle = 440 m
2πr = 440 
r = 440/{(22/7) × 2} = (440 × 7)/44 = 10 × 7 = 70
∴ r = 70

∴ Area of circle = πr² = (22/7) × 70² = (22/7) × 70 × 70 = 15400 m²

And,
Perimeter of square = 440 m
4a = 440
⇒ a = 440/4 = 110 
∴ a = 110

∴ Area of square = a² = 110² = 12100 m²

∴ Required ratio of Area of circle : Area of square = 15400 : 12100 = 154 : 121 = 14 : 11

So the ratio of the area of the circle to that of the square is 14 : 11.

Consider the diagram is shown above where QR represents the tree and PQ represents its shadow.
We have, QR = PQ
Let, ∠QPR = θ
tanθ = QR/PQ
= QR/QR [since QR = PQ]
= 1
= tan 45°
⇒ θ = 45°
i.e., the required angle of elevation = 45°

Question: A 286 cm long copper strip is bent into a round wheel. What is the wheel’s diameter?

Solution:
ধরি,
গোলাকার চাকার ব্যাসার্ধ = r
ব্যাস = 2r
পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে, 
চাকার পরিধি = তামার তারের দৈর্ঘ্য
2πr = 286
⇒ 2r = 286/π
⇒ 2r = 286/(22/7)
⇒ 2r = (286 × 7)/22
⇒ 2r = 13 × 7
⇒ 2r = 91

∴ গোলাকার চাকার ব্যাস = 91 সে.মি.

Question: If x = a secθ.cosφ, y = b secθ.sinφ and z = c tanθ. then the value of (x²/a²) + y²/b²) - (z²/c²) is?

Solution: 
Given that, 
x = a secθ.cosφ
∴ x/a = secθ.cosφ

y = b secθ.sinφ
∴ y/b = secθ.sinφ

And, z = c tanθ
z/c = tanθ

Now, 
(x²/a²) + y²/b²) - (z²/c²)
= (x/a)² + (y/b)² - (z/c)²
= (secθ.cosφ)² + (secθ.sinφ)² - (tanθ)²
= sec²θ.cos²φ + sec²θ.sin²φ - tan²θ
= sec²θ(cos²φ + sin²φ) - tan²θ ; [cos²θ + sin²θ = 1]
= sec²θ - tan²θ
= 1

Question: In the figure, lines m and n are parallel. If y - z = 60 then what is the value of x?


Solution:
যেহেতু একটি সরলরেখার উপর উৎপন্ন কোণগুলোর সমষ্টি 180°,
 তাই, z + y = 180........(1)

আবার,
দেওয়া আছে, y - z = 60..........(2)

 সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই,
 z + y + y - z = 180 + 60 
⇒  2y = 240
 ⇒ y = 120°

যেহেতু m এবং n রেখাদ্বয় সমান্তরাল, তাই বিপরীত বহিঃস্থ কোণ x এবং y পরস্পর সমান। সুতরাং, x এর মান 120°

Question: A rope, 40 m long, is tightly stretched and tied from the top of a vertical pole to the ground. Find the height of the pole if the angle made by the rope with the ground level is 45°.

Solution:

ধরি, খুঁটির উচ্চতা (Height of the pole), AB = h
দড়ির দৈর্ঘ্য (Length of the rope), AC = 40 m
দড়ি ভূমির সাথে যে কোণ তৈরি করে, ∠ACB = 45°
আমরা জানি, sinθ = লম্ব/অতিভুজ
∴ sin 45° = AB / AC
⇒ 1/√2 = h / 40
⇒ h = 40/√2
⇒ h = (40√2)/(√2 × √2)
∴ h = 20√2 m

অতএব, খুঁটির উচ্চতা = 20√2 m

Question: A cylindrical tank with diameter 14 m and height 5 m is filled with water. If the water is transferred to a rectangular tank with base 10 m × 7 m, what will be the height of water in the rectangular tank?

Solution: 
Volume of the cylinder = π(7)²5
= π × 49 × 5
= 245π m³

Volume of the rectangle = 10 × 7 × h (Assuming, height of the rectangle is 'h')
= 70h m³ 

So, 70h = 245π
⇒ h = (245/70)(22/7)
∴ h = 11m 

Question: If asinθ = 2 and acosθ = 2√3, then the value of √3tanθ - 1 is?

Solution:
asinθ = 2
acosθ = 2√3

Now,
asinθ/acosθ = 2/(2√3)
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ √3tanθ = 1

∴ √3tanθ - 1 = 0