জ্যামিতি

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2)× রম্বসের কর্ণ দুইটির গুনফল = (1/2)×16×12 = 96 cm².

প্রশ্ন: দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার সঠিক শর্ত নয় নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত: 
- একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু অপর ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হয়। 
- একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণ অপর ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। 
- একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহু অপর ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। 
- দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের একটির অতিভুজ এবং এক বাহু অপরটির অতিভুজ এবং এক বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। 

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭৮ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৬ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৭৮ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৬ মিটার 
সামান্তরিকের ভূমি =? 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক 
⇒ ৭৮ = ভূমি × ৬  
⇒  ভূমি = ৭৮/৬ 
∴ ভূমি = ১৩ মিটার 

∴ সামান্তরিকের ভূমি = ১৩ মিটার। 

প্রশ্ন: যদি দুটি বৃত্তের ব্যাস 16 সে.মি. এবং 24 সে.মি. হয়, তবে তাদের পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক হলে বৃত্তের পরিধি 2πr একক

∴ ১ম বৃত্তের পরিধি = 2π(16/2)
= 2π × 8
= 16π সে.মি.

∴ ২য় বৃত্তের পরিধি = 2π(24/2)
= 2π × 12
= 24π সে.মি.

∴ ১ম বৃত্তের পরিধি/২য় বৃত্তের পরিধি = 16π/24π
= 16/24
= 2/3

⇒ ১ম বৃত্তের পরিধি : ২য় বৃত্তের পরিধি = 2 : 3

প্রশ্ন: cotθ = 3/4 হলে, tan²θ + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 cotθ = 3/4

আমরা জানি,
tanθ = 1/cotθ 
= 1/(3/4)
= 4/3
∴ tan θ = 4/3

এখন, 
tan²θ + 1
= (4/3)2 + 1
= (16/9) + 1
= (16 + 9)/9
= 25/9

সুতরাং, tan²θ + 1 = 25/9

চিত্রে a = ২b, b = ৩c
∴ a = ৬c
এখন, a +৩c + ৬c = ১৮০°
বা, ৬c +৩c + ৬c = ১৮০°
বা, ১৫c = ১৮০°
∴ c = ১২°
∴ a = ৬c = ৬ × ১২° = ৭২°

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং প্রতিটা কোণ এক সমকোণ, তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
এখানে AB||CD, AC = BD এবং কোণ A = 90°
অর্থাৎ, ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।

ধরি,
রেখার দৈর্ঘ্য = x
∴ রেখার অর্ধেক = x/2
∴ রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল/অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = x²/(x²/4)
= (x² × 4)/x²
= 4

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 13 একক এবং ভূমি 24 একক হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 24 একক
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 13 একক

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²) বর্গ একক
= (24/4) × √{(4 × 13²) - 24²}
= 6 × √{(4 × 169) - 576}
= 6 × √(676 - 576)
= 6 × √100
= 6 × 10
= 60 বর্গ একক

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো 60 বর্গ একক।

প্রশ্ন: 16 মিটার দৈর্ঘ্য ও 8 মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তাকার মাঠের পরিসীমা বরাবর বাইরের চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা থাকলে, শুধুমাত্র রাস্তার ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = 16 মিটার
আয়তাকার মাঠের প্রস্থ = 8 মিটার 
∴ আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল =  (16 × 8) বর্গমিটার 
= 128 বর্গমিটার

আবার, 
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = {16 + (2 × 2)} = 20 মিটার
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = {8 + (2 × 2)} = 12 মিটার
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (20 × 12) বর্গমিটার 
= 240 বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (240 - 128) বর্গমিটার
= 112 বর্গমিটার ।

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ।

এখন,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৪৫° হলে, 
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৪৫° × ২)
= ৯০°

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৯০° ।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের বহিঃকোণ ও তার বিপরীত অন্তঃকোণের সমষ্টি কত?  

সমাধান:
যেকোনো ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃকোণ উৎপন্ন হয়, সেই বহিঃকোণ এবং তার বিপরীত অন্তঃকোণ (যে অন্তঃকোণের সাথে বহিঃকোণ লাগানো) দুটি একই সরলরেখার উপর অবস্থিত।  

সুতরাং,  
বহিঃকোণ + তার বিপরীত অন্তঃকোণ = ১৮০°  

সুতরাং, ত্রিভুজের বহিঃকোণ ও তার বিপরীত অন্তঃকোণের সমষ্টি ১৮০°। 

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
ভূমি² + লম্ব² = অতিভুজ²
এখানে,
৩^২+৪^২=৫^২

প্রশ্ন: 42 ফুট লম্বা একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেলো যে তা সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিল?

সমাধান:

চিত্রে AB = 42 ফুট  
এবং AD = DC = 42 - BD

প্রশ্নমতে,
sin 30° = BD/DC
⇒ 1/2 = BD/(42 - BD)
⇒ 2BD = 42 - BD
⇒ 3BD = 42
⇒ BD = 42/3 = 14 ফুট  

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 8 সে.মি.। ইহার  আয়তন কত?

সমাধান: প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 সে.মি.
যেহেতু 3² + 4² = 5², ইহার ভূমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ক্ষেত্রফল = (1/2) × 4 × 3 = 6 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, প্রিজমটির  আয়তন = 6 × 8 = 48 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১০ সেমি এবং ৮ সেমি হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান হয়।

দেওয়া আছে,
একটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০ সেমি
অপর সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮ সেমি

সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ × (সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি)
= ২ × (১০ + ৮) সেমি
= ২ × ১৮ সেমি
= ৩৬ সেমি

∴ সামান্তরিকটির পরিসীমা ৩৬ সেমি।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত সে.মি?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৪ মিটার

​​আমরা জানি,
​সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
⇒ সামান্তরিকের ভূমি = ক্ষেত্রফল/উচ্চতা
​= ৩৬/৪ 
​= ৯ মিটার
= (৯ × ১০০) সে.মি.
= ৯০০ সে.মি.

প্রশ্ন: ৪৫° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।
∴ ৪৫° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৪৫)° = ১৩৫°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৩ : ৪ হলে বৃহত্তম কোণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৩ : ৪  
ধরি কোণগুলো যথাক্রমে ২x, ৩x এবং ৪x  

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = ১৮০°  
⇒ ২x + ৩x + ৪x = ১৮০°  
⇒ ৯x = ১৮০°  
⇒ x = ২০°  

∴ বৃহত্তম কোণ = ৪x = ৪ × ২০° = ৮০°

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫° হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
অন্তঃস্থ কোণ = (১৮০ - ৪৫)°
= ১৩৫°

ধরি, 
বাহুর সংখ্যা = n 

∴ {(n - ২) × ১৮০°/n} = ১৩৫° 
বা, {(n - ২) × ৪/n} = ৩
বা, ৪n - ৮ = ৩n 
বা, ৪n - ৩n = ৮ 
∴ n = ৮ 

∴ বাহুর সংখ্যা = ৮ ।

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ছোট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 16π
বড় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 81π
কালো রঙ করা জায়গার ক্ষেত্রফল = 81π - 16π = 65π বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপরটির তিন-চতুর্থাংশ হলে, অপর দুটি বাহুর মধ্যে বৃহত্তর বাহু কোনটি? 

সমাধান:


ধরি, একিটি বাহু, BC = y মিটার
অপর বাহু, AB = 3y/4 মিটার 

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AB² + BC² = AC²
বা, (3y/4)² + y² = 25²
বা, (9y²/16) + y² = 625
বা, (9y² + 16y²)/16 = 625 
বা, 25y² = 625 × 16
বা, y² = (625 × 16)/25
বা, y² = 400
∴ y = 20 মিটার

∴ একটি বাহু = 20 মিটার এবং, অপর বাহু = (3 × 20)/4 = 15 মিটার

এখানে, ৪৪ = ৪৪ ×১০০০ মি.
আমরা জানি, পরিধি × ঘূর্ণন সংখ্যা = অতিক্রান্ত দূরত্ব
বা, 2πr × ১০০০ = ৪৪ ×১০০০
বা, 2πr = ৪৪
বা, r = ৪৪/2π
বা, r = ২২/π
বা, r = ২২/(২২/৭)
বা, r = ২২ × (৭/২২)
বা, r = ৭

প্রশ্ন: sin{(5π/2) + θ} = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin{(5π/2) + θ}
= sin{5 × (π/2) + θ}
= sin{5 × 90° + θ}
এখানে, 90° করে 5 বার ঘুরে দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে। আমরা জানি, দ্বিতীয় চতুর্ভাগে sine এর মান ধনাত্মক। তাই এর চিহ্ন হবে ধনাত্মক (+)।
আবার, যেহেতু π/2 বা 90° এর সাথে '5' যা একটি বিজোড় গুণিতক (odd multiple) রয়েছে, তাই sine অনুপাতটি পরিবর্তিত হয়ে cosine হবে।

অর্থাৎ, sin{5 × 90° + θ} = cosθ
∴ sin{(5π/2) + θ} = cosθ

দেওয়া আছে, সোনার বারের দৈর্ঘ্য ৮.৮ সেমি; প্রস্থ ৬.৪ সেমি এবং উচ্চতা ২.৫ সেমি
এর আয়তন = (৮.৮ × ৬.৪ × ২.৫) ঘন সেমি
                = ১৪০.৮ ঘন সেমি
১ ঘন সেমি পানির ওজন ১ গ্রাম 
১৪০.৮  ''      ''       ''  = ১৪০.৮ × ১ = ১৪০.৮ গ্রাম
∴ সোনার বারের ওজন = পানির ওজন × ১৯.৩
                             = ১৪০.৮ × ১৯.৩ = ২৭১৭.৪৪ গ্রাম

প্রশ্ন: একটি ফ্যান প্রতি মিনিটে ৭২ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে ফ্যানটি কত ডিগ্রি অতিক্রম করে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ৭২ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে = (৭২ ÷ ৬০) = ৬/৫ বার

আমরা জানি,
ফ্যান ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ ৬/৫ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০ × (৬/৫) = ৪৩২°