জ্যামিতি

AD || BC এবং AE ছেদক
∴ ∠DAB = ∠CBE
ফলে, ∠B = ১৮০° - ∠CBE
= ১৮০° - ∠DAB
= ১৮০° - ৭৫°
= ১০৫°

১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πa²
∴ ব্যাসার্ধ = a
২য় বৃত্তের পরিধি = 2πb
∴ ব্যাসার্ধ = b
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = a + b

প্রশ্ন: একটি দ্বাদশভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - ৩)/২
এখানে, দ্বাদশভুজের বাহু সংখ্যা (n) = ১২

∴দ্বাদশভুজের কর্ণের সংখ্যা = ১২(১২ - ৩)/২
= ১২(৯)/২
= ১০৮/২
= ৫৪ টি।

∴ একটি দ্বাদশভুজের কর্ণের সংখ্যা হলো ৫৪ টি।

2sin²θ – 3cos θ = 0
2(1-cos²θ) – 3cosθ= 0
বা, 2 - 2cos²θ - 3cosθ= 0
বা, -2cos²θ – 3cosθ + 2= 0
বা, -2cos²θ - 4cosθ + cosθ + 2= 0
বা, -2cosθ(cosθ +2) + 1(cosθ + 2) = 0
বা, (cosθ +2) (-2cosθ +1) = 0
বা, (cosθ +2) = 0 ; (-2cosθ +1) = 0
বা, Cosθ ≠ -2 cosθ = 1/2
বা, θ = cos^-1(1/2)
বা, θ = 60°

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ১৩৫° হলে, তার বাহুর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০°}/ক

প্রশ্নমতে, 
{(ক - ২)১৮০°}/ক = ১৩৫°
বা, (ক - ২) × ১৮০ = ১৩৫ক
বা, ১৮০ক - ২ × ১৮০ = ১৩৫ক
বা, ১৮০ক - ৩৬০ = ১৩৫ক
বা, ১৮০ক - ১৩৫ক = ৩৬০
বা, ৪৫ক = ৩৬০
বা, ক = ৩৬০/৪৫ 
∴ ক = ৮

∴ বাহুর সংখ্যা = ৮ টি ।

y - 2x + 3 = 0
বা, y = 2x - 3 কে y = mx + c সাথে তুলনা করে পাই, m = 2
∴ ঢাল = 2

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে: মি: হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে:মি:?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে: মি:

ধরি, সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
এখন,
⇒ a² + a² = 12²
⇒ 2a² = 144
⇒ a² = 72
⇒ a = √72

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × (√72) × (√72)
= (1/2) × (72)
= 36 বর্গ সে.মি

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২(ভূমি × উচ্চতা)
= ১/২(৩ × ৪)
= ৬ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি লোহার ফাপা গোলকের বাইরের ব্যাস ১০ সে.মি. ও বেধ ২ সে.মি.হলে, গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন কত ঘন সে.মি.?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বাইরের ব্যাস = ১০ সে.মি.
বেধ = ২ সে.মি.

বাইরের ব্যাসার্ধ (R) = ১০/২ = ৫ সে.মি.
ভিতরের ব্যাসার্ধ (r) = বাইরের ব্যাসার্ধ - বেধ
= ৫ - ২ = ৩ সে.মি.

ফাঁপা অংশ = ভিতরের গোলকের আয়তন

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (৪/৩)πr^৩
∴ ফাঁপা অংশের আয়তন = (৪/৩)π(৩)^৩
= (৪/৩)π × ২৭
= (৪ × ২৭π)/৩
= ১০৮π/৩
= ৩৬π ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি চাকা মিনিটে 150 বার ঘোরে। 2 সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 মিনিট = 60 সেকেন্ড

∴ 60 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 150 বার
1 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 150/60 বার
= 5/2 বার

∴ 2 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = (5/2) × 2
= 5 বার

আবার, আমরা জানি,
চাকাটি 1 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360°
∴ চাকাটি 5 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360° × 5
= 1800°

অতএব, 2 সেকেন্ডে চাকাটি 1800° ঘুরবে।

এখানে,
7² + 24² = 25²

প্রশ্ন: একটি বর্গের ক্ষেত্রফল এবং এর কর্ণের উপর আঁকা বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
বর্গের বাহু = ক একক
বর্গের ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গ একক

কর্ণ = √২ক একক
কর্ণের উপর আঁকা বর্গের ক্ষেত্রফল = (√২ক)^২ = ২ক^২ বর্গ একক

অনুপাত = ক^২ : ২ক^২ = ১ : ২

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, OA = 13 cm
কেন্দ্র O থেকে AB জ্যা এর লম্ব দূরত্ব, OD = 5 cm
∴ OD² + AD² = OA²
বা, AD² = OA² - OD² = 13² - 5² = 12²
∴ AD = 12 বা, AB = 2.AD = 24 cm

প্রশ্ন: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে কী উৎপন্ন হয়? 

সমাধান: 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়।

রেখার কিছু সাধারণ বৈশিষ্ট্য: 
• রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
• দুই দিকেই অসীম প্রসারিত করা যায়।
• রেখার নির্দিষ্ট কোনো দিক নেই। 
• রেখা প্রধানত দুই প্রকার। যথা- ক) সরলরেখা এবং খ) বক্ররেখা।

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত সমকোণ?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের কোনগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ; এখানে n = বাহুর সংখ্যা।

∴ সুষম ষড়ভুজের কোনগুলোর সমষ্টি = [(2 × 6) - 4] সমকোণ 
= (12 - 4) সমকোণ 
= 8 সমকোণ

ব্যাসার্ধ = 6 একক
∴ ক্ষেত্রফল = π(6)² = 36π বর্গ একক

প্রশ্ন: ১৮ মিটার উচ্চতা ও ১২ মিটার ভূমি বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা = ১৮ মিটার
ভূমি = ১২ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১২ × ১৮
= ৬ × ১৮
= ১০৮ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনক এর এক বাহু 2 গুণ হলে, তার আয়তন কত গুণ হবে? 

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ঘনকের আয়তন, V = a³
এখানে a = এক বাহুর দৈর্ঘ্য।
যেহেতু এক বাহু 2 গুণ করা হলে, নতুন বাহু a′ = 2a
নতুন আয়াতন, V′ = (a′)³ = (2a)³ = 8a³
V′/V = 8a³/a³ = 8

অতএব, আয়তন 8 গুণ হবে।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহু ২ মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে,
ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গমিটার
= (√3/4) × 2² বর্গমিটার
= (√3/4) × 4 বর্গমিটার
= √3 বর্গমিটার

প্রশ্ন: অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (2n - 4) × 90° 
(যেখানে, n = বহুভুজের বাহুর সংখ্যা)

∴ অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = {(2 × 8) - 4} × 90° 
= (16 - 4) × 90°
= 12 × 90°
= 1080° ।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার। দুইটি কোণাকুণি মোটা দড়ি দ্বারা একে চারটি সমান ত্রিভুজাকার ভাগে ভাগ করা হল। প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার
∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (১২)^২ বর্গমিটার
= ১৪৪ বর্গমিটার



∴ প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১৪৪/৪) বর্গমিটার
= ৩৬ বর্গমিটার 
= ৬^২ বর্গমিটার

প্রশ্ন: যদি দুটি রেখা সমকোণে মিলিত হয়, তবে তারা কী নামে পরিচিত?

সমাধান:
 

- দুটি রেখা যদি সমকোণে (৯০° কোণে) মিলিত হয়, তবে তারা লম্ব রেখা নামে পরিচিত।
- লম্ব রেখা একে অপরকে নির্ভুলভাবে ৯০° কোণে ছেদ করে।
- লম্ব রেখাকে '⊥ 'প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেমন: রেখা L₁ রেখা L₂-এর ওপর লম্ব হলে লেখা হয় L₁ ⊥ L₂

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 36 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 13/10 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির ভূমি, b = x মিটার।
∴সমান সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য হবে, a = (13x/10) মিটার।

প্রশ্নমতে,
x + (13x/10) + (13x/10) = 36
⇒ (10x + 13x + 13x)/10 = 36
⇒ 36x/10 = 36
⇒ 36x = 360
∴ x = 10

সুতরাং, ত্রিভুজটির ভূমি, b = 10 মিটার।
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = (13 × 10)/10
​ = 13 মিটার।

এখন, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (10/4) × √{4(13)² - (10²)}
= (5/2) × √{(4 × 169) - 100}
= (5/2) × √(676 - 100)
= (5/2) × √576
= (5/2) × 24
= 60 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য 600 সে.মি., প্রস্থ 420 সে.মি. এবং উচ্চতা 300 সে.মি। বাক্সটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাক্সের দৈর্ঘ্য = 600 সে.মি.
বাক্সের প্রস্থ = 420 সে.মি.
বাক্সের উচ্চতা = 300 সে.মি.

∴ বাক্সের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= 600 × 420 × 300 সে.মি³
= 75,600,000 সে.মি³

∴ বাক্সটির আয়তন = 75,600,000 ঘনসেন্টিমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ২৮৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, 
​আয়তাকার ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
অতএব, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

প্রশ্নমতে,
​∴ ২ক × ক = ২৮৮
⇒ ২ক^২ = ২৮৮
⇒ ক^২ = ১৪৪
⇒ ক = √১৪৪ = ১২

সুতরাং, প্রস্থ = ১২ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২ × ১২ = ২৪ মিটার

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২৪ + ১২) মিটার
= ২ × ৩৬ মিটার
= ৭২ মিটার

প্রশ্ন: একটি দালানের উচ্চতা ৩০ ফুট। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেয়াল থেকে ১৬ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মই বাড়িটির ছাদ স্পর্শ করে আছে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
পিথাগোরাসের সূত্র থেকে পাই,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = √(৩০^২ + ১৬^২)
= √(৯০০ + ২৫৬)
= √১১৫৬
= ৩৪ ফুট 

∴ মইয়ের দৈর্ঘ্য = ৩৪ ফুট ।